EMD算法

包络性延拓法

在上下包络边界估值法的基础上，增加了端点处是否作为极值点的判断，提出包络线性延拓法。

仅仅根据信号中极值点估计边界处的极值点还是不够完善的，其原因是没有考虑端点可能超过了上包络或者下包络的情况。未增加判断条件的上下包络和局部均值如图 1 所示。

图1 未增加判断条件的情况(注：横坐标 时间/s 纵坐标 幅值) 如图1 所示，考虑一个简单波形，这段信号包含 3 个极大值点和3 个极小值点。如果只是采用上下包络边界估值法，而没有考虑端点是否是极值点就直接添加在终止端的极大值和极小值的估计值，那么会使得下包络出现严重失真。

因此，在添加极值点之前增设了一个判断端点是否为极

()1end x U M ≥+ 终止段极大值为end x ，极小值为()1V N +

()()11end V N x U M +<<+ 起始端极大值为()1U M +，极小值为()1V N + ()1end x V N <+ 终止段极大值为()1U M +，极小值为end x

值点的条件( 设信号起始端点为o x ，终止端点为end x ) ：

()0o x U ≥ 起始端极大值为o x ，极小值为()0V

()()00end V x U << 起始端极大值为()0U ，极小值为()0V

()0o x V < 终止端极大值为()0U ，极小值为o x

增设了判断条件后的上下包络和局部均值如图 2 所示。

图2 增加判断条件的情况(注：横坐标 时间/s 纵坐标 幅值)

EMD 信号分解方法是1998年Huang 提出来的。目的是通过对非线性非平稳信号的分解获得一系列表征信号特征时间尺度的IMF ,使得各个IMF 是窄带信号,可以进行 HS 分析。IMF 要满足两个条件: (1)整个数据集的极大极小值数目与过 零点数目相等或最多相差一个; (2) 数据集的任意点上,由极大值确定的包络与由极小值确定的包络 的均值始终为零。这两个条件实际上使得分解得到得IMF 是窄带信号。而且EMD 分解基于下面的假设: (1) 信号至少有两个极值, 一个极大值和一个极小值; (2)信号特征时间尺度是由极值间的时间间隔确定的; (3)如果数据中缺乏极值点, 但存在缺陷点,可通过微分、分解、再积分的方法获得 IMF 。

2.1经验模态分解方法

HHT 由经验模态分解(Empirical Mode Decomposition, EMD ) 和Hilbert 谱分析2 个部分组成，其中，EMD 是HHT 方法的核心，其原理如下：

（1）寻找信号 的所有极大值和极小值()x t 然后采用三次样条插值算法分别获得信号的上包络线()h x t 和下包络线()L x t ，信号所有数据点应位于上下包络线之间。同时可以计算出两条包络的平均值()m t 为：

()()()()2h L m t x t x t =+ （1）

（2）设变量()1x t ，令其为：

()()()1x t x t m t =- （2）

若满足IMF 的两个标准则可以作为第一个IMF 并记为()1c t ，否则作为原始信号，

重复（1）和（2），直到得到第一个IMF 分量。

（3）计算剩余信号()()()11r t x t c t =-，把其作为新的信号，重复（1）和（2），直到提取所有IMF 分量。当剩余的信号为非振荡的单调函数或小于预定值的常 数，认为分解完毕。原始的数据最终分解为n 个IMF 和一个剩余的()n r t ，即：

()()()1n

i n i x t c t r t ==+∑ （3） 上述过程实际上是将原始信号()x t 分解成各种不同的特征波()1c t 。

HHT 方法从本质上是对一个信号进行平稳化处理，用EMD 将信号中真实存在的不同尺度波动或趋势逐级分解出来，产生一系列IMF ，对每个IMF 进行HHT 就可以获得有意义的瞬时频率，从而给出频率随时间变化的精确表达。信号最终被表示为时频平面上的能量分布—Hilbert 谱，从而进一步得到边际谱。

3.2希尔伯特变换

经过EMD 分解得到的每个固有模态分量()1c t 作希尔伯特（Hilbert ） 变换记

作:

()()1i i c c t d t ττπτ∞

'-∞=-⎰ （4）

实信号()i c t HT 变换()i c t '

构成复信号：

()()()i i i Z t c t jc t '

=+ （５）

因此，()x t 的Hilbert 变换为：

()()()()1n i i Z t x t jx t Z t '==+==∑

（６）

对()Z t 求模得到信号()x t 的包络。

2.5对称延拓与添加极值点相结合

基于三次样条插值的特点, 当原始信号的两端点不是极值点时, 如果能够根据端点以内极值点序列的规律得到该序列在端点处的近似值, 则可以防止对极值点进行样条插值得到的包络线出现极大的摆动。取出原极值点序列最左端13

的极值点, 根据该数据的间距均值和左端点的幅值, 定出左端点需增加的极值点位置和幅值。同理, 可定出右端点需增加的极值点位置和幅值, 当所构成的新的极大值和极小值数据集的最大间距小于原始信号时, 以近似的左端点处增加的极值点为起始点, 向左进行数据对称延拓; 以近似的右端点处增加的极值点为起始点, 向右进行数据对称延拓。将得到的新的数据作为一个整体分解EMD , 需要指出的是所取的结果只是中间部分。虽然该方法只是求出左右端的近似值, 对近似极值点进行对称延拓, 但是如文献[ 5 ] 所说, 延拓的目的不是为了给出准确的原序列以外的数据, 而是提供一种条件, 使得包络完全由端点以内的数据确定。 先随机构造一个比较复杂的非平稳信号()sin 22sin(0.3)2sin(3)sin(0.25)y t t t t ππππ=+++，然后分别采用常规HHT 算法

希尔伯特-黄变换(HHT )是美国科学家Huang 等人于1998年提出的一种主要用于分析非平稳信号的信号分析新方法。HHT 主要通过经验模态分解算法(EMD )将信号分解成一系列本征模态函数(IMF )的和，然后采用Hilbert 变换(HT )获得信号的瞬时包络。但是最初的EMD 算法采用三次样条插值算法来拟合信号的包络曲线，该插值算法容易引起过冲、不能完全包络和端点效应等问题。虽然HHT 是一种新兴的方法，还有一些问题仍需解决，比如在经验模态分解的过程中，当拟合信号的上下包络时会出现严重的边界效应。已经向NASA 申请专利的特征波法，文