向量代数与空间解析几何-平面及其方程

例4 求过点 (1,1,1) ，且垂直于平面 x − y + z = 7
和 3 x + 2 y − 12 z + 5 = 0 的平面方程. r 解 设所求平面的法向量：n = ( A, B , C ); r r r r 依题设，知 n ⊥ n1 = (1, − 1, 1), n ⊥ n2 = (3,2, −12) r r r 故可取法向量： i j k r r r n = n1 × n2 = 1 − 1 1 = (10, 15, 5), 3 2 − 12 所求平面方程为： 10( x − 1) + 15( y − 1) + 5( z − 1) = 0, 化简得
Ax0 + By0 + Cz0 − ( Ax1 + By1 + Cz1 ) = , 2 2 2 A + B +C
Q Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0
( P1 ∈ Π )
y
r 设法向量：n = ( A, B , C ), r ( n = A2 + B2 + C 2 ≠ 0)
z
M0
r n
M
平面方程有三种表达形式： 1. 点法式
∀ M ( x , y, z ) ∈ Π uuuuur Q M0 M 在平面Π上 uuuuur r uuuuur r ∴ M0 M ⊥ n ⇒ M0 M ⋅ n = 0 uuuuur Q M0 M = ( x − x0 , y − y0 , z − z0 )
r k = (0,0,1)
M1
M2
1 r 1 r 即 C = n , 从而 B = − n 2 2
1 r n 再由 n = A + B + C , 得 A = ± 2 ∴ 所求平面方程为： r 1 r 1r 1r ± n x − n y + n ( z − 1) = 0 (Q n ≠ 0 ) 2 2 2
−1 −1 1 2 Q = = = , 两平面重合 −4 2 2 −2
例8 求过点 M1 (0, −1,0), M 2 (0,0,1)，且与xoy面
成 60 角的平面.
o
r n
60o
解 所求平面的法向量为： r n = ( A, B , C ), ⎯ ⎯→ r Q n ⊥ M 1 M 2 = (0, 1, 1) ⎯→ r ⎯ ∴ n ⋅ M 1 M 2 = 0, B + C = 0 r∧ r 又 Q ( n , k ) = 60o r r 1 n⋅k C o = cos 60 = r r = r ∴ 2 nk n
所求平面方程为 14( x − 2) + 9( y + 1) − ( z − 4) = 0, 化简得 14 x + 9 y − z − 15 = 0.
(方法2) 设M ( x , y , z )是所求平面上的任意一点， uuu r 则 AB = ( −3, 4, −6) uuu r AC = ( −2, 3, −1) uuuu r AM = ( x − 2, y + 1, z − 4) 共面，故所求平面方程为 x − 2 y+1 z −4 uuuu uuu uuu r r r [ AM AB AC ] = − 3 4 − 6 = 0 − 2 3 −1
(3) Π1 与 Π 2重合
A1 B1 C1 D1 ⇐⇒ = = = . A2 B2 C 2 D2
(三) 点到平面的距离
设 P0 ( x0 , y0 , z 0 )是平面 Ax + By + Cz + D = 0 外的一点，点 P0 到该平面的距离：
d=
| Ax0 + By0 + Cz0 + D | A2 + B 2 + C 2
r n1 = ( 4 , − 1 , 2 )
=wk.baidu.com
r i 4 6
r j −1 −3
r k 2 = ( 4 , 4 , − 6 ) = 2( 2 , 2 , − 3 ) 2
所求平面方程： 2 ⋅ ( x − 0) + 2 ⋅ ( y − 0) − 3 ⋅ (z − 0) = 0
即
2 x + 2 y − 3z = 0
将三点坐标代入得
⎧aA + D = 0, ⎪ ⎨bB + D = 0, ⎪cC + D = 0, ⎩
D ⇒ A=− , a
D D B=− , C=− . b c
代入所设方程得
x y z + + = 1 —— 平面的截距式方程 a b c
x 轴上截距
y 轴上截距
z 轴上截距
例6 求平行于平面 6x + y + 6z + 5 = 0 而与三个坐 标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.
例3 设平面过原点及点( 6,−3, 2) ，且与平面
4 x − y + 2 z = 8 垂直，求此平面方程.
解 (方法1) 设平面为 Ax + By + Cz + D = 0, r 法向量 : n = ( A, B , C ) 由平面过原点知 D = 0,
由平面过点 ( 6,−3, 2) 知
6 A − 3 B + 2C = 0
解
y + 3z − 1 = 0 − 4 x + 2 y − 2z − 1 = 0 − 4 x + 2 y + 2z − 2 = 0
| −1 × 0 + 2 × 1 − 1 × 3 | (1) cosθ = 2 2 2 2 2 ( −1) + 2 + ( −1) ⋅ 1 + 3
1 1 cosθ = 两平面相交，夹角 θ = arccos . 60 60
x y z 解 设平面为 + + = 1, a b c 1 1 QV = 1, ∴ ⋅ abc = 1, 3 2
由所求平面与已知平面平行得
z
o
x
y
a = b = c, （向量平行的充要条件） 6 1 6
1
1
1
1 1 1 = = , 化简得 6a b 6c
1 1 1 =t 令 = = 6a b 6c
2 2 2 2 2
r n1
Π2
(0 ≤ θ ≤
π
)
θ
θ
Π1
A1 + B1 + C1 ⋅ A2 + B2 + C 2
2
—— 两平面夹角余弦公式
两平面位置特征：
(1) Π 1⊥ Π 2 ⇐⇒ A1 A2 + B1 B2 + C1C 2 = 0;
(2) Π1 // Π2
A1 B1 C1 ⇐⇒ = = . A2 B2 C 2
x
Π
y
o
∴ A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 (3.1)
—— 平面的点法式方程 注 确定平面方程的二 要素： r ① 法向量：n = ( A, B , C ); (可不唯一) ② 平面上的一定点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ). 2. 一般式 三元一次方程 Ax + By + Cz + D = 0
2 x + 3 y + z − 6 = 0.
例5 设平面与 x , y , z 三轴分别交于 P (a ,0 ,0 ) 、
b c Q ( 0 , b ,0 ) 、 ( 0 ,0 , c（其中 a ≠ 0 ， ≠ 0 ， ≠ 0 ） R ) ，
求此平面方程 .
解 设平面为 Ax + By + Cz + D = 0,
r r Q n ⊥ n1 = (4,−1,2) ∴ 4 A − B + 2C = 0 2 ⇒ A = B = − C, 3 所求平面方程为 2 x + 2 y − 3 z = 0.
r n
(方法2) 点P(6,-3,2)，O(0,0,0) 法向量：
⎯→ r r ⎯ n = n1 × OP
O
• P(6,-3,2)
⎧ D = 0, 平面通过 x 轴； 即 A = 0, ⎨ ⎩ D ≠ 0, 平面平行于 x 轴；
类似地，可讨论平面平行于y 轴、z 轴的情形. (3) 平面Π平行于坐标面； 平面Π平行于 xoy 坐标面： r r 法向量 n = ( A, B , C ) // k = (0, 0, 1) r r ∴ A = B = 0, n = Ck = (0, 0, C ) (C ≠ 0) ∴ Π : Cz + D = 0, 或 z = c . 类似地，可讨论平面平行于其他坐标面的情形.
.
—— 点到平面距离公式
二、典型例题
例1 求过三点 A( 2,−1,4)、 B( −1,3,−2) 和 C ( 0,2,3)
的平面方程. uuu r 解 (方法1) AB = ( −3, 4, −6) uuu r AC = ( −2, 3, − 1) r r r i j k r r r uuu uuu 取 n = AB × AC = − 3 4 − 6 = (14, 9, −1), − 2 3 −1
r
2
2
2
即
2x − y + z − 1 = 0
或 − 2x − y + z − 1 = 0
例9 设 P0 ( x 0 , y0 , z 0 )是平面 Ax + By + Cz + D = 0
外的一点，求 P0 到平面的距离.
解
∀ P1 ( x1 , y1 , z1 ) ∈ Π
d = Prjn P1 P0
第七章
第三节 平面及其方程
一、主要内容 二、典型例题 三、同步练习 四、同步练习解答
一、主要内容
(一) 平面方程
设有平面 Π ， M0 ( x0 , y0 , z0 ) ∈ Π 点 z r 如果一非零向量垂直于一 n 平面，这向量就叫做该平 M0 Π 面的法向量． M r o 平面 Π 的法向量 n 的 特征： r r x ① n≠0 r ② n⊥Π
( A2 + B2 + C 2 ≠ 0) (3.2)
—— 平面的一般式方程
3. 截距式
x y z + + =1 a b c
x 轴上截距
y 轴上截距
z 轴上截距
(二) 两平面的夹角 定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的 夹角.（通常取锐角）
r n2
r n1
Π2
Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0,
r n1 = ( A1 , B1 , C1 ),
Π1
θ
θ
r n2 = ( A2 , B2 , C 2 ),
⎧ r ∧r r ∧r ( n1 , n2 )为锐角 ⎪( n1 , n2 ), r θ =⎨ n2 ∧r ∧ r r r ⎪π − ( n , n )， ( n , n )为钝角 ⎩ 1 2 1 2 2 按照两向量夹角余弦公式有 r ∧r cos θ = cos( n1 , n2 ) = | A1 A2 + B1 B2 + C1C 2 |
即 14( x − 2) + 9( y + 1) − ( z − 4) = 0, 亦即 14 x + 9 y − z − 15 = 0.
例2 一些特殊平面方程 (1) 平面Π 通过坐标原点； 由 O (0, 0, 0)满 足 (3.2), 得 D = 0, ∴ Π : Ax + By + Cz = 0 (2) 平面Π平行于坐标轴； 若 平 面 Π // x轴 ， 则 r r 法向量 n = ( A, B , C ) ⊥ i = (1, 0, 0) r r ∴ n ⋅ i = 0, A = 0 (缺少x项) ∴ Π : By + Cz + D = 0
⎯ ⎯→
r n
⋅ P0 P1 ⋅
N
Π
P1 P0 ⋅ n Prjn P1 P0 = n
⎯ ⎯→
P1 P0 = ( x0 − x1 , y0 − y1 , z0 − z1 )
⎯ ⎯→
r n = ( A, B , C )
P1 P0 ⋅ n Prjn P1 P0 = n
⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→
A( x0 − x1 ) + B( y0 − y1 ) + C ( z0 − z1 ) = A2 + B 2 + C 2
( 2 ) 2 x − y + z − 1 = 0, − 4 x + 2 y − 2 z − 1 = 0
D1 − 1 −1 1 2 ≠ = = 1, Q = = − 4 2 − 2 D2 − 1
∴ 两平面平行但不重合．
( 3)
2 x − y − z + 1 = 0, − 4 x + 2 y + 2 z − 2 = 0
1 1 1 ⇒a= , b= , c= , 6t 6t t
代入体积式
1 1 1 1 1 ∴1 = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ t=± , 6 6t t 6t 6
∴ a = ±1,
b = ± 6,
c = ±1,
所求平面方程为 6 x + y + 6 z = ±6.
例7 研究以下各组里两平面的位置关系：
(1) − x + 2 y − z + 1 = 0, ( 2 ) 2 x − y + z − 1 = 0, ( 3 ) 2 x − y − z + 1 = 0,