空间向量运算的坐标公式

空间向量运算的坐标公式

如果三个向量不共面那么对空间任一向量存在一个唯一的

有序实数组x、y、z使得cbapczbyaxpcba叫做空间的一个

______基底空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一

个基底一、空间直角坐标系单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直且长都为1则这个基底叫做单位正交基底常用i j k 来表示.点O叫做原点向量i、j、k都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。分别称为xOy平面yOz平面xOz平面.空间直角坐标系在空间选定一

点O和一个单位正交基底i、j、k 。以点O为原点分别以i、j、k的正方向建立三条数轴x轴、y轴、z轴它们都叫做坐

标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O--xyzOxyzijk二、

向量的直角坐标aaaa 1 2 3给定一个空间坐标系和向量且设i、j、k为坐标向量由空间向量基本定理存在唯一的有序实数组1 2 3使1i 2j 3k 有序数组1 2 3叫做在空间直角坐标系

O--xyz中的坐标记作.aaaaaaaaaaaaxyzOAa1a2a3ijka在空间直角坐标系O--xyz中对空间任一点A对应一个向量OA于是

存在唯一的有序实数组xyz使OAxiyjzk在单位正交基底i j k 中与向量OA对应的有序实数组xyz叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标记作Axyz其中x叫做点A的横坐标y叫做点A的纵坐标z叫做点A的竖坐标.xyzOAxyzijka三、向量

的直角坐标运算.111222axyzbxyz设则

121212abxxyyzz111axyzR121212abxxyyzz121212abxxyyzz例

1、1求向量axyz的模a 2求两个非零向量111axyz222bxyz 的夹角的余弦值3、已知向量235a31bz且ab求Z的值。练习1.知235a314b求ababa8aab 练习

2、已知

cos1sinaaasin1cosbaa则向量ab与ab的夹角为练习3、已知22ax235b且a与b的夹角为钝角求x的取值范围练习4、已知sincostanaaaacossincotbaaa且ab则且a角

______________AM1______________NB________________ PQ练习2如图在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中取D点为原点建立空间直角坐标系N、M、P、Q分别是AC、DD1、CC1、A1B1的中点写出下列向量的坐

标.zxyABCDA1B1C1D1NMPQ例2设Ax1y1z1Bx2y2z2则AB证明如图因为正方体的棱长为1 分别以DA、DC、1DD 为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz 如图棱长为1

的正方体1111ABCDABCD中EF分别是1BB11DB中点求证1EFDA 则1112E11122F 所以111222EF 又1101A000D 所以1101DA 所以11111010222EFDA 因此1EFDA即1EFDA 练习已知A、B 、C三点的坐标分别为2-12、45-1、-223若求P点的坐标。12APABAC课堂小结空间向量的坐标运算公式、模长公式、夹角公式及其应用。注空间向量的坐标运算公式、模长公式、夹角公式的形式与平面向量中相关内容一致因此可类比记忆YXZABCD1A1B1C1DEF例2 在正方体ABCD—A1B1C1D1 中E、F分别是BB1 、CD 的中点求证

D1F 平面ADE练习1 如图建立直角坐标系已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2求正方体各顶点的坐标zxyABCDA1B1C1D1设Ax1y1z1Bx2y2z2则

OB-OAx2y2z2-x1y1z1x2-x1y2-y1z2-z1.一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.AB