第一章 状态空间表达式(2013)
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控制系统的状态空间表达式
第一章 控制系统的状态空间表达式Chapter 1 State space representation of control systems本章内容• 状态变量及状态空间表达式 • 状态空间表达式的模拟结构图 • 状态空间表达式的建立(1) • 状态空间表达式的建立(2) • 状态矢量的线性变换 • 由传递函数求状态方程• 由状态空间表达式求传递函数阵 • 离散系统的状态空间表达式• 时变系统和非线性系统的状态空间表达式系统的动态特性由状态变量构成的一阶微分方程组来描述，能同时给出系统全部独立变量的响应，因而能同时确定系统的全部内部运动状态。
1.1 状态变量及状态空间表达式1.1 State space representation of control systems 状态变量 (State variables)状态：表征系统运动的信息和行为状态变量：能完全表示系统运动状态的最小个数的一组变量x 1(t ), x 2(t ), …, x n (t ) 状态向量(State vectors)由状态变量构成的向量 x (t )T 123()(),(),()...()n x t x t x t x t x t =⎡⎤⎣⎦状态空间 (State space) • 以各状态变量x 1(t ),x 2(t ),…… x n (t )为坐标轴组的几维空间。
•状态轨迹：在特定时刻t ，状态向量可用状态空间的一个点来表示，随着时间的推移，x (t )将在状态空间描绘出一条轨迹线。
状态方程 (State equations)• 由系统的状态变量与输入变量之间的关系构成的一阶微分方程组。
例1.1 设有一质量弹簧阻尼系统。
试确定其状态变量和状态方程。
解：系统动态方程2()().()().()()()d yF t ky t f yt m dt my t f yt ky t F t ⎧--=⎪⎨⎪++=⎩ 设1()()y t x t =，2()()yt x t = 12()()............................................(1)1()()()()........(2)x t y t f k x t y t y t F t m m m =⎧⎪⎨=--+⎪⎩12212()()1()()()()xt x t k f x t x t x t F t m m m =⎧⎪⎨=--+⎪⎩1122010()()()1()()xt x t F t f k x t x t m m m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ＝ 状态方程的标准形式：()()()xt Ax t Bu t =+ （A ：系统矩阵 B ：输入矩阵） 输出方程 (O u t p u t e q u a t i o n )系统的输出量与状态变量之间的关系[]112()()()10 ()x t y t x t x t ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦()()y t Cx t =(C:输出矩阵）状态方程和输出方程的总和即称为状态空间表达式。
状态空间表达式
1 x2 x 2 x3 x x 3 6 x1 3 x 2 2 x 3 u
y x1 x2
2014-2-16
电信学院 苗荣霞
(4)
1 a11 x1 a12 x 2 b11u1 b12u2 x 2 a 21 x1 a 22 x 2 b21u1 b22u2 x y1 c11 x1 c12 x 2 y2 c21 x1 c22 x 2
现代控制理论
第一章：控制系统的 状态空间表达式
2007年度
主要内容：
状态的概念、状态方程的建立、由状态空 间表达式求传递函数(阵)、线性变换、离 散系统的状态空间表示等。
§ 1-1 状态变量及状态空间表达式
一、 状态
首先看一力学系统
一质量为m物体与弹簧、阻尼器相连。如图示：在u的作用下求物质运动 的过程？ 设y表示物体的位移,由牛顿定律：f =ma 有：
注意：时变：比例器变为时变 放大器 系统方框图表明了系统输入、状态、输出的关系，既表示了系统的 外部特性，也反映了系统的内部关系。 非线性：比例器－非线性函数发生器
2014-2-16
电信学院 苗荣霞
2．状态变量图：又模拟结构图 描述出了系统的详细结构，反映了系统各个变量之间的信息传递关 系，来源于模拟计算机的模拟结构图。 由积分器、加法器和比例器组成。 上面的串联电路系统的状态变量图：
2014-2-16
电信学院 苗荣霞
习题: 多输入多输出系统（MIMO） 如图25所示机械系统,质量m1，m2各受到f1，f2的 作用，其相对静平衡位置的位移分别为x1， x2。
2014-2-16
电信学院 苗荣霞
根据牛顿定律，分别对m1，m2进行受力分 析，我们有：
y x1 x2
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(4)
1 a11 x1 a12 x 2 b11u1 b12u2 x 2 a 21 x1 a 22 x 2 b21u1 b22u2 x y1 c11 x1 c12 x 2 y2 c21 x1 c22 x 2
现代控制理论
第一章：控制系统的 状态空间表达式
2007年度
主要内容：
状态的概念、状态方程的建立、由状态空 间表达式求传递函数(阵)、线性变换、离 散系统的状态空间表示等。
§ 1-1 状态变量及状态空间表达式
一、 状态
首先看一力学系统
一质量为m物体与弹簧、阻尼器相连。如图示：在u的作用下求物质运动 的过程？ 设y表示物体的位移,由牛顿定律：f =ma 有：
注意：时变：比例器变为时变 放大器 系统方框图表明了系统输入、状态、输出的关系，既表示了系统的 外部特性，也反映了系统的内部关系。 非线性：比例器－非线性函数发生器
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2．状态变量图：又模拟结构图 描述出了系统的详细结构，反映了系统各个变量之间的信息传递关 系，来源于模拟计算机的模拟结构图。 由积分器、加法器和比例器组成。 上面的串联电路系统的状态变量图：
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习题: 多输入多输出系统（MIMO） 如图25所示机械系统,质量m1，m2各受到f1，f2的 作用，其相对静平衡位置的位移分别为x1， x2。
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根据牛顿定律，分别对m1，m2进行受力分 析，我们有：
控制系统的状态空间表达式
式中：x
x2
xn
CT c1 c2 cn
a11
a12
a1n
A
C
若矩对阵caac122n于形1111 一式个 为ccaa多12n22222输入多 输出系ccaa12统n2nnnn， 其m状n态nn空维维间输系表出统 达矩式矩阵的阵
非线性状态方程不可能写成（1-1）的形式，只能一般地表示为：
x f (x, u, t),
其中 f 是 n 维函数列向量。上式也可展开写成
x
1
f1 (x1, x2 ,, xn
;
u1, u2 ,, ul ; t)
x 2
f 2 (x1, x2 ,, xn
;
u1, u2 ,, ul ; t)
出方程
输出量：系统需要着重研究的受控量。
输出量的数目不限，而且可以选择某些受控量的线性组 合作为输出量，或是输出量与受控量的线性组合。
在例1-1中，若指定Uc为输出量，即：u=Uc=X1，
则有输出方程：
y 1
x1
0
x2
或 y CT x ; CT 1 0
x n f n (x1, x2 ,, xn ; u1, u2 ,, ul ; t)
三、状态空间表达式的系统方块图 参见课本P14
四、状态空间表达式的模拟结构图
与状态空间系统方块图不同，模拟结构图反映的是系统各状态变量 之间的信息传递，而方块图表示的是系统整体信号传递的关系。状 态空间的模拟结构图有助于系统的状态空间表达式的建立。
1状态空间表达式13
基本认识（5）
状态变量的特点： 独立性：状态变量之间线性独立 多样性：状态变量的多组选择 等价性：两个状态向量之间只差一个非奇异 线性变换 现实性：状态变量通常选择含义明确的物理 量 抽象性：状态变量可以是没有物理含义的量
状态空间表达式的状态变量图
x1
x2
x1 x2
(t ) x (t ) x
(5) 提炼归纳
状态空间表达式的一般形式：
1.2.2、状态空间表达式的基本 概念
状态：系统的状态是指系统过去、现在和将来的状 况。 状态变量：足以完全表征运动的最小个数的一组变量 （相互独立的变量） 若给定： （1）t = t0时这组状态变量的初值 x(t ) x(t0 ) （2）t ≥ t0时系统输入的时间函数 [如，u(t)]已知 则系统在t ≥ t0的任何瞬时的行为（由状态变量来 体现）就完全确定
状态变量的选择
通常，选择容易测量的量作状态变量。 例如： 机械和液压系统 流量 压力 速度 加 机械和液压系统：流量、压力、速度、加 速度、位移、力及它们的导数等 电系统：电压、电流、电荷、磁通及它们 的导数等
4
对机电系统，如果将储能元件的物理变量选 为系统的状态变量，则状态变量的个数等于 系统中独立储能元件的个数
ax bu x
则其状态图为
7
1.3 状态空间表达式的建立
1.3.1.由物理公式直接建立状态空间表达式： 例1.3.1 系统如图所示
R2
iL (u L
du diL 1 ) C C dt R1 dt duC diL L uC C R2 u dt dt
整理得：
uc
iL
R1
其中，u为输入，uc为输出 讨论其特性描述
第1章 控制系统的状态空间表达式
x3 x2 x1
1 选择状态变量 每一个方块的后面，除比例环节。 2 列写状态方程 4 列写状态空间形式
3 列写输出方程
1.3 状态空间表达式的建立（一）
例1.3-2 系统方块图如下，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式
例1.3-3 系统方块图如下，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式
1.3 状态空间表达式的建立（一）
1.1 状态变量及状态空间表达式
例题 1.1-1 【解答】 3 列写状态方程和输出方程
（2）输出方程
y uC x1
x1 y 1 0 x2
4 列写状态空间表达式
x Ax Bu y Cx Du
1 0 0 C A ,B 1 1 R L L L C 1 0 , D 0
绪论
本章结构 • 第1章 控制系统的状态空间表达式
1.1 状态变量及状态空间表达式 1.2 状态空间表达式的模拟结构图 1.3 状态空间表达式的建立（一） 1.4 状态空间表达式的建立（二） 1.5 状态变量的线性变换 1.6 从状态空间表达式求传递函数 1.7 离散时间系统的状态空间表达式 1.8 时变系统和非线性系统的状态空间表达式
7 状态空间表达式
状态方程+输出方程，构成一个系统完整的动态描述：
x(t ) Ax(t ) Bu (t ) (1.1 5) y (t ) Cx(t ) Du (t )
1.1 状态变量及状态空间表达式
例1.1-1 求R-L-C电路的状态空间表 达式，输出为电容两端电压
R1 R1 1 di1 i i u 1 2 dt L1 L1 L1 u R R2 di2 R1 i2 1 i2 c L2 L2 L2 dt du c 1 i2 C dt
1 选择状态变量 每一个方块的后面，除比例环节。 2 列写状态方程 4 列写状态空间形式
3 列写输出方程
1.3 状态空间表达式的建立（一）
例1.3-2 系统方块图如下，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式
例1.3-3 系统方块图如下，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式
1.3 状态空间表达式的建立（一）
1.1 状态变量及状态空间表达式
例题 1.1-1 【解答】 3 列写状态方程和输出方程
（2）输出方程
y uC x1
x1 y 1 0 x2
4 列写状态空间表达式
x Ax Bu y Cx Du
1 0 0 C A ,B 1 1 R L L L C 1 0 , D 0
绪论
本章结构 • 第1章 控制系统的状态空间表达式
1.1 状态变量及状态空间表达式 1.2 状态空间表达式的模拟结构图 1.3 状态空间表达式的建立（一） 1.4 状态空间表达式的建立（二） 1.5 状态变量的线性变换 1.6 从状态空间表达式求传递函数 1.7 离散时间系统的状态空间表达式 1.8 时变系统和非线性系统的状态空间表达式
7 状态空间表达式
状态方程+输出方程，构成一个系统完整的动态描述：
x(t ) Ax(t ) Bu (t ) (1.1 5) y (t ) Cx(t ) Du (t )
1.1 状态变量及状态空间表达式
例1.1-1 求R-L-C电路的状态空间表 达式，输出为电容两端电压
R1 R1 1 di1 i i u 1 2 dt L1 L1 L1 u R R2 di2 R1 i2 1 i2 c L2 L2 L2 dt du c 1 i2 C dt
第一章系统的状态空间表达式
L + uc(t) _
输出
+ y _
i(t)
_
例2求图示RLC回路的状态空间表达式
di Ri uc u dt du C c i dt L du c 1 i dt C di 1 R 1 uc i u dt L L L
令
x1 uc
x2 i
状态空间表达式为
1 0 1 0 x x 1 C 1 u x 2 1 R x2 L L L x1 y 1 0 x2
x1 y [0 1] x2
例 系统如图
图示由弹簧、质量体、阻尼器组成的机械动力学系统的物理模型。 试建立以外力u（t）为系统输入、质量体位移y（t）为输出的状态空 间模型。
解：设在外力u（t）作用于小车前，小车已处于平衡态。这 里仅考虑外力加入后对小车运动的影响。系统的受力情况如 下图所示。
由牛顿第二定律有：
d2y dy m 2 u f ky dt dt
选择状态变量：对机械动力学系统，常常将位移、速度等选作 状态变量。对本例，有
x1 t yt
状态变量代入，得：
(t ) x2 (t ) y
1 x2 x k f 1 x x x u 2 1 2 m m m
状态空间表达式状态变量图
D
u
B
×
x
∫
x
C ×
y
A
状态空间表达式
(t ) Ax x (t ) Bu (t ) y(t ) Cx (t ) Du (t )
状态变量图的绘制步骤
第一章控制系统的状态空间表达式
K1
(S
1)3
1 S(S 1)3
S1
1
K2
d
ds
(S
1)3
1 S(S 1)3
S 1
1
K3
1 d2
2!
ds
2
( S
1)3
1 S( S 1)3
S 1
1
K4
S
S(
1 S 1)3
S 0
1
因此，
F(s)
(S
1 1)3
(S
1 1)2
1 S 1
1 S
查拉普拉斯关系对照表，得：
比例环节的传递函数为： G(s) C(s) K
R(s)
作比例环节的阶跃响应曲线图
R(t)
X0
0
C(t)
t
KX0
0
t
图2-10 比例环节的阶跃响应曲线
2、积分(Integral)环节
积分环节的微分方程为： c(t) 1
t
r(t)dt
Ti 0
式中，Ti—积分时间。
积分环节的传递函数为
G(s) C(s) 1 R(s) TiS
fr
式中fr—阀门局部阻力系数。
动态数学模型
▪ 动态
----运动中的自动调节系统（或环节），当输入 信号和输出信号随时间变化时，称系统（或 环节）处于不平衡状态或动态。
▪ 动态数学模型（动态特性）---在不平衡状态时，输出信 号和引起它变化的输入信号之间的关 系，称为系统（或环节）的动态特性。
1.数学模型的建立
例2 求的反变换
※解：
F(s)
S2
S
3 2S
2
F(s)
S 3
第一章状态空间表达式-第2讲分解
在系统模拟结构图的基础上，把每个积分器的输出选作
状方态程变和量输出xi,方其程输出便是相应的 xi；直接写出系统的状态
例1-4 系统方块图如下所示，求出系统的状态 空间表达式。
+ -
K1
x3
K2
x2
T1s 1
T2s 1
K3 x1 y
T3s
k4
12
u+
-
K1 + T1
x3
x3
-
1 T1
K2 + T2
3.系统的维数=状态变量的个数=一阶微分方程的个数 =储能元件的个数。
4.状态变量的不唯一，状态方程也不唯一。
状态空间表达式的系统方块图
可以用方块图表示系统信号传递的关系。对于上面表 示的系统，其方块图可表示如下
u
+x
x
b
+
A
y
CT
1.2 状态空间表达式的模拟结构图
模拟结构图的必要性：采用模拟结构图来反映系 统和状态变量之间的信息传递关系，对建立系统 的状态空间表达式很有帮助。
T
2s2
2Ts
1
T
2
1
2
T
s1
1 T2
s 2
1
2
T
s 1
1 T2
s 2
方块图：
U (S ) u
K
T2
1 T2
S 1 x2
2 T
2）含输入导数项： Ty y K ( u u)
Y (s) K ( s 1) K [ 1 s ] K [ s1 ]
U (s) Ts 1 T s 1 s 1 T 1 1 s1 1 1 s1
TT
T
状方态程变和量输出xi,方其程输出便是相应的 xi；直接写出系统的状态
例1-4 系统方块图如下所示，求出系统的状态 空间表达式。
+ -
K1
x3
K2
x2
T1s 1
T2s 1
K3 x1 y
T3s
k4
12
u+
-
K1 + T1
x3
x3
-
1 T1
K2 + T2
3.系统的维数=状态变量的个数=一阶微分方程的个数 =储能元件的个数。
4.状态变量的不唯一，状态方程也不唯一。
状态空间表达式的系统方块图
可以用方块图表示系统信号传递的关系。对于上面表 示的系统，其方块图可表示如下
u
+x
x
b
+
A
y
CT
1.2 状态空间表达式的模拟结构图
模拟结构图的必要性：采用模拟结构图来反映系 统和状态变量之间的信息传递关系，对建立系统 的状态空间表达式很有帮助。
T
2s2
2Ts
1
T
2
1
2
T
s1
1 T2
s 2
1
2
T
s 1
1 T2
s 2
方块图：
U (S ) u
K
T2
1 T2
S 1 x2
2 T
2）含输入导数项： Ty y K ( u u)
Y (s) K ( s 1) K [ 1 s ] K [ s1 ]
U (s) Ts 1 T s 1 s 1 T 1 1 s1 1 1 s1
TT
T
状态空间表达式的解PPT课件
06 结论
状态空间表达式解法的总结
解法概述
详细总结了状态空间表达式的解法，包 括其基本原理、主要步骤和常用技巧。
优缺点分析
对状态空间表达式的解法进行了全面 的优缺点分析，以便读者更好地理解
和使用。
应用实例
列举了几个实际应用的状态空间表达 式问题，并展示了如何运用解法进行 求解。
与其他方法的比较
将状态空间表达式的解法与其他常见 的方法进行了比较，突出了其独特性 和优势。
状态空间表达式的重要性
01
状态空间表达式具有直观性和通 用性，能够全面地描述系统的动 态特性，包括系统的稳定性、可 控性和可观测性等。
02
它为控制系统分析和设计提供了 强大的数学工具，使得复杂系统 的分析和控制成为可能。
状态空间表达式的应用领域
控制系统设计
状态空间表达式广泛应用于控制系统 设计和分析中，如线性控制系统、非 线性控制系统、多变量控制系统等。
等。
判定方法
03
通过计算系统的极点、零点和增益等参数，判断解的稳定性。
解的唯一性
定义
如果给定相同的初始条件和输入信号，状态空 间表达式的解是唯一的，则称该解是唯一的。
判定方法
通过求解线性代数方程组或使用数值计算方法， 验证解的唯一性。
唯一性条件
只有在无病态或适定性条件下，解才是唯一的。
解的收敛性
稳定性分析
分析系统的稳定性，判断系统是否能够保持稳定运行。对于不稳定 的系统，需要采取措施进行控制和调整。
04 状态空间表达式的解的性 质
解的稳定性
定义
01
如果状态空间表达式的解在初始条件的影响下，最终会趋于稳
定状态，则称该解是稳定的。
第一章-状态空间表达式
现代控制理论Model Control Theory前言1.胚胎萌芽期（1945年以前）•十八世纪以后，蒸汽机的使用提出了调速稳定等问题1765年俄国人波尔祖诺夫发明了锅炉水位调节器1784年英国人瓦特发明了调速器，蒸汽机离心式调速器1877年产生了劳斯稳定判据•十九世纪前半叶，动力使用了发电机、电动机促进了水利、水电站的遥控和程控的发展以及电压、电流的自动调节技术的发展•十九世纪末，二十世纪初，使用内燃机促进了飞机、汽车、船舶、机器制造业和石油工业的发展，产生了伺服控制和过程控制•二十世纪初第二次世界大战，军事工业发展很快飞机、雷达、火炮上的伺服机构，总结了自动调节技术及反馈放大器技术，搭起了经典控制理论的架子，但还没有形成学科。
2.经典控制理论时期（1940-1960）1945年美国贝尔实验室的Bode和Nyqusit提出频率响应法，奠定了控制理论的基础。
美国MIT的N. Wiener在研究随机过程的预测问题中，提出Wiener滤波理论.50年代趋于成熟.主要内容对单输入单输出系统进行分析，采用时域、频率法（频域）、根轨迹法（复数域）、相平面法、描述函数法；讨论系统稳定性的代数和几何判据以及校正网络等。
面临的挑战：被控对象日益复杂化、控制性能要求不断提高。
wiener3.现代控制理论时期（50年代末-60年代初）空间技术的发展提出了许多复杂控制问题，用于导弹、人造卫星和宇宙飞船上。
取得的成就1：1957年发射人造地球卫星；2：工业机器人产品；3：1961年载人航天；4：1969年登月；4.大系统和智能控制时期（70年代）各学科相互渗透，要分析的系统越来越大，越来越复杂。
例如：人工智能、模拟人的人脑功能、机器人等。
应用举例本课程内容•状态空间模型；•基于状态空间模型的系统分析（Analysis）：运动分析、能控性、能观性、稳定性•基于状态空间模型的系统综合（Synthesis）：极点配置、控制器设计、观测器设计、最优控制器设计。
现代控制理论复习知识点
V(x)对所有x都具有连续的一阶偏导 V(x)正定，即当x=0，V(x)=0; x0，V(x) >0; V(x)沿状态轨迹方向计算的时间导数V’(x)满足条件： V’(x)半负定(0)：xe李亚普诺夫意义下稳定； V’(x)负定，或V’(x)半负定(0)但除x=0外V’(x)不恒为零：
xe渐近稳定。 渐近稳定时，若||x||时， V(x) ： xe大范围渐近
M满秩，M=？注意矩阵维数
能观
特殊情况判别：对角线，特征值互异；约当阵，特征值 有重复
N满秩，N=？注意矩阵维数
离散时间系统的能控能观性判别M, N->G, H。
第三章复习要点
3、标准型及转化 (单输入单输出，系统能控)
标准型：
能控标准I型 A (I在右上角)，B=(0, … 0, 1)T，C 能控标准II型 A (I在左下角), B=(1, 0, … 0)T ，C 能观标准I型 A (I在右上角) ，B，C=(1, 0, …, 0) 能观标准II型 A(I在左下角)，B，C= (0, …, 0 1) 直接写出传递函数： 能控I，能观II
原理：状态反馈增益矩阵K… 结构图？ 特点：改变闭环系统的特征值，可配置极点
2、输出反馈
原理：输出反馈增益矩阵H… 结构图？ 特点：
3、闭环系统的能控性、能观性
状态反馈不改变系统的能控性，但不保证能观性不变 输出反馈不改变系统的能控性和能观性
第五章复习要点
4、极点配置
状态反馈：前提：系统完全能控
第二章 系统解的表达式
要求内容：
包括线性定常系统状态方程齐次解，矩阵指数函数和 状态转移矩阵的概念及其计算方法，线性定常系统状 态方程的非齐次解，离散系统状态方程解，连续时间 系统状态方程离散化
xe渐近稳定。 渐近稳定时，若||x||时， V(x) ： xe大范围渐近
M满秩，M=？注意矩阵维数
能观
特殊情况判别：对角线，特征值互异；约当阵，特征值 有重复
N满秩，N=？注意矩阵维数
离散时间系统的能控能观性判别M, N->G, H。
第三章复习要点
3、标准型及转化 (单输入单输出，系统能控)
标准型：
能控标准I型 A (I在右上角)，B=(0, … 0, 1)T，C 能控标准II型 A (I在左下角), B=(1, 0, … 0)T ，C 能观标准I型 A (I在右上角) ，B，C=(1, 0, …, 0) 能观标准II型 A(I在左下角)，B，C= (0, …, 0 1) 直接写出传递函数： 能控I，能观II
原理：状态反馈增益矩阵K… 结构图？ 特点：改变闭环系统的特征值，可配置极点
2、输出反馈
原理：输出反馈增益矩阵H… 结构图？ 特点：
3、闭环系统的能控性、能观性
状态反馈不改变系统的能控性，但不保证能观性不变 输出反馈不改变系统的能控性和能观性
第五章复习要点
4、极点配置
状态反馈：前提：系统完全能控
第二章 系统解的表达式
要求内容：
包括线性定常系统状态方程齐次解，矩阵指数函数和 状态转移矩阵的概念及其计算方法，线性定常系统状 态方程的非齐次解，离散系统状态方程解，连续时间 系统状态方程离散化
第一章 控制系统的状态空间表达式
x1 du c2 x 2
第一章 控制系统的状态空间表达式
a 11 b1 u a 21 b2 + +
• x2
+ +
• x1
∫ a 12
x1
c1
+ +
y
∫ a 22 d
x2
c2
第一章 控制系统的状态空间表达式
例:
设三阶系统状态空间表达式为
x1 x2 x2 x3 x3 6 x1 3x2 2 x3 u y x1 x3
1.一阶微分方程模拟方框图
x ax bu
u b + + x′ ∫ a x
第一章 控制系统的状态空间表达式
2.二维单变量系统状态空间描述模拟方框图
x1 x 2 y c1
a11 a 21
a12 x1 b1 u x a22 2 b2
第一章 控制系统的状态空间表达式
五.状态向量 定义:以系统的 n 个独立状态变量 x1 (t ) xn (t ) 作为分量的向量. 记为 x1 (t ) 或x(t ) x (t ) x (t )T x(t ) 1 n xn (t )
六.状态空间 定义:以状态变量 x1 (t ) xn (t ) 为坐标轴所构 成的n维空间.
第一章 控制系统的状态空间表达式
§1-3 状态空间表达式的建立(一)
用状态空间分析系统时，首先要建立给定系统的状态空间表
达式。 建立表达式三个途径：
由系统方块图来建立； 从系统的物理或化学的机理出发进行推导； 由描述系统运动过程的高阶微分方程或传递函数
1-1-状态空间表达式-PPT课件
x1 x2
0 1
LC
u
输出方程为：
y 1
0
x1 x2
x2 x1 uC
（3）系统状态变量的数目是惟一的
1.1.4 状态空间表达式建立的举例
例1-1 建立右图所示机械系统的状态空间表达式（注： 质量块 m 的重量已经和弹簧 k 的初始拉伸相抵消）
根据牛顿第二定律
F
F
ky
f
dy dt
m
d2 dt
y
2
即：
m
d2y dt 2
f
dy ky F dt
选择状态变量 x1 y x2 y x1
则：
x1 x2
x2
k m
y
f m
dy dt
1 m
F
k m
x1
f m
x2
1 m
F
机械系统的系统方程为
x1
x2
0
k m
1 f
m
x1 x2
0 1
m
F
y 1
y a2 y a1 y a0 y b0u
选取状态变量 x1 y
x2 y
x3 y
则有 x1 x2
x2 x3
x3 a0 x1 a1x2 a2 x3 b0u
写成矩阵形式
x1 0 1 0 x1 0
x2
0
0
1
x2
0
u
x3 a0 a1 a2 x3 b0
i(t) uC (t
)
1
L 0
u(t
)
duC (t) 1 i(t) dt C
该方程描述了电路的状态变量 和输入量之间的关系，称为该 电路的状态方程，这是一个矩 阵微分方程。
第1章控制系统的状态空间表达式
●状态方程用于描述系统输入引起系统状态变化的动态过程 。
u
X
y
●状态方程的一般形式为：
x Ax Bu
§1－1 状态空间变量及状态空间表达式
五. 输出方程
在指定系统输出y 的情况下，输出y 与状态变量x 及系统输入u 的
函数关系式，称为系统的输出方程 。
●系统的状态和输入决定了系统输出的变化 。
2.根据给定的数学模型，画出相应的加法器和比例器。
3.用箭头将这些元件连接起来。
§1－2 状态空间表达式的模拟结构图
二. 绘制状态空间模拟结构图的例子
例1 一阶标量微分方程x： ax bu
u
b+
x x
+
a
§1－2 状态空间表达式的模拟结构图
二. 绘制状态空间模拟结构图的例子
例2 三阶微分方程 ： x a2 x a1x a0 x bu
值以及t≥t0时间的输入，就完全能够确定系统在任何t≥t0时间的动态行 为；
●状态变量的最小性，体现在减少变量个数就不能够完全表征系统的动态
行为，而增加变量数则是完全表征系统动态行为所不需要的。
●状态变量在数学上是线性无关的。
●状态变量的选取不是唯一的。
●对于一个实际的物理系统,状态变量个数等于系统独立储能元件的个数。
Kn
J2 x2
x1
Kb
x2
x1
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
由以上方框图可知：x1 x2
x2
J2 Kb
x4
x3 K n x4
状态方程：
x4
1 J1
x3
Kp J1
u
X
y
●状态方程的一般形式为：
x Ax Bu
§1－1 状态空间变量及状态空间表达式
五. 输出方程
在指定系统输出y 的情况下，输出y 与状态变量x 及系统输入u 的
函数关系式，称为系统的输出方程 。
●系统的状态和输入决定了系统输出的变化 。
2.根据给定的数学模型，画出相应的加法器和比例器。
3.用箭头将这些元件连接起来。
§1－2 状态空间表达式的模拟结构图
二. 绘制状态空间模拟结构图的例子
例1 一阶标量微分方程x： ax bu
u
b+
x x
+
a
§1－2 状态空间表达式的模拟结构图
二. 绘制状态空间模拟结构图的例子
例2 三阶微分方程 ： x a2 x a1x a0 x bu
值以及t≥t0时间的输入，就完全能够确定系统在任何t≥t0时间的动态行 为；
●状态变量的最小性，体现在减少变量个数就不能够完全表征系统的动态
行为，而增加变量数则是完全表征系统动态行为所不需要的。
●状态变量在数学上是线性无关的。
●状态变量的选取不是唯一的。
●对于一个实际的物理系统,状态变量个数等于系统独立储能元件的个数。
Kn
J2 x2
x1
Kb
x2
x1
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
由以上方框图可知：x1 x2
x2
J2 Kb
x4
x3 K n x4
状态方程：
x4
1 J1
x3
Kp J1
第一章 控制系统的状态空间表达式
2013-8-21
1 0 C , b C 1 L L
16
六、输出方程
在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量间的函数关系式， 称为系统的输出方程。 输出一般用y表示。
在RLC网络中，指定x1=uc作为输出，则有： y=uc
这就是该系统的输出方程。
1 矩阵表示式为： y x1 0 x2
2013-8-21
26
离散系统的状态空间描述中，状态方程为差分方程，输出方程为 离散时间变换方程：
x(k 1) G (k )x(k ) H(k )u(k ) y (k ) c(k )x(k ) D(k )u(k )
2013-8-21
27
四、确定性系统和随机系统
确定性系统：指系统的特性和参数是按确定的规律而变化的，且 各个输入变量（包括控制和扰动）也是按确定的规律而变化的。
x f ( x, u) y g ( x, u)
x Ax Bu y Cx Du
2013-8-21
25
三、连续系统和离散系统
连续系统的一个基本特点是，不管是作用于系统的变量，还是 表征系统形态的变量，都是时间t的连续变量过程。 当系统的各个变量取值于离散的时刻时，为离散时间系统。 离散系统是一类实际的离散时间问题的数学模型，如许多社会 经济问题、生态问题等； 或是一个连续系统因为采用数字计算机进行计算或控制的需要 而人为地加以时间离散化而导出的模型。
• tt0时的输入电压u(t)
则:
tt0时的状态可完全确定
因此，i(t)、uc(t)是这个系统的一组状态变量。
2013-8-21
11
状态变量：
动力学系统的状态变量是指能完整地、确定地描述系统的时域 行为的最小一组变量。
1 0 C , b C 1 L L
16
六、输出方程
在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量间的函数关系式， 称为系统的输出方程。 输出一般用y表示。
在RLC网络中，指定x1=uc作为输出，则有： y=uc
这就是该系统的输出方程。
1 矩阵表示式为： y x1 0 x2
2013-8-21
26
离散系统的状态空间描述中，状态方程为差分方程，输出方程为 离散时间变换方程：
x(k 1) G (k )x(k ) H(k )u(k ) y (k ) c(k )x(k ) D(k )u(k )
2013-8-21
27
四、确定性系统和随机系统
确定性系统：指系统的特性和参数是按确定的规律而变化的，且 各个输入变量（包括控制和扰动）也是按确定的规律而变化的。
x f ( x, u) y g ( x, u)
x Ax Bu y Cx Du
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25
三、连续系统和离散系统
连续系统的一个基本特点是，不管是作用于系统的变量，还是 表征系统形态的变量，都是时间t的连续变量过程。 当系统的各个变量取值于离散的时刻时，为离散时间系统。 离散系统是一类实际的离散时间问题的数学模型，如许多社会 经济问题、生态问题等； 或是一个连续系统因为采用数字计算机进行计算或控制的需要 而人为地加以时间离散化而导出的模型。
• tt0时的输入电压u(t)
则:
tt0时的状态可完全确定
因此，i(t)、uc(t)是这个系统的一组状态变量。
2013-8-21
11
状态变量：
动力学系统的状态变量是指能完整地、确定地描述系统的时域 行为的最小一组变量。
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Y (s) bm s m bm1 s m1 b1 s b0 W ( s) n U ( s) s a n 1 s n 1 a1 s a 0
cm sm cm1sm1 c1s c0 W (s) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
K1 T 1s 1
K2 T 2s 1
K3 T 3s 1
y
K4
3 状态空间表达式的建立 3.1 从系统方块图出发 变换成模拟结构图； 每个积分器的输出选作一个状态变量； 写出系统的状态方程和输出方程。
u +
K1 T 1s 1
+
K2 T 2s 1
K3 T 3s
y
K4
K1 T1 +
开环和闭环、反馈
控制的性能指标：稳定性、快速、精度。最优控制
控制理论概述
学控制理论做什么？ 系统分析—分析系统的性能
系统设计—设计控制器
所谓系统分析就是在规定的条件下，对数学模型已 知系统的性能进行分析； 所谓系统设计，就是构造一个能够完成给定任务的系统， 这个系统具有希望的瞬态、稳态性能以及抗干扰性能。
f (s) f (t )e dt
0
f (s) sf (s) f (0)
传递函数：线性动态系统零初值条件下输出量的Laplace变 换像函数与输入量的Laplace变换像函数之比。 *线性系统：满足叠加和一致性， 如用线性方程或线性微分方程描述的系统 可以用于分解复杂系统 *定常系统：参数不随时间变化
J u i
x1 i
B
x2
R x1 L x K 2 a J
Kb 1 L x1 L u B x2 0 J
3 状态空间表达式的建立 3.3 从传递函数出发 实现问题：由描述系统输入输出动态关系的传递函数，建 立系统的状态空间表达式（性能描述→具体结构） Laplace变换 st
R L J u i
状态变量 x1 i
B
x2
由电枢回路：
由电磁感应关系： 由动力学方程：
di L Ri e u dt
e K b
d J B K a i dt
3 状态空间表达式的建立 3.2 从系统机理出发 电动机驱动。R、L为电枢回路的电阻和电感，J为转动惯量，B 为粘性摩擦系数 状态变量 L R
1 0 c x1 1 u R x2 L L
1 状态空间表达式
状态空间表达式一般形式
x1 x x 2 xn
a11 a12 a a A 21 22 a n1 a n 2
y ( s) bm s m bm 1s m1 b1s b0 G(S ) u ( s) an s n an 1s n 1 a1s a0
称之为系统的传递函数
举例
u0 (t ) 0 i1 (t ) i2 (t )
ui (t ) du o (t ) C R dt
控制理论概述
控制：使某些物理量按照指定的规律变化 扰动 参考量 控制器 对象：如机械 臂，倒立摆等 传感器 输出量
+
基本概念：
如单摆
f [ x, t ] 存在状态 x e 使 f [ x e , t ] 0 →状态不变 平衡：系统 x 稳定：系统偏离了平衡状态，有回到平衡状态的趋势； 或者这种偏离是有界的 不倒翁稳定 倒立摆不稳定
如质量、阻尼、弹簧系统
控制理论概述
系统的数学描述：微分方程、传递函数、状态空间表达式 微分方程：时域内描述动态系统，如机械系统的动力学方程。 传递函数：零初始条件下输出量和输入量的Laplace变换的比。 基于传递函数描述和分析系统的方法又称之为频域方法。 经Laplace变换，得到
an s n y ( s ) an1 s n1 y ( s ) a1 sy ( s ) a0 y ( s ) bm s m u ( s ) bm1 s m1u ( s ) b1 su ( s ) b0u ( s )
b11 b12 b b B 21 22 bn1 bn 2 b1r b2 n bnr
Ax Bu x
a1n a 2n a nn
u1 u u 2 u r
x1 y 1 0 0 x 2 x3
u
+ _
K1 + T1
_
∫
x3 K 2
T2
+ _
∫
x2
K3 T3
∫
x1 y
1
T1
1
T2
K4
3 状态空间表达式的建立 3.2 从系统机理出发 电动机驱动。R、L为电枢回路的电阻和电感，J为转动惯量，B 为粘性摩擦系数
1 状态空间表达式 状态方程反映系统内部的运动规律 输出方程表达系统内部运动和系统输出的联系 状态方程
Ax Bu x
输出方程
y1 y y 2 ym
y Cx Du
c11 c12 c c C 21 22 c m1 c m 2 c1n c 2n c mn
0 x1 x 0 2 x3 k1k4 T1
k3 T3 1 T2 0
0 x1 0 k2 x2 0 u T2 k x3 1 1 T1 T1
两个独立储能元件：电容和电感 两个状态变量： 电容的储能与其两端的电压相关 uc 电感的储能与流过的电流相关 i
1 状态空间表达式 写出状态空间表达式
1 u i c c 1 R 1 i u i u L c L L
状态变量用一般符号x1,x2,…,xn表示
0 x 1 x 1 2 L
w( s )
A1 A A 2 n s p1 s p2 s pn
1
n Ai n pit L [ w( s )] L Ae i s p i 1 i1 i
1
3 状态空间表达式的建立 3.3 从传递函数出发
& y ( n) an1 y ( n1) L a1 y a0 y & bmu ( m) bm1u ( m1) L b1u b0u
不考虑具体的细节，只考虑频响特性：频域
状态空间表达式 vs 传递函数
脉冲响应函数、 状态空间表达式
y(s)=G(s)X(s)
描述输入输出特性 vs 描述内部状态运动
优劣？过时？
控制系统分析和综合的基础为系统的数学模型，经 典控制理论中采用微分方程和传递函数描述系统。 经典微分方程和传递函数描述的缺陷：
K4
u
+ _
K1 + T1
_
∫
x3 K 2
T2
+ _
∫
x2
K3 T3
∫
x1 y
1
T1
1
T2
K4
3 状态空间表达式的建立 3.1 从系统方块图出发
x1 k3 x2 T3
k 1 x2 x2 2 x3 T2 T2 x3 y x1
矩阵形式
kk k 1 x3 1 4 x1 1 u T1 T1 T1
第一章
控制系统的状态空间表达式
基 础 知 识 回 顾
控制理论概述
控制：使某些物理量按照指定的规律变化 典型的闭环控制系统： 扰动
参考量
+
控制器
-
对象：如机械 臂，倒立摆等 传感器
输出量
通过误差来 减少误差
输入、动态系统、输出、测 量、比较、误差、输入构成 的一个环路。构成包含原动 态系统在内的一个新的动态 系统
状态方程：由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为系 统的状态方程 表征系统的运动
1 状态空间表达式 写出状态空间表达式 R
u
+ -
两个含有状态变量的一阶微分方程
c L
uC
输出
输入
duc c i dt di L Ri uc u dt
1 uc i c 1 R 1 i uc i u L L L
& x 3
_
K1 1 T1 s 1 T1
传递函数 微分方程 模拟结构图
∫
T1
x3
1
3 状态空间表达式的建立 3.1 从系统方块图出发 变换成模拟结构图； 每个积分器的输出选作一个状态变量； 写出系统的状态方程和输出方程。
u +
+
K1 T 1s 1
K2 T 2s 1
K3 T 3s
y
1 x2 x 2 x3 x 3 6 x1 3x2 2 x3 u x
方块图：分块 模拟结构图：模拟
y x1 Biblioteka x2u ++ ++
x3
∫
-2
∫
-3
x2
x1
∫
+
+
y
-6
3 状态空间表达式的建立 系统方块图 状态空间表达式的建立 物理机理 高阶微分方程或传递函数
u
+ +
如何描述对象？ 定性、定量、数学工具……
控制理论概述
系统的数学描述：微分方程、传递函数、状态空间表达式 微分方程：时域内描述动态系统，如机械系统的动力学方程 单输入，单输出系统的微分方程为：