集合论、图论重要习题100.

例：

1、设A,B是两个集合,B≠¢,试证:若A×B=B×B, 则A=B。

2、设A,B,C,D是任意四个集合，证明：

（A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D)

3、某班30名学生中学英语有7人，学日语有5人，这两科都选有3人，问两科都不选的有多少人？

(|AC∩BC|+|A∪B|=30, |AC∩BC|=21人)

4、令N={1,2,3,…}，S:N→N，则

(1)∀n∈N,S(n)=n+1,Ｓ称为自然数集N上的后继函数。

(2)S(1)=1,∀n∈N,S(n)=n-1,n≥2,Ｓ称为自然数集N 上的前仆函数。

5、设f:N×N →N,f((x,y))=xy。则

（1）说明f是否是单射、满射或双射？

（2）求f(N×{1}),f-1({0})。

(1,4)≠(2,2),f((1,4))=f((2,2))=4；

∀y∈N,f((1,y))=1·y=y,任一元都有原象；

[f不是单射,f是满射]

f(N×{1})={n·1|n ∈N}=N；

f-1({0})={(x,y)|xy=0}={N×{0}}⋃{{0}×N}。

6、设R、I、N是实数、整数、自然数集合，下面定义映射f1,f2,f3,f4,f5,f6，试确定它们的性质。（0 ∈N）

（1）f1:R→R,f1(x)=2x；

（2）f2:I→N,f2(x)=|x|；

f1单射，不是满射。f2不是单射，满射。

（3）f3:N→N,f3(n)=n(mod3)；

（4）f4:N→N×N,f4(n)=(n,n+1)；

f3不是单射，不是满射；f4单射，不是满射。

（5）f5:R→R,f5(x)=x+2；

（6）f6:R→R,f6(x)=x2,x≥0,f6(x)=-2,x<0；

f5是双射(单射,满射)；f6不是单射,不是满射。

7、证明：在52个正整数中，必有两个整数，使得这两个整数之和或差能被100整除。

8、已知m个整数a1，a2，…，am，试证：存在两个整数k,l,0≤k

9、设N={1,2,3,…},试构造两个映射f,g:N→N，使得fg=IN，但gf≠IN。

10、设N={1,2,3,…},试构造两个映射f,g:N→N，使得gf=IN，但fg≠IN。

11、设f:X→Y，证明：

(1)f是单射⎛∀F∈2X，f–1(f(F))=F；

(2)f是满射⎛∀E∈2Y，f(f–1(E))=E。

12、设f:X→Y，则

(1)若存在唯一的一个映射g:Y→X,使得gf=IX,则f是可逆的吗？

(2)若存在唯一的一个映射g:Y→X,使得fg=IY,则f是可逆的吗？

13、(1)设X={1,2,3},Y={a,b},求X到Y满射的个数;

(2)设X={1,2,3,4,5},Y={a,b},求X到Y的满射的个数;

(3)设X={1,2,…,n},Y={a,b}，求X到Y的满射的个数;

(4)设X={1,2,…,n},Y={y1,y2,…,ym},n≥m,若f:X→Y，求X到Y的满射的个数。

14、设X是一个集合，|X|＝n，求：

(7) X上既不是自反的也不是反自反的关系有多少？

(9) X上自反的或对称的关系有多少？

(12)X上既不是对称的也不是反对称的关系有多少？

15、设A={1,2,3}，R是A的幂集2A上的二元关系且R={(a,b)|a∩b≠¢}，则R不满足下列哪些性质？为什么？[aRb ⎛a∩b≠¢]

(1) 自反性(2) 反自反性(3) 对称性

(4) 反对称性(5) 传递性

16、设R是复数集合C上的一个二元关系且满足

xRy⎛x-y=a+bi，a,b为非负整数，试确定R的性质。

17、设R为X上的二元关系，显然若R＝¢，则R是反自反的、对称和传递的；但若R≠¢且R是反自反的和对称的，则R不是传递的。

此题可变形为：但若R≠¢且R是反自反的和传递的,则R是反对称的。

18、设R是集合A上的反对称关系，则t(R)一定是反对称的吗？

19、设R是集合A上的一个自反的和传递的关系；

T是A上的一个关系，使得(a,b)∈T⎛(a,b)∈R且(b,a)∈R。证明：T是A上的等价关系。

20、设R是A上的二元关系，S={(a,b)|∃c∈A,使得(a,c)∈R且(c,b)∈R}。证明：若R是等价关系，则S也是等价关系。

说明：本题可以证明R＝S。

21、设{A1,A2,…,An}是集合A的划分，若Ai∩B≠φ，1≤i≤n，证明：{A1∩B,A2∩B,…,An∩B}是集合A∩B的划分。

22、设S={1,2,3,4},并设A＝S×S,在A上定义关系R为:

(a,b)R(c,d) a+b=c+d。

证明:(1) R是A上的等价关系；(2) 计算A/R。

23、设集合A={a,b,c,d,e}上关系R定义如下：

R={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,b),(b,c),(b,e),

(c,c),(c,e),(d,d),(d,e),(e,e)}。

1.写出R的关系矩阵；

2.验证(A,R)是偏序集;

3.画出Hasse图;

4.若A上的关系如下：

R={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,b),(b,c),(b,e),

(c,c), (c,d),(c,e),(d,d),(d,e),(e,e)}，则有如何？

24、用对角线方法证明：若A是可数集，则2A是不可数集。

25、用对角线方法证明：所有0,1的无穷序列所构成的集合是不可数集。

26、设T是一棵树,T有3个度为3顶点,1个2度顶点，其余均是1度顶点。则（1）求T有几个1度顶点？

（2）画出满足上述要求的不同构的两棵树。

27、设T是一棵树且△(T)≥k，证明T中至少有k个度为1顶点。

28、设G是一棵树且Δ(G)≥k，证明：G中至少有k个度为1的顶点。