利用三角函数换元求函数的最值
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解：构造向量：ｍ＝（ｚ，ａ）和咒＝（ｃ—ｚ，
ｂ），贝９ Ｙ＝Ｉ ｍ ｌ＋Ｉ，ｚ Ｉ≥Ｉ，竹＋咒Ｉ＝ ￣／ｃ２＋（口＋ｂ）２，
．‘．ｙ。ｈ＝√ｃ２＋（口＋６）２． 例６ 已知ｚ２＋Ｙ２＝３，ａ２＋ｂ２＝４，（ｚ，Ｙ， ａ，ｂ∈Ｒ），求觚＋ｂ的极值．
解：构造向量ｍ＝（ｚ，Ｙ），孢＝（ａ，ｂ），则
船 以ｚ＋＋ ＝２荔ｍ·．咒言。＝ｌｌ一ｍ｜．｜．ＩＩ言挖ＩＩ ｃｏｓＯ＝怕２√３．４·—４ ·ｃｏｓＯ＝２拈ｃｏｓＯ∈［一２拈，２朽］，．·．（觚＋ 缈）一＝２√３，（纰＋匆）“。＝一２４３．
．’．３ｋ＋ｋｃｏｓａ ２２＋ｓｉｎａ．３ｋ一２＝一ｋｅｏｓａ
＋ｓｉｎ口＝￣／１ＦＦ萨ｓ１。ｎ（口＋口），ｓｉｎ‘（口＋臼）＝
怒．··小ｉｎ（洲艇ｌ’．‘·ｌ湍ｌ≤１，
解之得学≤志≤学． ．一 ·４．弋 学≤ｚ耋弋≤４学’ ．
·３６ ·
万方数据
利用三角函数换元求函数的最值
作者： 作者单位： 刊名：
下载时间：2010年3月11日
证：构造向量：荔＝（ａ２，６２），言＝（口，６），
则（口３＋ｂ３）２＝（荔．言）２＝ｌ葛Ｉ ２．Ｉ言Ｉ Ｚｃｏｄ０Ｒ＜
ｌ；；ｌ ２．１了ｉ ２＝（口４＋６４）（口２＋６２）．
‘．‘ａ，ｂ为不等正数，．。．ｍ≠咒，．’．（ａ４＋ ｂ４）（ｎ２＋ｂ２）＞（ａ３＋ｂ３）２．
ｃｏｓｏｂｙ
２００２年第３期
三、用于求函数极值 某些条件极值，如果按常规方法求，不易人 手；但是若能仔细观察题目条件和结论，恰当地 构造出向量，则会使问题变得简单． 例５ 已知口、ｂ、ｃ是正数，求函数Ｙ＝ ￣／ｚ２＋ｎ２＋￣／（ｃ—ｚ）２＋６２的极／Ｊ、值．
例·．３‘求号函一号数∈ｙ（ｏ＝，／号）Ｆ，ｉ．＋·ｖ厂．ｙ羽Ｅ（０，的＋ｏ值ｏ）．垃．
解：观察发现４（／ｆｉ）２十（／４ＣＴ－３）２＝ １，可设２／Ｆｉ＝ＣＯＳ口，ｆ４医ｘ－３＝ｓｉｎａ，口∈
［ｏ，要］，
舢＝雩＋Ｓｉｎａ＝譬ｓｉｎ（口＋臼）
（ｓｉｎｐ＝萼），。．’ａ Ｅ［０，号］，．‘．ｓｉｎｐ≤ｓｉｎ（ａ＋ｐ）
兰
一
４３
３（争１） ３［（素）２＋１］ √ｊ
４３ ２ｚ
２以 ，可令去＝ｔａｎ号（ｏ＜号＜号），
３ １（吾）２＋１］
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．·－ｙ＝等ｓｉｎ口（ｏ＜口＜丌），．．．函数的值域是（ｏ，
等）．
，
例２求函数了＝ｚ＋／两的值域．
解：令ｚ＝ｔａｎ口（ａ Ｅ（一号．詈）），则ｙ—
ｓｓｅｅｃ口ｃ口＋ｔａｎ十口＝ｔＬ坠ａｌ笋ｌ＝口ｃｏｔｃ＝ｏ—ｓ 口—＝ （Ｌ孑＿ｑ一 一薹ｉＺ）卜 ．
＋８ｃｏｓ口十５＝３（ｃｏｓ口±百４）２一百１． ‘．。ｃｏｓａ［一１，１］，．。．ｚ！＋Ｙ２取最小值０，
最大值１６．
即０≤ｚ２＋ｙ２≤１６。
例６若实数ｚ，Ｙ满足（Ｘ一３）２＋（Ｙ一
２）２＝１，求÷的最值．
解：设（ｚ一３）２＝ＣＯＳ２ｔ／，（Ｙ一２）２＝ｓｉｎ２ｄ，则
ｚ＝３＋。。Ｓａ，ｙ＝２十ｓｉｎ口，．．．忌＝考＝厮２＋ｓｉｎａ．
总之，应用向量解题，关键在于巧妙地构造 向量，要完成这一技巧，不仅需要敏锐的观察力 而且需要丰富的想象力．
山西省平遥县寰垣中学（０３１１０４）张爱华 换元作为一种常用的数学方法历来被人们 式，进行三角代换解题．常用的恒等式有：
所熟悉，它能化繁为简，转难为易．换元的方法
（１）ｓｉＶａ＋ｃｏｓ２ａ＝１；（２）ｔａｎ２ａ＋１＝Ｓｅｃ２口；
—一，。———————一 中学数学研究 ’．‘ｍ·咒＝ａ√１一ｂ２＋ｂ ４ １一口２＝１．
．·．荔＝言，得ａ＝／研，且ｖ厂日＝ｂ，
．·．ｎ２＋ｂ２＝１．
二、用于证明不等式 某些含有乘方之和或乘积之和式子的不等 式，应用向量证明更有独特之处． 例３ 已知ｚｉ＋了；＝１，ｚ；＋了；＝１，求证： ｚ１Ｘ２＋Ｙ１Ｙ２≤１．
证：构造向量ｍ＝（ｚ１，Ｙ１），以＝（ｚ２，Ｙ２），
ｍ、，ｚ的夹角为口，则ｚｌｚ２＋Ｙ１Ｙ２＝ｍ·以＝
ｌ—ｍｌ｜·．ｌ１咒言ｌ ｃｏｓ０≤≤ｌｌ仇荔ＩＩ·．ｌ１咒言ｌｌ＝＝４ｊｚ而；＋；ｙ；··
√ｚｉ十Ｙｌ，．‘．ｚｌｚ２＋ＹｌＹ２≤１．
例４设ｎ、ｂ为不等正数，求证：（口４＋ｂ４） ·（ａ２＋ｂ２）＞（口３＋ｂ３）２．
·．。口Ｅ［Ｏ，号］√．号≤ｓｉｎ（口＋号）≤１，
．’．１≤ｙ≤２．
二、有条件代数式的最值
将条件式进行三角代换，转化为三角函数 的最值问题．
例５若实数Ｘ，Ｙ满足ｚ２—４ｘ＋４ｙ２＝０。
求ｚ２解＋Ｙ２：的最‘值。．４半＋ｙ２引，设垃≠＝
９பைடு நூலகம்
１
—１
ｃ０矿口，Ｙ。。ｓｉｎ＂ａ，
贝ｇ ｚ２‘｝Ｙ２＝（２±２ｃｏｓａ）２＋ｓｉｎ２，ｚ＝３ｃｏｓ２口
英文刊名： 年，卷(期)： 引用次数：
张爱华 山西省平遥县襄垣中学,031104
中学数学研究 STUDIES IN MIDDLE SCHOOL MATH GUANGDONG 2002，(3) 0次
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsxyj200203016.aspx
很多，三角换元因为三角函数公式多，变换多， 思路多以及其有界性等，为函数的最值求解带 来便利．
一、具体函数的最值
【ｊ，Ｓ１眦２２■ｔａ■ｎ要五。 １’‘ａ１１ ２
例１求函数ｙ２≯毛（ｘ＞０）的值域·
根据函数解析式的特征，配凑三角恒等模 万方数据
· ３５
·
中学数学研究
２００２年第３期
历·要
解：‘．‘Ｙ＝
≤１．
．’专《ｓ献洲，《． 即丢≤ｙ鸡．
例４求函数Ｙ＝ｖ厂ｉ习＋／秀＝瓦的值
域．
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＝２ｓｉｎ（口＋詈），
ｂ），贝９ Ｙ＝Ｉ ｍ ｌ＋Ｉ，ｚ Ｉ≥Ｉ，竹＋咒Ｉ＝ ￣／ｃ２＋（口＋ｂ）２，
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．’．３ｋ＋ｋｃｏｓａ ２２＋ｓｉｎａ．３ｋ一２＝一ｋｅｏｓａ
＋ｓｉｎ口＝￣／１ＦＦ萨ｓ１。ｎ（口＋口），ｓｉｎ‘（口＋臼）＝
怒．··小ｉｎ（洲艇ｌ’．‘·ｌ湍ｌ≤１，
解之得学≤志≤学． ．一 ·４．弋 学≤ｚ耋弋≤４学’ ．
·３６ ·
万方数据
利用三角函数换元求函数的最值
作者： 作者单位： 刊名：
下载时间：2010年3月11日
证：构造向量：荔＝（ａ２，６２），言＝（口，６），
则（口３＋ｂ３）２＝（荔．言）２＝ｌ葛Ｉ ２．Ｉ言Ｉ Ｚｃｏｄ０Ｒ＜
ｌ；；ｌ ２．１了ｉ ２＝（口４＋６４）（口２＋６２）．
‘．‘ａ，ｂ为不等正数，．。．ｍ≠咒，．’．（ａ４＋ ｂ４）（ｎ２＋ｂ２）＞（ａ３＋ｂ３）２．
ｃｏｓｏｂｙ
２００２年第３期
三、用于求函数极值 某些条件极值，如果按常规方法求，不易人 手；但是若能仔细观察题目条件和结论，恰当地 构造出向量，则会使问题变得简单． 例５ 已知口、ｂ、ｃ是正数，求函数Ｙ＝ ￣／ｚ２＋ｎ２＋￣／（ｃ—ｚ）２＋６２的极／Ｊ、值．
例·．３‘求号函一号数∈ｙ（ｏ＝，／号）Ｆ，ｉ．＋·ｖ厂．ｙ羽Ｅ（０，的＋ｏ值ｏ）．垃．
解：观察发现４（／ｆｉ）２十（／４ＣＴ－３）２＝ １，可设２／Ｆｉ＝ＣＯＳ口，ｆ４医ｘ－３＝ｓｉｎａ，口∈
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等）．
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＋８ｃｏｓ口十５＝３（ｃｏｓ口±百４）２一百１． ‘．。ｃｏｓａ［一１，１］，．。．ｚ！＋Ｙ２取最小值０，
最大值１６．
即０≤ｚ２＋ｙ２≤１６。
例６若实数ｚ，Ｙ满足（Ｘ一３）２＋（Ｙ一
２）２＝１，求÷的最值．
解：设（ｚ一３）２＝ＣＯＳ２ｔ／，（Ｙ一２）２＝ｓｉｎ２ｄ，则
ｚ＝３＋。。Ｓａ，ｙ＝２十ｓｉｎ口，．．．忌＝考＝厮２＋ｓｉｎａ．
总之，应用向量解题，关键在于巧妙地构造 向量，要完成这一技巧，不仅需要敏锐的观察力 而且需要丰富的想象力．
山西省平遥县寰垣中学（０３１１０４）张爱华 换元作为一种常用的数学方法历来被人们 式，进行三角代换解题．常用的恒等式有：
所熟悉，它能化繁为简，转难为易．换元的方法
（１）ｓｉＶａ＋ｃｏｓ２ａ＝１；（２）ｔａｎ２ａ＋１＝Ｓｅｃ２口；
—一，。———————一 中学数学研究 ’．‘ｍ·咒＝ａ√１一ｂ２＋ｂ ４ １一口２＝１．
．·．荔＝言，得ａ＝／研，且ｖ厂日＝ｂ，
．·．ｎ２＋ｂ２＝１．
二、用于证明不等式 某些含有乘方之和或乘积之和式子的不等 式，应用向量证明更有独特之处． 例３ 已知ｚｉ＋了；＝１，ｚ；＋了；＝１，求证： ｚ１Ｘ２＋Ｙ１Ｙ２≤１．
证：构造向量ｍ＝（ｚ１，Ｙ１），以＝（ｚ２，Ｙ２），
ｍ、，ｚ的夹角为口，则ｚｌｚ２＋Ｙ１Ｙ２＝ｍ·以＝
ｌ—ｍｌ｜·．ｌ１咒言ｌ ｃｏｓ０≤≤ｌｌ仇荔ＩＩ·．ｌ１咒言ｌｌ＝＝４ｊｚ而；＋；ｙ；··
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例４设ｎ、ｂ为不等正数，求证：（口４＋ｂ４） ·（ａ２＋ｂ２）＞（口３＋ｂ３）２．
·．。口Ｅ［Ｏ，号］√．号≤ｓｉｎ（口＋号）≤１，
．’．１≤ｙ≤２．
二、有条件代数式的最值
将条件式进行三角代换，转化为三角函数 的最值问题．
例５若实数Ｘ，Ｙ满足ｚ２—４ｘ＋４ｙ２＝０。
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１
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英文刊名： 年，卷(期)： 引用次数：
张爱华 山西省平遥县襄垣中学,031104
中学数学研究 STUDIES IN MIDDLE SCHOOL MATH GUANGDONG 2002，(3) 0次
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsxyj200203016.aspx
很多，三角换元因为三角函数公式多，变换多， 思路多以及其有界性等，为函数的最值求解带 来便利．
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【ｊ，Ｓ１眦２２■ｔａ■ｎ要五。 １’‘ａ１１ ２
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· ３５
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中学数学研究
２００２年第３期
历·要
解：‘．‘Ｙ＝
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例４求函数Ｙ＝ｖ厂ｉ习＋／秀＝瓦的值
域．
、丽解≤：１观 ，察 ｖ／发－现ｉ３函－３数ｘ的 ≤定朽义．域３（４、≤Ｘ钼≤）５２且＋
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（口Ｅ［ｏ，罢］），
ｙ＝ｓｉｎａ＋４３ＣＯＳ口２（扣口＋譬鼢口）
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