上海市交大附中高二期中数学学科考试试卷(含答案)(2019.04)

交大附中高二期中数学试卷

2019.04

一. 填空题

1. 如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线可确定 个平面

2. 已知球的体积为36π，则该主视图的面积等于

3. 若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163，则a =

4. 如图，以长方体

1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，

过D 的三条棱所在的直线均为坐标轴，建立空间直角坐标系，

若1DB uuu u r 的坐标为(4,3,2)，则1AC u u u u r 的坐标是

5. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面所成

的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）

6. 已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，

A 、

B 是下底面圆周上两个不同的点，B

C 是母线，如图，若

直线OA 与BC 所成角的大小为6π，则l r

= 7. 已知△ABC 三个顶点到平面α的距离分别是3、3、6，则其重心到平面α的距离为 （写出所有可能值）

8. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若动点P 在线段上1BD 运动，则DC AP ⋅u u u r u u u r 的取值

范围是

9. 如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，剪去△AOB ，将剩余部分沿OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以()A B 、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积为

10. 某三棱锥的三视图如图所示，且这个三角形均为直线三角形，则34x y +的最大值为

11. 已知A 、B 、C 、P 为半径R 的球面上的四点，其中AB 、AC 、BC 间的球面距离分

别为3R π、2R π、2

R π，若OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，其中O 为球心，则x y z ++的最大 值是

12. 如图，在四面体ABCD 中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，过EF 任作一个平面α分别与直线BC 、AD 相交于点G 、H ，则下列结论正确的是

① 对于任意的平面α，都有直线GF 、EH 、BD 相交于同一点；

② 存在一个平面α，使得点G 在线段BC 上，点H 在线段AD 的延长线上；

③ 对于任意的平面α，都有EFG EFH S S =V V ；

④ 对于任意的平面α，当G 、H 在线段BC 、AD 上时，几何体AC EFGH -的体积是一个定值.

二. 选择题

13. 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A. 23π B. 423

π C. 22π D. 42π 14. 如图，在大小为45°的二面角A EF D --中，

四边形ABFE 与CDEF 都是边长为1的正方形，

则B 、D 点间的距离是（ ）

A. 3

B. 2

C. 1

D. 32-

15. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有 系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也，又以高乘之，三十六成 一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算器体积V 的近似公式2136V L h ≈， 它实际上是将圆锥体积公式的圆周率π近似取3，那么近似公式2272V L h ≈

相当于将圆锥体 积公式中的π近似取为（ ）

A. 227

B. 258

C. 15750

D. 355113

16. 在正方形ABCD A B C D ''''-中，若点P （异于点B ）是棱上一点，则满足BP 和AC '所成角为45°的点P 有（ ）

A. 6个

B. 4个

C. 3个

D. 2个

三. 解答题

17. 现有四个正四棱柱形容器，1号容器的底面边长是a ，高是b ；2号容器的底面边长是b ，高是a ；3号容器的底面边长是a ，高是a ；4号容器的底面边长是b ，高是b ，假设a b ≠，问是否存在一种必胜的4选2的方案（与a 、b 的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理由.

18. 如图，已知圆锥底面半径20r cm =，点Q 为半圆弧AC 的中点，点P 为母线SA 的中点，PQ 与SO 所成角为arctan2，求：

（1）圆锥的侧面积；

（2）P 、Q 两点在圆锥侧面上的最短距离.

19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，DAB ∠为直角，AB ∥CD ，222AD CD AB PA ====，E 、F 分别为PC 、CD 的中点.

（1）求证：CD ⊥平面BEF ；

（2）求BC 与平面BEF 所成角的大小；

（3）求三棱锥P DBE -的体积.

20. 如图，P ABC -是底面边长为1的正三棱锥，D 、E 、F 分别为棱长PA 、PB 、PC 上的点，截面DEF ∥底面ABC ，且棱台DEF ABC -与棱锥P ABC -的棱长和相等.（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）

（1）证明：P ABC -为正四面体；

（2）若12PD PA =，求二面角D BC A --的大小（结果用反三角函数值表示）； （3）设棱台DEF ABC -的体积为V ，是否存在体积为V 且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF ABC -有相同的棱长和？若存在，请具体构造这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由.

（注：用平行于底的截面截棱锥，该截面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥P ABC -的体积减去棱锥P DEF -的体积）