数列—不等式 专题
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数列—不等式 专题
例
1. 数列{an}满足. （Ⅰ）用数学归纳法证明：；
（Ⅱ）已知不等式，其中
无理数 e=2.71828….
（Ⅰ）证明：（1）当n=2时，，不等式成立.
（2）假设当时不等式成立，即
那么. 这就是说，当时不等式成立.
根据（1）、（2）可知：成立.
（Ⅱ）证法一：
由递推公式及（Ⅰ）的结论有
两边取对数并利用已知不等式得
故
上式从1到求和可得
)1(2
1
)11(1211≥+++
==+n a n n a a n
n n 且)2(2≥≥n a n
)1(:,0)1ln(2≥<><+n e a x x x n
证明成立对222
≥=a
)2(≥=k k n ),2(2≥≥k a k
22
1
))1(11(1≥+++=+k k k a k k a 1+=k n 22≥≥n a k
对所有)1.()21
11(21)11(221≥+++≤+++
=+n a n n a n n a n n
n n
n n n
n a n n a ln )2111ln(ln 21++++
≤+.21
1ln 2n
n n n a +++
≤n n n n n a a 21)1(1ln ln 1
++≤-+).1(≥n 1-n
即
（Ⅱ）证法二： 由数学归纳法易证成立，故
令
取对数并利用已知不等式得
上式从2到n
求和得
因
故成立.
例 2.已知数列中的相邻两项是关于的方程
的两个根，且
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求数列的前项的和；
1
212
12121)1(1321211ln ln -++++-++⨯+⨯≤
-n n n n a a .2211112
1121
121111)3121(211<-+-=--
⋅+--++-+-=n n n n n ).1(,2ln 2
≥< n n 故2)1(2 ≥->n n n n 对).2()1(1 )1(11(21)11(21≥-+-+<+++ =+n n n a n n a n n a n n n n ).2()) 1(1 1(),2(1 1≥-+ ≤≥+=+n b n n b n a b n n n n 则n n b n n b ln )) 1(1 1ln(ln 1+-+ ≤+).2() 1(1ln ≥-+ ≤n n n b n ) 1(1321211ln ln 21-++⨯+⨯≤ -+n n b b n .11 113121211<--++-+- =n n ).2(3,3ln 1ln .313ln 11122 ≥=<+<=+=+++n e e b b a b n n 故1,,,2,132222121 ≥<<<≥<-<+n e a e a e a n e e a n n 对一切故又显然{}n a 21,2k k a a -x 21 2(1,2,3,)k k a a k -≤=1,3 5 7 ,,a a a a {}n a 2n 2n S （Ⅲ）记 ， 求证： （I ）解：方程的两个根为，， 当时，，所以； 当时，，，所以； 当时，，，所以时； 当时，，，所以． （II ）解： ． （III ）证明：， 所以，． 当时， ， ， 同时， 1|sin | ()(3)2sin n f n n =+(2)(3)(4)(1) 123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++ *15()624 n T n N ≤≤∈2 (32)320k k x k x k -++=13x k =22k x =1k =1 232x x ==，12a =2k =1 6x =24x =34a =3k =1 9x =28x =58a =4k =1 12x =216x =712a =2122n n S a a a =++ +2 (363)(222)n n =++ ++++ +2133222 n n n ++=+-(1) 123456 212111(1)f n n n n T a a a a a a a a +--=+-+ + 112116T a a = =2123411524T a a a a =+=3n ≥(1)3456212111 (1)6f n n n n T a a a a a a +--=+-+ + 3456 21211 11 6n n a a a a a a -⎛⎫+-++ ⎪ ⎝⎭≥2 31111166262 2n ⎛⎫+-++ ⎪ ⎝⎭≥111 6626n =+>(1)5678212511(1)24f n n n n T a a a a a a +--=--+ + 5612 21251 11 24n n a a a a a a -⎛⎫-+++ ⎪ ⎝⎭≤