第一章 状态空间表达式(2013)

Y (s) bm s m bm1 s m1 b1 s b0 W ( s) n U ( s) s a n 1 s n 1 a1 s a 0
cm sm cm1sm1 c1s c0 W (s) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
K1 T 1s 1
K2 T 2s 1
K3 T 3s 1
y
K4
3 状态空间表达式的建立 3.1 从系统方块图出发 变换成模拟结构图； 每个积分器的输出选作一个状态变量； 写出系统的状态方程和输出方程。
u +
K1 T 1s 1
+
K2 T 2s 1
K3 T 3s
y
K4
K1 T1 +
开环和闭环、反馈
控制的性能指标：稳定性、快速、精度。最优控制
控制理论概述
学控制理论做什么？ 系统分析—分析系统的性能
系统设计—设计控制器
所谓系统分析就是在规定的条件下，对数学模型已 知系统的性能进行分析； 所谓系统设计，就是构造一个能够完成给定任务的系统， 这个系统具有希望的瞬态、稳态性能以及抗干扰性能。
f (s) f (t )e dt
0
f (s) sf (s) f (0)

传递函数：线性动态系统零初值条件下输出量的Laplace变 换像函数与输入量的Laplace变换像函数之比。 *线性系统：满足叠加和一致性， 如用线性方程或线性微分方程描述的系统 可以用于分解复杂系统 *定常系统：参数不随时间变化
J u i
x1 i
B

x2
R x1 L x K 2 a J
Kb 1 L x1 L u B x2 0 J
3 状态空间表达式的建立 3.3 从传递函数出发 实现问题：由描述系统输入输出动态关系的传递函数，建 立系统的状态空间表达式（性能描述→具体结构） Laplace变换 st
R L J u i
状态变量 x1 i
B

x2
由电枢回路：
由电磁感应关系： 由动力学方程：
di L Ri e u dt
e K b
d J B K a i dt
3 状态空间表达式的建立 3.2 从系统机理出发 电动机驱动。R、L为电枢回路的电阻和电感，J为转动惯量，B 为粘性摩擦系数 状态变量 L R
1 0 c x1 1 u R x2 L L
1 状态空间表达式
状态空间表达式一般形式
x1 x x 2 xn
a11 a12 a a A 21 22 a n1 a n 2
y ( s) bm s m bm 1s m1 b1s b0 G(S ) u ( s) an s n an 1s n 1 a1s a0
称之为系统的传递函数
举例
u0 (t ) 0 i1 (t ) i2 (t )
ui (t ) du o (t ) C R dt
控制理论概述
控制：使某些物理量按照指定的规律变化 扰动 参考量 控制器 对象：如机械 臂，倒立摆等 传感器 输出量
+
基本概念：
如单摆
f [ x, t ] 存在状态 x e 使 f [ x e , t ] 0 →状态不变 平衡：系统 x 稳定：系统偏离了平衡状态，有回到平衡状态的趋势； 或者这种偏离是有界的 不倒翁稳定 倒立摆不稳定
如质量、阻尼、弹簧系统
控制理论概述
系统的数学描述：微分方程、传递函数、状态空间表达式 微分方程：时域内描述动态系统，如机械系统的动力学方程。 传递函数：零初始条件下输出量和输入量的Laplace变换的比。 基于传递函数描述和分析系统的方法又称之为频域方法。 经Laplace变换，得到
an s n y ( s ) an1 s n1 y ( s ) a1 sy ( s ) a0 y ( s ) bm s m u ( s ) bm1 s m1u ( s ) b1 su ( s ) b0u ( s )
b11 b12 b b B 21 22 bn1 bn 2 b1r b2 n bnr
Ax Bu x
a1n a 2n a nn
u1 u u 2 u r
x1 y 1 0 0 x 2 x3
u
+ _
K1 + T1
_
∫
x3 K 2
T2
+ _
∫
x2
K3 T3
∫
x1 y
1
T1
1
T2
K4
3 状态空间表达式的建立 3.2 从系统机理出发 电动机驱动。R、L为电枢回路的电阻和电感，J为转动惯量，B 为粘性摩擦系数
1 状态空间表达式 状态方程反映系统内部的运动规律 输出方程表达系统内部运动和系统输出的联系 状态方程
Ax Bu x
输出方程
y1 y y 2 ym
y Cx Du
c11 c12 c c C 21 22 c m1 c m 2 c1n c 2n c mn
0 x1 x 0 2 x3 k1k4 T1
k3 T3 1 T2 0
0 x1 0 k2 x2 0 u T2 k x3 1 1 T1 T1
两个独立储能元件：电容和电感 两个状态变量： 电容的储能与其两端的电压相关 uc 电感的储能与流过的电流相关 i
1 状态空间表达式 写出状态空间表达式
1 u i c c 1 R 1 i u i u L c L L
状态变量用一般符号x1,x2,…,xn表示
0 x 1 x 1 2 L
w( s )
A1 A A 2 n s p1 s p2 s pn
1
n Ai n pit L [ w( s )] L Ae i s p i 1 i1 i
1
3 状态空间表达式的建立 3.3 从传递函数出发
& y ( n) an1 y ( n1) L a1 y a0 y & bmu ( m) bm1u ( m1) L b1u b0u
不考虑具体的细节，只考虑频响特性：频域

状态空间表达式 vs 传递函数
脉冲响应函数、 状态空间表达式
y(s)=G(s)X(s)

描述输入输出特性 vs 描述内部状态运动

优劣？过时？
控制系统分析和综合的基础为系统的数学模型，经 典控制理论中采用微分方程和传递函数描述系统。 经典微分方程和传递函数描述的缺陷：
K4
u
+ _
K1 + T1
_
∫
x3 K 2
T2
+ _
∫
x2
K3 T3
∫
x1 y
1
T1
1
T2
K4
3 状态空间表达式的建立 3.1 从系统方块图出发
x1 k3 x2 T3
k 1 x2 x2 2 x3 T2 T2 x3 y x1
矩阵形式
kk k 1 x3 1 4 x1 1 u T1 T1 T1
第一章
控制系统的状态空间表达式
基 础 知 识 回 顾
控制理论概述
控制：使某些物理量按照指定的规律变化 典型的闭环控制系统： 扰动
参考量
+
控制器
-
对象：如机械 臂，倒立摆等 传感器
输出量
通过误差来 减少误差
输入、动态系统、输出、测 量、比较、误差、输入构成 的一个环路。构成包含原动 态系统在内的一个新的动态 系统
状态方程：由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为系 统的状态方程 表征系统的运动
1 状态空间表达式 写出状态空间表达式 R
u
+ -
两个含有状态变量的一阶微分方程
c L
uC
输出
输入
duc c i dt di L Ri uc u dt
1 uc i c 1 R 1 i uc i u L L L
& x 3
_
K1 1 T1 s 1 T1
传递函数 微分方程 模拟结构图
∫
T1
x3
1
3 状态空间表达式的建立 3.1 从系统方块图出发 变换成模拟结构图； 每个积分器的输出选作一个状态变量； 写出系统的状态方程和输出方程。
u +
+
K1 T 1s 1
K2 T 2s 1
K3 T 3s
y
1 x2 x 2 x3 x 3 6 x1 3x2 2 x3 u x
方块图：分块 模拟结构图：模拟
y x1 Biblioteka x2u ++ ++
x3
∫
-2
∫
-3
x2
x1
∫
+
+
y
-6
3 状态空间表达式的建立 系统方块图 状态空间表达式的建立 物理机理 高阶微分方程或传递函数
u
+ +
如何描述对象？ 定性、定量、数学工具……
控制理论概述
系统的数学描述：微分方程、传递函数、状态空间表达式 微分方程：时域内描述动态系统，如机械系统的动力学方程 单输入，单输出系统的微分方程为：
d n y (t ) d n1 y (t ) dy (t ) an an1 a1 a0 y(t ) n n1 dt dt dt d mu ( t ) d m1u(t ) du(t ) bm b b b0u(t ) m1 1 m m1 dt dt dt 其中，n 1 ，m 0，an 0，bm 0
i2(t) i1(t) R a + C uo(t)
ui(t)
du o (t ) i.e. RC ui (t ) dt
微分方程 复习相关的知识
U o ( s) 1 G( s) U i ( s) RCs
传递函数
域与数学工具的区别：现代控制理论 vs 经典控制

时间域vs频域
微分方程组描述相对于时间的变量：时间域

对于单变量的线性定常系统
a0 y bm u (m) bm1u (m1) b1u b0 u y (n) an1 y (n1) a1 y
3 状态空间表达式的建立 3.3 从传递函数出发
& y ( n ) an1 y ( n1) L a1 y a0 y & bmu ( m) bm1u ( m1) L b1u b0u
n
pit Ae i i 1



极点：特征方程的根，对应了输入为零时系统自由运动的 模态。如弹簧自由运动。控制系统呢？如何观测？ 零点：和极点一起，决定了各模态在系统运动中所占的 “比例”。 受控对象的响应频率：系统模态、输入模态。控制器改变 的是什么？
3 状态空间表达式的建立 3.3 从传递函数出发 零极点相消 在传递函数中，s代表一个复变量，而不是算子，故可以 依据代数运算的规则消去。 由于零极点相消，被消模态可能： ①不受输入控制—不可控； ②观察不到—不可观； ③不可控且不可观。 最小实现：不出现零极点相消，则n阶系统必有n的独立状 态变量。如采用一个非最小实现，是>n阶系统。
d 11 d 12 d d D 21 22 d m1 d m 2 d 1r d 2r d mr
2 状态空间表达式的模拟结构图 系统方块图与模拟结构图：系统方块图注重表达功能关系，模拟 结构图为系统方块图的细化，详细的描述一个现实物理系统。
输入—输出
无法处理初始条件（why?）
1 状态空间表达式 状态空间法：用由状态变量构成的一阶微分方程组描述，能反 映系统的全部独立变量的变化，能确定系统的内部运动状态， 可以方便地处理初始条件
状态变量：完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量。 独立储能元件的个数
状态变量x1(t)、x2(t) 、„ 、xn(t) 构成状态 向量 状态空间：以状态变量为坐标轴所构成的空间