含有一个量词的否定
1.4.2 含有一个量词的命题的否定
1.4.2含有一个量词的命题的否定学习目标 1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.知识点一全称命题与特称命题的否定思考1写出下列命题的否定：①所有的矩形都是平行四边形；②有些平行四边形是菱形.答案①并非所有的矩形都是平行四边形.②每一个平行四边形都不是菱形.思考2对①的否定能否写成：所有的矩形都不是平行四边形？答案不能.思考3对②的否定能否写成：有些平行四边形不是菱形？答案不能.知识点二含有一个量词的命题p的否定真假性判断对“含有一个量词的命题p的否定”的真假判断一般有两种思路：一是直接判断¬p的真假，二是用p与¬p的真假性相反来判断.类型一全称命题的否定例1写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)p：任意n∈Z，则n∈Q；(2)p：等圆的面积相等，周长相等；(3)p：偶数的平方是正数.解(1)¬p：存在n0∈Z，使n0∉Q，这是假命题.(2)¬p：存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题.(3)¬p：存在偶数的平方不是正数，这是真命题.反思与感悟(1)写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定.(2)有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”.跟踪训练1写出下列全称命题的否定：(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数；(2)p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3；(3)p：数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数；(4)p：可以被5整除的整数，末位是0.解(1)¬p：存在一个能被3整除的整数不是奇数.(2)¬p：∃x0∈Z，x20的个位数字等于3.(3)¬p：数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数.(4)¬p：存在被5整除的整数，末位不是0.类型二特称命题的否定例2写出下列特称命题的否定：(1)p：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；(2)p：有的三角形是等边三角形；(3)p：有一个素数含三个正因数.解(1)¬p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0.(2)¬p：所有的三角形都不是等边三角形.(3)¬p：每一个素数都不含三个正因数.反思与感悟 与全称命题的否定的写法类似，要写出特称命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到特称命题的否定. 跟踪训练2 写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)至少有一个实数x 0，使得x 20＋2x 0＋5＝0； (2)存在一个平行四边形，它的对角线互相垂直； (3)存在一个三角形，它的内角和大于180°； (4)存在偶函数为单调函数.解 (1)命题的否定：对任意x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠0，是真命题.(2)命题的否定：对于任意的平行四边形，它的对角线都不互相垂直，是假命题. (3)命题的否定：对于任意的三角形，它的内角和小于或等于180°，是真命题. (4)命题的否定：所有的偶函数都不是单调函数，是真命题. 类型三 全称命题与特称命题的应用例3 (1)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋a ≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________. 答案 (0,1)解析 方法一 若命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋a ≤0是真命题，得Δ＝(2a )2－4a ≥0，即a (a －1)≥0, 若命题p 是假命题，则a (a －1)<0，解得0<a <1.方法二 依题意，命题¬p ：∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋a >0是真命题，得Δ＝(2a )2－4a <0，即a (a －1)<0，解得0<a <1.(2)已知命题p (x )：sin x ＋cos x >m ，q (x )：x 2＋mx ＋1>0.如果对∀x ∈R ，p (x )为假命题且q (x )为真命题，求实数m 的取值范围.解 由于命题p (x )：对∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m 是假命题， 则¬p (x )：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0≤m 是真命题， 因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2，2]， 所以m ≥－ 2即可.由于q (x )：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0为真命题， 即对于∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立， 有Δ＝m 2－4<0，所以－2<m <2. 依题意，得－2≤m <2.所以实数m 的取值范围是{m |－2≤m <2}.反思与感悟 (1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决.(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设.跟踪训练3已知命题p：“∃x0∈R，sin x0<m”，命题q：“∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立”，若p∧q是真命题，求实数m的取值范围.解由于p∧q是真命题，则p，q都是真命题.因为“∃x0∈R，sin x0<m”是真命题，所以m>－1.又因为“∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，所以Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2.综上所述，实数m的取值范围是(－1,2).1.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：∀x∈A,2x∈B，则()A.¬p：∀x∈A,2x∉BB.¬p：∀x∉A,2x∉BC.¬p：∃x0∉A,2x0∈BD.¬p：∃x0∈A,2x0∉B答案D解析根据题意可知命题p：∀x∈A,2x∈B的否定是¬p：∃x0∈A,2x0∉B.2.设命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，则¬p为()A.∃x0∈R，x20＋1＞0B.∃x0∈R，x20＋1≤0C.∃x0∈R，x20＋1＜0D.∀x∈R，x2＋1≤0答案B解析命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，是一个全称命题.∴¬p：∃x0∈R，x20＋1≤0.3.下列命题的否定为假命题的是()A.∃x∈R，x2＋2x＋2≤0B.∀x∈R，lg x＜1C.所有能被3整除的整数都是奇数D.∀x∈R，sin2x＋cos2x＝1解析对于选项A，因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0，所以∃x∈R，x2＋2x＋2≤0是假命题，故其否定为真命题；对于选项B，因为当x＞10时，lg x＞1，所以∀x∈R，lg x＜1是假命题，故其否定为真命题；对于选项C，因为6能被3整除，但6是偶数，所以这是假命题，其否定为真命题；对于选项D，显然成立，因此其否定是假命题.4.“∃x0∈M，p(x0)”的否定为________________.答案∀x∈M，¬p(x)5.“至多有两个人”的否定为________________.答案至少有三个人解析“至多有两个人”含义是有0人或1人或2人，故“至多有两个人”的否定为“至少有三个人”.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题.(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.一、选择题1.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A.所有不能被2整除的整数都是偶数B.所有能被2整除的整数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的整数是偶数D.存在一个能被2整除的整数不是偶数答案D解析原命题为全称命题，其否定应为特称命题，且结论否定.2.命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是()A.∀x∈R，|x|>0B.∃x0∈R，|x0|>0C.∀x∈R，|x|≤0D.∃x0∈R，|x0|≤0解析由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.3.命题“存在x∈Z，使x2＋2x＋m≤0成立”的否定是()A.存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0B.不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0C.对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0D.对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>0答案D解析特称命题的否定是全称命题.4.已知命题“∀a、b∈R，如果ab>0，则a>0”，则它的否命题是()A.∀a、b∈R，如果ab<0，则a<0B.∀a、b∈R，如果ab≤0，则a≤0C.∃a、b∈R，如果ab<0，则a<0D.∃a、b∈R，如果ab≤0，则a≤0答案B解析条件ab>0的否定为ab≤0；结论a>0的否定为a≤0，故选B.5.下列命题错误的是()A.命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”B.若p∧q为假命题，则p、q均为假命题C.命题p：存在x0∈R，使得x20＋x0＋1<0，则¬p：任意x∈R，都有x2＋x＋1≥0D.“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件答案B解析由逆否命题“条件的否定作结论，结论的否定为条件”知A为真命题；p∧q为假命题时，p假或q假，故B错误；由“非”命题的定义知C正确；∵x>2时，x2－3x＋2>0成立，x2－3x＋2>0时，x<1或x>2，∴D正确.6.已知命题p：∃n∈N,2n>1 000，则¬p为()A.∀n∈N,2n≤1 000B.∀n∈N,2n>1 000C.∃n∈N,2n≤1 000D.∃n∈N,2n>1 000答案A解析特称命题的否定为全称命题，“>”的否定为“≤”.7.下列命题中是假命题的是()A.∃m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减B.∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点C.∃α、β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin βD.∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 答案 D解析 ∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1， ∴m ＝2，f (x )＝x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上递减，故A 真； ∵y ＝ln 2x ＋ln x 的值域为⎣⎡⎭⎫－14，＋∞， ∴对∀a >0，方程ln 2x ＋ln x －a ＝0有解， 即f (x )有零点，故B 真； 当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 真； 当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 为偶函数，故D 为假命题. 二、填空题8.命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是______________. 答案 任意x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5≠0解析 特称命题的否定是全称命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”. 9.命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为________________________________________________________________________. 答案 过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内 解析 原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词.10.已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，则m 的取值范围是________________. 答案 m ≤－2或－1<m <2 解析 p ：m ≤－1，q ：－2<m <2， ∵p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，∴p 与q 一真一假，当p 假q 真时，－1<m <2， 当p 真q 假时，m ≤－2，∴m 的取值范围是m ≤－2或－1<m <2.11.若“∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0”为真命题，则实数a 的取值范围是________________. 答案 a >2或a <－2解析 由于∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0，又二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋1开口向上，故Δ＝a 2－4>0，所以a >2或a <－2. 三、解答题12.写出下列命题的否定并判断真假：(1)不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根； (2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； (3)某些梯形的对角线互相平分； (4)被8整除的数能被4整除.解 (1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0都有实数根”，其否定是¬p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m <0，即m <－14时，一元二次方程没有实数根，因此¬p 是真命题. (2)命题的否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题. (3)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题. (4)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题. 13.若“∃x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin x 0＋3cos x 0<m ”为假命题，求实数m 的取值范围. 解 令f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，可知f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数， 在⎝⎛⎦⎤π6，π2上为减函数，由于f (0)＝3，f ⎝⎛⎭⎫π2＝1， 所以1≤f (x )≤2，由于“∃x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2， sin x 0＋3cos x 0<m ”为假命题，则其否定“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin x ＋3cos x ≥m ”为真命题， 所以m ≤f (x )min ＝1，即m ≤1.。
1.4.3含有一个量词的命题的否定
例2：
写出下列特称命题的否定：
（1）p: 存在一对实数，使2x＋3y＋3>0成立； （2）p: 有些三角形不是等腰三角形； （3）p: 有一个素数含三个正因数.
（1） ┐p：所有的实数都使得2x＋3y＋3≤0成立； （2） ┐p：所有的三角形都是等腰 三角形； （3） ┐p：所有的素数都不含有三个因数.
命
全称命题
题
特称命题
表 述
(1)所有x A, p(x)成立.
(1)存在x0 A,使p(x0 )成立.
(2)对一切x A, p(x)成立. (2)至少有一个x0 A,使p(x0 )
(3)对每一个x A, p(x)成立. 成立.
方 (4)任选一个x A,使p(x) 法 成立.
(3)对有些x0 A,使p(x0 )成立. (4)对某个x0 A,使p(x0 )成立.
探究一：
写出下列命题的否定：
（1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数； （3）x∈R, x2－2x＋1≥0.
（1）并非所有的矩形都是平行四边形; 即 存在矩形不是平行四边形；
（2）并非每一个素数都是奇数；
即 存在素数不是奇数； （3）并非所有的x ∈ R，x2-2x+1≥0.
即 x0 ∈ R，x02-2x0+1<0.
一般地 , 对于含有一个量词的全称命题的 否定 , 有下面的结论:
结论一：
全称命题p : x ∈M，p （ x）， 它的否定┐p : x0 ∈M, ┐p （ x0 ）.
例1：
写出下列全称命题的否定：
（1）p：所有自然数的平方是正数； （2）p：所有可以被5整除的整数，末位 数字都是0； （3）p：每一个四边形的四个顶点共圆.
高中数学 1.4.3含有一个量词的命题的否定练习 新人教A版高二选修1-1数学试题
1.4.3含有一个量词的命题的否定一、选择题1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 [答案] B[解析] 量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B ．2．(2015·潍坊四县联考)命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，|x |>0 B ．∃x 0∈R ，|x 0|>0 C ．∀x ∈R ，|x |≤0 D ．∃x 0∈R ，|x 0|≤0[答案] C[解析] 由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C ．3．(2015·东北三校模拟)已知命题p ：∃x ∈(0，π2)，sin x ＝12，则¬p 为( )A ．∀x ∈(0，π2)，sin x ＝12B ．∀x ∈(0，π2)，sin x ≠12C ．∃x ∈(0，π2)，sin x ≠12D ．∃x ∈(0，π2)，sin x >12[答案] B[解析] ¬p 表示命题p 的否定，即否定命题p 的结论，由“∃x ∈m ，p (x )”的否定为“∀x ∈m ，¬p (x )”知选B4．(2015·某某省八校联考)命题“∀x ∈R ，e x >x 2”的否定是( ) A ．不存在x ∈R ，使e x >x 2B ．∃x ∈R ，使e x <x 2C ．∃x ∈R ，使e x ≤x 2D ．∀x ∈R ，使e x ≤x 2[答案] C[解析] 原命题为全称命题，故其否定为存在性命题，“>”的否定为“≤”，故选C ． 5．(2015·某某市曲江一中月考)下列说法正确的是( )A ．“a >1”是“f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数”的充要条件B ．命题“∃x ∈R 使得x 2＋2x ＋3<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0”C ．“x ＝－1”是“x 2＋2x ＋3＝0”的必要不充分条件 D ．命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2”，则¬p 是真命题 [答案] A[解析] a >1时，f (x )＝log a x 为增函数，f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)为增函数时，a >1，∴A 正确；“<”的否定为“≥”，故B 错误；x ＝－1时，x 2＋2x ＋3≠0，x 2＋2x ＋3＝0时，x 无解，故C 错误；∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2恒成立，∴p 为真命题，从而¬p 为假命题，∴D 错误．6．命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是( ) A ．存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 B ．不存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根 C ．对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 D ．至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根 [答案] C[解析] ¬p ：对任意实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根，故选C ． 二、填空题7．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是______. [答案] 任意x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5≠0[解析] 特称命题的否定是全称命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”． 8．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为________. [答案] 过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内 [解析] 原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词．9．命题“∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0”为真命题，则实数a 的取值X 围是________. [答案] a >2或a <－2[解析] 由于∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0，又二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋1开口向上，故Δ＝a 2－4>0，所以a >2或a <－2.三、解答题10．写出下列命题的否定并判断真假：(1)不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根； (2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； (3)某些梯形的对角线互相平分； (4)被8整除的数能被4整除．[解析] (1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0都有实数根”，其否定是¬p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m <0，即m <－14时，一元二次方程没有实根，因此¬p 是真命题．(2)命题的否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题． (3)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题． (4)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．一、选择题1．(2015·某某理)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *,f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *,f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *,f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *,f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0 [答案] D[解析] 命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ” 其否定为：“∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0”．2．已知命题“∀a 、b ∈R ，如果ab >0，则a >0”，则它的否命题是( ) A ．∀a 、b ∈R ，如果ab <0，则a <0 B ．∀a 、b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0 C ．∃a 、b ∈R ，如果ab <0，则a <0 D ．∃a 、b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0 [答案] B[解析] 条件ab >0的否定为ab ≤0； 结论a >0的否定为a ≤0，故选B ．3．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(¬p )∧qC ．p ∧(¬q )D ．(¬p )∧(¬q )[答案] B[解析] 由20＝30知p 为假命题；令h (x )＝x 3＋x 2－1，则h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，∴方程x 3＋x 2－1＝0在(－1,1)内有解，∴q 为真命题，∴(¬p )∧q 为真命题，故选B ．4．(2014·某某省某某市检测)下列命题中是假命题．．．的是( ) A ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减 B ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点 C ．∃α、β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin βD ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 [答案] D[解析] ∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1，∴m ＝2，f (x )＝x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上递减，故A 真；∵y ＝ln 2x ＋ln x 的值域为[－14，＋∞)，∴对∀a >0，方程ln 2x ＋ln x －a ＝0有解，即f (x )有零点，故B 真；当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 真；当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos2x 为偶函数，故D 为假命题．二、填空题5．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14<0，命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2，则p ∨q ，p ∧q ，¬p ，¬q 中是真命题的有________.[答案] p ∨q ¬p[解析] ∵x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0，故p 是假命题，而存在x 0＝π4，使sin x 0＋cos x 0＝2，故q 是真命题，因此p ∨q 是真命题，¬p 是真命题．6．(2015·某某市八县联考)已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，则m 的取值X 围是________.[答案] m ≤－2或－1<m <2[解析] p ：m ≤－1，q ：－2<m <2，∵p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，∴p 与q 一真一假，当p 假q 真时，－1<m <2，当p 真q 假时，m ≤－2，∴m 的取值X 围是m ≤－2或－1<m <2.三、解答题7．写出下列命题的否定． (1)p ：∀x >1，log 2x >0； (2)p ：∀a ，b ∈R ，a 2＋b 2>0； (3)p ：有的正方形是矩形； (4)p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋2>0. [解析] (1)¬p ：∃x 0>1，log 2x 0≤0. (2)¬p ：∃a 、b ∈R ，a 2＋b 2≤0. (3)¬p ：任意一个正方形都不是矩形． (4)¬p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋2≤0. 8.已知命题p ：f (x )＝x ＋1x ＋a在[2，＋∞)上单调递减；命题q ：g (x )＝log a (－x 2－x ＋2)的单调递增区间为[－12，1)．若命题p ∧q 为真命题．某某数a 的取值X 围．[解析] ∵f (x )＝x ＋1x ＋a ＝1＋1－ax ＋a在[2，＋∞)上单调递减， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a >0，－a ≤2.∴－2≤a <1.∵g (x )＝log a (－x 2－x ＋2)的单调递增区间为[－12，1)，∴0<a <1.要使p ∧q 为真命题，应有p 真且q 真，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a <1，0<a <1，∴0<a <1.∴实数a 的取值X 围是0<a <1.。
常用逻辑用语含有一个量词的命题的否定
在日常生活中，我们常常需要对这些命题进行否定。如“不是所有的猫都喜欢吃 鱼”、“不是所有人都喜欢运动”、“不是有些人喜欢吃甜食”等等。这些否定 命题中，量词不变，但是否定的内容变了。
在法律和医学中的应用
法律中的否定
在法律中，否定命题的应用非常广泛。如“不得侵犯他人的 人身权利”、“不得盗窃他人财物”、“不得伪造证件”等 等。这些命题中都包含着量词，如“不得”、“可以”。
命题
命题是一个判断（陈述）的语义表达，它可以被证实为真或 假。
命题的否定的定义与性质
命题的否定
命题的否定是在原命题的基础上，对其结论进行否定，即原命题为真，其否 定为假；原命题为假，其否定为真。
命题否定的性质
命题的否定具有唯一性，即对于任何一个命题，其否定只有一个。
常用逻辑用语与命题否定的关系
关系
02
关注逻辑学的新进展：随着逻辑学的发展，对于含有一个量词的命题的否定的 研究也在不断深入。需要关注逻辑学的新进展，以便了解最新的研究成果和研 究趋势。
03
研究实际应用：研究含有一个量词的命题的否定不仅是为了理论上的探讨，还 为了解决实际应用中的问题。因此，需要结合实际应用场景，研究和解决具体 问题。
04
命题否定与逻辑关系
命题否定与逻辑运算符的关系
命题否定与逻辑运算符的关联
命题否定是一种逻辑否定与逻辑运算符的差异
命题否定只对一个命题进行操作，而逻辑运算符可以对多个命题进行操作。
命题否定与逻辑推理的关系
命题否定与逻辑推理的关联
数学命题的否定
数学命题的否定是指以原命题的否定的真假为依据，即 若原命题为真则其否命题为假，若原命题为假则其否命 题为真。
在日常思维中的应用
1.4.3 含有一个量词的 命题的否定 全称命题-高中数学选修2-1教案
1.4.3含有一个量词的命题的否定【教学内容分析】“含有一个量词的命题的否定”选自数学人教A版选修2-1第一章第四节的内容，它包括两块内容：一是含有一个全称量词的命题的否定，二是含有一个存在量词的命题的否定。
本节课是学生在老师的带领下，通过探究理解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，并且会正确地对含有一个量词的命题进行否定。
在教学中使学生体会从具体到一般的认知过程,培养学生抽象、概括的能力,通过学生的合作探究,培养培养他们的良好的思维品质。
【学情分析】本节内容是数学选修2-1第一章的最后一节内容,学习对象为高二年级学生，他们在前面已经学习了全称量词与存在量词的定义，以及否命题和一般命题的否定。
所以本节课在此基础上，也是学生对命题的否定的再认识，学生能够知道含有一个量词的命题的否定方法和前面学习的一般命题的否定方法有部分区别。
同时学好本节课也是为了让学生对否命题与命题的否定能够区分开。
【教学目标】1．知识与技能目标：理解全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；2．过程与方法目标：通过探究实例，能够归纳出含一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律；3．情感态度价值观：通过本节课的学习，培养学生的辨析能力以及良好的思维品质。
【教学重难点】重点：理解全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定。
【设计思路】本节课是针对于高二年级的教学内容，“含有一个量词的命题的否定”即是含有全称量词或者存在量词的命题的否定。
学生通过探究实例，老师进行引导归纳出全称命题的否定变成了特称命题，在这一过程当中，量词进行改变，条件不变，结论进行否定。
其次学生通过类比全称命题的否定是特称命题，自行归纳得出特称命题的否定是全称命题，在这一过程当中，还是量词进行改变，条件不变，结论否定。
所以通过对比形式变化，可以得出：含有一个量词的命题的否定即是：量词改变，结论否定。
含一个量词的命题的否定 课件
│ 考点类析
[小结] (1)对任意的实数 x，a>f(x)恒成立，只需 a>f(x)max； 若存在一个实数 x0 ，使 a>f(x0 )成立，只需 a>f(x)min.(2)关于 恒成立的问题的求解方法：一是转化为二次函数求解；二是 利用分离参数法求解．
__∀__x_∈__M__，__￢_p__(_x_) ___________.
│ 预习探究
一些常见的量词的否定
词语 词语的 否定
词语
词语的 否定
是
不是
至少有 一个 一个 也没有
一定是
不一定是
至少 有n个 至多有 n－1 个
都是 大于
小于 且
不都是
小于或 等于
大于或 等于
或
至多 所有 x 有一个 成立
│ 考点类析
例 2 写出下列特称命题的否定，并判断其真假． (1)p：∃x0∈R，2x0＋1≥0； (2)q：∃x0∈R，x20－x0＋14<0； (3)r：有些分数不是有理数． 解：(1) ￢p：∀x∈R，2x＋1<0，￢p 为假命题． (2) ￢p：∀x∈R，x2－x＋14≥0. ∵x2－x＋14＝x－122≥0，∴￢p 是真命题． (3) ￢r：一切分数都是有理数，￢r 是真命题．
含有一个量词的命题的否定
► 知识点一 含有一个量词的全称命题的否定
对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题 p：∀x∈M，p(x)，它的否定￢p： _____∃__x0_∈__M__，__￢__p_(_x_0_) ______.
► 知识点二 含有一个量词的特称命题的否定 对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论： 特称命题 p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定￢p：
含一个量词的命题的否定
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
2021/10/10
3
从命题形式上看,这三个全称命题的否定都 变成了特称命题.
一般地,对于含有一个量词的全称命题的否 定,有下面的结论:
全称命题p: xM,p(x)
它的否定 p : x0∈M, ﹁p(x0)
全称命题的否定是特称命题.
2021/10/10
4
例1 写出下列全称命题的否定： (1) p: 所有能被3整除的整数都是奇数; (2) p: 每一个四边形的四个顶点共圆; (3) p: 对任意x∈Z, x2的个位数字不等于3.
2021/10/10
11
例3. 写出下列命题的否定： （1） 若x2>4，则 x>2； （2） 若m≥0,则 x2+x－m=0有实数根； （3） 可以被5整除的整数，末位是0； （4） 被8整除的数能被4整除； （5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等.
解：(1)原命题完整表述：对任意的实数x,若x2>4,则x>2.
解：(1) ¬p:存在一个能被3整除的整数不是奇数.
(2) ¬p:存在一个四边形,它的四个顶点不共圆.
(3) ¬p:
x0
Z,
x
2 0
的个位数字等于3.
【说明】否定时,不能只是简单的否定结论， 全称命题的否定变成特称命题.
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探究
写出下列命题的否定
1)有些实数的绝对值是正数； x0∈M, p(x0)
2)某 些 平 行 四 边 形 是 菱 形 ； x0∈M, p(x0)
3) x0∈R, x02+1＜0
否定:
x0∈M, p(x0)
1)所有实数的绝对值都不是正数; xM,p(x)
§1.4.3含有一个量词的命题的否定
§ 1.4.3含有一个量词的命题的否定学习目标: 了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律。
难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定。
预习导航：认真阅读教材，完成导学案上的预习导航，并将不懂知识进行标注。
1、复习回顾：全称命题:特称命题:2、判断全称命题和特称命题真假的方法：3、命题的否定与否命题有什么区别？4、命题“一个数的末位数字是0，则它可以被5整除”的否命题和命题的否定分别是什么？5、判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出下列命题的否定吗？（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）∀x∈R, x2－2x＋1≥0；（4）有些实数的绝对值是正数；（5）某些平行四边形是菱形；（6）∃x0∈R, x2＋1＜0.全称命题p: ∀x∈M，p（x），它的否定﹁p: 。
否定的方法“一改量词二否结论”.练习1、命题“所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是（）A.所有能被3整除的整数都不是奇数B.不存在一个奇数，它不能被3整除C.存在一个奇数，它不能被3整除D.不存在一个奇数，它能被3整除例1 写出下列全称命题的否定：（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数；（2）p：每一个四边形的四个顶点共圆；（3）p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3. 探究2、省略全称量词的全称命题的否定:例2、设命题p:“平行四边形是矩形” (1) p是真命题还是假命题？(2)请写出命题p的否定形式；并判断真假。
探究3、特称命题的否定：特称命题p：∃x∈M，p（x），它的否定﹁p: 。
否定的方法“1改量词 2否结论”。
说明：全称命题的否定是特称命题。
特称命题的否定是全称命题。
在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成特称性的量词，特称性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。
即须遵循下面法则：否定全称得特称，否定特称得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.练习2、命题“存在一个三角形，内角和不等于180o”的否定为（）A.存在一个三角形，内角和等于180oB.所有三角形，内角和都等于180oC.所有三角形，内角和都不等于180oD.很多三角形，内角和不等于180o例3、写出下列特称命题的否定：（1）p：∃ x∈R，x2＋2x＋2≤0；（2）p：有的三角形是等边三角形；（3）p：有一个素数含有三个正因数.例4、写出下列命题的否定,并判断其真假：（1）p：任意两个等边三角形都是相似的;（2）p：∃x0∈R, x02＋2x0＋2=0.课堂练习:1. 命题“存在x∈ R，2x0 ≤0”的否定是（）（A）不存在x∈R, 2x0 >0 （B）存在x∈R, 2x0≥ 0（C）对任意的x∈R, 2x≤ 0 （D）对任意的x∈R, 2x >02. 已知命题p：∀x∈R ，sin x≤ 1，则（）A．┐ p：∃x∈R ，sin x≥ 1; B．┐ p：∀x∈R ，sin x≥ 1;C．┐ p：∃x∈R ，sin x >1; D．┐ p：∀x∈R ，sin x >1.3. 命题“所有自然数的平方都是正数”的否定为（）A.所有自然数的平方都不是正数B.有的自然数的平方是正数C.至少有一个自然数的平方是正数D.至少有一个自然数的平方不是正数二．小结：1：一般地，全称命题 P：∀ x∈M,有P（x）成立；其否定命题┓P为：∃x。
含有一个量词的命题的否定 课件
『规律总结』 1.一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个 命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称 量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．
2．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完 整形式，再依据规则来写出命题的否定．
所以 m≥(12)x2，x2∈[0,2] 所以 m≥(12)0，即 m≥1. [辨析] 错误的根本原因是恒成立问题等价转化中产生错误，实际上∃x2∈ [0,2]，m≥(12)x2，只需 m 大于或等于(12)x2 在[0,2]上的最小值即可． [正解] 因为 x1∈[－1,3]，所以 f(x1)∈[0,9]，又因为对∀x1∈[－1,3]，∃x2 ∈[0,2]，使得 f(x1)≥g(x2)，即∃x2∈[0,2]，g(x2)≤0，即(12)x2－m≤0，所以 m≥(12)x2， m≥(12)2，即 m≥14.
命题方向1 ⇨全称命题、特称命题的否定
写出下列命题的否定. (1)p：∃x∈R ，x2＋2x＋2≤0； (2)p：有的三角形是等边三角形； (3)p：所有能被 3 整除的整数是奇数； (4)p：每一个四边形的四个顶点共圆．
[规范解答] (1)¬p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0. (2)¬p：所有的三角形都不是等边三角形． (3)¬p：存在一个能被3整除的整数不是奇数． (4)¬p：存在一个四边形的四个顶点不共圆．
命题方向2 ⇨利用全称命题与特称命题求参数的取值范围
写出下列命题的否定. (1)可以被 5 整除的数，末位是 0； (2)能被 3 整除的数，也能被 4 整除． [思路分析] (1)(2)中均为省略了全称量词的全称命题，书写其否定时，要补 全量词，不能只否定结论，不否定量词． [规范解答] (1)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为：有些可以被 5 整除的数，末位不是 0. (2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为：存在一个能被 3 整除的数，不 能被 4 整除．
第一章 1.4.3含有一个量词的命题的否定
填一填·知识要点、记下疑难点
1.4.3
1.全称命题的否定：
本 讲 栏 目 开 关
全称命题 p：∀x∈M，p(x)， 它的否定綈 p：∃x0∈M，綈 p(x0). 2.特称命题的否定： 特称命题 p：∃x0∈M，p(x0)， 它的否定綈 p： ∀x∈M，綈 p(x). 3.全称命题的否定是 特称 命题. 特定命题的否定是 全称 命题.
p≥1或p≤－1， 2 即 p≥3或p≤－3. 2
3 ∴p≥ 或 p≤－3. 2
3 故 p 的取值范围是－3<p< . 2
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小结
1.4.3
通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维
的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集 合的补集，可避免繁杂的运算. 跟踪训练 3 已知下列三个方程：(1)x2＋4ax－4a＋3＝0；
本 讲 栏 目 开 关
(2)p：若 an＝－2n＋10，则∃N，使 Sn<0.
解 (1)綈 p：∀x>1，x2－2x－3≠0.(假)
(2)綈 p：若 an＝－2n＋10，则∀n∈N，Sn≥0.(假)
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探究点三 例3 特称命题、全称命题的综合应用
1.4.3
已知函数 f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1 在区间[－1,1]
对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：
本 讲 栏 目 开 关
(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题. (2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词 改为恰当的全称量词. (3)否定结论： 原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等 改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等. (4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.
含有一个量词的命题的否定(整理)
“特称命题”是指含有“存在量词”的命题。
小结
含有一个量词的命题的否定 一般地，我们有：
“x M , p( x)”的否定为“ x M , p( x)” , “x M , p( x)”的否定为“ x M , p( x)”。
即“全称肯定”的否定是“特称否定” ，另外“全称否定”的定是“特称肯定”. 反过来也一样.
p:“所有的平行四边形是矩形” 假命题
¬p:“不是所有的平行四边形是矩形” 也就是说“存在至少一个平行四边形它不是矩形”
所以，¬p : “存在平行四边形不是矩形”真命题
情景二
对于下列命题：
想一想？
所有的人都喝水； 2 存在有理数，使 x 2 0； 对所有实数都有 | a | 0 。
命题（3）的否定为“并非对所 有的实数 a，都有 a 0” , 即“存在实数 a，使 a 0” .
探究
写出下列命题的否定
1)所有的矩形都是平行四边形； x M,p(x)
2)每一个素数都是奇数； 2 3)x R, x 2 x 1 0 否定:
2)存在一个素数不是奇数；
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
从形式看,特称命题的否定都变成了全称命题. 含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论
特称命题 p : x M,p(x) 它的否定
p : x M,p(x)
例2 写 出下列特称 命题 的否定： 1）p:x R,x2 +2x+3 0；
2）p:有的三角形是等边三角形；
含有存在量词的命题，叫做特称命题
复习回顾
判断全称命题和特称命题真假
要判定全称命题“ x∈M, p(x) ”是真命题，需要对集合M中 每个元素x, 证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0,使 得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题
《含有一个量词的命题的否定》 说课稿
《含有一个量词的命题的否定》说课稿尊敬的各位评委、老师们：大家好！今天我说课的内容是《含有一个量词的命题的否定》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析本节课是高中数学选修2-1 第一章第四节的内容。
在前面的学习中，学生已经掌握了全称量词和存在量词的概念以及全称命题和特称命题的形式。
本节课在此基础上，进一步研究含有一个量词的命题的否定，这不仅是对前面知识的深化和拓展，也为后续学习逻辑推理和证明打下坚实的基础。
教材通过具体的例子，引导学生观察、分析、归纳，总结出含有一个量词的命题的否定的规律和方法，体现了从特殊到一般的数学思想。
二、学情分析学生在之前的学习中已经对全称量词和存在量词有了一定的认识，但对于命题的否定还处于较为模糊的阶段。
在学习过程中，学生可能会在理解和运用命题的否定规则时出现困难，容易混淆全称命题和特称命题的否定形式。
因此，在教学中要注重引导学生通过实例进行分析和比较，加深对概念的理解和掌握。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解含有一个量词的命题的否定的概念。
（2）掌握全称命题和特称命题的否定形式，并能正确地写出它们的否定。
（3）能够运用含有一个量词的命题的否定解决一些简单的数学问题。
2、过程与方法目标（1）通过具体例子的分析和探究，培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理的能力。
（2）让学生经历从特殊到一般、从具体到抽象的思维过程，体会数学思想方法的应用。
3、情感态度与价值观目标（1）通过自主探究和合作交流，激发学生的学习兴趣和求知欲，培养学生勇于探索的精神。
（2）让学生在解决问题的过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的信心。
四、教学重难点1、教学重点（1）全称命题和特称命题的否定形式。
（2）正确写出含有一个量词的命题的否定，并判断其真假。
2、教学难点理解全称命题和特称命题的否定形式的本质，以及在实际应用中灵活运用命题的否定解决问题。
人教A版高中数学高二版选修1-1 1.4.2含一个量词的命题的否定教案
1.4.2 含一个量词的命题的否定教学目标分析：知识目标：（1）掌握对含有一个量词的命题进行否定的方法，要正确掌握量词否定的各种形式；（2）明确全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题.过程与方法：使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．情感目标：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．重难点分析：重点：全称量词与存在量词命题间的转化；难点：隐蔽性否定命题的确定；互动探究：一、课堂探究：1、复习引入：（1）判断下列命题是否为全称命题：①有一个实数α，tan α无意义；②任何一条直线都有斜率；（2）判断以下命题的真假： ①21,04x R x x ∀∈-+≥；②2,3x Q x ∃∈=数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ∀”与“∃”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与特称命题。
在全称命题与特称命题的逻辑关系中，,p q p q ∨∧都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。
探究一、写出下列命题的否定：（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）2,210x R x x ∀∈-+≥.这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?2、含有一个量词的全称命题的否定：一般地，对于一个含有一个量词的全称命题的否定有下面的结论：全称命题p ：,()x M p x ∀∈，它的否定p ⌝：00,()x M p x ∃∈⌝说明：全称命题的否定是特称命题.探究二、写出下列命题的否定：（1）有些实数的绝对值是正数；（2）某些平行四边形是菱形；（3）200,10x R x ∃∈+<. 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?3、含有一个量词的特称命题的否定：一般地，对于一个含有一个量词的特称命题的否定有下面的结论：特称命题p ：00,()x M p x ∃∈，它的否定p ⌝：,()x M p x ∀∈⌝.说明：特称命题的否定是全称命题.4、关键量词的否定：（1）p ：所有能被3整除的数都是奇数；（2）p ：每一个平行四边形的四个顶点共圆；（3）p ：对任意x Z ∈，2x 的个位数字不等于3.（4）p ：所有的正方形都是矩形.变式：命题“对任意的32,10x R x x ∈-+≤”的否定是（ ）.A. 不存在32,10x R x x ∈-+≤B. 存在32,10x R x x ∈-+≤C. 存在32,10x R x x ∈-+>D. 对任意的32,10x R x x ∈-+>例2、写出下列特称命题的否定：（1）p ：2000,220x R x x ∃∈++≤； （2）p ：有的三角形是等边三角形；（3）p ：有一个素数含有三个正因数.（4）p ：至少有一个实数x ，使310x +=.变式：对下列命题的否定说法错误的是（ ）.A. p ：能被3整除的数是奇数；p ⌝：存在一个能被3整除的数不是奇数B. p ：每个四边形的四个顶点共圆；p ⌝：存在一个四边形的四个顶点不共圆C. p ：有的三角形为正三角形；p ⌝：所有的三角形不都是正三角形D. p ：2,220x R x x ∃∈++≤；p ⌝：2,220x R x x ∀∈++>小结：全称命题的否定变成特称命题.例3、命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )．A ．所有不能被2整除的整数都是偶数B ．所有能被2整除的整数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数答案：原命题是全称命题，则其否定是特称命题，故选D.变式：下列命题正确的个数是（ ）.①“在三角形ABC 中，若sin sin A B >，则A B >”的否命题是真命题；②命题:23p x y ≠≠或，命题:5q x y +≠，则p 是q 的必要不充分条件；③“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“32,10x R x x ∃∈-+>”.A.0B.1C.2D.3答案：D.二、课堂练习：教材第26页练习第1、2题1、写出下列命题的否定：（1）,n Z n Q ∀∈∈；（2）任意素数都是奇数；（3）每个指数函数都是单调函数.2、写出下列命题的否定：(1) 有些三角形是直角三角形；（2）有些梯形是等腰梯形；（3）存在一个实数，它的绝对值不是正数.反思：全称命题的否定变成特称命题.反思总结：1、 本节课你学到了哪些知识点？2、 本节课你学到了哪些思想方法？3、 本节课有哪些注意事项？课外作业：（一）教材第26页习题1.4 A 组第3题，B 组第1题1、写出下列命题的否定：(1)32,x N x x ∀∈>；(2) 所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；(3) 2000,10x R x x ∃∈-+≤； (4) 存在一个四边形，它的对角线互相垂直.2、判断下列命题的真假，写出下列命题的否定：（1）每条直线在y 轴上都有截矩；（2）每个二次函数都与x 轴相交；（3）存在一个三角形，它的内角和小于180︒；（4）存在一个四边形没有外接圆.（二）补充3、命题“对任意的x R ∈，3210x x -+≤”的否定是（ ）A ．不存在x R ∈，3210x x -+≤B ．存在x R ∈，3210x x -+≤C ．存在x R ∈，3210x x -+>D ．对任意的x R ∈，3210x x -+>答案：C4、命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是（ ）A ．若12≥x ，则1≥x 或1-≤x B.若11<<-x ，则12<xC.若1>x 或1-<x ，则12>xD.若1≥x 或1-≤x ，则12≥x答案:D5、已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ）A.:p x R ⌝∃∈，sin 1x ≥B.:p x R ⌝∀∈，sin 1x ≥C.:p x R ⌝∃∈，sin 1x >D.:p x R ⌝∀∈，sin 1x >6、写出下列命题的否定：（1）若24x >，则2x >；（2）若0,m ≥则20x x m +-=有实数根；（3）可以被5整除的整数，末位是0；（4）被8整除的数能被4整除；（5）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等.7、已知:,sin cos p x R x x m ⌝∃∈+≤为真命题，2:,10q x R x mx ∀∈++>为真命题，求实数m 的取值范围.2m ≤<.课后反思：。
1.4.3含有一个量词的命题的否定(李用2)
假 假
（2） ㄱq：存在一个正方形不是矩形;
例题
例2 :写出下列全称命题的否定：
（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数;
（2）p：每一个四边形的四个顶点共圆;
（3）p：对任意x∈Z, x² 的个位数字不等于3.
答:（1）ㄱp：存在一个能被3整除的整数不是奇数;
（2）ㄱp：存在一个四边形,它的四个顶点不共圆; （3）ㄱp： ∃x0∈Z, x0² 的个位数字等于3.
探究二:特称命题的否定
课本25页：写出下列命题的否定:
(1)有些实数的绝对值是正数;
(2)有些平行四边形是菱形;
(3) ∃x0∈R, x0² +1<0.
这些命题和它们的否定在形式上
有什么变化?
以上三个命题都是特称命题,即具有形式 “∃x ∈M, p(x )”其中命题(1)的否定是“不 存在一个实数,它的绝对值是正数”,也就是说,
解析： (1)为全称命题． (2)为特称命题． (3)不是命题． (4)为全称命题． (5)为特称命题．
将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表 示，并判断真假． (1)实数的平方是非负数； (2)整数中1最小； (3) 方程 ax2 ＋ 2x ＋ 1 ＝ 0(a<1) 至少存在一个负根； (4)对于某些实数x，有2x＋1>0； (5)若直线l垂直于平面α内任一直线，则l⊥α.
[解题过程]
π (1)特称命题． α＝2时， tan α 不存在， 所以，
特称命题“有一个实数 α，tan α 无意义”是真命题． (2)不是命题． (3)含有全称量词，所以该命题是全称命题，又任何一个 圆的圆心到切线的距离都等于半径， 所以，全称命题“所有圆的圆心到其切线的距离都等于 半径”是真命题．
含有一个量词的命题的否定
1．4.3含有一个量词的命题的否定学习目标 1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．知识点一全称命题的否定思考尝试写出下面含有一个量词的全称命题的否定，并归纳写全称命题否定的方法．(1)所有矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0.答案(1)将量词“所有”换为：“存在一个”然后将结论否定，即“不是平行四边形”，所以原命题的否定为：“存在一个矩形不是平行四边形”；用同样的方法可得(2)(3)的否定：(2)存在一个素数不是奇数；(3)∃x0∈R，x20－2x0＋1<0.梳理写全称命题的否定的方法：①更换量词，将全称量词换为存在量词；②将结论否定．对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0)．全称命题的否定是特称命题．知识点二特称命题的否定思考尝试写出下面含有一个量词的特称命题的否定，并归纳写特称命题否定的方法．(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x0∈R，x20＋1<0.答案(1)先将存在量词“有些”改写为全称量词“所有”，然后将结论“实数的绝对值是正数”否定，即“实数的绝对值不是正数，于是得原命题的否定为：“所有实数的绝对值都不是正数”；同理可得(2)(3)的否定：(2)所有平行四边形都不是菱形；(3)∀x∈R，x2＋1≥0.梳理写特称命题的否定的方法：①将存在量词改写为全称量词，②将结论否定．(1)特称命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)．(2)对含有一个量词的命题进行否定，先对量词进行否定，全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，然后再否定结论即可.类型一全称命题与特称命题的否定例1写出下列命题的否定，并判断真假．(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；(2)p：存在x∈N，x2－2x＋1≤0.解(1)非p：存在一个实数m，使得方程x2＋mx－1＝0没有实数根，因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，故非p为假命题．(2)非p：对任意x∈N，x2－2x＋1>0，显然当x＝1时，x2－2x＋1>0不成立，故非p是假命题．反思与感悟(1)全称命题的否定将全称量词变为存在量词，再否定它的结论，全称命题的否定是特称命题．(2)特称命题的否定将存在量词变为全称量词，再否定它的结论，特称命题的否定是全称命题．(3)对全称命题与特称命题的否定要注意以下两点：①对省略全称量词的全称命题要补回全称量词再否定．解题中若遇到省略“所有”“任何”“任意”等量词的简化形式，这时则应先将命题写成完整形式，再依据法则写出其否定形式．对特称命题的否定，在否定判断词时，也要否定存在量词．②要注意命题的否定形式不唯一．跟踪训练1写出下列命题的否定，并判断真假．(1)p：矩形是平行四边形；(2)q：∀x≥0，x2>0；(3)r：存在一个三角形，它的内角和大于180°；(4)t：某些梯形的对角线互相平分．解(1) ¬p：存在一个矩形不是平行四边形，假命题．(2) ¬q：∃x≥0，x2≤0，真命题．(3) ¬r：所有三角形的内角和都小于等于180°，真命题．(4) ¬t：每一个梯形的对角线都不互相平分，真命题．类型二利用全称命题与特称命题求参数取值范围例2已知函数f(x)＝x2－mx＋1，命题p：“对任意x∈R，都有f(x)>0”，命题q：“存在x∈R，使x2＋m2<9”．若命题“非p”与“q”均为真命题，求实数m的取值范围．解由于命题p：“对任意x∈R，都有f(x)>0”，所以非p：“不等式f(x)≤0在实数集上有解”，故Δ＝m2－4≥0，得m≤－2或m≥2.又命题q：“存在x∈R，使x2＋m2<9”，即不等式x 2<9－m 2在实数集上有解，故9－m 2>0，所以－3<m <3.因为命题“非p ”与“q ”均为真命题，所以m 的取值范围为(－3，－2]∪[2,3)．反思与感悟 利用全称命题、特称命题求参数的范围或求值是一类综合性较强、有一定难度的问题，主要考查这两种命题及其否定的定义．全称命题为真，意味着对限定的每一个元素都具有某种性质，使所给语句为真．因此，当给出限定集合中的任一个特殊的元素时，自然应导出“这个特殊元素具有这个性质”． 跟踪训练2 已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2，若同时满足条件：①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0；②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0.则m 的取值范围是________． 答案 －4<m <－2 解析 由题意知m ≠0，∴f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)为二次函数， (1)若∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0， 必须抛物线开口向下，即m <0. f (x )＝0的两根x 1＝2m ，x 2＝－m －3， 则x 1－x 2＝3m ＋3.①当x 1>x 2，即m >－1时，大根x 1＝2m <1，即m <12.②当x 1<x 2，即m <－1时，大根x 2＝－m －3<1，即m >－4.③当x 1＝x 2，即m ＝－1时，x 1＝x 2＝－2<1也满足条件．∴满足条件①的m 的取值范围为－4<m <0.(2)若∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0， 则满足f (x )＝0的小根小于是－4.①当m >－1时，小根x 2＝－m －3<－4且m <0，无解． ②当m <－1时，小根x 1＝2m <－4且m <0，解得m <－2. ③当m ＝－1时，f (x )＝－(x ＋2)2≤0恒成立， ∴不满足②.∴满足①②的m 的取值范围是－4<m <－2.1．已知a >0且a ≠1，命题“∃x >1，log a x >0”的否定是( ) A ．∃x ≤1，log a x >0 B ．∃x >1，log a x ≤0 C ．∀x ≤1，log a x >0 D ．∀x >1，log a x ≤0答案 D解析 a >0且a ≠1，命题“∃x >1，log a x >0”的否定是“∀x >1，log a x ≤0”．2．已知命题p ：∀x >0，x ＋1x ≥2，则¬ p 为( )A ．∀x >0，x ＋1x <2B ．∀x ≤0，x ＋1x <2C ．∃x ≤0，x ＋1x <2D ．∃x >0，x ＋1x<2答案 D解析 由命题的否定的定义及全称命题的否定为特称命题可得． 3．下列说法不正确的是( )A ．若“p 且q ”为假，则p ，q 至少有一个是假命题B ．命题“∃x ∈R ，x 2－x －1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x －1≥0”C ．“φ＝π2”是“y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充要条件D ．当α<0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减 答案 C解析 A ：若“p 且q ”为假，则p ，q 至少有一个是假命题，正确；B ：命题“∃x ∈R ，x 2－x －1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x －1≥0”，正确；C ：“φ＝π2”是“y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充分不必要条件，故C 错误；D ：α<0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减，正确．故选C.4．命题“∃x 0∈R,030≤x”的否定是( ) A ．∀x ∈R,3x ≤0 B ．∃x 0∈R,030≥xC ．∃x 0∈R,030xD ．∀x ∈R,3x >0答案 D解析 命题“∃x 0∈R,030≤x”的否定使“∀x ∈R,3x >0.”5．由命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a ＝________. 答案 1解析 由题意得命题“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”是真命题，所以Δ＝4－4m <0，即m >1，故实数m 的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a 的值为1.1．对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称量词改写成存在量词，即将“任意”改为“存在”；第二步，将结论加以否定，如本例，将“≥”否定为“<”． 2．对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将存在量词改写成全称量词；第二步，将结论加以否定．含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题．注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词，要注意判断．3．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，因此在书写时，要注意量词以及形式的变化，熟练掌握下列常见词语的否定形式：原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n 个 至多有(n －1)个 小于 不小于 至多有n 个至少有(n ＋1)个任意的 某个 能 不能 所有的某些等于不等于一、选择题1．已知命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则¬ p 是( ) A ．∃x ∈R ，sin x ≥1 B ．∃x ∈R ，sin x >1 C ．∀x ∈R ，sin x ≥1 D ．∀x ∈R ，sin x >1答案 B解析 所给命题为全称命题，故其否定为特称命题，∃x ∈R ，sin x >1，故选B. 2．命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0 答案 D解析 “f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定为“f (n )∉N *或f (n )>n ”，全称命题的否定为特称命题，故选D.3．已知命题p ：∀x >0，x ＋4x ≥4；命题q ：∃x 0∈(0，＋∞)，0122＝，x 则下列判断正确的是( )A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．p ∧(¬ q )是真命题D ．(¬ p )∧q 是真命题答案 C解析 由基本不等式知命题p 正确；由0122＝x知，x 0＝－1，故命题q 不正确；利用复合命题的判断方法可知应选C.4．已知命题p ：存在a ∈R ，使函数y ＝x 2＋ax 的定义域为实数集R ，命题q ：不等式x －1x －2≤0的解集为{x |1<x <2}，则下列结论正确的是( ) A ．命题“p 且q ”为真命题 B ．命题“p 且(¬ q )”为真命题 C ．命题“(¬ p )且q ”为真命题 D ．命题“(¬ p )且(¬ q )”为真命题 答案 B解析 根据命题p 得x 2＋ax ≥0，因为Δ＝a 2≥0，故∀a ∈R ，都成立，故命题p 为真命题；由命题q 得{ (x －1)(x －2)≤0，x －2≠0，解得1≤x <2，故命题q 为假命题，结合复合命题的真假判断，得到只有B 符合题意，故选B.5．命题“存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0”的否定是( ) A ．不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 B ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 C ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 答案 C解析 特称命题“存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0”的否定是：把量词“存在”改为“对任意的”并把结论进行否定，即把“>”改为“≤”．故选C.6．有命题m ：“∀x 0∈(0，13)，01031()log 2x x <”，命题n ：“∃x 0∈(0，＋∞)，010031()log 2＝x x x >”． 则在命题p 1：m ∨n ，p 2：m ∧n ，p 3：(¬ m )∨n 和p 4：m ∧(¬ n )中，真命题是( ) A ．p 1，p 2，p 3 B ．p 2，p 3，p 4 C ．p 1，p 3 D ．p 2，p 4答案 A解析 当x ∈(0，13)时，13log 1x >，(12)x <1，∴此时131log ()2x x >恒成立，即命题m 为真命题，作出函数13log ＝，y x y ＝(12)x ，y ＝x 的图象如图，则由图象可知∃x 0∈(0，＋∞)，满足010031log ()2＝，x x x 故命题n 为真命题，则m ∨n ，m ∧n ，(¬ m )∨n 为真命题，m ∧(¬ n )为假命题，故p 1，p 2，p 3为真命题，故选A. 7．下列命题正确的是( )(1)已知命题p ：∃x ∈R,2x ＝1，则¬ p 是：∃x ∈R,2x ≠1；(2)设l ，m 表示不同的直线，α表示平面，若m ∥l ，且m ∥α，则l ∥α；(3)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1>0”发生的概率为23；(4)“a >0，b >0”是“a b ＋ba ≥2”的充分不必要条件．A ．(1)(4)B ．(2)(3)C ．(1)(3)D ．(3)(4)答案 D解析 ¬ p 为∀x ∈R,2x ≠1，故(1)错误；若m ∥l ，且m ∥α，则l 可能在α内或l ∥α，故(2)错误；由3a －1>0得，a >13，即事件“3a －1>0”发生的概率为23，故(3)正确；a b ＋ba ≥2⇔ab >0，故(4)正确．所以选D. 二、填空题8．若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案 1解析 ∵0≤x ≤π4，∴0≤tan x ≤1，∵“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，∴m ≥1.∴实数m 的最小值为1.9．已知全集U ＝R ，A ⊆U ，B ⊆U ，如果命题p ：3∈A ∪B ，则命题“¬ p ”是________． 答案3∈(∁U A )∩(∁U B )解析 p ：3∈A 或3∈B ，所以¬ p ：3∉A 且3∉B, 即¬ p ：3∈(∁U A )∩(∁U B )．10．对∀x ∈[－1,2]，使4x －2x ＋1＋2－a <0恒成立，则实数a 的取值范围为________． 答案 (10，＋∞)解析 已知不等式化为22x －2·2x ＋2－a <0，①令t ＝2x ，因为x ∈[－1,2]，所以t ∈[12，4]，则不等式①化为t 2－2t ＋2－a <0，即a >t 2－2t ＋2，原命题等价于∀t ∈[12，4]，a >t 2－2t ＋2恒成立，令y ＝t 2－2t ＋2＝(t －1)2＋1，当t ∈[12，4]时，y max ＝10，所以只需a >10即可，即所求实数a 的取值范围是(10，＋∞)． 三、解答题11．写出下列命题的否定，并判断真假． (1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0.解 (1)非p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14<0，假命题．∵∀x ∈R ，x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0，∴非p 是假命题．(2)非q ：有的正方形不是矩形，假命题． (3)非r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题． ∵∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1>0， ∴非r 是真命题．12．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立？并求出m 的取值范围； (2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m 使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时m >－4. (2)不等式m －f (x 0)>0可化为m >f (x 0)， 若存在实数x 0，使不等式m >f (x 0)成立， 只需m >f (x )min .∵f (x )＝(x －1)2＋4， ∴f (x )min ＝4，∴m >4.∴所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．13．已知函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使得f (c )>0.求实数p 的取值范围．解 “在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使得f (c )>0”的否定是“在[－1,1]上的所有实数x ，都有f (x )≤0恒成立”．又由二次函数的图象特征可知，{ f (－1)≤0，f (1)≤0，即{ 4＋2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0，4－2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0，即⎩⎨⎧p ≥1或p ≤－12，p ≥32或p ≤－3，∴p ≥32或p ≤－3. 故p 的取值范围是－3<p <32.。
含有一个量词的命题的否定
含有一个量词的命题的否定
全称命题
P:M, p(x）
P: M, P（x）
特称命题
特称命题
P:M, p(x）
命题的 否定
P: M, P（x）
全称命题
全称命题与特称命题的真假性判断
真：需要说明对任意的xM，P(x)恒成立；
全称命题
假：只要找出某个x0 M，使P(x)不成立. 真：只要找出某个x0 M，使P(x)成立.
全部是才对
特称命题
只要有就行
假：需要说明对一切xM，P(x)恒不成立；
知识回顾
全称命题
“x M,p(x)"
命题的否定形式
9”。在求解中极易误当为简单命题处理；这
必有一个 所有x成立 种情形下时应先将命题写成完整形式，再依 个 个 立 至少有n 至多有一 所有x不成
词语的 一个也没 至多有n- 至少有两 存在一个x 存在有一
据法则来写出其否定形式。
有 1个 个
否定
不成立
个成立
课堂练习3
例3 写出下列命题的否定。
（1） 若x2 ＞4 则x＞2.。 （2） 若m≥0,则x2 +x-m=0有实数根。 （3） 可以被5整除的整数，末位是0。 （4） 被8整除的数能被4整除。
否定：存在一个素数不是奇数；
（3）xR，x2-2x+1≥0
x M,p(x)
否定：xR，x2-2x+1<0；
新课引入 知识回顾
问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。
（1）所有的矩形都是平行四边形；
必修2-1课件1.4.3含有一个量词的否定
这里, 我们要注 探究 写出下列命题的否定 : 意"并非所有的 1 所有的矩形都是平行四 边形; 矩 形 都是平行 四边形"与" 所有 的矩 形 都不是 平行四边形 有 " 存在一个矩 形
2 每一个素数都是奇数; 3 x R, x 2 2 x 1 0.
2
全称命题p : x M , p x , 它的否定 p : x M ,
p x .
全称命题的否定是特称 命题.
例 3 写出下列全称命题的否 : 定
1 p : 所有能被3整除的整数都是奇数 ; 2 p : 每一个四边形的四个顶 点共圆; 3 p : 对任意x Z , x 2的个位数字不等于 . 3
2
它们不相似. p是假命题.
2
p : x R, x 2 x 2 0. p 是
2
真命题.
命题2的否定是"并非每一个素数都是奇 " , 数 也就是说, 存在一个素数不是奇数 ; 2 命题3的否定是"并非所有的x R, x 2 x 1
0" , ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ就是说, x R, x 2 x 1 0. 从命题形式看 这三个全称命题的否定 , 都变成 了特称命题. 一般地, 对于含有一个量词的全称命题的否定, 有下面的结论 :
解
1 p : 存在一个能被 3 整除的整数
不是奇数.
2 p : 存 在一个四边形 ,它的四个顶点
不共圆.
3 p : x Z , x 2 的个位数字等于3.
探究 写出下列 命题的否定: 1有些实 数的 绝对值是正数 ; 2某 些平 行四 边形是菱形 ;
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1.4.3含有一个量词的命题的否定
【学习目标】
1. 掌握对含有一个量词的命题进行否定的方法，要正确掌握量词否定的各种形式；
2. 明确全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题.
【自主学习】
含有一个量词的命题的否定
(1)全称命题p ：x M ∀∈，p (x )，它的否定p ⌝： ， 全称命题的否定是 命题．
(2)特称命题p ：0x M ∃∈，p (x 0)，它的否定p ⌝：
， 特称命题的否定是 命题．
【自主检测】
1．命题2:1,log 0p x x ∀>>，则p ⌝是( ) A ．21,log 0x x ∀>≤ B ．21,log 0x x ∀≤>
C ．21,log 0x x ∃>≤
D ．21,log 0x x ∃≤>
2.命题“存在x ∈R ，使得x 2
＋2x ＋5＝0”____________________________
【合作探究及展示】
探究1.写出下列全称命题的否定
(1)p ：所有能被3整除的整数都是奇数；
（2）p ：每一个四边形的四个顶点共圆；
（3）p ：对任意x ∈Z, x 2的个位数不是奇数.
探究2写出下列特称命题的否定
（1）p ：存在一个实数0x ，200220x x ++≤； （2）p ：有的三角形是等边三角形；
（3）p ：有一个素数含有三个因数.
【课堂检测】
1.写出下列命题的否定：
（1）,n Z n Q ∀∈∈；
（2）任意素数都是奇数；
（3）每个指数函数都是奇函数.
2. 写出下列命题的否定：
（1）有些三角形是直角三角形；
（2）有些梯形是等腰梯形；
（3）存在一个实数，它的绝对值不是正数.
2.对下列命题的否定说法错误的是（ ）
A. p ：能被3整除的数是奇数；p ⌝：存在一个能被3整除的数不是奇数
B. p ：每个四边形的四个顶点共圆；p ⌝：存在一个四边形的四个顶点不共圆
C. p ：有的三角形为正三角形；p ⌝：所有的三角形不都是正三角形
D. p ：2,220x R x x ∃∈++≤；p ⌝：2
,220x R x x ∀∈++>
3.命题“对任意的32,10x R x x ∈-+≤”的否定是（ ） A. 不存在32,10x R x x ∈-+≤
B. 存在32,10x R x x ∈-+≤
C. 存在32,10x R x x ∈-+>
D. 对任意的32
,10x R x x ∈-+>
4. 平行四边形对边相等的否定是
5. 命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是 【课堂小结】：
1.在写一个命题的否定时，要分清这个命题是全称命题还是特称命题. 2 p 是 都是
∈ > 至少有一个 至多有一个 p ⌝ 不是 不都是 ∉ ≤ 没有 至少有两个
【课后作业】:课本2627P P 习题1.4。