(学案)诱导公式

诱导公式

【学习目标】

1．利用单位圆探究得到诱导公式五，六，并且概括得到诱导公式的特点。

2．理解求任意角三角函数值所体现出来的化归思想。

3．能初步运用诱导公式进行求值与化简。

【学习重难点】

1．诱导公式的探究，运用诱导公式进行求值与化简，提高对单位圆与三角函数关系的认识。

2．诱导公式的灵活应用

【学习过程】

一、复习：

1．复习诱导公式一、二、三、四；

2．对“函数名不变，符号看象限”的理解。

二、新课：

1．如图，设任意角α的终边与单位圆的交点P 1的坐标为y x (,)，由于角

2πα-的终边与角α的终边关于直线y x =对称，角2π

α-的终边与单位圆的交点2P 与点1P 关于直线

y x =对称，因此点2P 的坐标是y x (,)，于是，我们有sin y α=，cos x α=，cos 2a y π

⎛⎫-= ⎪⎝⎭，sin 2x πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭。 从而得到诱导公式五：

2．提出问题 能否用已有公式得出

2πα+的正弦、余弦与α的正弦、余弦之间的关系式？

3．诱导公式六

4．用语言概括一下公式五、六：

2

πα±的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。简记为“：函数名改变，符号看象限。”

作用：利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化。

5．提出问题

学了六组诱导公式后，能否进一步用语言归纳概括诱导公式的特点？ （奇变偶不变，符号看象限。）

6．示例应用

例1．将下列三角函数转化为锐角三角函数。

（1）3sin 5π（2）cos10021︒'（3）31sin

36

π（4）tan324'32︒

例2．证明（1）3sin cos 2παα⎛⎫-=-

⎪⎝⎭；（2）3cos sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭。

变式练习 求22cos cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值。

例3．化简11sin(2)cos()cos cos 229cos()sin(3)sin()sin 2a a a a a a a a ππππππππ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫----+ ⎪⎝⎭

.

变式练习 化简

1．（1）cos 2sin(2)cos(2)5sin 2πααππαπα⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅-⋅-⎛⎫+ ⎪⎝⎭

（2）()2tan 360cos ()sin()ααα︒+--

-

2．已知sin α是方程25760x x --=的根，且α为第三象限角， 求233sin sin tan (2)tan()22cos cos 22a a a a a a ππππππ⎛⎫⎛⎫+⋅-⋅-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值。

【学习小结】

应用诱导公式化简三角函数的一般步骤：

1．用“α-”公式化为正角的三角函数；

2．用“2k πα+”公式化为[]0,2π角的三角函数；

3．用“πα±”或 “2π

α±”公式化为锐角的三角函数

【作业布置】 已知1sin 3

β=，sin()1αβ+=，求sin(2)αβ+