平面向量基本定理及共线向里之应用(精)

平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念

名称定义备注

平行向

量方向相同或相反的非零向量

0与任一向量平行或共线

共线向

量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量

相等向

量

长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向

量

长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0

2.向量的线性运算

向量

运算

定义法则(或几何意义)运算律

加法求两个向量

和的运算

三角形法则

平行四边形法则

(1)交换律：a＋b＝b＋a.

(2)结合律：

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

减法求a与b的相反向量－

b的和的运算叫做a与

b的差

三角形法则

a－b＝a＋(－b)

数乘求实数λ与

向量a的积

的运算

(1)|λa|＝|λ||a|；

(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向

相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方

向相反；当λ＝0时，λa＝0

λ(μa)＝λμa；

(λ＋μ)a＝λa＋μa；

λ(a＋b)＝λa＋λb

P

C

A

B

Q 【例4】若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →

|，则△ABC 的形 状为________．

【例5】在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →

＝b ， 试用a ，b 表示AG →

.

【课堂巩固】

1． 如图，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+，

AQ ＝23AB ＋1

4

AC ，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为( )

A ．1

5 B ．

45 C ． 14 D ．13

3．如图，在△ABC 中，已知2AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，AH BC ⊥于H ，M 为AH 的中点，若

AM AB BC λμ=+，则λμ+= .

3、向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示.若c =λa +μb (λ,μ∈R),则

λ

μ

=_________.

3、ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m 的值是多少？

A

B

C

H

•M

b

c

a

4、在△ABC 中，过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交AB ，AC 于M ，N 两点，若AM →＝xAB →， AN →＝yAC →

， 求y x +4的最小值。

5、如图，已知2,1,4,OA OB OC OA OB ===与的夹角为1200，OA OC 与的夹角为300，用,OA OB OC 表示.

6、在平面上,12AB AB ⊥,121OB OB ==,12AP AB AB =+.若1

2

OP <

,则OA 的取值范围是 （ ）

A ．50,2⎛⎤

⎥ ⎝⎦ B ．57,22⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ C ．5,22⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ D ．7,22⎛⎤ ⎥ ⎝⎦

7．已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,090ADC ∠=,2,1AD BC ==,P 是腰DC 上的动点，则3PA PB + 的最小值为____________

8．O 是平面上一定点,,,A B C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足(),[0,),||||

AB AC OP OA AB AC λλ=++∈+∞

则P 的轨迹一定通过△ABC 的 A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

B

C

A

O

G

C

O

B

A

9．如右图，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边 界)．设OP →＝mOP 1→＋nOP 2→

，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数m ，n 满足( ) A ．m >0，n >0 B ．m >0，n <0 C ．m <0，n >0 D ．m <0，n <0

8．如图， O 是△ABC 外任一点，若1

()

3OG OA OB OC =++，求证：G 是△ABC 重心

9．已知：如图，点L 、M 、N 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的点，且BL BC ＝l ，CM CA ＝m ，AN

AB ＝n ， 若AL

→＋BM →＋CN →＝0.求证：l ＝m ＝n .

10、在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的点．且

1BF a FC a =-，1DE b

EC b

=

-，若 AC AE AF λμ=+，其中λ，μ∈R ，则λμ+= ．

E

D

A

11、如图所示，OM AB ∥，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且OP xOA yOB =+，则x 的取值范围是 ；当12

x =-时，y 的取值范围是 ．

O

B

M

A

P

12、如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若AD xAB y AC =+， 则x = ， y = ．

13．已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2PA ＋3PB ＋4PC ＝3AB ，则△P AB 与△PBC 的面积的 比值为________．

14.如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ，若AB ＝4，且AD ＝1

4AC ＋λAB (λ∈ R )，则AD 的长为________．

15．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且3a BC ＋4b CA ＋5c AB ＝0，则a ∶b ∶c ＝________.

16、如图，在边长为1的正三角形ABC 中，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，若AE ＝m AB ，AF ＝ n AC ，其中m ，n ∈(0,1)．设EF 的中点为M ，BC 的中点为N . (1)若A ，M ，N 三点共线，求证：m ＝n ； (2)若m ＋n ＝1，求|MN |的最小值．

60︒

45︒

E

D

B

C

A