数列公式总结

数列公式总结

一、 数列的概念与简单的表示法

数列前n 项和: 对于任何一个数列，它的前n 项和Sn 与通项an 都有这样的关系：

an=

二、 等差数列

1.等差数列的概念

（1）等差中项：若三数a A b 、、成等差数列2a b A +⇔=

（2）通项公式：

1(1)()n m a a n d a n m d

=+-=+-

（3）.前n 项和公式：

()()

11122n n n n n a a S na d -+=+

=

2等差数列的.常用性质

（1）若()+∈ +=+N q p n m q p n m ,,,，则q

p n m a a a a +=+；

（2）单调性：

{}n a 的公差为d ，则：

ⅰ）⇔>0d {}n a 为递增数列； ⅱ）⇔<0d {}n a 为递减数列； ⅲ）⇔=0d {}n a 为常数列；

（3）若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-… 是等差数列。

三 、 等比数列

1.等比数列的概念

（1）等比中项： 若三数a b 、G 、成等比数列2

,G ab ⇒=（ab 同号）。反之不一定成立。

（2）.通项公式：11n n m

n m a a q a q --==

（3）.前n 项和公式：()11111n n n a q a a q

S q

q --=

=

--

2.等比数列的常用性质

（1）若()+∈ +=+N q p n m q p n m ,,,，则m n p q

a a a a ⋅=⋅；

（2）单调性：

110,10,01a q a q >><<<或{}

n a ⇒为递增数列； {}110,010,1n a q a q a ><<<>⇒或为递减数列； {}

1n q a =⇒为常数列；

{}

0n q a <⇒为摆动数列；

（3）若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-… 是等比数列.

四、非等差、等比数列前n 项和公式的求法

常见的拆项公式有： ①

111

(1)1

n n n n =-++；

②

1111

();(21)(21)22121

n n n n =--+-+

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：

①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.

一、 等差数列公式及其变形题型分析：

1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若

63S S ＝1

3

，则126S S ＝( )．

A ．310

B ．13

C ．18

D ．1

9

2．在等差数列{a n }中，若a 1 003＋a 1 004＋a 1 005＋a 1 006＝18，则该数列的前2 008项的和为( )．

A ．18 072

B ．3 012

C ．9 036

D ．12 048

3．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( )． A ．15

B ．30

C ．31

D ．64

4．在等差数列{a n }中，3(a 2＋a 6)＋2(a 5＋a 10＋a 15)＝24，则此数列前13项之和为( )．

A ．26

B ．13

C ．52

D ．156

5．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于( )．

A ．160

B ．180

C ．200

D ．220

二、 等比数列公式及其变形题型分析：

1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝4

1

，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )． A ．16(1－4－

n ) B ．16(1－2－

n ) C ．

332(1－4－

n )

D ．

3

32(1－2－

n ) 2．已知等比数列{a n }的前10项和为32，前20项和为56，则它的前30项和为 ． 3．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＝8，a 4＋a 5＋a 6＝－4，则a 13＋a 14＋a 15＝ ，该数列的前15项的和S 15＝ .

4．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为（ ） A ．81 B ．120 C ．168 D ．192

5．12+与12-，两数的等比中项是（ ） A ．1 B ．1- C ．1± D ．

2

1

6．已知一等比数列的前三项依次为33,22,++x x x ，那么2

1

13-是此数列的第（ ）项 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8

7．在等比数列{}n a 中, 若,75,393==a a 则10a =___________. 三、数列求和及正负项的解题思路 1．两个等差数列{}{},

,n n b a ,327......2121++=++++++n n b b b a a a n n 则5

5b a

=___________.

2.求和：)0(),(...)2()1(2

≠-++-+-a n a a a n

3．求和：1

2...321-++++n nx x x

4．已知数列{}n a 的通项公式112+-=n a n ，如果)(N n a b n n ∈=， 求数列{}n b 的前n 项和。

5.在等差数列{}n a 中, ,1.3,3.0125==a a 求2221201918a a a a a ++++的值。

6.求和：)0(),(...)2()1(2

≠-++-+-a n a a a n

7．在等差数列{a n }中，a 1＝－60，a 17＝－12.

(1)求通项a n ；(2)求此数列前30项的绝对值的和.