24有限群不可约表示特征标表

1 gc

2 gc



i gc


Hale Waihona Puke gc gc由于特征标的正交关系，因此特征标表的任两行（列）满足下 列正交关系：
gc
行：
n()

i
* j

gij
1
gc
列：
n()

i
* i

g
i1
正交关系既是写特征标表的依据，也是检验结果的依据
写一个群的特征标表，通常表内
1）复共轭表示 将一表示的所有表示矩阵都取其复共轭D(R)*，它们的集合
也构成原群的表示，称为原表示的复共轭表示 互为复共轭的表示，它们的特征标互为复共轭
2）自共轭表示 若互为复共轭的两个表示等价D(R)*=X-1D(R)X，则称为自共
轭表示 自共轭表示的特征标必为实数
3）群G的两个不可约表示的直乘仍是G的一个表示 特别是：其中一个是一维表示，直乘仍是不可约表示
特征标内积为
表示不可约的充要条件
j(R) * j(R) j(R) 2 aj1 (R) 2 g
RG
RG
注意
有些文献上定义特征标内积为
i (R) | j(R) 1 i (R) * j(R) g RG 则表示不可约的充要条件为
2. 性质
♣ 等价表示的特征标相等 ♣ 同一表示中，共轭元素特征标相等 ♣ 特征标是类的函数，即同类元素特征标相等 ♣恒元的特征标等于表示的维数 若恒元的表示D(E)的维数为m，则 χ(E)=TrD(E)m×m=m
●上面特征标的性质并不要求群G是有限群，是所有群特征标的 普遍性质，下面给出有限群特征标的性质（上节涉及的定理和推论）
(R) | (R) 1
4) 有限群不等价不可约表示的个数等于群的类数
1 gc
j
m2j g
j
维数的平方和等于群的阶数
二、特征标表
1. 定义
把有限群G的所有不等价不可约表示的特征标，作为类 的函数列出一个表，称为群G的特征标表。
建立特征标表的原因
●在给定的线性空间，群表示的矩阵形式不唯一 依赖于基的选择，甚至依赖于基的排序 但众多的表示是定义在同一线性空间，可以通过相似变换联
上面的方法有助于根据已知不可约表示寻找新的不可约表示
2. 特征标表的构成
表头：行：群包含的几个类 设有gc个类，第α类记为 前面写上类元素的个数n(α)
列：群的几个不等价不可约表示 有限群不等价不可约表示个数=gc
表中：每一行 是一个不可约表示Di 对应不同类 的特征标 χiα（α=1,...,gc）
系，即都是等价的 ●虽然群的表示矩阵不唯一，但是矩阵的迹（特征标）在相似 变换下不变（等价的表示特征标对应相等）
因此，表示的特征标成为表示的特征，与基的选择无关
●群论的主要任务就是对于各种典型的群，特别是物理中常见 的对称变换群，寻找它们所有不等价不可约表示，研究可约表 示的约化方法 ●对有限群，我们可以先找到群的所有不等价不可约表示的特 征标，列成特征标表，再找不可约表示的表示矩阵，可使问题 简化 ●有限群不等价不可约表示的特征标都满足前面列出的性质， 那些性质是写特征标表的依据，也是检验表是否正确的依据
m12+m22+...+mN2=N，则m1=m2=...=mN=1 即 每个表示都为一维表示 4）表示矩阵必须满足群元素的乘积关系
R↔D(R); S↔D(S) → RS↔D(R)D(S) 设D是CN的一个不可约表示，则
D(E) 1
mi=1，都是一维表示
RN=E
D(R N ) D(R)N
D(R)N 1
3. 有限群的特征标
♣ 设有限群G：阶为g 有n个不等价不可约表示Di(G), i=1,2,...,n Di(G)的维数为mi，特征标为χi(G)
1) 正交关系
i (R) * j(R) gij 对群元素求和，特征标作为群空间矢量
RG
gc
[n( ) / g]1/ 2i* [n( ) / g]1/ 2 j
i (R)* i (R) (R) 2 (R)* (R)
RG
RG
可约表示约化为几个不可约表示的过程中，有的不可约表 示不止出现一次（重数）
X
1D(R
)X

j
a
jD
j
(R
)
(R) a j j(R)
j
a i

1 g
i (R)*(R)
RG
不可约表示：D(R)=Dj(R), χ(R)=χj(R)
2.4 有限群不可约表示的特征标表
一、特征标 是研究群表示的重要且有效的工具
1. 定义
设D(G)是群G的一个表示，表示D(G)的特征标记为χ(G) 其中群元素R的表示矩阵D(R)对应的特征标χ(R)为
(R) TrD(R) D (R)
即表示矩阵D(R)对角线上元素和为元素R的特征标。
第一行：给出恒等表示D1的特征标 χ1α=1，即表的第一行为 1
第一列：给出恒元E表示的特征标 χi(E)=mi，即表的第一列为表示的维数
3. N阶循环群的特征标表
1）N阶循环群的标准形式：CN={R,R2,...,RN=E} 阿贝尔群，各元素间乘积可对易
2）阿贝尔群每个元素自成一类，因此，N阶循环群有N个类 3）有限群不等价不可约表示的维数平方和=群的阶
有的文献取 +
D(R) exp[ i 2L / N]， (0 L N 1)
共有N个值，L=0 对应 D1(E)=1 恒等表示
N阶循环群有N个D(R)值，每一个值对应一个不等价不可 约表示，为方便，可写成
1

1 g
gc
n( )i* j
1
ij
对类求和，特征标作为类空间矢量（加上归一化系数）
2) 完备性
特征标构成类空间完备基，任何类函数都可按其展开
F (R) F (SRS1) C j j(R)
j
C j

1 g
RG

j (R )
*
F(R)
3) 特征标内积
每一列 是群每类元素 在不同表示Di中的特征标χiα （i=1,...,gc）
特征标表是一个正方形表：gc×gc
n(1) 1
D1
11
D2
12

Di
1i

D gc
gc 1
n(2) 2

1 2

2 2


i 2

gc 2
n( ) α

1

2



i



gc
n(gc ) gc