2020届广东省六校高三第二次联考数学试题

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2020届广东省六校高三第二次联考数学试题 (1)

衡点，位于地月连线的延长线上。设地球的质量为 M1 ，月球质量为 M 2 ，地月距离为 R ， L2 点到月
球的距离为 r
，根据牛顿运动定律和万有引力定律， r
满足方程
M1 (R r)2
M2 r2

(R

r)
M1 R3
.
设
= r R
。由于
的值很小，因此在近似计算中 3 3 +3 4 5 （1 ）2
2020 届广东六校高三第二次联考试题
理科数学
本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的. 1. 已知集合 P {x | x2 2x 3 0}, Q {x | 2 x 1} ，则 P Q ( )
A．x 2 x 3
B．x x 3
C．x 1 x 2
D．x x 2
2．复数 z 满足 2 3i zi （其中 i 是虚数单位），则 z 的虚部为
A．2
B． 3
C．3
3．在 ABC 中， AB 3 ， AC 1 ， B 30 ，则 A
其中所有正确结论的编号是(
)
A. ①③
B. ②③
C.①②
D. ③④
10. 2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一
重大成就, 实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系。为解决这
个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L2 点的轨道运行， L2 点是平

2020年广东省“六校联盟”高三上第二次联考数学试卷文科解析版

2015-2016学年广东省“六校联盟”高三（上）第二次联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，2，3，5}，集合A∩B={2，5}，A∪B={1，2，3，4，5，6}，则集合B=（）A．{2，5}B．[2，4，5}C．{2，5，6}D．{2，4，5，6}2．（5分）已知sin（﹣α）=，则sin2α的值为（）A．B．C．D．﹣3．（5分）设α、β为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l∥m；②若l⊥β，则α⊥β．那么（）A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①②都是真命题D．①②都是假命题4．（5分）已知A（﹣1，1）、B（x﹣1，2x），若向量与（O为坐标原点）的夹角为锐角，则实数x 的取值范围是（）A．（﹣1，）∪（，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（﹣1，3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）5．（5分）各项都是正数的等比数列{a n}，若a2，a3，2a1成等差数列，则的值为（）A．2 B．2或﹣1 C．D．或﹣16．（5分）已知函数f（x）是偶函数，当0≤x1＜x2时，＞0恒成立，设a=f（﹣2），b=f（1），c=f（3），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c7．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上相邻两个最高点的距离为π．若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称．则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）=2sin（x+）B．f（x）=2sin（x+）C．f（x）=2sin（2x+） D．f（x）=2sin（2x+）8．（5分）给出如下四个判断：①若“p或q”为假命题，则p、q中至多有一个为假命题；②命题“若a＞b，则log2a＞log2b”的否命题为“若a≤b，则log2a≤log2b”；③对命题“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1”；④在△ABC中，“sinA＞”是“∠A＞”的充分不必要条件．其中不正确的判断的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．09．（5分）已知点P为△ABC所在平面上的一点，且，其中t为实数，若点P落在△ABC 的内部，则t的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3π+2﹣1 B．3π+2C．2π+2﹣1 D．2π+211．（5分）定义运算法则如下：a⊕b=+b﹣2，a⊗b=lga2﹣lg；若M=27⊕，N=⊗25，则M+N=（）A．2 B．3 C．4 D．512．（5分）已知数列{a n}满足a1=a，a n+1=，若a3=a1成立，则a在（0，1]内的可能值有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）已知=（2，1），=（﹣1，﹣3），若（+λ）⊥，则λ=．14．（5分）若曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x﹣y+1=0，则点P的坐标是．15．（5分）若实数x，y满足，且x2+y2的最大值等于25，则正实数a=．16．（5分）2015年10月4日凌晨3点，代号为“彩虹”的台风中心位于A港口的东南方向B处，且台风中心B与A港口的距离为400千米．预计台风中心将以40千米/时的速度向正北方向移动，离台风中心500千米的范围都会受到台风影响，则A港口从受到台风影响到影响结束，将持续小时．三、解答题：第17到21题为必做题，从第22、23、24三个小题中选做一题，满分60分．17．（12分）在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的三边，设向量=（cosA，sinA），=（cosA，﹣sinA），且与的夹角为．（1）求角A的值；（2）若a=，设内角B为x，△ABC的周长为y，求y=f（x）的最大值．18．（12分）已知：数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=n，n∈N*（1）求数列{a n}的通项；（2）设b n=log3，求数列{}的前n项和S n．19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，P为线段AD1上的动点，（1）当P为AD1中点时，求证：PD⊥平面ABC1D1（2）求证：无论P在何处，三棱锥D﹣PBC1的体积恒为定值；并求出这个定值．20．（12分）已知函数f（x）=a﹣（x∈R）为奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断函数f（x）的单调性；（3）若对任意的t∈[﹣1，]，不等式f（t2+2）+f（t2﹣tk）＞0恒成立，求实数k的取值范围．21．（12分）设函数f（x）=lnx+，m∈R（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；（2）记g（x）=f′（x）﹣+m，试讨论是否存在x0∈（0，）∪（，+∞），使得g（x0）=f（1）成立．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，已知AB是圆O的直径，直线CD与圆O相切于点C，AC平分∠DAB，AD与圆O 相交于点E（1）求证：AD⊥CD（2）若AE=3，CD=2，求OC的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4sinθ（1）直线l的参数方程化为极坐标方程；（2）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|﹣1，g=﹣x+a．（1）求不等式f（x）≥0的解集；（2）若方程f（x）=g（x）有三个不同的解，求a的取值范围．2015-2016学年广东省“六校联盟”高三（上）第二次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2015秋•广东月考）设集合A={1，2，3，5}，集合A∩B={2，5}，A∪B={1，2，3，4，5，6}，则集合B=（）A．{2，5}B．[2，4，5}C．{2，5，6}D．{2，4，5，6}【分析】根据交集和并集的定义即可求出，【解答】解：∵设集合A={1，2，3，5}，集合A∩B={2，5}，A∪B={1，2，3，4，5，6}，∴B={2，4，5，6}，故选：D．【点评】本题主要考查集合的交集并集，属于基础题．2．（5分）（2015秋•贺州月考）已知sin（﹣α）=，则sin2α的值为（）A．B．C．D．﹣【分析】直接利用两角和一次的正弦函数化简，利用平方求解即可．【解答】解：sin（﹣α）=，可得（cosx﹣sinx）=，即cosx﹣sinx=，两边平方可得1﹣sin2x=，sin2α=．故选：B．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，考查计算能力．3．（5分）（2015秋•广东月考）设α、β为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l∥m；②若l⊥β，则α⊥β．那么（）A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①②都是真命题D．①②都是假命题【分析】本题考查的知识点是空间中线面关系，线线关系和面面关系，我们根据空间空间中线面关系的判定及性质定理逐个分析题目中的两个结论，即可求出答案．【解答】解：若α∥β，则l与m可能平行也可能异面，故①为假命题；若l⊥β，l⊂α时，根据平面与平面垂直的判定定理可得α⊥β，故②为真命题；故选：B．【点评】要证明一个结论是正确的，我们要经过严谨的论证，要找到能充分说明问题的相关公理、定理、性质进行说明；但要证明一个结论是错误的，我们只要举出反例即可．4．（5分）（2015秋•贺州月考）已知A（﹣1，1）、B（x﹣1，2x），若向量与（O为坐标原点）的夹角为锐角，则实数x的取值范围是（）A．（﹣1，）∪（，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（﹣1，3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【分析】由条件利用两个向量的夹角公式，两个向量共线的性质，可得1﹣x+2x＞0，且≠，由此求得x的范围．【解答】解：若向量与（O为坐标原点）的夹角为锐角，则＞0 且向量与不共线，∴1﹣x+2x＞0，且≠，求得x＞﹣1，且x≠，故选：A．【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式，两个向量共线的性质，属于基础题．5．（5分）（2016春•莆田校级期末）各项都是正数的等比数列{a n}，若a2，a3，2a1成等差数列，则的值为（）A．2 B．2或﹣1 C．D．或﹣1【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由题意得q＞0，根据条件和等差中项的性质列出方程求出q的值，利用等比数列的通项公式化简即可得答案．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，因为a2，a3，2a1成等差数列，所以2×a3=a2+2a1，则，即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），所以===，故选：C．【点评】本题考查等比数列的通项公式，以及等差中项的性质，考查整体思想，方程思想，属于中档题．6．（5分）（2015秋•广东月考）已知函数f（x）是偶函数，当0≤x1＜x2时，＞0恒成立，设a=f（﹣2），b=f（1），c=f（3），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c【分析】根据条件先判断函数在[0，+∞）上是增函数，结合函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：当0≤x1＜x2时，＞0恒成立，∴此时函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，∵函数f（x）是偶函数，∴a=f（﹣2）=f（2），b=f（1），c=f（3），则f（1）＜f（2）＜f（3），即f（1）＜f（﹣2）＜f（3），则b＜a＜c，故选：D【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据条件判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化是解决本题的关键．7．（5分）（2016•岳阳校级模拟）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上相邻两个最高点的距离为π．若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称．则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）=2sin（x+）B．f（x）=2sin（x+）C．f（x）=2sin（2x+） D．f（x）=2sin（2x+）【分析】根据函数的图象求出函数的周期，利用函数的对称性求出ω和φ的值即可得到结论．【解答】解：∵函数的图象上相邻两个最高点的距离为π，∴函数周期T=π，即T==π，即ω=2，即f（x）=2sin（2x+φ），若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，得f（x）=2sin[2（x+）+φ）]=2sin（2x++φ），若图象关于y轴对称．则+φ=+kπ，即φ=+kπ，k∈Z，∵0＜φ＜π，∴当k=0时，φ=，即f（x）=2sin（2x+），故选：C．【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，根据三角函数的性质求出ω和φ的值是解决本题的关键．8．（5分）（2015秋•广东月考）给出如下四个判断：①若“p或q”为假命题，则p、q中至多有一个为假命题；②命题“若a＞b，则log2a＞log2b”的否命题为“若a≤b，则log2a≤log2b”；③对命题“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1”；④在△ABC中，“sinA＞”是“∠A＞”的充分不必要条件．其中不正确的判断的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0【分析】根据“p或q”的真假性判断①是错误的；根据原命题与它的否命题的关系得出②是正确的；根据全称命题的否定是特称命题可判断③是错误的；根据sinA＞时∠A＞成立，充分性成立；∠A＞时sinA＞不一定成立，必要性不成立；得出④正确．【解答】解：对于①，若“p或q”为假命题，则p、q中两个都是假命题，故①错误；对于②，根据原命题与它的否命题的关系知，“若a＞b，则log2a＞log2b”的否命题为“若a≤b，则log2a≤log2b”，故②正确；对于③，命题“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1＜1”，故③错误；对于④，△ABC中，当sinA＞时，＞∠A＞，即∠A＞成立，是充分条件；当∠A＞时，不能得出sinA＞，即不是必要条件；综上，“sinA＞”是“∠A＞”的充分不必要条件，故④正确．所以，不正确的判断是①③，共2个．故选：B．【点评】本题利用命题真假的判断考查了简易逻辑的应用问题，是综合性题目．9．（5分）（2011•浙江模拟）已知点P为△ABC所在平面上的一点，且，其中t为实数，若点P落在△ABC的内部，则t的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】用向量的加法法则将条件中的向量，都用以A为起点的向量表示得到，画出图形，结合点P落在△ABC的内部从而得到选项．【解答】解：在AB上取一点D，使得，在AC上取一点E，使得：．则由向量的加法的平行四边形法则得：，由图可知，若点P落在△ABC的内部，则．故选D．【点评】本题考查向量的线性运算性质及几何意义，向量的基本运算，定比分点中定比的范围等等10．（5分）（2015秋•广东月考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3π+2﹣1 B．3π+2C．2π+2﹣1 D．2π+2【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个半球和一个三棱锥形成的组合体，分别计算各个面的面积，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个半球和一个三棱锥形成的组合体，其直观图如下图所示：半球的曲面面积为：2π，半球的平面面积为：π﹣×2×1=π﹣1，棱锥侧面V AC和VBC的面积均为：=，棱锥侧面V AB的面积为：=，故组合体的表面积为：3π+2﹣1，故选：A【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，根据三视图判断出几何体的形状是解答的关键．11．（5分）（2015秋•广东月考）定义运算法则如下：a⊕b=+b﹣2，a⊗b=lga2﹣lg；若M=27⊕，N=⊗25，则M+N=（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用两个新的运算法则及其指数与对数的运算法则即可得出．【解答】解：M=27⊕=+（）﹣2=3+2=5，N=⊗25=lg（）2﹣lg=﹣lg2﹣lg5=﹣1，∴M+N=5﹣1=4，故选：C【点评】本题考查了新的运算法则、及其指数与对数的运算法则，属于基础题．12．（5分）（2015秋•广东月考）已知数列{a n}满足a1=a，a n+1=，若a3=a1成立，则a在（0，1]内的可能值有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据题意对a进行分类讨论，分别根据递推公式和条件列出方程，求出a在（0，1]内的所有值．【解答】解：由题意知，a1=a∈（0，1]，a2=2a∈（0，2]，①当a∈（0，]时，则a2=2a∈（0，1]，所以a3=2a2=4a，由a3=a1得，4a=a，得a=0（舍去）；②当a∈（，1]时，a2=2a∈（1，2]，所以a3==，由a3=a1得，=a，得a=1或a=（舍去），综上得，a=1，即a在（0，1]内的可能值有1个，故选：D．【点评】本题考查数列的递推式的应用，以及分类讨论思想、方程思想的运用，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）（2015秋•贺州月考）已知=（2，1），=（﹣1，﹣3），若（+λ）⊥，则λ=．【分析】求出向量+λ，然后利用垂直条件，求解即可．【解答】解：=（2，1），=（﹣1，﹣3），+λ=（2﹣λ，1﹣3λ）．（+λ）⊥，可得λ﹣2+9λ﹣3=0，解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查斜率的数量积的应用，考查计算能力．14．（5分）（2014•江西）若曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x﹣y+1=0，则点P的坐标是（e，e）．【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，结合直线平行的性质即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），函数的导数为f′（x）=lnx+x=1+lnx，直线2x﹣y+1=0的斜率k=2，∵曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x﹣y+1=0，∴f′（x）=1+lnx=2，即lnx=1，解得x=e，此时y=elne=e，故点P的坐标是（e，e），故答案为：（e，e）．【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及直线平行的性质，要求熟练掌握导数的几何意义．15．（5分）（2015秋•广东月考）若实数x，y满足，且x2+y2的最大值等于25，则正实数a=1．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用x2+y2的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，x2+y2的几何意义表示为点（x，y）到原点（0，0）的距离的平方，∵图象可知，可行域中的点B（，3）离（0，0）最远，故x2+y2的最大值为（）2+32=25，即（）2=16，即=4或﹣4，解得a=1或a=﹣（负值舍去），故答案为：1【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用x2+y2的几何意义结合数形结合是解决本题的关键．16．（5分）（2015秋•广东月考）2015年10月4日凌晨3点，代号为“彩虹”的台风中心位于A港口的东南方向B处，且台风中心B与A港口的距离为400千米．预计台风中心将以40千米/时的速度向正北方向移动，离台风中心500千米的范围都会受到台风影响，则A港口从受到台风影响到影响结束，将持续15小时．【分析】过A作AC垂直BC，垂足为点C，则BC=AC=400千米，在BC线上取点D使得AD=500千米进而根据勾股定理求得DC，进而乘以2，再除以速度即是A港口受到台风影响的时间．【解答】解：由题意AB=400千米，过A作AC垂直BC，垂足为点C，则BC=AC=400千米台风中心500千米的范围都会受到台风影响所以在BC线上取点D使得AD=500千米因为AC=400千米，AD=500千米∠DCA是直角根据勾股定理DC=300千米因为500千米的范围内都会受到台风影响所以影响距离是300×2=600千米T==15（小时）故答案为15．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了考生运用所学知识解决实际问题的能力．三、解答题：第17到21题为必做题，从第22、23、24三个小题中选做一题，满分60分．17．（12分）（2015秋•贺州月考）在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的三边，设向量=（cosA，sinA），=（cosA，﹣sinA），且与的夹角为．（1）求角A的值；（2）若a=，设内角B为x，△ABC的周长为y，求y=f（x）的最大值．【分析】（1）由题知：||=||=1，cos==cos2A﹣sin2A，由此能求出A．（2）由正弦定理，得b=2sinx，c=2sin（120°﹣x），（x＜120°），从而y=，利用导数性质能求出y=f（x）的最大值．【解答】解：（1）∵向量=（cosA，sinA），=（cosA，﹣sinA），∴由题知：||=||=1，∵与的夹角为，∴cos==cos2A﹣sin2A，即cos2A=﹣，又∵0＜A＜，0＜2A＜π，∴2A=，故A=．（2）由正弦定理，得==2，b=2sinx，c=2sin（120°﹣x），（x＜120°），∴y=y′=2cosx﹣2cos（120°﹣x），令y′=2cosx﹣2cos（120°﹣x）=0，得x=60°，∴x=60°时，y=f（x）取最大值y max==3．【点评】本题考查角的大小的求法，考查三角形周长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．18．（12分）（2015秋•广东月考）已知：数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=n，n∈N*（1）求数列{a n}的通项；（2）设b n=log3，求数列{}的前n项和S n．【分析】（1）利用递推关系即可得出．（2）b n=log3=n，=n•3n﹣1．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）当n≥2时，数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=n，n∈N*，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2a n﹣1=n﹣1，两式作差得：3n﹣1a n=1，∴a n=．当n=1时，a1=1也满足上式．∴a n=（n∈N*）．（2）b n=log3=n，=n•3n﹣1．数列{}的前n项和S n=1+2×3+3×32+…+n•3n﹣1，3S n=3+2×32+…+（n﹣1）•3n﹣1+n•3n，∴﹣2S n=1+3+32+…+3n﹣1﹣n•3n=﹣n•3n，∴S n=﹣+．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2015秋•沈阳校级月考）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，P为线段AD1上的动点，（1）当P为AD1中点时，求证：PD⊥平面ABC1D1（2）求证：无论P在何处，三棱锥D﹣PBC1的体积恒为定值；并求出这个定值．【分析】（1）由正方形ADD1A1可得PD⊥AD1，由AB⊥平面ADD1A1可得AB⊥PD，故而PD⊥平面ABC1D1；（2）三棱锥P﹣BDC1的底面积为定值，由AD1∥BC1可知AD1∥平面BDC1，故P到平面BDC1的距离为定值，当P与A重合时，求出三棱锥C1﹣ABD的体积即可．【解答】证明：（1）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，PD⊂平面AA1D1D，∴AB⊥PD．∵AD=AA1，∴四边形AA1D1D为正方形，P为对角线AD1的中点，∴PD⊥AD1，又∵AB∩AD1=A，AB⊂平面ABC1D1，AD1⊂平面ABC1D1，∴PD⊥平面ABC1D1．（2）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AD1∥BC1，BC1⊂平面BDC1，AD1⊄平面BDC1，∴AD1∥平面BDC1，∵P为线段AD1上的点，∴点P到平面BDC1的距离为定值．而三角形BDC1的面积为定值，∴三棱锥P﹣BDC1的体积为定值，即三棱锥D﹣PBC1的体积为定值．V=V=V=V==．【点评】本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．20．（12分）（2015秋•广东月考）已知函数f（x）=a﹣（x∈R）为奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断函数f（x）的单调性；（3）若对任意的t∈[﹣1，]，不等式f（t2+2）+f（t2﹣tk）＞0恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）利用函数定义取到R的奇函数的性质：f（0）=0求解实数a的值．（2）利用定义法证明其单调性．（3）利用（2）函数的单调性，将不等式f（t2+2）+f（t2﹣tk）＞0恒成立等价变换后求解实数k的取值范围．【解答】解：（1）由题意：∵函数f（x）=a﹣是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，即，解得：a=1．当a=1时，f（x）=1﹣=f（﹣x）═==﹣=﹣f（x），∴f（x）是奇函数．故得a=1满足题意．所以：a=1．（2）由（1）可知f（x）=；设x1＜x2，那么：f（x1）﹣f（x2）=﹣=∵x1＜x2，∴所以：f（x1）﹣f（x2）＜0；故，函数f（x）为R上的增函数．（3）由（2）知：函数f（x）为R上的增函数，且f（x）是奇函数．从而不等式：f（t2+2）+f（t2﹣tk）＞0等价于f（t2+2）＞f（﹣t2+tk），即得：t2+2＞﹣t2+tk．∴2t2﹣tk+2＞0对任意于t∈[﹣1，]，恒成立．记g（t）=2t2﹣tk+2，开口向上，对称轴x=，则g（t）在∈[﹣1，]上的最小值大于0．即恒成立．①当＜﹣1时，即k＜﹣4时，g（t）=2t2﹣tk+2在[﹣1，]上是单调增函数，g（t）min=g（﹣1）=4+k＞0，解得：k＞﹣4，故得k无解，②当﹣1≤时，即﹣4≤k≤2时，g（t）min=g（）=2﹣＞0，解得：4＞k＞﹣4，故得﹣4＜k≤2．③当＞时，即k＞2时，g（t）=2t2﹣tk+2在[﹣1，]上是单调减函数，g（t）min=g（）=＞0，解得：k＜5，故得2＜k＜5，综上所述：实数k的取值范围是{k|﹣4＜k＜5}．【点评】本题考查了函数的性质之奇函数的运用，单调性的证明以及恒等式的问题的转化为二次函数最值的讨论．属于难题．21．（12分）（2015秋•贺州月考）设函数f（x）=lnx+，m∈R（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；（2）记g（x）=f′（x）﹣+m，试讨论是否存在x0∈（0，）∪（，+∞），使得g（x0）=f（1）成立．【分析】（1）求出函数的导数，求得单调区间和极值，可得最小值；（2）假设存在x0∈（0，）∪（，+∞），使得g（x0）=f（1）成立．则方程g（x）=f（1）在区间（0，）∪（，+∞）上有解，求出m=﹣x3+x，设φ（x）=﹣x3+x，求出导数，求得x=1是φ（x）的最大值点，求出最大值，画出图象，讨论m的范围，即可得到所求的结论．【解答】解：（1）由题设，当m=e时，f（x）=lnx+，其定义域为（0，+∞），可得f′（x）=﹣=即有当0＜x＜e时，f′（x）＜0，此时f（x）在（0，e）上单调递减；当x＞e时，f′（x）＞0，此时f（x）在（e，+∞）上单调递增；则当x=e时，f（x）取得最小值f（e）=lne+1=2；（2）假设存在x0∈（0，）∪（，+∞），使得g（x0）=f（1）成立．则方程g（x）=f（1）在区间（0，）∪（，+∞）上有解，由g（x）=f′（x）﹣x+m=﹣﹣x+m（x＞0），f（1）=m，方程g（x）=f（1）可化为m=﹣x3+x，设φ（x）=﹣x3+x，则φ′（x）=﹣x2+1=﹣（x﹣1）（x+1），当0＜x＜1时，φ′（x）＞0，此时φ（x）在（0，1）上单调递增；当x＞1时，φ′（x）＜0，此时φ（x）在（1，+∞）上单调递减；所以x=1是φ（x）的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是φ（x）的最大值点，φ（x）的最大值为φ（1）=﹣+1=又φ（0）=φ（）=0，结合y=φ（x）的图象，可知①当m＞或m=0时，方程g（x）=f（1）在区间（0，）∪（，+∞）上无解；②当0＜m＜时，方程g（x）=f（1）在区间（0，）∪（，+∞）上有两解；③当m＜0或m=时，方程g（x）=f（1）在区间（0，）∪（，+∞）上有一个解．综上所述，当m＞或m=0时，不存在x0∈（0，）∪（，+∞），使得g（x0）=f（1）；当m≤且m≠0时，存在x0∈（0，）∪（，+∞），使得g（x0）=f（1）．【点评】本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查存在性问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法和数形结合的思想，考查运算能力，属于中档题．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）（2015秋•广东月考）如图，已知AB是圆O的直径，直线CD与圆O相切于点C，AC平分∠DAB，AD与圆O相交于点E（1）求证：AD⊥CD（2）若AE=3，CD=2，求OC的长．【分析】（1）连接BC．由直线CD与⊙O相切于点C，可得∠DCA=∠B．再利用角平分线的性质可得：△ACD∽△ABC，可得∠ADC=∠ACB，即可证明．（2）利用切割线定理得：DA．由（1）知：AD⊥CD，可得AC，又由（1）知：△ACD∽△ABC，，JK DC．【解答】（1）证明：连接BC．∵直线CD与⊙O相切于点C，∴∠DCA=∠B．∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB．故△ACD∽△ABC，∴∠ADC=∠ACB．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠ADC=90°，即AD⊥CD．（2）解：由切割线定理得：DA×DE=DC2，即DA×（DA﹣3）=4，解得：DA=4．由（1）知：AD⊥CD，∴AC2=AD2+CD2=20，又由（1）知：△ACD∽△ABC，∴，∴AB==5．∴OC==．【点评】本题考查了圆的切线的性质、切割线定理、相似三角形的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015秋•广东月考）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4sinθ（1）直线l的参数方程化为极坐标方程；（2）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【分析】（1）直线l的参数方程化为普通方程，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化为极坐标方程；（2）求出曲线C的化为普通方程，与直线方程联立，求得直角坐标方程，再求直线l与曲线C交点的极坐标．【解答】解：（1）将直线l的参数方程（t为参数），消去参数t，化为普通方程：x﹣y+2=0；…（2分）将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上述方程得：ρcosθ﹣ρsinθ+2=0．…（4分）（2）将曲线C的化为普通方程得：x2+y2﹣4y=0．…（6分）由直线与圆方程联立解得：或…（8分）所以直线l与曲线C交点的极坐标分别为：（2，），（2，）．…（10分）【点评】本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查学生的计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．（2015秋•广东月考）设函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|﹣1，g=﹣x+a．（1）求不等式f（x）≥0的解集；（2）若方程f（x）=g（x）有三个不同的解，求a的取值范围．【分析】（1）化简函数的解析式，分类讨论求得x的取值范围．（2）分类讨论求得方程f（x）=g（x）的解集，结合x的范围，求得对应的a的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|﹣1=，当x≥2时，f（x）=﹣4，不合题意；当﹣1≤x＜2时，f（x）=﹣2x≥0，解得﹣1≤x≤0；当x＜﹣1时，f（x）=2＞0，符合题意．综上，f（x）≥0的解集为（﹣∞，0]．（2）当x≥2时，方程f（x）=g（x），即﹣4=﹣x+a，解得：x=a+4；当﹣1≤x＜2 时，方程f（x）=g（x），即﹣2x=﹣x+a，解得：x=﹣a；当x＜﹣1时，方程f（x）=g（x），即2=﹣x+a，解得：x=a﹣2．使方程方程f（x）=g（x）有三个不同的解，则，解得：﹣2＜a＜1．所以a的取值范围是（﹣2，1）．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，求方程的解，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2020届广东省六校高三第二次(线上)联考数学(理)试题Word版含解析

2020届广东省六校高三第二次(线上）联考数学（理）试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|230}, {|21}x P x x x Q x =--<=>，则P Q =I ( )A. {|1}x x >-B. {|1}x x <-C. {|03}x x <<D. {|10}x x -<<2. “00m n >>且”是“0mn >”成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.不充分不必要条件3. 已知0.230.3log 0.3, log 0.2, 0.3a b c ===，则( )A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c a b <<4. 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )5. 函数33()cos ||x x f x x x -=+在[],ππ-的图像大致为A. B. C. D.6. 已知非零向量a,b 满足1,2==a b 且(2()-⊥+a b)a b ，则a 与b 的夹角为A. 6πB. 4πC. 3πD. 2π7. 已知函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=-，则 A.()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 B.()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 C.()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 D.()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 8. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若已知391, 9a S =-=，则A. 310n a n =-B. 2n a n =-C. 21722n S n n =- D. 28n S n n =-9. 关于函数f (x )＝tan|x |+|tan x |有下述四个结论：① f (x )是偶函数; ② f (x )在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减;③ f (x )是周期函数; ④ f (x )图象关于⎪⎭⎫⎝⎛0,2π对称其中所有正确结论的编号是( )A. ①③B. ②③C.①②D. ③④10. 2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就, 实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系。

广东省深圳市2020届高三年级第二次调研考试数学(理科)试题含答案

2020年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)2020．6一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设21(1)iz i +=-则|z|=（）A ．12B C ．1D2．已知集合{}{}023,22<+-===x x x B y y A x ，则（） A ．A∩B=AB ．A ∪B=RC ．A ⊆BD ．B ⊆A3．设α为平面，m ，n 为两条直线,若m ⊥α,则“m ⊥n ”是”n ⊂α”的 A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线2222:10,0)(y x C a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，则C 的离心率为（）A B ．2 C D ．35．已知定义在R 上的函数f(x)满足()()2,f x f x +=当01x ≤≤时，13()f x x =，则178f ⎛⎫⎪⎝⎭= A ．12 B ．2 C.18D ．8 6.若x 1，x 2，…，x n 的平均数为a ，方差为b ，则1223,23,23n x x x +++L 的平均数和方差分别为 A ．2a ，2bB ．2a ，4bC ．2a+3，2bD ．2a+3，4b7．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若244,2,S S ==则6S = A ．-6B ．-4C ．-2D ．08．函数()()14sin 2xxx f x -=的部分图象大致为9已知椭圆C ：22213x y a +=的右焦点为F ，O 为坐标原点，C 上有且只有一个点P 满足|OF|=|FP|,则C 的方程为A ．221123x y += B.22183x y += C ．22163x y += D.22143x y += 10．下面左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB CD ⋅=u u u r u u u rA ．24B ．26C ．28D ．3211．意大利数学家斐波那契(1175年—1250年)以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即()21,n n n a a a n +++=+∈N 故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为.n n n a ⎡⎤=-⎥⎦(设n是不等式(1211x x x ->+的正整数解，则n 的最小值为A ．10B ．9C ．8D ．712．已知直线y ω=与函数()()()sin 01x f x ϕωω=+<<的图象相交，将其中三个相邻交点从左到右依次记为A ，B ，C ，且满足()*.N AC nBC n =∈u u u r u u u r 有下列结论：①n 的值可能为2②当n=3，且|φ|<π时，f(x)的图象可能关于直线x=-φ对称③当φ=6π时，有且仅有一个实数ω，使得(),11f x ππωω⎡⎤-⎢⎥++⎣⎦在上单调递增; ④不等式n ω>1恒成立其中所有正确结论的编号为 A ．③B ．①②C ．②④D ．③④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．曲线y=xlnx 在点(1,0)处的切线方程为 ▲14.若x ，y 满足约束条件20,0,30,y x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则y z x =的最大值为 ▲15．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援若将4名医生志愿者分配到两家医院(每人去一家医院，每家医院至少去1人)，则共有 ▲ 种分配方案16．已知正方形ABCD 边长为3，点E ，F 分别在边AB ，AD 上运动(E 不与A ，B 重合，F 不与A ，D 重合)，将△AEF 以EF 为折痕折起，当A ，E ，F 位置变化时，所得五棱锥A-EBCDF 体积的最大值为 ▲ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

2020年广东高三二模理科数学试卷(详解)

2020年广东高三二模理科数学试卷(详解)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.A. B.C.D.【答案】【解析】已知集合，，则（）．C ∵集合．集合，∴．故选．2.A.B.C.D.【答案】【解析】已知复数（为虚数单位，），若，则的取值范围为（）．A ，∴，又∵，则，∴ ．故选．3.《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测A.尺B.尺C.尺D.尺【答案】【解析】算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，则立秋的晷长为（）．D不妨设夏至到寒露依次为，，，∴数列为为等差数列，由题可知，，∴，∵，则，∴，故立秋的晷长为尺．故选．4.A.B.C.D.【答案】【解析】在中，已知，，且边上的高为，则（）．B 在中，面积，∴，由余弦定理可知，，∴，由正弦定理，得．故选．5.A.B.C.D.一个底面半径为的圆锥，其内部有一个底面半径为的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为，则该圆锥的体积为（）．【答案】【解析】D作出该几何体的轴截面图如图，，，设内接圆柱的高为，由，得，∵，∴，即，得，∴该圆锥的体积为．故选．6.A. B.C.D.【答案】【解析】已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为（）．B根据题意，函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，则在上递减，又由，则，则函数的草图如图：若，则有，解可得，即不等式的解集为，故选．7.A.B.C.D.【答案】【解析】已知双曲线的右焦点为，过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为，．若，则该双曲线的离心率为（）．D 由得，又∵在四边形中，，且，则四边形为正方形，∴，即，∴双曲线渐近线方程为，∴，即，∴，∴离心率．故选．8.A.B.C. D.【答案】【解析】已知四边形中，，，，，在的延长线上，且，则（）．A ABDCE在中，由余弦定理可知，，∴，由可知，，∴，在中，由正弦定理可知，，得，∴．故选．9.A.B.C.D.【答案】【解析】的展开式中，的系数为（）．C把的展开式看成个因式的乘积形式，从中任意选个因式，这个因式取，再取个因式，这个因式都取，剩余个因式取，相乘即得含的项；故含项的系数为：．故选：．10.A.B.C.D.【答案】【解析】把函数的图象向右平移个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，关于的说法有：①函数的图象关于点对称；②函数的图象的一条对称轴是；③函数在上的最小值为；④函数在上单调递增．则以上说法正确的个数是（）．C 把函数的图象向右平移个单位长度，可得的函数图象，由横坐标缩短到原来的可得．①中，∵，，则不是的对称中心，故①错误；②中，当时，，故是的对称轴，故②正确；③中，当时，，，∴，则在内的最小值为，故③正确；④∵函数的周期，又因为正弦函数不会在一个周期内为单调增函数，故④错误；故选．11.A. B. C. D.如图，在矩形中，已知，是的中点，将沿直线翻折成，连接．若当三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥外接球的体积为，则（）．【答案】【解析】B 在矩形中，已知，是的中点，所以：为等腰直角三角形；斜边上的高为：；要想三棱锥的体积最大；需高最大，则当面时体积最大，此时三棱锥的高等于：，取的中点，过作下底面的垂线，此时三棱锥的外接球球心在上，∵三棱锥外接球的体积为，所以球半径，如图：，①，②即：，③，④联立③④可得．故选．12.A. B.C.D.【答案】【解析】已知函数，若函数有唯一零点，则的取值范围为（）．D 因为．令，则，所以当时，，即在上单调递增，又，所以，，当，，所以在上为增函数，在上为减函数，又，所以当，，当，对恒成立，即当时，，且当且仅当，，故当时，有唯一的零点；排除，当时，，令，可得，有无数解，所以，不成立，排除，故选．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.【答案】【解析】若，满足约束条件，则的最大值是．由不等式组可画出可行域如图，目标函数可化为，经平移可知直线过点时，在轴截距最大，由，得：，即，∴．故答案为：．14.【答案】【解析】已知，则．∵，∴，即，∴．故答案为：．15.【答案】【解析】从正方体的个面的对角线中，任取条组成对，则所成角是的有对．根据题意，如图，在正方体中，与平面中一条对角线成的直线有，，，，，，，，共条直线，则包含在内的符合题意的对角线有对；又由正方体个面，每个面有条对角线，共有条对角线，则共有对面对角线所成角为，而其中有一半是重复的；则从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有对，故答案为：．16.【答案】【解析】如图，直线过抛物线的焦点且交抛物线于，两点，直线与圆交于，两点，若，设直线的斜率为，则= ．∵，同理可得，∴．设，联立可得，∴，．∴，即，解．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17.（1）（2）（1）【答案】已知数列和满足，且，，设．求数列的通项公式．若是等比数列，且，求数列的前项和．．（2）（1）（2）【解析】．由，得，∴，∵，∴，∴是以为公差的等差数列．又∵，∴．设的公比为，则，∴由（）知，又，∴∴，①，②①②得：∴．．18.为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在以内，规定质量指标值大于的产品为优质品，质量指标值在的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示．频率组距质量指标值质量指标值频数（1）（2）（3）（1）（2）（3）【答案】合计请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率．优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有的把握认为“产品质量高与新设备有关”．非优质品优质品合计新设备产品旧设备产品合计附：，其中．用频率代替概率，从新设备所生产的产品中随机抽取件产品，其中优质品数为件，求的分布列及数学期望．，．非优质品优质品合计新设备产品旧设备产品合计有的把握认为产品质量高与新设备有关．的分布列为．（1）（2）（3）【解析】估计新设备所生产的产品的优质品率为：，估计旧设备所生产的产品的优质品率为：．非优质品优质品合计新设备产品旧设备产品合计由列联表可得，，∴有的把握认为产品质量高与新设备有关．的所有可能取值为，，，．∵由知新设备所生产的优质品率为，∴，，，．∴的分布列为∴的数学期望为．19.（1）（2）（1）【答案】如图，四棱锥中，四边形是菱形，，．是上一点，且．设．证明：平面．若，，求二面角的余弦值．证明见解析．（2）（1）（2）【解析】．∵四边形是菱形，∴是的中点，，∵，，∴平面，∵平面，∴，∵，是的中点，∴，∵平面，平面，，∴平面．由知平面，．∴，，两两互相垂直，∴以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，，设四边形的边长为，，∵四边形是菱形，，∴和都是等边三角形，∴，∴，，，，∴，，，∵，∴，∴，即，∴，，设平面的法向量为，则，令，得，，∴，设平面的法向量为，则，令，得，，∴，设二面角的平面角为，结合图象可知，，∴二面角的余弦值为．20.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】已知椭圆：的焦点为，，是椭圆上一点．若椭圆的离心率为，且，的面积为．求椭圆的方程．已知是坐标原点，向量，过点的直线与椭圆交于，两点．若点满足，，求的最小值．．．依据题意得，所以，所以，（2）因为，故设，代入椭圆方程得，所以的面积为：，联立，解得，，所以椭圆的方程为：．由题意可知直线的斜率显然存在，故设直线的方程为：，联立，消去并整理得，所以，设，，所以，，因为，所以，当时，，当时，，，因为，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，且满足，所以，综上．21.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】已知函数（），其中为自然对数的底数．若函数的极小值为，求的值．若，证明：当时，成立．．证明见解析．函数的定义域为，，当时，对于恒成立，∴在上单调递减，∴在上无极值．当时，令，得．∴当时，，当时，．∴在上单调递减，在上单调递增．∴当时，，∴取得极小值，即．令（），则．∵，∴，∴在上单调递增．又∵，∴．∵，∴，∴，令（），∴．令（），∴，令，得，∴当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增．∴当时，取得极小值．又∵，，∴存在使得．∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．又∵，∴，∴当时，，即．令（），则对于恒成立．∴在上单调递增．∴，即当时，，∴当时，．∴当时，．∴当时，成立．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】在直角坐标系中，曲线的方程为，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求直线的直角坐标方程．已知是曲线上的一动点，过点作直线交直线于点，且直线与直线的夹角为，若的最大值为，求的值．．．由，（2）得，∴，∵，．∴直线的直角坐标方程为，即．依题意可知曲线的参数方程为：（为参数），设，则点到直线的距离为：，，∵，∴当时，，依题意得，∴的最大值为，即，∵，∴解得．选修4-5：不等式选讲23.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】已知函数．解不等式：．若，，均为正数，且，证明：．．证明见解析．，当时，，即，解得：；（2）当时，，满足题意；当时，，即，解得：．综上，不等式的解集为．由知，∴，∴，∴，∴，当且仅当时等号成立，∴．。

广东省六校2020届高三第二次联考试题数学(理)【含答案】

广东省六校2020届高三第二次联考试题数学（理）本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|230}, {|21}x P x x x Q x =--<=>，则P Q =( )A. {|1}x x >-B. {|1}x x <-C. {|03}x x <<D. {|10}x x -<<2. “00m n >>且”是“0mn >”成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.不充分不必要条件3. 已知0.230.3log 0.3, log 0.2, 0.3a b c ===，则( )A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c a b <<4. 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )5. 函数33()cos ||x x f x x x -=+在[],ππ-的图像大致为A. B. C. D.6. 已知非零向量a,b 满足1,2==a b 且(2()-⊥+a b)a b ，则a 与b 的夹角为A. 6πB. 4πC. 3πD. 2π7. 已知函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=-，则A.()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增B.()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 C.()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 D.()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 8. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若已知391, 9a S =-=，则A. 310n a n =-B. 2n a n =-C. 21722n S n n =- D. 28n S n n =-9. 关于函数f (x )＝tan|x |+|tan x |有下述四个结论：① f (x )是偶函数; ② f (x )在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减;③ f (x )是周期函数; ④ f (x )图象关于⎪⎭⎫⎝⎛0,2π对称其中所有正确结论的编号是( )A. ①③B. ②③C.①②D. ③④10. 2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就, 实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系。

广东省2020届高三第二次六校联考理科数学-试题与答案

an Sn Sn1 2an 2an1 .
............................................................3 分
an

2an1
an an1

2
(n

2)
...............................................................4 分
14. (a b c)(a b c) ac ， (a c)2 b2 ac a 2 c 2 b2 ac
cos B a 2 c 2 b2 ac 1 0 B B 120 ，则 tan B 3 .
易知 x 1 时, f '(x) 0, f (x) 单调递减； x 1 时, f '(x) 0, f (x) 单调递增.
2
2
f
( x)min

f
( 1) 2

1 e 1 2

2e 2 ，当
x (,0],
f
(x)
1 2
e
1,
0

所以 k 0 时， x0 0, kx0 2e2 0 f (x0 ) 不符合条件
7. 解： f (x) 2 sin(x ) ，所以 2 ，又 f (x) f (x) 知 f(x) 为奇函数，
4 k f (x) 2 sin 2x ，选 D
4
10.答案：A 解答：
M1 (R r)2

M2 r2

f (x) a·b 2cos x cos x 3 cos x 2sin x ............................................1 分

2020届广东省六校联盟高三毕业班第二次联考质量检测数学(文)试题(解析版)

绝密★启用前广东省六校联盟2020届高三毕业班第二次联考质量检测数学(文)试题(解析版)一、选择题：本题12小题.1.设全集U 是实数集R ，{}{}2=log 1,13M x x N x x >=<<，则()U M N ⋂=ð( ) A. {}23x x << B. {}3x x < C. {}12x x <≤ D. {}2x x ≤【答案】C【解析】【分析】先解对数不等式得出集合M ，再利用补集、交集的概念求解.【详解】由2log 1x >解得2x >,则{|2}M x x =>,于是{|2}U M x x =≤ð. 又{}13N x x =<<,所以(){|12}U M N x x =<≤I ð.故选C.【点睛】本题考查补集、交集的运算以及对数函数的性质,是一道基础题.2.复数z 满足23i i z +=（其中i 是虚数单位）,则z 的虚部为（）A. 2B. 2-C. 3D. 3-【答案】B【解析】【分析】利用复数计算公式化简得到答案. 【详解】23i23i i 32z z i i ++=∴==-,虚部为2-故选B【点睛】本题考查了复数的计算,属于简单题型.3.在ABC ∆中,AB =1AC =,30B ∠=o ,则A ∠=（） A. 60oB. 30o 或90oC. 60o 或120oD. 90o【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理求出C ∠,然后利用三角形的内角和定理可求出A ∠. 【详解】由正弦定理得sin sin AB AC C B =∠∠,得1sin 2sin 12AB B C AC ⋅∠∠===, AB AC >Q ,C B ∴∠>∠,则60C ∠=o 或120o .当60C ∠=o 时,由三角形的内角和定理得18090A B C ∠=-∠-∠=o o ；当120C ∠=o 时,由三角形的内角和定理得18030A B C ∠=-∠-∠=o o .因此,30A ∠=o 或90o .故选B.【点睛】本题考查利用正弦定理和三角形的内角和定理求角,解题时要注意大边对大角定理来判断出角的大小关系,考查计算能力,属于基础题.4.设平面向量()2,1a =-r ,(),2b λ=r ,若a r 与b r 的夹角为锐角,则λ的取值范围是（） A. ()1,22,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭ B. ()(),44,1-∞--U C. ()1,+∞ D. (),1-∞【答案】B【解析】【分析】根据a r 与b r 的夹角为锐角,得到()cos ,0,1a b ∈r r ,再由向量的夹角公式将其夹角余弦值表示出来,得到关于λ的不等式,解出λ的范围,从而得到答案.【详解】因为a r 与b r 的夹角为锐角,。

广东省2020届高三第二次六校联考理科数学-试题

A. 24
B. 25
C. 41
D. 50
12.
已知函数
f (x)

ex
ex a 与 g(x)
ln x
1
的图象上存在关于 x 轴对称的点，
x
则 a 的取值范围是
A.(,e]
B.( ,1]
C.[ 1,)
D.[ e,)
第2页共4页
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
① f(x)是偶函数;
②
f(x)在区间

2
,
0
上单调递减;
③ f(x)是周期函数; ④ f(x)图象关于 ,0 对称 2
其中所有正确结论的编号是(
)
A. ①③
B. ②③
C.①②
D. Sn n2 8n D. ③④
10. 2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就, 实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系。为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕
值很小，因此在近似计算中
（1 ）2
3 3 ，则 r 的近似值为（
）
A． 3 M 2 R 3M1
B． M 2 R 2M1
C． M 2 R M1
D． 3 3M 2 R M1
11. 已知三棱锥 P ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，点 D, E 分别是 PB, BC 的中点，
PA 3, PD DE 2, PE 2 2, AD 13, AE 17 ，则球 O 的表面积为（）
A. a b c

广东省六校2020届高三数学第二次联考试题理科[含答案]

广东省六校2020届高三数学第二次联考试题理本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|230}, {|21}x P x x x Q x =--<=>，则P Q =I ( )A. {|1}x x >-B. {|1}x x <-C. {|03}x x <<D. {|10}x x -<<2. “00m n >>且”是“0mn >”成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.不充分不必要条件3. 已知0.230.3log 0.3, log 0.2, 0.3a b c ===，则( )A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c a b <<4. 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )5. 函数33()cos ||x x f x x x -=+在[],ππ-的图像大致为A. B. C. D.6. 已知非零向量a,b 满足1,2==a b 且(2()-⊥+a b)a b ，则a 与b 的夹角为A. 6πB. 4πC. 3πD. 2π7. 已知函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=-，则 A.()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 B.()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 C.()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 D.()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 8. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若已知391, 9a S =-=，则A. 310n a n =-B. 2n a n =-C. 21722n S n n =- D. 28n S n n =-9. 关于函数f (x )＝tan|x |+|tan x |有下述四个结论：① f (x )是偶函数; ② f (x )在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减;③ f (x )是周期函数; ④ f (x )图象关于⎪⎭⎫⎝⎛0,2π对称其中所有正确结论的编号是( )A. ①③B. ②③C.①②D. ③④10. 2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就, 实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系。

2020年6月广东省深圳市普通高中2020届高三下学期调研考试(二)(二模)数学(理)试题(解析版)

绝密★启用前广东省深圳市普通高中2020届高三毕业班下学期第二次调研考试(二模)理科数学试题(解析版)2020年6月一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设z 21(1)i i +=-,则|z |＝（）A. 12 C. 1【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形,再由商的模等于模的商求解即可.【详解】解：∵z 211(1)2i i i i++==--,∴|z |＝|12i i+-|122i i +==-. 故选：B.【点睛】本题考查复数模的求法,考查数学转化思想方法,是基础题.2.已知集合{}|2x A y y ==,{}2|320B x x x =-+≤则（） A. A B =∅B. A B R =C. A B ⊆D. B A ⊆【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的值域化简集合A 的表示,解一元二次不等式化简集合B 的表示,最后根据集合的交集和并集的定义、子集的定义进行判断即可.【详解】因为{}{}|2|0x A y y y y ===>,{}{}2|320|12B x x x x x =-+≤=≤≤, 所以{}|12A B x x =≤≤≠∅,故选项A 不正确；{}|0y y A B R =>≠,故选项B 不正确；根据子集的定义有B A ⊆.故选：D【点睛】本题考查了集合交集、并集的运算,考查了子集的定义,考查了指数函数的值域,考查了解一元二次不等式,考查了数学运算能力.3.设α为平面,m ,n 为两条直线,若m α⊥,则“m n ⊥”是“n ⊂α”的（）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分性和必要性的定义,结合线面垂直的性质进行判断即可.【详解】当m α⊥时,如果m n ⊥,不一定能推出n ⊂α,因为直线n 可以在平面α外,当m α⊥时,如果n ⊂α,根据线面垂直的性质一定能推出m n ⊥,所以若m α⊥,则“m n ⊥”是“n ⊂α”的必要不充分条件.故选：C【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断,考查了线面垂直的性质,考查了推理论证能力.4.已知双曲线C ：22221y x a b -=（0a >,0b >）的两条渐近线互相垂直,则C 的离心率为（）B. 2 D. 3。

【精准解析】广东省六校联盟2020届高三上学期第二次联考数学(文)试题+Word版含解析byde

3.在 ABC 中， AB 3 ， AC 1 ， B 30 ，则 A （）
A. 60
B. 30 或 90
C. 60 或120
D. 90
【答案】B
只要坚持梦想终会实现
-1-
高中学习讲义
【解析】
【分析】
利用正弦定理求出 C ，然后利用三角形的内角和定理可求出 A .
AB
【详解】由正弦定理得
【解析】
【分析】
先解对数不等式得出集合 M ，再利用补集、交集的概念求解.
【详解】由 log2 x 1 解得 x 2 ，则 M {x | x 2}，于是 ðU M {x | x 2}.
又 N x 1 x 3 ，所以 ðU M N {x |1 x 2} .
故选 C.
【点睛】本题考查补集、交集的运算以及对数函数的性质，是一道基础题.
D. ,1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 a 与 b 的夹角为锐角，得到 cos
a, b
0,1 ，再由向量的夹角公式将其夹角余弦值表示
出来，得到关于的不等式，解出的范围，从而得到答案.
【详解】因为 a 与 b 的夹角为锐角，
所以 cos a,b 0,1 ，
r
向量 a 2,1 ， b , 2 ，
因此， A 30 或 90 .
故选 B.
【点睛】本题考查利用正弦定理和三角形的内角和定理求角，解题时要注意大边对大角定理
来判断出角的大小关系，考查计算能力，属于基础题.
4.设平面向量
r a
2,1
，
b
,
2
，若
a
与
b
的夹角为锐角，则
的取值范围是（

2024届广东六校联考高三数学试题含答案

东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2024届高三第二次六校联考试题数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合},02|{},1log |{22≤--=<∈=x x x B x Z x A 则=B A （）A.｝，｛10B.｝｛1 C.｝｛1,0,1- D.}2101{，，，-2.已知21)sin(=+πα，则=+)2cos(πα()A.21B.21-C.23 D.23-3.“1>x 且1>y ”是“1>xy 且2>+y x ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.如图，B A 、两点在河的同侧，且B A 、两点均不可到达.现需测B A 、两点间的距离，测量者在河对岸选定两点D C 、，测得km CD 23=，同时在D C 、两点分别测得CDB ADB ∠=∠︒=30,,45,60︒=∠︒=∠ACB ACD 则B A 、两点间的距离为()A.23B.43C.36 D.465．已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos 7α=，11cos()14αβ+=-，则β=（）A．6πB．512πC．4πD．3π6．已知函数)2cos(sin )6cos(4)(x x x x f ωπωπω-++=，其中0>ω.若函数)(x f 在5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为()A.310 B.21 C.23 D.2多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知ABC ∆中角B A ,的对边分别为,,b a 则可作为“b a >”的充要条件的是（)A.B A sin sin >B．B A cos cos <C．BA tan tan >D．BA 2sin 2sin >11.已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论中正确结论为()A.若0k =，则()f x 有两个零点B.0k ∃<，使得()f x 有一个零点C.0k ∃<，使得()f x 有三个零点D.0k ∃>，使得()f x 有三个零点13.已知)(x f 定义域为]1,1[-,值域为]1,0[,且0)()(=--x f x f ,写出一个满足条件的)(x f 的解析式是14.已知函数)22,0,0)(sin()(πϕπωϕω<<->>+=A x A x f 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式为______四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题10分)已知ABC ∆中角C B A ,,的对边分别为,,,c b a 满足.cos 3cos cos C C abB a c =+（1）求C sin 的值；（2）若23,2=+=c b a ，求ABC ∆的面积．18.(本小题12分)如图为一块边长为2km 的等边三角形地块ABC ，现对这块地进行改造，计划从BC 的中点D 出发引出两条成60︒角的线段DE 和DF （60,EDF ∠=︒F E ,分别在边AC AB ,上），与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种上花草进行绿化改造，设BDE α∠=．（1）当︒=60α时，求花草绿化区域AEDF 的面积；（2）求花草绿化区域AEDF 的面积()S α的取值范围．已知函数()2ln xf x ea x =-.（1）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（2）证明：当0a >时()22lnf x a a a≥+.21.(本小题12分)已知函数()ln(1)xf x e x =+（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）设)(')(x f x g =，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性；（3）证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞,有()()().f s t f s f t +>+22．(本小题12分)已知函数()axf x xe =.（1）求()f x 在[]0,2上的最大值；（2）已知()f x 在1x =处的切线与x 轴平行，若存在12,x x R ∈，12x x <，使得()()12f x f x =，证明：21x x ee >.东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2024届高三第二次六校联考试题标准答案及评分标准一、单项选择题二、多项选择题123456789101112B A A D D ACCABBCDABDACD三、填空题：（每小题5分，共20分）13.]1,1[|,|)(-∈=x x x f 或者]1,1[,2cos)(-∈=x xx f π或者21)(x x f -=或者...14.)62sin(2)(π+=x x f 15.2,1416.()2,0,e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭四、解答题17.【解析】（1）解法一：c cos B+bcosC ＝3a cos C ．由正弦定理CcB b A a sin sin sin ==得sin C cos B ＋sin B cos C ＝3sin A cos C ，....2分所以sin(B ＋C )＝3sin A cos C ，..........3分由于A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ，则sin A ＝3sin A cos C ．因为0<A <π，所以sin A ≠0，cos C ＝13...........4分因为0<C <π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝223...........5分解法二：因为c cos B+bcosC ＝3a cos C ．所以由余弦定理得c ×a 2＋c 2－b 22ac ＝(3a －b )×a 2＋b 2－c 22ab，化简得a 2＋b 2－c 2＝23ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝23ab 2ab ＝13.因为0<C <π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝223.（2）由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，.......7分及23,2=+=c b a ，cos C ＝13，得a 2＋b 2－23ab ＝18，即(a －b )2＋43ab ＝18.所以ab ＝12.......8分所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×12×223＝4 2........10分18．【解析】（1）当60α= 时，//DE AC ，//DF AB∴四边形AEDF 为平行四边形，则BDE ∆和CDF ∆均为边长为1km 的等边三角形又)2122sin 602ABC S km ∆=⨯⨯⨯= ，)2111sin 602BDE CDF S S km∆∆==⨯⨯⨯=∴)22km =................3分（2）方法一：由题意知：3090α<< ,BD=CD=1()())1sin 602ABC BDE CDF S S S S BE CF BE CF α∆∆∆∴=--=+=+ ......4分在BDE ∆中，120BED α∠=- ，由正弦定理得：()sin sin 120BE αα=-............5分在CDF ∆中，120CDF α∠=︒-，CFD α∠=由正弦定理得：()sin 120sin CF αα-=.............6分()()()()22sin 120sin sin 120sin sin sin 120sin 120sin BE CF αααααααα-+-∴+=+=-- ....................7分令21tan 23sin sin 21cos 23sin )120sin(+=+=-︒=ααααααt 3090α<< ⎪⎭⎫⎝⎛∈∴+∞∈∴2,21),33(tan t α.................10分)(1t f t t CF BE =+=+()上单调递增．，在上单调递减；在21)(1,21)(11)('2t f t f t t f ⎪⎭⎫⎝⎛∴-= 25,2[)(∈∴t f 即52,2BE CF ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭()))sin 60ABC BDE CDF S S S CF BE CFα∆∆∴--+=+)4BE CF +∈⎝⎦即花草地块面积()S α的取值范围为⎝⎦..................12分方法二：由已知得++,++,BED B EDF FDC απαπ∠∠=∠∠=又,3B EDF π∠=∠=所以BED FDC ∴∠=∠，在BED ∆和CDF∆中有：60,B C BEDFDC ︒∠=∠=∠=∠，BED CDF∴∆∆ ，得CFBDDC BE =又D 是BC 的中点，11DC BD BE FC ∴==∴⋅=,且当E 在点A 时，12CF =，所以122CF <<，所以111211)222S BE CF BE CF =⨯⨯-⨯=+，设CF x =，1BE x=，且122x <<，令1y x x =+，则()()2222+11111x x x y x x x '--=-==，112x ∴<<时，10,y y x x '<=+在112⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，12x <<时，10,y y x x '>=+在(1,2)上单调递增，1x ∴=时，1y x x =+有最小值2，当12x =或2x =时，152y x x =+=，所以面积S 的取值范围是82⎛ ⎝⎦.19.【解析】（1）()3()cos()sin()sin sin cos cos sin 2f x x A x x A x A x π=+⋅-=-..........2分2sin cos sin cos sin x x A A x=-()sin 21cos 211sin cos cos cos 22222x x A A A x A -=⨯-⨯=-+-，...........4分故()max111cos 224f x A =-+=，故1cos 2A =.因为()0,A π∈，故3A π=...............5分（2）1111()cos cos 2cos 22323234f x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故1()2(())cos 243g x f x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，令()s g x =，,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()g x 的图象如图所示：可得[]1,1s ∈-，............6分方程24[()][()]10g x m g x -+=在[,]33x ππ∈-内有两个不同的解又[]1,1s ∈-，下面考虑2410s ms -+=在[]1,1-上的解的情况.若2160m ∆=-=，则4m =-或4m =（舍）当4m =-时，方程的解为12s =-，此时1cos 232x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭仅有一解，故方程24[()][()]10g x m g x -+=在[,]33x ππ∈-内有一个解，舍...........8分若2160m ∆=->，则4m <-或4m >,此时2410s ms -+=在R 有两个不同的实数根)(,2121s s s s <，当4m <-时，则120,0s s <<，要使得方程24[()][()]10g x m g x -+=在[,]33x ππ∈-内有两个不同的解，则1210,10s s -≤<-≤<.令()241h s s ms =-+，则()()41010800m h m h <-⎧⎪-≥⎪⎪⎨-<<⎪⎪>⎪⎩，解得54m -≤<-............12分综上，m 的取值范围为：[)5,4--.20.【解析】（1）()f x 的定义域为()0,,+∞()22(0)xaf x e x x'=->.....1分当a ≤0时，()()0f x f x ''>，没有零点；......2分.当0a >时，因为2xe 单调递增，ax-单调递增，所以()f x '在()0,+∞单调递增，...3分当b 满足0＜b＜4a 且b＜14时，即若41,1<≥b a 时，04242)41(')('<-≤-=<e a e f b f;若414,10<<<<a b a 时，04242)4(')('2<-<-=<e e a f b f a;则()0f b '<...5分另法：0→x 时),0( ,022>-∞→-→a xa e x所以-∞→→)(',0x f x 且)('x f 在)0(∞+，上是连续的,所以必存在b 使得()0f b '<,又()0f a '>即有0)(')('<b f a f ,故当0a >时()f x '存在唯一零点.……6分（2）当0a >时由（1），可设()f x '在()0,+∞的唯一零点为0x ，当()00x x ∈，时，()f x '＜0；当()0x x ∈+∞，时，()f x '＞0...........7分故()f x 在()0+∞，单调递减，在()0x +∞，单调递增，所以0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为()0f x ......8分由于=)('0x f 02020x ae x -=，............9分所以()0002221212a f x ax a n a a n x a a=++≥+......11分故当0a >时，()221f x a a na≥+.……12分21．【解析】（1）因为)1ln()(x e x f x+=,所以0)0(=f ，即切点坐标为)0,0(，..1分又]11)1[ln()(xx e x f x+++=',∴切线斜率1)0(='=f k ∴切线方程为x y =.....3分（2）令11)1[ln()()(xx e x f x g x+++='=则)1(112)1[ln()(2x x x e x g x+-+++='.......................4分令2)1(112)1ln()(x x x x h +-+++=,则0)1(1)1(2)1(211)(3232>++=+++-+='x x x x x x h ,∴)(x h 在),0[+∞上单调递增，.........6分∴01)0()(>=≥h x h ∴0)(>'x g 在),0[+∞上恒成立∴)(x g 在),0[+∞上单调递增..7分（3）解：待证不等式等价于)0()()()(f t f s f t s f ->-+，令)0,()()()(>-+=t x x f t x f x m ，只需证)0()(m x m >..........8分∵)1ln()1ln()()()(x e t x ex f t x f x m x tx +-++=-+=+)()(1)1ln(1)1ln()(x g t x g xe x e t x e t x e x m x x t x tx -+=+-+-+++++='++.........10分由（2）知11)1[ln()()(xx e x f x g x+++='=在),0[+∞上单调递增，∴)()(x g t x g >+...........11分∴0)(>'x m ∴)(x m 在),0(+∞上单调递增，又因为0,>t x ∴)0()(m x m >，所以命题得证.....12分22.【解析】（1）()()()1ax ax f x xe ax e ''==+，.............1分当0a ≥时，则10ax +≥对任意[]0,2x ∈恒成立，即()0f x '≥恒成立.所以()f x 在[]0,2x ∈单调递增.则()f x 的最大值为()()2max 22a f x f e ==；.........2分当0a <时，令10ax +=，即1x a=-当()10,2a -∈，即12a <-时，当10,x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时()0f x ¢>，()f x 在10,a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增.当1,2x a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时()0f x '<，()f x 在1,2a ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递减，()max11f x f a ea ⎛⎫=-=-⎪⎝∴ ⎭.3分当[)12,a -∈+∞即102a -≤<时，10ax +≥对任意[]0,2x ∈恒成立，即()0f x '≥恒成立，所以()f x 在[]0,2x ∈单调递增.则()f x 的最大值为()()2max 22a f x f e ==；........4分综上所述：当12a ≥-时()()2max 22a f x f e ==；当12a <-时()max11f a ea f x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭...5分（2）因为()f x 在1x =处的切线与x 轴平行，所以()()110a f a e '=+=，则1a =-，即()()1x f x x e -'=-.当1x <时，()0f x ¢>，则()f x 在(),1∞-上单调递增当1x >时，()0f x '<，则()f x 在()1,+∞上单调递减.又因为0x <时有()0f x <；0x >时有()0f x >，根据图象可知，若()()12f x f x =，则有1201x x <<<；......7分要证21x x e e >，只需证211ln x x >-；...............8分又因为101x <<，所以11ln 1x ->；因为()f x 在()1,+∞上单调递减，从而只需证明()()()1211ln f x f x f x =<-，只需证()()()1111ln 1ln 11111ln 1ln 1ln x x x x x x e e x e eex ---<--==.只需证()1111ln 1,01x e x x -+<<<.......................10分设()()()1ln ,0,1th t e t t -=+∈，则()11tte h t t--'=.由()f x 的单调性可知,()()11f t f e≤=.则1t te e -≤，即110t te --≥.所以()0h t '>，即()h t 在()0,1t ∈上单调递增.所以()()11h t h <=.从而不等式21x x e e >得证............12分。

广州市2020年高三第二次教学质量检测理科数学原卷版

广州市2020年高三第二次教学质量检测理科数学解析版

广州市2020年高三第二次教学质量检测数学试题（理科）（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0．5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草纸上答题元效．第I 卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的．1.已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[－1,3] C ．[2，＋∞) D ．[－1，＋∞)答案 D解析由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0，即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}．又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2； ②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)．2.若复数z 满足i z ＝2－2i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 B解析由题意，∵z ＝2－2i i ＝(2－2i )·(－i )i·(－i )＝－2－2i ，∴z ＝－2＋2i ，则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.故选B.3.已知函数f (x )＝x －x (x >0)，g (x )＝x ＋e x ，h (x )＝x ＋ln x (x >0)的零点分别为x 1，x 2，x 3，则( ) A ．x 1<x 2<x 3 B ．x 2<x 1<x 3 C ．x 2<x 3<x 1 D ．x 3<x 1<x 2答案 C解析作出y ＝x 与y ＝x (x >0)，y ＝－e x ，y ＝－ln x (x >0)的图象，如图所示，可知选C.4.已知函数y ＝f (x )的图象为如图所示的折线ABC ，则ʃ1－1[(x ＋1)f (x )]d x 等于( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1答案 D解析由题图易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－1≤x ≤0，x －1，0<x ≤1，所以ʃ1－1[(x ＋1)f (x )]d x ＝ʃ0－1(x ＋1)(－x －1)d x ＋ ʃ10(x ＋1)(x －1)d x ＝ʃ0－1(－x 2－2x －1)d x ＋ʃ10(x 2－1)d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫－13x 3－x 2－x 0－1＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 10＝－13－23 ＝－1，故选D.5.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且∀x ∈R ，有f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π3成立，则f (x )图象的一个对称中心坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫－2π3，0 B.⎝⎛⎭⎫－π3，0 C.⎝⎛⎭⎫2π3，0 D.⎝⎛⎭⎫5π3，0答案 A解析由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3. 令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )，故f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )图象的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫－2π3，0. 6.已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为( ) A.(2,0) B.(－3,6) C.(6,2) D.(－2,0)答案 A解析设N (x ，y )，则(x －5，y ＋6)＝(－3,6)， ∴x ＝2，y ＝0.7.已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( )A.18B.12 C.1 D.2 答案 B解析设等比数列{a n }的公比为q ，由题意知a 3a 5＝4(a 4－1)＝a 24，则a 24－4a 4＋4＝0，解得a 4＝2，又a 1＝14，所以q 3＝a 4a 1＝8，即q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12.8.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( )A.a ≥43B.0<a ≤1C.1≤a ≤43D.0<a ≤1或a ≥43答案 D解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域(如图中阴影部分所示).由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l ：x ＋y ＝a 在l 1，l 2之间(包含l 2，不包含l 1)或l 3上方(包含l 3).9.已知函数f (x )＝x 2x －1，g (x )＝x2，则下列结论正确的是( )A ．h (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数B ．h (x )＝f (x )＋g (x )是奇函数C ．h (x )＝f (x )g (x )是奇函数D ．h (x )＝f (x )g (x )是偶函数答案 A解析易知h (x )＝f (x )＋g (x )的定义域为{x |x ≠0}．因为f (－x )＋g (－x )＝－x 2－x －1＋－x 2＝－x ·2x 1－2x －x 2＝x (1－2x )－x 1－2x －x 2＝x 2x －1＋x2＝f (x )＋g (x )，所以h (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．故选A.10.执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( )A ．s ≤34B ．s ≤56C ．s ≤1112D ．s ≤2524答案 C解析由s ＝0，k ＝0满足条件，则k ＝2，s ＝12，满足条件；k ＝4，s ＝12＋14＝34，满足条件；k ＝6，s ＝34＋16＝1112，满足条件；k ＝8，s ＝1112＋18＝2524，不满足条件，输出k ＝8，所以应填“s ≤1112”． 11.已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，对于左支上任意一点P 都有|PF 2|2＝8a |PF 1|(a为实半轴长)，则此双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(2,3]C ．(1,3]D ．(1,2] 答案 C解析由P 是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义，得|PF 2|＝2a ＋|PF 1|，所以|PF 2|2|PF 1|＝|PF 1|＋4a 2|PF 1|＋4a ＝8a ，∴|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝4a ，在△PF 1F 2中，|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，即2a ＋4a ≥2c ，所以e ＝ca ≤3.又e >1，所以1<e ≤3.故选C.12.对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g (x )＝2x 3－6x 2＋4，则g ⎝⎛⎭⎫1100＋g ⎝⎛⎭⎫2100＋…＋g ⎝⎛⎭⎫199100＝（） A ．0 B ．3 C ．6 D ．8 答案 A解析 g ′(x )＝6x 2－12x ，∴g ″(x )＝12x －12，由g ″(x )＝0，得x ＝1，又g (1)＝0， ∴函数g (x )的对称中心为(1,0)，故g (x )＋g (2－x )＝0，∴g ⎝⎛⎭⎫1100＋g ⎝⎛⎭⎫2100＋…＋g ⎝⎛⎭⎫199100＝g (1)＝0.故选A. 第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题、第（23）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在答题卡上的相应位置．13．如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.答案 1∶47解析设长方体的相邻三条棱长分别为a ，b ，c ，它截出棱锥的体积V 1＝13×12×12a ×12b ×12c ＝148abc ，剩下的几何体的体积V 2＝abc －148abc ＝4748abc ，所以V 1∶V 2＝1∶47.14．过点A (3,5)作圆O ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的切线，则切线的方程为__________．答案 5x －12y ＋45＝0或x －3＝0解析化圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0为标准方程得(x －1)2＋(y －2)2＝4，其圆心为(1,2)，∵|OA |＝(3－1)2＋(5－2)2＝13>2，∴点A (3,5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x －3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0.又圆心为(1，2)，半径r ＝2，而圆心到切线的距离d ＝|3－2k |k 2＋1＝2，即|3－2k |＝2k 2＋1，∴k ＝512，故所求切线方程为5x －12y ＋45＝0或x －3＝0.15．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫22，＋∞解析 f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )，由f ′(x )＝0得x ＝±a ，当－a <x <a 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x >a 或x <－a 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增， ∴f (x )的极大值为f (－a )，极小值为f (a )．∴f (－a )＝－a 3＋3a 3＋a >0且f (a )＝a 3－3a 3＋a <0，解得a >22. ∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，＋∞. 16．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是____________．答案 (－∞，－1)∪(0,1)解析因为f (x )(x ∈R )为奇函数，f (－1)＝0，所以f (1)＝－f (－1)＝0. 当x ≠0时，令g (x )＝f (x )x ，则g (x )为偶函数，g (1)＝g (－1)＝0.则当x >0时，g ′(x )＝⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2<0，故g (x )在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．所以在(0，＋∞)上，当0<x <1时，由g (x )>g (1)＝0，得f (x )x >0，所以f (x )>0；在(－∞，0)上，当x <－1时，由g (x )<g (－1)＝0，得f (x )x<0，所以f (x )>0. 综上知，使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若f (0)＝3，且AB →·BC →＝π28－8，B ，C 分别为最高点与最低点．(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若将f (x )的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解 (1)由f (0)＝3，可得2sin φ＝3，即sin φ＝32. 又因为|φ|<π2，所以φ＝π3.由题意可知，AB →＝⎝⎛⎭⎫14T ，2，BC →＝⎝⎛⎭⎫12T ，－4，则AB →·BC →＝T 28－8＝π28－8，所以T ＝π.故ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z . (2)由题意将f (x )的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，5π3，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤－1，32. ∴当2x ＋2π3＝2π3，即x ＝0时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝32，g (x )取得最大值3，当2x ＋2π3＝3π2，即x ＝5π12时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝－1，g (x )取得最小值－2. 18．（本小题满分12分）某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．解若按“项目一”投资，设获利为X 1万元，则X 1的分布列为∴E (X 1)＝300×79＋(－150)×29＝200.若按“项目二”投资，设获利为X 2万元，则X 2的分布列为∴E (X 2)＝500×35＋(－300)×13＋0×115＝200.D (X 1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35 000，D (X 2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140 000.∴E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)<D (X 2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．19．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .(1)证明：平面AEC ⊥平面AFC ； (2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.(1)证明如图所示，连接BD ，设BD ∩AC ＝G ，连接EG ，FG ，EF .在菱形ABCD 中，不妨设GB ＝1.由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝ 3.由BE ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ＝2，可知AE ＝EC .又AE ⊥EC ，所以EG ＝3，且EG ⊥AC .在Rt △EBG 中，可得BE ＝2，故DF ＝22. 在Rt △FDG 中，可得FG ＝62. 在直角梯形BDFE 中，由BD ＝2，BE ＝2，DF ＝22，可得EF ＝322，从而EG 2＋FG 2＝EF 2，所以EG ⊥FG . 又AC ∩FG ＝G ，AC ，FG ⊂平面AFC ，所以EG ⊥平面AFC .因为EG ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面AFC .(2)解如图，以G 为坐标原点，分别以GB ，GC 所在直线为x 轴、y 轴，|GB →|为单位长度，建立空间直角坐标系Gxyz ，由(1)可得A (0，－3，0)，E (1,0，2)，F ⎝⎛⎭⎫－1，0，22，C (0，3，0)，所以AE →＝(1，3，2)，CF →＝⎝⎛⎭⎫－1，－3，22. 故cos 〈AE →，CF →〉＝AE →·CF →|AE →||CF →|＝－33. 所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为33. 20．（本小题满分12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .(1)解设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)．由NP →＝ 2 NM →得x 0＝x ，y 0＝22y . 因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1. 因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ，OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )．由OP →·PQ →＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1.又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0.所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .21．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝x ln x －e x ＋1.(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)证明：f (x )<sin x 在(0，＋∞)上恒成立．(1)解依题意得f ′(x )＝ln x ＋1－e x ，又f (1)＝1－e ，f ′(1)＝1－e ，故所求切线方程为y －1＋e ＝(1－e)(x －1)，即y ＝(1－e)x .(2)证明依题意，要证f (x )<sin x ，即证x ln x －e x ＋1<sin x ，即证x ln x <e x ＋sin x －1.当0<x ≤1时，e x ＋sin x －1>0，x ln x ≤0，故x ln x <e x ＋sin x －1，即f (x )<sin x .当x >1时，令g (x )＝e x ＋sin x －1－x ln x ，故g ′(x )＝e x ＋cos x －ln x －1.令h (x )＝g ′(x )＝e x ＋cos x －ln x －1，则h ′(x )＝e x －1x－sin x ，当x >1时，e x －1x>e －1>1，所以h ′(x )＝e x －1x－sin x >0，故h (x )在(1，＋∞)上单调递增．故h (x )>h (1)＝e ＋cos 1－1>0，即g ′(x )>0，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以g (x )>g (1)＝e ＋sin 1－1>0，即x ln x <e x ＋sin x －1，即f (x )<sin x .综上所述，f (x )<sin x 在(0，＋∞)上恒成立．请考生在第22、23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知曲线C 1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0，C 2：ρ＝2cos θ.(1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；(2)若曲线C 1，C 2交于A ，B 两点，求两交点间的距离．解 (1)∵C 1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0，∴x －3y －1＝0表示一条直线．由C 2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，∴x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1.∴C 2是圆心为(1,0)，半径为1的圆．(2)由(1)知，点(1,0)在直线x －3y －1＝0上，∴直线C 1过圆C 2的圆心．因此两交点A ，B 的连线是圆C 2的直径．∴两交点A ，B 间的距离|AB |＝2r ＝2.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －1|，关于x 的不等式f (x )<3－|2x ＋1|的解集记为A .(1)求A ；(2)已知a ，b ∈A ，求证：f (ab )>f (a )－f (b )．(1)解由f (x )<3－|2x ＋1|，得|x －1|＋|2x ＋1|<3，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－12，1－x －2x －1<3或⎩⎪⎨⎪⎧ －12<x <1，1－x ＋2x ＋1<3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －1＋2x ＋1<3，解得－1<x ≤－12或－12<x <1， ∴集合A ＝{x |－1<x <1}．(2)证明 ∵a ，b ∈A ，∴－1<ab <1，∴f (ab )＝|ab －1|＝1－ab ，f (a )＝|a －1|＝1－a ，f (b )＝|b －1|＝1－b ，∵f (ab )－(f (a )－f (b ))＝1－ab －1＋a ＋1－b＝(1＋a )(1－b )>0，∴f (ab )>f (a )－f (b )．。

【4月深圳广州二调理数】2020年广东省广州、深圳市学调联盟高三第二次调研考试理科数学试卷及答案解析

是（）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
3．已知函数 f x sin x 0, 0 的图像过两点
A 0,
2 2
,
B
4
, 0 ,
f
x
在
0,
4
内有且只有两个极值点，且极大值点小于极小值点，
2020 年广东省广州、深圳市学调联盟高三第二次调研考试理科数学试题第 1 页共 7 页
st
9
件的点 (m, n) 是双曲线 x2 y2 1一弦的中点,则此弦所在的直线 l 的方程为( ) 28
A. x 4y 10 0
B. 2x y 2 0
C. 4x y 10 0
D. 4x y 6 0
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．已知函数 f x x2 ax b a 0,b 0 有两个不同的零点 x1 ，x2 ，-2 和 x1 ，x2 三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，则函数 f x 的解析式为
7.已知函数 f(x+2)(x∈R)为奇函数，且函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,当 x∈[0,1]
时, f (x) x , 则 f( 2020)=( ) 2020
A.2020
B. 1
C. 1
D.0
2020
1010
8.在棱长为 1 的正方体 ABCD A ' B 'C ' D ' 中,已知点 P 是正方形 AA' D ' D 内部(不含边界)的一个动点,若直线 AP 与平面 AA' B ' B 所成角的正弦值和异面直线 AP 与 DC ' 所成角的余弦值相等,则sin 2x 在区间[0, 2π] 上的解为____ _ 3 3 tan 2x

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17．（本小题 12 分）已知函数 f (x) ( 3 cos x sin x)2 2 3 sin 2x ．（1）求函数 f (x) 的最小值，并写出 f (x) 取得最小值时自变量 x 的取值集合；（2）若 x [ ， ] ，求函数 f (x) 的单调减区间．
（）.
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．设 a log3 0.4 ， b log2 3 ，则
（）
A． ab 0 且 a b 0 C． ab 0 且 a b 0
B． ab 0 且 a b 0 D． ab 0 且 a b 0
2020 届广东六校高三第二次联考试题
理科数学
本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的. 1. 已知集合 P {x | x2 2x 3 0}, Q {x | 2 x 1} ，则 P Q ( )
3 3 ，则 r 的近似值为（
）
A． 3 M 2 R 3M1
B． M 2 R 2M1
C． M 2 R M1
D． 3 3M 2 R M1
11. 已知三棱锥 P ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，点 D, E 分别是 PB, BC 的中点，
PA 3, PD DE 2, PE 2 2, AD 13, AE 17 ，则球 O 的表面积为（）
5. 函数 f (x) 3x x3 在 , 的图像大致为
cos x | x |
A.
B.
C.
D.
6. 已知非零向量 a, b 满足 a 1, b 2 且 (2a b) (a b) ，则 a 与 b 的夹角为
A.
6
B.
4
C.
3
D.
2
-1-
7. 已知函数 f (x) sin(x ) cos(x )( 0, ) 的最小正周期为， 2
B． 30 或90
C． 60 或120
D． 90
4．设平面向量
a

2,1
，
b

,
2
，若
a
与
b
的夹角为锐角，则

的取值范围是（
）
A． , 4 4,1
B．

1 2
,
2

2,

C． 1,
D． ,1
5．若 a 0 ， b 0 ，则“ a b 8 ”是“ ab 16 ”的
7．已知函数
f
x

1
x2，x
0
，若
f
x 4
f
2x 3 ，则实数 x 的取值范围是
1，x 0
（）
A． 1，
B．，1
C． 1，4
D．，1
8．设等差数列an 前 n 项和为 Sn ，若 a4 S5 2 ， S7 14 ，则 a10
15.
数列
an
满足
an1

an

1 2
(an
an1 )
(n

N
*,n

1)
，
a1

1, a8

1 128
，则
a2

______。
16. 已知不等式 xe2x kx 2e2 恒成立，则 k 的取值范围是______。
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
4

2
，则
tan
2

___________．
15．若 f x 1 x3 1 f 1 x2 x 1 ，则曲线 y f x 在点 (1, f 1) 处的切线方程是
32
2
______________________．
16．已知三棱锥 P ABC 的四个顶点均在同一个球面上，底面 ABC 满足 BA BC
且 f (x) f (x) ，则
A.
f
(x)
在

0,
2

单调递增
B.
f
(x)
在
4
,
3 4

单调递增
C.
f
(x)
在

0,
2

单调递减
D.
f
(x)
在 4
,
3 4

单调递减
8. 记等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若已知 a3 1, S9 9 ，则
其中所有正确结论的编号是(
)
A. ①③
B. ②③
C.①②
D. ③④
10. 2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一
重大成就, 实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系。为解决这
个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L2 点的轨道运行， L2 点是平
(1) 求 B ； (2) 若 ABC 为锐角三角形，且 c 2 ，求 ABC 面积的取值范围。
-4-
21. (12 分）两县城 A 和 B 相距 30km ，现计划在两县城外位于线段 AB 上选择一点 C 建造一个两县城的公共垃圾处理厂，已知垃圾处理厂对城市的影响度与所选地点到城市的的距离关系最大，其他因素影响较小暂时不考虑，垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为对城 A 与城 B 的影响度之和. 记 C 点到城 A 的距离为 xkm ，建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y ，统计调查表明：垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比，比例系数 2.7；垃圾处理厂对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比，比例系数为 k ；且当垃圾处理厂 C 与城 A 距离为10km 时对城 A 和城 B 的总影响度为 0.029. (1) 将 y 表示成 x 的函数； (2) 讨论⑴中函数的单调性，并判断在线段 AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城 A 的距离；若不存在，说明理由．
PA m PB ，当 m 取最大值时，点 P 恰好在以 A、B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为
（）
A． 2 1
B． 2 1 2
C． 5 1 2
D． 5 1
12．若存在唯一的正整数
x0
，使得不等式
2x ex

ax

a

0
恒成立，则实数
a
的取值范围是
（
）
A．

0,
4 3e2

A. a b c
B. a c b
C. b c a
D. c a b
4. 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )
A. 24
B. 25
C. 41
D. 50
12. 已知函数 f (x) e x ex a 与 g(x) ln x 1 的图象上存在关于 x 轴对称的点， x
则 a 的取值范围是
-2-
A.(,e]
B.( ,1]
C.[ 1,)
D.[ e,)
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 已知正方形 ABCD 的边长为1，点 E 是 AB 边上的动点，则 DE CB 的值为________， 14. 已知 △ ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 (a b c)(a b c) ac ，
则 tan B ________.
(1) 求数列 an 的通项公式
(2)
记 bn

log2
anan 1

，数列 bn的前
n
项和为 Tn
，求证：
1 T1

1 T2
1 Tn
1
-3-
19.（12 分）
如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，
AB 5, AC 8 ，点 E, F 分别在 AD, CD 上，
A. an 3n 10
B. an 2 n
C.
Sn

1 2
n2

7 2
n
9. 关于函数 f(x)＝tan|x|+|tanx|有下述四个结论：来自D. Sn n2 8n
① f(x)是偶函数;
②
f(x)在区间

2
,
0

上单调递减;
③ f(x)是周期函数; ④ f(x)图象关于 ,0 对称 2
A. {x | x 1}
B. {x | x 1}
C. {x | 0 x 3} D. {x | 1 x 0}
2. “ m 0且n 0 ”是“ mn 0 ”成立的（ A. 充分不必要条件 C. 充要条件
） B. 必要不充分条件 D.不充分不必要条件
3. 已知 a log3 0.3, b log0.3 0.2, c 0.30.2 ，则( )

2020届广东省六校高三第二次联考数学试题