数学分析第二十二章曲面积分-60页精选文档

例1. 计算曲面积分
其中是球面
被平面
截出的顶部.
解:
z
D xy:x2y2a2h2 1zx2 z2y
h o
D x y ay x
dS z
adxdy
2
Dxy a2x2y2 a 0 d
a2h2 rdr
0
a2 r2
2a1 2lna2(r2)
a2h2
0
例2. 计算
其中 是由平面
与
坐标面所围成的四面体的表面.
单侧曲面
曲面分内侧和 外侧
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)
曲面分左侧和 右侧
曲面分上侧和 下侧
• 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向
表示 :
方向余弦 co s cos
cos 封闭曲面
侧的规定 > 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧 外侧 < 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧 内侧
面, 计算
z1
解:
在四面体的四个面上
平面方程
投影域
1 o 1y x dS
z1xyD x y:0 x 1 ,0 y 1 x3dxdy
z0
同上
dxdy
y 0 D zx:0 z 1 ,0 x 1 zdzdx
I(3 1 )0 1 dx0 1 x(1x 1 y)2dy
1
dz
0
01z(11x)2dx
• 设 为有向曲面, 其面元 S在 xoy 面上的投影记为
(S)xy,
的面积为
则规定
()xy, 当cos0时
(S)xy
()xy,
0,
当 cos0时 类似可规定 当cos0时 (S)y,z(S)zx
二、 对坐标的曲面积分的概念与性质
1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为
求单位时间流过有向曲面 的流量 .
定义1 设 S是空间中可面 求f， 面 (x,y,积 z)为的 定曲 S义 上在 的
对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.
• 积分的存在性.
在光滑曲面 上连续,
则对面积的曲面积分存在. • 对积分域的可加性. 若 是分片光滑的, 例如分成两
片光滑曲面 1,2, 则有
f(x,y,z)dS 1 f(x,y,z)dS
1
dz
0
01z(11y)2dy
(3 1 )0 1 1 1 x 1 2 d x 2 0 1 1 2 1 z d z
3 3( 31)ln2 2
练习2. 设 一卦限中的部分, 则有( C ).
1为在第
(B ) ydS4 1 xdS; (C ) zdS4 1 xdS;
Rdxdy 称为R 在有向曲面上对 x, y 的曲面积分.
引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为
P d y d z Q d zd x R d x d y
• 线性性质.
k 1 f(x ,y ,z) k 2 g (x ,y ,z)d S k 1 f(x ,y ,z )d S k 2 g (x ,y ,z )d S
二、对面积的曲面积分的计算法
定理22.1 设有光滑曲面
z
f (x, y, z) பைடு நூலகம் 上连续, 则曲面积分
o
y
f(x,y,z)dS存在, 且有
lim
0
i
1
P (i,i,i)co i Q s(i,i,i)co i s R (i,i,i)co isSi
n
lim 0 i 1
2. 定义. 设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个 向量场 A ( P ( x , y , z ) Q ( , x , y , z ) R ( x , , y , z )若) 对, 的任 意分割和在局部面元上任意取点, 下列极限都存在
分析: 若 是面积为S 的平面,
n
v
法向量:
流速为常向量: 则流量
S
对一般的有向曲面 , 对稳定流动的不可压缩流体的
速度场
用“分割, 近似代替,求和, 取极限”
ni vi
n
进行分析可得 lim 0 i1
vi niSi
设 n i (c i,c oi o ,s cs i o ) , 则 s
n
n
i 1
Q (i,i, i) (S i)zx
则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积
分, 或第二类曲面积分. 记作
P d ydz Q dzdx R d xd y
P, Q, R 叫做被积函数; 叫做积分曲面.
Pdydz称为P 在有向曲面上对 y, z 的曲面积分;
称为Q 在有向曲面上对 z, x 的曲面积分;
z
解: 设 1, 2, 3, 4分别表示 在平面 1
上的部分, 则 o
原式 = 1 2 3 4 xyz dS
1
x
1y
4 xyzdS
4 :z 1 x y ,(x,y)D xy: 0 0 y x1 1x
1
1x
3 x dx y(1xy)dy
0
0
3 120
练习1. 设 是四面体 x y z 1 ,x 0 ,y 0 ,z 0 的
x Dxy
(k)xy (k,k,k)
D xy f(x,y,z(x,y))
证明: 由定义知
n
lim
0 k 1
而
(k)x y 1 zx 2 (x ,y ) zy2 (x ,y )d x d y
1 z x 2 (k ,k ) z y 2 (k ,k ) ( k ) x y
f(x,y,z)dS f(k,k,z(k,k))
( 2000 考研 )
思考. 计算
其中 是介于平面
之间的圆柱面 分析: 若将曲面分为前后(或左右) 两片, 则计算较繁. 解: 取曲面面积元素
则
I
H2Rdz
0 R2z2
2arctaHn
R
作业：P282, 1(1)(2), 3.
z H
z dz
o
y
x
课堂练习、复习
3.计算三重 I积 (x2分 y2)dxdydz， 由 x2y2z2和 za
1 z x 2 (k ,k ) z y 2 (k ,k )( k ) x y
(光滑)
1 z x 2 (k ,k ) z y 2 (k ,k )( k ) x y
D x y f( x ,y ,z ( x ,y ) )1 z x 2 ( x ,y ) z y 2 ( x ,y ) d x d y
围成。请考角 察坐 ：标 利系 用先 直一 二后 后 , 柱 二 一面 、 坐标系，球面坐标系。
§2 第二型曲面积分(对坐标的曲面积分)
一、曲面的侧及曲面元素的投影 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法 四*、两类曲面积分的联系
一、曲面的侧及曲面元素的投影
双侧曲面 • 曲面分类