基本初等函数I(指数函数与对数函数)

基本初等函数(指数函数和对数函数

一、基本内容串讲

本章主干知识：指数的概念与运算，指数函数、图象及其性质，对数的概念与运算，对数函数、图象及其性质，幂函数的概念

1．指数函数：（1）有理指数幂的含义及其运算性质：

①r s r s a a a +⋅=；②()r s rs a a =；③()(0,0,,)r r r ab a b a b r s Q =>>∈。 （2）函数)10(≠>=a a a y x 且叫做指数函数。

2．对数函数

（1）对数的运算性质：如果a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0，那么： ①N M MN a a a log log log +=； ②N M N

M

a a a log log log -=； ③)(log log R n M n M a n a ∈=。

（2）换底公式：)0,10,10(log log log >≠>≠>=

b c c a a a

b

b c c a 且且

3．幂函数

函数αx y =叫做幂函数（只考虑2

1

,1,3,2,1-=α的图象）。

二、考点阐述

考点1有理指数幂的含义

1、化简1

327()125

-的结果是（ ）.

A.

35 B. 5

3

C. 3

D.5 考点2幂的运算

2、（1）计算：25.021

21

32

5.032

0625.0])32.0()02.0()008.0()9

4

5()833[(÷⨯÷+---；

（2）化简：

533233

23

233

2

3

134)2(248a

a a a a

b a

a

ab b b a a ⋅⋅⨯-÷++--

。

3、已知1

12

2

3x x

-

+=，求

22332

2

23

x x x x

--+-+-的值。

4、已知21

()21

x x f x -=+. （1）讨论()f x 的奇偶性； （2）讨论()f x 的单调性.

5、已知函数23()(0,1)x f x a a a -=>≠且.

（1）求该函数的图象恒过的定点坐标；（2）指出该函数的单调性.

考点4指数函数模型的应用( B 关注实践应用)

6、光线通过一块玻璃,其强度要损失10%,把几块这样的玻璃重叠起来,设光线原来的强度为a ,通过x 块玻璃后强度为y .

（1）写出y 关于x 的函数关系式；

（2）通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的1

3

以下? ( lg30.4771)≈

考点5对数的概念及其运算性质

7、已知3()lg ,(2)f x x f ==则 （ ）

（A ）lg 2 （B ）lg8 （C ）1lg 8 （D ）1

lg 23

8、计算（1）()()32log 3

2-+

＝ 。

（2）2(lg 2)lg 2lg50lg 25+⋅+＝ 。 考点6换底公式的应用

9、计算3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+；

10、已知f(x)=(a 2－1)x 在区间(－∞,+∞)内是减函数,则实数a 的取值范围是

(A)|a|＜1 (B)|a|＞1 (C)|a|＜2 (D)1＜|a|＜2 11、若)2(log ax y a -=在]1,0[上是减函数,则a 的取值范围是( ) A.)1,0( B.)2,0( C.)2,1( D.),2(+∞ 考点8指数函数x a y =与对数函数

y =( D )

（A ）),0(+∞ （B ）)81,3

1

( （C ）)4,1( （D ）)4,1(- 考点9幂函数的概念

14、幂函数()f x 的图象过点

（，则()f x 的解析式是_____________。 15、若225

21,(),4,1,(1),,(1)2

x x y x y y x y x y x y x y a a ====+=-==>

，上述函数是幂函数

的个数是（ ）

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个 考点10函数的零点与方程根的联系(A )

16、已知)(x f 唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的（ ） A ．函数)(x f 在(1,2)或[)2,3内有零点 B ．函数)(x f 在(3,5)内无零点 C ．函数)(x f 在(2,5)内有零点 D ．函数)(x f 在(2,4)内不一定有零点 17、．如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ）

A ．()6,2-

B ．[]6,2-

C ．{}6,2-

D ．()(),26,-∞-+∞ 18、 求132)(3+-=x x x f 零点的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

19、函数()ln 2f x x x =-+的零点个数为 。

三、解题方法分析

1．弄清根式和分数指数幂的意义，掌握从指数转化上处理指数问题

【方法点拨】类比整数指数幂的运算性质理解分数指数幂的运算，根式一般先转化成分

数指数幂，然后再利用有理指数幂的运算性质进行运算； 例1化简下列各式（0,0>>b a ）

2

0)a > 2115113366

22(2)(2)(6)(3)a b a b a b -÷-

2．理解对数的概念及其运算性质，会利用对数运算性质化简、计算及求值

【方法点拨】一方面，要理解对数的概念和运算性质，理解对数式和指数式的互化，另

一方面，计算、化简及求值首先寻找同底转化，当不同底时，要灵活运用换底公式处理。 例2计算： (1)lg14－2lg

3

7

+lg7－lg18 ⑵ ２5log 25＋３2log 64 （3）3log 8log 4log 843⋅⋅，． 3．理解指（对）数函数的概念与性质，从函数表达式的特征上寻找解题途径。 【方法点拨】能根据指（对）数函数表达式有意义和单调性求定义域和值域。解题时特

别注意对数的真数大于零。 例3求下列函数的定义域、值域：

（1）121

8

x y -= （2）y =（3）)64(log 22+-=x x y