量纲分析方法

v = C gh
其中常数 C 可以通过实验测定出来。 例 2. 单摆的周期
(3)
质量 m 的小球系在长度为 l 的线的一端， 偏离平衡位置后小球在重力 mg 的作用下做往复摆动， 求小球的摆动周期 t。 分析 这个问题中出现的物理量有 t, m, l, g，不计空气阻力时可以假设它们之间有关系式
t ∼ mα l β g γ
量纲分析方法
倪致祥主讲
为了能够应用数学来描述物理对象，我们需要对其定量化。物理对象的定量化需要有单位和数 值，单位是作为度量标准的某个物理量。被测物理量的数值大小不仅取决于其本身，而且取决于所 选用的单位。例如为了描述一块地的范围，需要确定其面积的单位和数值的大小。我们可以说这是 块大小为 1 平方公里的地，也可以说这是块大小为 1000000 平方米的地。离开了单位，仅根据数值 我们无法判断一块地的大小。单位的选取往往带有任意性，比如说度量长短可以选用米为单位，也 可以选用厘米、分米、公里甚至光年为单位。然而这些单位都是用来度量同一个物理量—长度的， 它们之间可以相互换算，具有某种统一性。我们把这种统一性称为量纲。 一般来说，测量同一个物理量可以有不同的单位，但是它的量纲是唯一的。例如，测量长度可 以用厘米、分米、公里甚至光年为单位，但是决不能用公斤或吨为单位。不同量纲的物理量之间有 但是并没有原则性错误； 本质的区别， 相互不能换算。 说一根木头长度为 2×10−16 光年虽然很不合适， 如果说一根木头长度为 100 公斤，就要让人笑掉大牙。 通常用［量］来表示物理量的量纲，不同的物理量往往有不同的量纲：长度的量纲记为 L，时 间的量纲记为 T，质量的量纲记为 M，无单位的物理量的量纲记为 1。一个具体的物理对象往往要有 许多不同的物理量来描述其不同的特性，我们可以把其中的一些看成是基本量，其他的是导出量。 基本量的量纲称为基本量纲，其他量的量纲可以由基本量纲导出。例如，我们取基本的量纲为 L、T 和 M，那么面积的量纲为 L2，速度的量纲为 LT−1，加速度的量纲为 LT−2。 由于物理量是有量纲的，因此用数学公式来描述任何一个客观规律时，等式两边的量纲必须一 致，这个要求称为量纲一致原则。根据量纲一致原则和牛顿第二运动定律，我们可以导出力的量纲 为 MLT−2。在量纲一致的原则下，问题中物理量之间关系的分析称为量纲分析。量纲分析是应用物 理理论解决实际问题的一个有力工具，可以用来合理地组合变量从而简化问题的处理，导出新知识 和获得新信息。下面我们来看几个典型的例子： 例 1. 真空中自由落体的速度 设物体的释放高度为 h，自由降落的落地速度为 v，不失一般性，我们假定 v 与物体的质量 m、 重力加速度 g 和 h 有关，即 v＝v ( m, g, h ) 不做实验，你能求出上述关系式的具体形式吗？ (1)
(6)
α =0 β + γ = 0 − 2γ = 1
1 1 ,γ =−2 。将此结果代入到(7)式后，我们得到 方程组(7)的解为 α = 0, β = 2
(7)
t ∼ l/g
(8)式与实验得到的结果是一致的。
(8)
例 3. 弹簧振子的运动周期 质量 m 的物体与一个长度为 l 的轻质弹簧相连，弹簧的另一端固定，将弹簧拉长 a 后释放，求 物体的振动周期 t。 分析 为了简单起见，我们不记空气阻力，周期 t 应该与振子的质量 m、弹簧的弹性系数 k、原长 l 和 伸长 a 有关，即 t ＝ t ( m, k, l, a ) 不做实验，你能求出上述关系式的具体形式吗？ 以 L、T 和 M 为基本量纲，则 ［t］＝T， ［m］＝M ［h］＝［a］＝ L ， ［k］＝MT−2， (9)
其中α、β 和 γ 是待定的常数，k 是无量纲的比例系数。(4)式的量纲表达式为
(4)
[ t ] = [ m]α [ l ]β [ g ]γ
将［t］＝T， ［m］＝M ， ［g］＝LT−2， ［l］＝L 代入上式后，我们得到
(5)
T = M α Lβ + γ T −2 γ
根据量纲一致原则，我们可以导出一个关于待定常数的线性方程组
容易看出［t］的平方等于［m/k］ ，因此
t = C (a, l , m, k ) m/k
(10)
应该是一个无量纲的纯数。由于 m 和 k 的量纲与 L 无关，它们不可能组合成一个纯数，应该从右边 的变量中去掉；而 a 和 l 的量纲相同，它们可以组合成无量纲的纯数 a / l，可以以组合形式出现的右 边的变量中。这样我们就得到
t = C (a / l ) m / k
(3)
其中纯数函数 C(x)的具体形式无法用量纲分析的方法确定， 只能通过实验测定或者用其它方法确定。 对于单纯的弹簧振子，C(x) = 2π 为与 x 无关的常数；而对于对称双弹簧振子的横振动，可以证 明 C(x)是一个与自变量 x 有关的无量纲的纯量函数。 结束语 通过上面的例子，我们不难看出虽然用量纲分析方法不能完全解决所提出问题，但是它可以给 出答案的部分重要信息，使得问题的进一步解决大为简化。希望同学们能够仿照上面的典型例子， 应用量纲分析方法来解决几个熟悉的物理问题。
分析 取基本的量纲为 L、T 和 M，那么有 ［m］＝M ［v］＝LT−1， ， ［g］＝LT−2， ［h］＝L 。
容易看出［v］的平方等于［g］与［h］之积，因此
v = C ( m, g , h ) gh
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应该是一个无量纲的数，即上式中右边的变量应该组合成为无单位的纯数。由于 M 在除 m 外的其他 变量中都未出现，所以 m 不能组合成无量纲的纯数，应该右边的变量中去掉。同理可知变量 g, h 也 应该从右边的变量中去掉。这表明 C 应该是一个无量纲的纯常数，这样我们就得到