电磁场 边值问题 唯一性定理(完美解析)
电磁场与电磁波6静态场边值问题的求解
( An ' cos K n x Bn ' sin K n x)(Cn ' chKn y Dn ' shKn y )
n 1
4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。 a ) y轴 x 0 0 y a 0
b ) x轴 y 0 0 x a 0 0 C0 0 Cn 0 Cn c) x a 0 y a 0 B0 0 Bn 0
400
1 n n sin xsh y n1 nshn a a
接地金属槽内的等位线分布
(n 1, 3, 5 )
三、分离变量法：柱坐标系中
电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为
1 1 2 2 2 0 r 2 2 r r r r z
( ) A sin m B cosm
考虑到 k m，以及变量 的方程式，则前述方程可表示为
1 d dR m 2 1 d 2 Z 0 r 2 2 Rr dr dr r Z dz
三、分离变量法：柱坐标系中
上式左边第一项仅为变量 r 的函数，第二项仅为变量 z 的函数，因
(6 )
(7 )
1 d 21 2 K n 1 dx2
1 d 2 2 2 K n 2 dy2
Kn 2 0
(8)
3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。
1 ( x) 2 ( y) ( A0 B0 x)(C0 D0 y)
( An chKn x Bn shKn x)(Cn cos K n y Dn sin K n y )
1 d 2 2 k d 2
电磁场理论课件 2-2 唯一性定理
静电势的微分方程
2
边值关系 1 S 2 S
2
2
n
S
1
1
n
S
导体表面上的边值关系
|s 常数
n s
唯一性定理： 必须附加什么样的边界条件,泊松方程的解才会是唯一.
1) 绝缘介质静电问题的唯一性定理及证明 有限V 内有几种均匀的绝缘介质Vi 、εi (i = 1、2、3 …) ， V 中的自由电荷分布(ρ或σ) 为已知
同理对V2 区,设有两个解2'、2 ''都满足V2 区的场方程和
边界条件
令Φ2 = 2 ' - 2″
则有，22 0 （在V2区内）
在V2区的外边界2上
2 外2 0
给定第一类边界条件
或 2 0
n2 外2
给定第二类边界条件
约定, n2 为V2 区边界的法向单位矢量,指向V2外部;
而在V1 和V2 区的公共界面(即内边界) 上,由电势的边值
根据唯一性定理，它是腔内的解，
n S
s
dS
s
n
dS
0
2 dV 0
V
2 dV 0
V
注意到 2为非负数,欲使上式成立,只有 0 ,
即Φ= C ,或 ' - '' =C，
以上说明 ' 和 ''顶多差一个常数,而电势的附加常数对 电场没有影响,这就证明了 ' 和 ''在物理上是同一个解,
于是,唯一性定理得证.
b)区域V 中有两种各自均匀的介质ε1 和ε2 的情形 分别对应V1 区和V2 区
工程电磁场第6章电磁场边值问题的解析方法
h
h
为零， q 和 q 使半球面电位为零。四个电荷共同作
用下，半球面的电位为零。
50
四个电荷共同产生的电场，其电位 在无限大平面和半球面上为零，满足边 界条件。镜象电荷得以确定。
51
52
直流线路产生电场的镜像法
1. 输电线路电场计算模型
实际输电线路的每条相导线(对应于 交流输电线路)或极导线(对应于直流输电 线路)一般采用分裂导线结构，即每条相 导线或极导线一般是指一个导线束。导 线束中的每条导线称为子导线，每条相 导线或极导线中子导线的个数称为此条 相导线或极导线的分裂数，每条相导线 或极导线中相距最近的两条子导线之间 的距离称为此条相导线或极导线的分裂 间距。
得方程组
q q q
1
2
解上述方程组，得
q q q
q 1 2 q ； q 2 2 q
1 2
1 2
44
确定了镜象电荷的位置和电荷量。 由 q 和 q 计算上半空间的电场，由 q 可计算下半空间的 电场。
45
例 6-3-1 计算无限大导体平面上方点电荷 q 在导体平面
当位函数u 在坐标系中只随一个坐标变化时， 问题可以用一维模型表示。 当右端项 f 函数表达式 不复杂时，一维泊松方程一般可以用解析积分方法 求解。根据问题的性质，选择合适的坐标系。
2
直角坐标系
如图6-1-1, 在直角坐标系中， 若u 只与坐标x 有关，不随 y 、z 变化，则一维泊松方 程为
两边积分一次
q 和距离 b 。
31
P
q 4r
q 4r
根据前面要求的条件， P 0 ，有
q q ； 4r 4r
《电磁场理论》3.1 唯一性定理
第一类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的分 布值。 S f 第二类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的法 向导数。 f n S 第三类边值问题（混合边值问题）：已知一部分边界 面上的电位函数值，和另一部分边界面上电位函数的法 向导数。 S f1 S S1 S2 f 2 1 01:52 2 n S2
+
-
z
+ +++
（r , )
+
+
-
1 (r, ) E0r cos
-
aO
- - -
-
当引入一个不带电的导体小球后， E0 球表面出现感应电荷。 静电平衡下的导体球为等电位体，球内电场为零， r>a空间内的电位由两个部分组成 01:52 12 1 2
1 2
唯一性定理:满足泊松方程或拉普拉斯方程及所给
的全部边界条件的解是唯一的。
利用反证法来证明。假设在一个由表面边界S包围的 体积V内，泊松方程有两个解 1 2 ，则有
2 1 2 * 1 2 2 * 21 22 0 令
01:52 11
例2：一不带电的孤立导体球（半径为a）位于均匀电 场中, E E0 e z ,如图所示，求电位函数。 解：在没有引入导体球时，均匀电场 E 的电位函数为
1 ( z ) E0 e z e z dz C E0 z C
若取z=0为电位参考点，则C=0， 1 ( z) E0 z 在球坐标内，z r cos
常数
n
n
(1)
根据式(1)仍然有
同理，有 C
V
2 ( ) dV 0
静态电磁场边值问题
49
确定分离变量： 边界y = 0：x = 0与x = a处电位均为零，即沿x方向为周 期性边界条件，因此kx为实数，ky为虚数 kx = k
k y = jk
50
常微分方程的解：
X (x ) = a1 cos kx + a2 sin kx Y ( y ) = b1chky + b2 shky
34
等效电荷密度：
′ = ε1 ε 2 ρ ρ ε1 + ε 2
″ = ε 2 ε1 ρ ρ ε1 + ε 2
由ρ、ρ'、ρ"直接求解电场与电位
35
分离变量法
概述
分离变量法是求解数学物理方程最广泛的解析方 法之一； 分离变量法将待求的多变量函数表示为若干单变 量函数的乘积，从而将求解偏微分方程转化为求 解常微分方程； 应用分离变量法时，通常将边界面与某一坐标面 相重合，或分段重合，使坐标变量成为单变量函 数的自变量
52
由边界条件(1)、(2)可得a1 = 0，b1 = 0
(x, y ) = a2b2 sin kxshky = A sin kxshky
由边界条件(3)
(a, y ) = A sin kashky = 0
sin ka = 0
k= mπ a m = 1,2,
53
电位：
mπ (x, y ) = A sin a mπ x sh y a m = 1,2,
28
镜像法（介质二）：
q的位置再放置点电荷q″； 移去分界面； 同一介质（介质二）； q与q"共同产生电场与电位 q"的值待定 q+q" h r3
ε2 ε2
29
求解：
3.边界关系和唯一性定理
例六． 一圆环状磁介质与一无穷长直导线共轴，设 磁介质磁导率为 µ r ，直导线电流强度为I，求介质内外空 间的磁感应强度的分布和介质表面的磁化面电流。 解： B外 本例显然属于介质界面 与磁感应线重合的情况，无 B内 穷长直导线电流在真空中产 生的磁感应强度与以该直线 µr 为轴的圆形环路相切，大小 i ' i' 为 B = µ 0 I ，式中r为离
0 0
i
L
ri
ri
0
µ ri L
0
r1
r2
µ 0 µ r1 µ r 2 I B 所以： = π ( µ + µ )r r1 r2
B
再利用
Hi =
B
µ ri µ 0
可得：
介质1中的磁场强度为：
M线
n1
B线
⊙ I0
µr2 I H1 = = µ r1 µ 0 π ( µ r1 + µ r 2 ) r
B
介质2中的磁场强度为：
B
H = B µ0 − M
下面来求 i ' 和 i0 。
M1 =
B
µ0
− H1 =
µ r 2 I ( µ r1 − 1) π ( µ r1 + µ r 2 ) r
度 i01 时要用到 i '1 = M × n1 ，以及假定电流在表面上流动 ，则由 i01 = n1 × ( H 2 − H 1 ) 和r < r1时，因为 ∑ I = 0 ， 所以
L L内
L L内
0i
∫ E ⋅ dl
L
S
=0
i
∫ M ⋅ dl = ∑ I '
M ×n = i'
i
唯一性定理
j t
Re P Re
r e jt M r e jt
介质在电磁场 作用下建立起 P和M有时延
J
r
,t
Re
J r e jt
Re E r e jt
D r E r
B
r
H
r
D r B r
E H
r r
J r E r J r E r
5.4.2 谐变电磁场
任何时刻区域V 内存在唯一电磁场。
5.4.1 时变电磁场唯一性定理
证明 仍用反证方法，假设有两组解
E1r,t，H1r,t E2r,t，H2r,t
在闭合区域V 内满足条件①和②，但在t t 0 后
两者在区域V 内不相等。应用Poynting定理： E r,t E1 r,t E2 r,t
t、 t
Er ,t H r ,t
5.4.2 谐变电磁场
对于确定波动频率的电磁场，理论和实验都证明介质的特性
参数 |， | 是与时间无关的确定常数，场或势函数的波动方
为：
1/m2
2
E r ,t
2 E r ,t1/s2
t 2
J r ,t
t
r
,t
2H
r , t
2 H r , t
Re E rejt Erejt
5.4.2 谐变电磁场
2）谐变电磁场中的介质特性
实验和理论都证明，对于谐变电磁场，线性均匀各向同性介质的极
化强度、磁化强度和传导电流密度也是谐变量，即：
P r , M r
t ,
Re t Re
0
ee j 0 me
e E
j m
r e jt H r e
3)谐变电磁场的Maxwell方程
时变电磁场唯一性定理
时变电磁场唯一性定理下面我们讨论由多种媒质所组成的场域V 。
为叙述方便，先引入内边界面和外边界面的概念。
内边界面是指边界面两侧区域都是场域的边界面，内边界面位于场域V 内。
外边界面是指边界面两侧区域中有一侧属于场域V 而另一侧不属于场域V 的边界面，外边界面是场域最外侧的边界面。
内边界面的两侧区域都是未知的待求场域；而外边界面的两侧区域中有一侧是待求场域而另一侧是常量为已知的场域。
唯一性定理 假设：1)形状不随时间t 变化的场域V 是由m 个线性媒质1V , 2V ,...,m V 所组成，i V 的边界面i Γ是由分片光滑曲面所组成的闭曲面，V 的外表面是Γ，1,2,...,i m =。
2）外部电流源s J 和K 分布在有限区域内，矢量,,,,,s e h e h J K G G F F 和标量ρ是不全为零的有界的已知量。
3）媒质i V 的介电常量0i ε>，磁导率0i μ>，电导率0i γ≥，1,2,...i m =。
4) i V 中的电场强度i E 和磁场强度H i 在闭如果区间i i V +Γ上存在连续偏导数，1,2,...,i m =。
在上述条件下，如果由以下初边值（2.79）—（2.90）所确定的场量E 和H 存在，那么它们分别有唯一的有界非零解。
1. 约束方程()()()(),(),,s M t M M M t M t t γε∂⎛⎫∇⨯-+= ⎪∂⎝⎭H E J (2.79)()()(),,0M t M M t tμ∂∇⨯+=∂E H (2.80) M V ∈, 0t >2．初始条件 ()()0,|t e M t M ==E G , M V ∈ (2.81)()()0,|t h M t M ==H G , M V ∈ (2.82)()0,|0t M t μ=∇=⎡⎤⎣⎦H ， M V ∈ (2.83)()()0,|t M t M ερ=∇=⎡⎤⎣⎦E , M V ∈ (2.84)3.内边界面上得边界条件在内边界面ij Γ上场量应同时满足以下两式：()()(),,0ij j i p p t p t ⎡⎤⨯-=⎣⎦n E E (2.85)()()()(),,,ij j i ij p p t p t p t ⎡⎤⨯-=⎣⎦n H H K (2.86)以上两式中，各个场量的含义为()(),,lim j j j p p p t p t →=E E ， ()(),,lim i i i p pp t p t →=E E()(),,lim j j j p p p t p t →=H H ，()(),,lim i i i p pp t p t →=H Hi i p V ∈，j j p V ∈， ij p ∈Γ, i j <, 0t >1,2,...,1i m =-;2,3,...,j m =4.外边界面上的边界条件在外变截面out Γ上，场量仅需满足以下两式的其中之一：()()(),,e Q Q t Q t ⨯=n E F (2.87)或()()(),,h Q Q t Q t ⨯=n H F (2.88)以上两式中，场量的含义为()(),,lim M Q Q t M t →=E E ，()(),,lim M QQ t M t →=H HM V ∈, out Q ∈Γ， t o >5. 无限远条件当场域是无界区域时，在无限远处场量应同时满足以下两式: lim er r →∞=E D (2.89) lim h r r →∞=H D(2.90)符号说明：ij Γ是i V 和j V 的公共变截面，由于ij Γ位于V 内，所以ij Γ为内边界面；Γ是整个区域V 的外表面，当V 是有界区域时Γ就是外边界面out Γ，当V 是无界区域时out in Γ=Γ+Γ，这里in Γ是无界区域中无限假想的光滑曲面；ij n 是ij Γ上从i V 指向j V 的单位法向矢量；s J 和ij K 分别是外源的电流密度和电流面密度；n 是外边界面out Γ上得单位法向矢量；e G ，h G ，e F ，h F 均为已知的矢量函数；ρ是分布在有限区域内的外源电荷密度；r 是坐标原点o 到场点p 之间的距离；e D 和h D 分别是与坐标无关的有界常矢量。
唯一性定理
则 1 2
n n n
即
1 2 0
则
n ( )dV
n
n
ds 0
V
S n
S曲面内 0 C
S曲面上
0
n
S曲面上
2019/11/18
6
故
( )2dV
ds
0
V
S
n
即 0 S曲面内 C(常数)
S曲面上 0
C 0
故在S曲面内，其解是唯一的。 1 2
2019/11/18
5
第二章 2.7
2.
n
f2 (s)
二类边值问题
仍然采用反证法证明.设有两个解满足拉氏方程.
边值问题:
第二章 2.7
1.
给定边界上的电位函数,即已
知
f1(s)
s
，
S为边界 上的点。(狄里克利边界条件)
2. 给定边界上的电位函数的法向导数,即已知
n
f 2(s) 。（牛曼边界条件）
1
3. 边界 1 2 ，即已知
2
2019/11/18
1
2
拉普拉斯方程
泊松方程
2019/11/18
2
第二章 2.7
见书218面，
由格林第一恒等式：对任意标量函数
(2
V
)dV
s
n
ds
令 则
(2
ds
n
2019/11/18
4边值问题的唯一性定理
X ( x) A0 x B0 Y ( y ) C0 y D0
A0 , B0 , C0 , D0待定
当k≠0时：
X ( x) A sin(kx) B cos(kx) Y ( y) Csh(ky) Dch(ky)
y
b
a
u
x
[ A sin(k x) B
n n n=1
(kn y ) Dn ch(kn y )]
由条件（1） B0 0, Bn 0 n 由条件（2） A0 0, kn (n 1, 2,) 由条件（3） Dn 0
a
唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程（泊松方程）的理论依
据
4.2 直角坐标系中的分离变量法
问题：如图所示无限长金属导体槽，其顶 面电位为u，其余三面接地，求导体槽内 电位分布。
y
b
a
u
x
建立求解方程：
导体槽内为无源区，故电位满足拉普拉斯方程，即
2 0 x0 0 (0 y b) xa 0 (0 y b) y 0 0 (0 x a) U (0 x a ) y b
S f1
1
n
f2
S2
S S1 S2
二、唯一性定理
唯一性定理内容：在场域V的各边界面S上给定电位 或 n 的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域 V内的解唯一。 说明：若对同一面积，同时给定 和 的值，则不存在唯一解。 n
唯一性定理的意义： 指出了静态场边值问题具有唯一解的条件 为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为结果正确性提 供了判据
电磁场 边值问题 唯一性定理(完美解析)
f2 (s)
已知边界上电位及电位法向导数的线性组合
（＋
) n S
f3(s)
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实验法 边 值 问 题
计算法
实测法 模拟法 解析法
数值法
积分法 分离变量法 镜像法、电轴法 微分方程法 保角变换法
••••••
有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法 积分方程法
••••••
返回 上页 下页
例1.4.2 试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。
返回 上页 下页
得到
1 (r )
6 0
(3a 2
r2)
0ra
2
(r)
a3 3 0 r
ar
电场强度（球坐标梯度＝公式r）e：r
1 r
e
1
rsin
e
E1(r) 1
1
r
er
r 3 0
er
0 r a 图1.4.3 ，E 随r变
化曲线
E2 (r )
2
2
r
er
a2 30r 2
er
ar
返回 上页 下页
返回 上ueness Theorem)
惟一性定理 ： 在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程的解是惟一的。
例1.4.4 图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？
图1.4.4 平板电容器外加电源 U0
A.
1
U0 d
x2
B.
2
U0 d
x
U0
C.
3
U0 d
x U0
答案:（C ）
1
1
n
2
2
n
li有m限值r r
l有im限值 r 0 返回 上页
第七章 时变电磁场4(唯一性定律及习题)
叶齐政，2014,5§7.6 定解条件与唯一性定理
麦克斯韦方程组的微分形式、电荷守恒方程的微分形式以及分界面上的边界条件是时变电磁场必须满足的基本方程，但这组方程的解是通解，要想得到具体物理问题的定解——特解，还必须给定初始条件和边界条件，这些条件称为定解条件，与此相关的问题称为定解问题。
唯一性定理：在t >0的所有时刻，闭区域V内的电磁场是由整个V内的电和磁矢量的初始值，以及t ≥0时边界上电矢量（或磁矢量）的切向分量的值所唯一确定。
线圈
磁极
F
E
磁极
r 'r
()()
1875年法拉第给麦克斯韦的信
我亲爱的先生，我接到你的论文，为此深为感谢。
我并不是说我要感谢你是因为你谈论“力线”，因为我知道你已经在哲学真理的意义上处理了它；但你必然以为这项工作使我感到愉快，并给予我很大的鼓励去进一步思考。
起初当我看到你用这样的数学威力来针对这样的主题，我几乎吓坏了。
后来我才惊讶地看到这个主题居然处理得如此之好。
《电磁场理论》第三章 静态场边值问题的解析解1
2
除 q点 外
（3.2）
边界条件为：
R , 0 z 0, 0
（3.3） （3.4）
在 ( 0 , 0 , h ) 处放一镜像电荷 q q 来代替导体 表面上感应电荷的作用， 并将 z 0 区域换成真空。 判断能否代替的标准是看代替后在 z 0 区域内所 产生的场是否仍满足方程(3.2)和边界条件(3.3)、 (3.4)。
也满足式（3.4）的边界条件。 在 z 0 的区域内的电位为
75
q 4 0
(
1 R
1 R
)
q 4 0
(
1 x y (z h)
2 2 2
1 x y (z h)
2 2 2
)
（3.6）
式（3.6）既满足方程（3.2） ，又满足边界条件式（3.3） 、 （3.4） ，由解的唯一性定 理可知，它就是原问题所求的电位解。 为了更好地理解镜像法的物理含意，我们对此例再稍加讨论。由式(3.6)可求出上半 空间的电场为
2
和
2
取两解之差 ，在 V 内 一定满足拉普拉斯方程
2
( ) 0
n
2
2
2
利用格林第一恒等式，
(
V
2
)dV
Ñ
S
dS
令式中的 ，得
S S 1 面上有
n
n
n
0 ，所以由式(3.1)仍然可得出
(
V
) dV 0
7相明(电磁场边值关系--唯一性定理).
5ξ电磁场的边值关系一．引言当介质分布均匀时，出现了界面，→D ,→B 有跃变，界面两侧场值的关系 1.边值关系：描述介质界面两侧的场矢量与界面上电荷，电流的关系 2.麦氏方程组的微分形式要求→E ,→D ,→B ,→H 在介质中连续麦氏方程组的积分形式在场量不连续时不成立。
故不能用微分形式导出边值关系，而用积分形式讨论边值关系。
⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=∙=∙⎰⎰⎰→→→→s s v S d B dv S d D 0ρ⇒导出法向关系⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∙∂∂+∙=∙∙∂∂-=∙⎰⎰⎰⎰⎰→→→→→→→→→→s s l l S d t DS d j l d H S d tB l d E ⇒导出切向关系二．边值关系（法向关系证明从略,切向关系讲一例后推论） 1.→D 的法向有跃变⎰⎰=∙→→vsdv S d D ρ⇒σfD D n =-∙→→→)(12 （1）推论：εσσρρε0120)()(1pf v pf sE E n dv S d E +=-∙⇒+=∙→→→→→⎰⎰ （2）dv S d P ps⎰⎰-=∙→→ρ→⇒n )(12→→-∙P P =-σP（3）2．→B 的法向连续0)(0)(0112212=-∙−−−−→−=-∙⇒=∙→→→→→→→→⎰H u H u B B n n S d B s线性各向同性(4) 3.的→E 切向连续→→→→∙-=∙⎰⎰S d B dt d l d E s l 0)(12=-⨯⇒→→→E E n E Et t12= (5)4.的切向跃变→H→→→→→→→→→→=-⨯⇒∙∂∂+∙=∙⎰⎰⎰αf sflH H jn s d t DS d l d H )(12 （6）0)(012=-⨯=→→→→H H n f时，αH Ht t12= (7)线性各向同性：uB uBtt 1122=（8）推论：→→→→→→→→=-⨯⇒∙=∙⎰⎰αm s Ml M M jn S d l d M )(12 (9)5.→jf的法向跃变⎰⎰-=∙→→dv dt dS d sfjρtn f f f jj ∂∂-=-∙⇒→→→σ)(12 （10）0=∂∂t时，0)(12=-∙→→→jj f f n （11）三．说明1.上述关系在介质界面静止时导出，运动时，D ,B 法向关系仍成立，但E ,H 切向改变2.规定：界面法向n 从介质1指向介质2，否则差一负号3.具普遍意义：对任意矢量场，只要场方程与麦式方程组形式相同，其边值关系亦相同。
边值问题的分类与解的唯一性定理
p
q q
q q 2 4 π 2 R
q q ˆ D2 a 2 R 4 πR
2
2
在分界面(R = R′= R″)上，应满足电位和电位移矢量法向分量相 等的边界条件：
1 2
q q
D1n D2n
1
q q
2
q q q q
q a b q d a
a q q d
a2 b d
空间任意点 ( r , ) 的电位： q 1 a 2 2 2 2 1/ 2 4π 0 (r 2dr cos d ) (d r 2dra 2 cos a 4 )1/ 2
a2 b d
l l
两平行线电荷的电位分布
空间电位为： l r2 ln c 2π 0 r1
2 2 r r d 2dr cos 其中： 1
r2 r 2 b 2 2br cos
电动力学
第2章 静电场
8. 带有等量异号电荷的平行长直导体圆柱间的镜像
r2 a 2 b 2 2ab cos
电动力学
第2章 静电场
在柱面上取两个特殊点M和N，则 l l N ln(d a) ln(a b) 2π 0 2π 0
l l M ln(d a) ln(a b) 2π 0 2π 0
电动力学
第2章 静电场
例3： 有一接地导体球壳，内外半径分别为a1和a2，在球壳内外各 有一点电荷q1和q2 ，与球心距离分别为d1和d2 ，如图所示。 求：球壳外、球壳中和球壳内的电位分布。
解：
a1 q1
a2
( r , , )
q2
d2
电磁学8 静电场的唯一性定理
U=a UⅠ+b UⅡ必满足条件3: 3：给定每个导体的电势Uk=a UⅠk+b UⅡ k
（或总电量Qk= QⅠk a k+b QⅡ k） 特例 ： 取UⅠk＝ UⅡ k，则U=UⅠ－UⅡ(a=1,b=-1)满足
势处处为0
证明（反证）
在无电荷空间里电势分布连续 变化，若空间有电势大于0 （或小于0）的点，而边界上 电势又处处等于零——必出现 极大值或极小值——矛盾
推广：若完全由导体所包围的空间里各导体 的电势都相等（设为U0），则空间电势等于 常量U0
引理三：若所有导体都不带电， 则各导体的电势都相等
证明（反证）
4：给定每个导体的电势为0
唯一性定理
给定每个导体电势的情形
设对应同一组边值 Uk (k 1,2) 有两种恒定的电势分布U I和U II
相当于所有导 体上电势为0时 的恒定电势分
布
UI UII EI EII
说明场分布是唯一的
给定每个导体上总电量的情形
电量与场 强、电势
第k个导体上的电量
静电场边值问题的 唯一性定理
典型的静电问题
给定导体系中各导体的电量或电势以及各导体 的形状、相对位置（统称边界条件），求空间 电场分布，即在一定边界条件下求解
唯一性定理
对于静电场，给定一组边界条件，空间能否 存在不同的恒定电场分布？——回答：否！
边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定 下来
图中是根据导体内场强处处为零判断存在两种实 在的电荷分布的迭加就是唯一的分布
电像法——解静电问题的一种特殊方法
[工学]第三章静态电磁场及其边值问题的解
![[工学]第三章静态电磁场及其边值问题的解](https://img.taocdn.com/s3/m/9a304faf6529647d27285264.png)
P'
q O
E
Q l P
q 1 1 er ( ) dr 2 P ' 4 0 rP rQ 4 0 r 选取Q点为电位参考点，则 Q 0 q 1 1 P ( ) 4 0 rP rQ
q
Q
遵循最简单原则，电位参考点Q在无穷远处，即 r Q
则：
(r )
E
ex ey ez x y z
电子科技大学电磁场与电磁波课程组
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
电位方程
E / 0 / 2 即： / 0 0 E
在无源区域， 0
q
r
r
l
1 1 P ( ) 4 0 r r
q
O
q
r r l r r r 2 l 2 2rl cos 1 1 1 l 2 cos (r 2 r l l r r r 1 2 2 cos r r q l pr P 2 cos ＝ 4 0 r 4 0 r 3
点电荷在空间中产生的电位 4 r
0
q
说明：若电荷分布在有限区域，一般选择无穷远点为电位参考点
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电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
无限长线电荷的电位
l E er 2 0 r l P (ln rQ ln rP ) 2 0
电位参考点不能位于无穷远点，否则表 达式无意义。 根据表达式最简单原则，选取r=1柱面 为电位参考面，即 rQ 1 得：
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
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（＋ ) f 3 ( s) n S
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第 一 章
静 电 场
实验法 边 值 问 题 计算法
实测法
模拟法 解析法
积分法 分离变量法 镜像法、电轴法 微分方程法 保角变换法
数值法
有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法 积分方程法
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第 一 章
静 电 场
1.4 边值问题、惟一性定理
Boundary Value Problem and Uniqueness Theorem
1.4.1 泊松方程与拉普拉斯方程
(Poisson’s Equation and Laplace’s Equation)
E 0
D
E
E E E 2 泊松方程
2 0
拉普拉斯方程
2 2 2 2 2 2 2 x y z
当 =0时
2
—拉普拉斯算子
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第 一 章
静 电 场
1.4.2 边值问题（Boundary Problem)
第 一 章
静 电 场
例1.4.2 试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。 解：根据场分布的对称性
确定计算场域，边值问题
2 2 2 0 2 2 x y （阴影区域）
图1.4.1 缆心为正方形的 同轴电缆
( x b , 0 y b及y b , 0 x b )
2
(r a) ( a r )
图1.4.2 体电荷分布的球体
1 d 2 d 2 2 2 (r )0 r dr dr
2
r 2 1 通解 1(r ) C1 C2 6 0 r
边界条件1 r a 2 r a
1 2 0 r a 0 r a r r
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第 一 章
静 电 场
场域边界条件
1）第一类边界条件（狄里赫利条件，Dirichlet) 已知边界上导体的电位
|s f1(s)
2）第二类边界条件（诺依曼条件 Neumann) 已知边界上电位的法向导数(即电荷面密度 或 电力线) f 2 ( s) n S 3）第三类边界条件 已知边界上电位及电位法向导数的线性组合
U
( x 2 y 2 a 2 , x 0, y 0 )
0
0
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x
( x 0 ,b y a )
0
y
( y 0 ,b x a )
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第 一 章
静 电 场
例1.4.3 试求体电荷产生的电位及电场。
解：采用球坐标系,分区域建立方程
1 d 2 d1 1 2 (r ) r dr dr 0
2 a 2 E2 (r ) 2 er e ar 2 r r 3 0 r
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第 一 章
静 电 场
1.4.3 惟一性定理（Uniqueness Theor程的解是惟一的。
例1.4.4 图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？
U0 2 A. 1 x d U0 B. 2 x U0 d U0 C. 3 x U0 d 答案:（C ）
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图1.4.4 平板电容器外加电源U0
微分 方程 泊松方程 2＝－ / 拉普拉斯方程 2＝0 场域边界条件(待讲）
边值 问题
边界 条件
分界面衔 接条件
1＝ 2
1 2 1 2 n n
r
初始 条件
自然边界条件 lim r 有限值 强制边界条件
lim
r 0
有限值
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C3 2 (r ) C4 r
1 r 0 有限值
2
r 0 参考电位
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第 一 章
静 电 场
得到
1 (r ) (3a 2 r 2 ) 6 0 a 3 2 (r ) 3 0 r
0r a ar
1 1 电场强度（球坐标梯度公式）： ＝ er e e r r rsin E1(r ) 1 1 er r er 0 r a 图1.4.3 ，E 随r变 r 3 0 化曲线