2017-2018年北京市海淀区高二(上)期末数学试卷和答案(文科)
2017_2018学年北京海淀区清华大学附属中学高二上学期文科期末数学试卷解析
导数的运算
10 2017~2018学年北京海淀区清华大学附属中学高二上学期期末文科第10题5分
已知双曲线
的渐近线方程为
，则它的离心率为
．
答案
解析
，
．
∴
．
故答案为： ．
考点
解析几何 双曲线 双曲线的离心率
双曲线的渐近线
11 2017~2018学年北京海淀区清华大学附属中学高二上学期期末文科第11题5分
解析 （1）
是平行四边形，
．
∴ 为 中点．
∵ 为 中点．
∴在
中， 为中位线．
∴
．
∵
面，
面．
∴
面．
（2） ∵ 面
．
面
．
∴
．
∵
，
．
∴面．
∵
面．
∴
面．
（3） 在
中．
∵ 为 中点，
．
∴
为等腰三角形．
∴
．
．
考点
立体几何与空间向量 立体几何初步 空间几何体体积和表面积的计算
点、直线、平面间的位置关系
空间中的平行
椭圆 长为（ ）．
的两个焦点 ， ，点 是椭圆上的任意一点（非右顶点），则
A.
B.
C.
D.
的周
答案 B
解析 椭圆定义， 周长为 故选： ．
． ．
考点
解析几何 椭圆 椭圆的定义、图形及标准方程
6 2017年北京丰台区高三下学期高三二模理科第6题5分 共3个 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体最大的侧面的面积为（ ）．
空间中的垂直
19 2017~2018学年北京海淀区清华大学附属中学高二上学期期末文科第19题15分
最新北京市海淀区高二上学期期末考试数学(文)试题(含答案)
海淀区高二年级第一学期期末练习数学（文科）20xx.01学校 班级 姓名 成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）抛物线22y x =的准线方程是 （ ）（A ） 12y =-（B ）1y =- （C ）12x =-（D ）1x =-（2）若直线10x ay ++=与直线20x y ++=平行，则实数a = ( ) （A ）12-（B ）2- （C ）12（D ）2 （320y +-=与圆224x y +=相交所得的弦的长为 （ ）（A） （B） （C（D（4）已知双曲线221x ay -=的两条渐近线方程为y =?，那么此双曲线的虚轴长为（ ）（A） （B ）2 （C（D ）1（5）已知函数()f x 的导函数为'()f x ，那么“0'()0f x =”是“0x 是函数()f x 的一个极值点”的 （ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知命题:p 函数3()f x x =是增函数，命题:q x R $?，1x的导数大于0，那么 （ ） （A ）p q ∧是真命题 （B ）p q ∨是假命题 （C ）p ⌝是真命题 （D ）q ⌝是真命题（7）函数2e 1x y x =-的部分图象为 （ ）（B （C ） （D ）（8）在平面直角坐标系xOy 中，已知集合{}2()001x,y y x ,x ≤≤≤≤且所表示的图形的面积为31，若集合},1),{(≤-=x y y x M }1),{(2+≥=x y y x N ，则N M 所表示的图形面积为（ ） （A ）31 （B ）32 （C ）1 （D ）34二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上. （9）已知()cos f x x x =，则'()f x = .（10）过点(1,1)且与圆2220x x y -+=相切的直线的方程是 .（11）曲线2y ax b =+在1x =处的切线方程为41y x =-，则a =______，b =______.（12）已知抛物线C ：24y x =，O 为坐标原点，F 为C 的焦点，P 是C 上一点. 若OPF ∆是等腰三角形，则PO = .（13）已知点12,F F 是双曲线C 的两个焦点，过点2F 的直线交双曲线C 的一支于,A B 两点，若1ABF ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为 . （14）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．给出下列四个结论：①存在点E ，使得11A C //平面1BED F ；F ED 1C 1B 1A 1DCBA②存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ； ③对于任意的点E ，平面11A C D ⊥平面1BED F ； ④对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变. 其中，所有正确结论的序号是___________．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题共11分）已知函数321()43f x x ax =-+，且2x =是函数()f x 的一个极小值点. （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求)(x f 在区间[1,3]-上的最大值和最小值.(16)（本小题共11分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于点P ，Q . （Ⅰ）若3PF =（点P 在第一象限），求直线l 的方程； （Ⅱ）求证：OP OQ ⋅为定值（点O 为坐标原点）.(17)（本小题共11分）已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>经过点(1,)2--，(0,1). （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设椭圆M 的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线交椭圆M 于, A B 两点，求1ABF ∆面积的最大值.(18)（本小题共11分）已知函数22()2ln (0)f x x a x a =->. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）记函数()f x 的最小值为M ，求证：1M ≤.海淀区高二年级第一学期期末练习数学（文科）参考答案及评分标准 20xx ．01一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.（9）cos sin x x x - （10）10y -= （11）2，1（12）32或1 （13 （14）①③④ 注：（11）题每空2分；（12）题少一个答案扣2分.三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分11分）解：（Ⅰ）2'()2f x x ax =-. ………………………2分2x =是函数()f x 的一个极小值点，∴'(2)0f =.即440a -=，解得1a =. ………………………4分 经检验，当1a =时，2x =是函数()f x 的一个极小值点.∴ 实数a 的值为1. ………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，321()43f x x x =-+. 2'()2(2)f x x x x x =-=-.令'()0f x =，得0x =或2x =. ………………………6分 当x 在[1,3]-上变化时，()'(),f x f x 的变化情况如下：当1x =-或2x =时，()f x 有最小值83； 当0x =或3x =时，()f x 有最大值4. ………………………11分（16）（本小题满分11分）解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，由题意，00x >且00y >. 点P 在抛物线C 上，且3PF =，∴点P 到准线1x =-的距离为3.∴013x +=，02x =. ………………………2分又2004y x =，00y >，∴0y =∴(2,P .(1,0)F ， ………………………4分∴直线l 的方程为1)y x =-，即y =-………………………5分（Ⅱ）由题意可设直线l 的方程为：1x my =+.由21,4x my y x=+⎧⎨=⎩得214y my =+，即2440y my --=. ………………………7分显然216160m ∆=+>恒成立.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则12124,4.y y m y y +=⎧⎨⋅=-⎩ ………………………9分∴1212OP OQ x x y y ⋅=+1212(1)(1)my my y y =+++21212(1)()1m y y m y y =++++224(1)41m m =-+++3=-.即3OP OQ ⋅=-为定值. ………………………11分（17）（本小题满分11分）解：（Ⅰ）由题意1b =，椭圆M 的方程为2221(1)x y a a+=>. ………………………1分将点(1,-代入椭圆方程，得21112a +=，解得22a =. 所以 椭圆M 的方程为2212x y +=. ………………………3分 （Ⅱ）由题意可设直线AB 的方程为：1x my =+.由221,22x my x y =+⎧⎨+=⎩得22(2)210m y my ++-=.显然 2244(2)0m m ∆=++>.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1221222,21.2m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩………………………7分因为 1ABF ∆的面积12121||(||||)2S F F y y =+，其中120y y <. 所以 12121||||2S F F y y =-. 又22121212()()4y y y y y y -=+-22221422m m m --⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭22288(2)m m +=+，12(1,0),(1,0)F F -. ………………………9分 ∴2212()S y y =-2222211118[]8()222(2)22m m m =-=--+≤+++. 当0m =时，上式中等号成立.即当0m =时，1ABF ∆ ………………………11分（18）（本小题满分11分） 解：（Ⅰ）22()2ln (0)f x x a x a =->的定义域为(0,)+∞.22'()2a f x x x =-2222x a x -=2()()x a x a x+-=. ………………………2分 令'()0f x =，解得x a =或x a =-（舍）.当x 在(0,)+∞内变化时，()'(),f x f x 的变化情况如下：由上表知，()f x 的单调递增区间为(,)a +∞；()f x 的单调递减区间为(0,)a .………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 的最小值222ln M a a a =-. ………………………6分 令22()2ln (0)g x x x x x =->，则'()24ln 24ln g x x x x x x x =--=-.令'()0g x =，解得1x =. ………………………8分 当x 在(0,)+∞内变化时，()'(),g x g x 的变化情况如下：所以 函数()g x 的最大值为1，即()1g x ≤.因为0a >，所以 222ln 1M a a a =-≤. ………………………11分注：对于其它正确解法，相应给分.。
北京一零一中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(文)试题
北京101中学2017-2018学年上学期高二年级期末考试数学试卷（文科）（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 如果命题p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，那么（ ）A. 命题p ，q 均为真命题B. 命题p ，q 均为假命题C. 命题p ，q 有且只有一个为真命题D. 命题p 为真命题，q 为假命题 2. 已知函数y=f （x ）的图象在点（1，f （1））处的切线方程为x-2y+1=0，则f （1）+2f'（1）的值是（ ） A. 21 B. 1 C. 23 D. 2 3. 已知AB 是抛物线y 2=2x 的一条焦点弦，|AB|=4，则AB 的中点M 的横坐标是（ ） A. 2 B. 21 C. 23 D. 25 4. 函数f （x ）=x ·e x 的最小值是（ ）A. -1B. -eC. -e 1D. 不存在5. “a>1”是“函数f （x ）=ax+cosx 在（-∞，+∞）上单调递增”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知双曲线的一个焦点为F ，点P 在双曲线的一条渐近线上，点O 为双曲线的对称中心。
若△OFP 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. 6 B. 2 C. 2 D. 37. 函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）A. a>0，b<0，c>0，d>0B. a>0，b<0，c<0，d>0C. a<0，b<0，c>0，d>0D. d>0，b >0，c>0，d<0 8. 如图，抛物线W ：y 2=4x 与圆C ：（x-1）2+y 2=25交于A ，B 两点，点P 为劣弧⋂AB 上不同于A ，B 的一个动点，与x 轴平行的直线PQ 交抛物线W 于点Q ，则△PQC 的周长的取值范围是（ ）A. （10，14）B. （12，14）C. （10，12）D. （9，11）二、填空题共6小题。
2017-2018年北京市十一学校高二(上)期末数学试卷和答案(文科)
2017-2018学年北京市十一学校高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（3分）函数y=x2sinx导数为（）A．y'=2x+cosx B．y'=x2cosxC．y'=2xcosx D．y'=2xsinx+x2cosx2．（3分）函数y=lnx在x=2处的切线的斜率等于（）A．B．C．D．3．（3分）函数f（x）=x3﹣x2﹣x的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣），（1，+∞）D．（﹣，1）4．（3分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么（）A．﹣1是函数f（x）的极小值点B．1是函数f（x）的极大值点C．2是函数f（x）的极大值点D．函数f（x）有两个极值点5．（3分）若动点P（x，y）与两定点M（﹣a，0），N（a，0）连线的斜率之积为常数k（ka≠0），则P点的轨迹一定不可能是（）A．除M、N两点外的圆B．除M、N两点外的椭圆C．除M、N两点外的双曲线D．除M、N两点外的抛物线6．（3分）已知椭圆的焦点在y轴上，离心率为，则m的值为（）A．B．C．D．或7．（3分）函数f（x）=ax3+x+1有极值的充要条件是（）A．a＞0 B．a≥0 C．a＜0 D．a≤08．（3分）椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若正三角形的第三个顶点恰好是椭圆短轴的一个端点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．9．（3分）过双曲线右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围为（）A．B．C．D．10．（3分）如图所示的曲线是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x12+x22等于（）A．B．x2C．D．二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）双曲线C：﹣y2=1的离心率是；渐近线方程是．12．（4分）函数f（x）=x3﹣3x2+1的极小值点为．13．（4分）抛物线x2=（2a﹣1）y的准线方程是y=1，则实数a=．14．（4分）已知函数f（x）=x2﹣2lnx，则f（x）的最小值为．15．（4分）已知函数f（x）的图象关于直线对称，且当时，f（x）=x+sinx，则f（1），f（2），f（3）的大小关系为．16．（4分）以下是关于圆锥曲线的四个命题：①设A、B为两个定点，k为非零常数，若PA﹣PB=k，则动点P的轨迹是双曲线；②方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③双曲线与椭圆有相同的焦点；④以过抛物线的焦点的一条弦AB为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切．其中真命题为（写出所以真命题的序号）．三、解答题（共4小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=4x相交于不同的A，B两点．（Ⅰ）如果直线l的方程为y=x﹣1，求弦AB的长；（Ⅱ）如果直线l过抛物线的焦点，求的值．18．（12分）已知函数f（x）=x3﹣2x2+1（Ⅰ）求函数f（x）在[﹣1，2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）曲线f（x）上是否存在一点P，使得在点P处的切线平行于直线2x+y+3=0？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．19．（12分）已知动点M到定点F1（﹣2，0）和F2（2，0）的距离之和为．（1）求动点M轨迹C的方程；（2）设N（0，2），过点P（﹣1，﹣2）作直线l，交椭圆C于不同于N的A，B 两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，问k1+k2是否为定值？若是的求出这个值．20．（12分）设函数f（x）=x2e x﹣1+ax3+bx2，已知x=﹣2和x=1为f（x）的极值点．（1）求a和b的值；（2）讨论f（x）的单调性；（3）设g（x）=x3﹣x2，试比较f（x）与g（x）的大小．2017-2018学年北京市十一学校高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（3分）函数y=x2sinx导数为（）A．y'=2x+cosx B．y'=x2cosxC．y'=2xcosx D．y'=2xsinx+x2cosx【解答】解：根据题意，函数y=x2sinx，则其导数y′=（x2sinx）′=（x2）′•sinx+x2•（sinx）′=2xsinx+x2cosx，故选：D．2．（3分）函数y=lnx在x=2处的切线的斜率等于（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，函数y=lnx，则y′=，则有y′|x=2=，即切线的斜率k=，故选：A．3．（3分）函数f（x）=x3﹣x2﹣x的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣），（1，+∞）D．（﹣，1）【解答】解：∵y=x3﹣x2﹣x，∴y′=3x2﹣2x﹣1，令y′＞0即3x2﹣2x﹣1=（3x+1）（x﹣1）＞0解得：x＜﹣或x＞1故函数单调递增区间为（﹣∞，），（1，+∞）故选：C．4．（3分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么（）A．﹣1是函数f（x）的极小值点B．1是函数f（x）的极大值点C．2是函数f（x）的极大值点D．函数f（x）有两个极值点【解答】解：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f′（﹣1）=0，f′（2）=0但当x＜﹣1时，f′（x）＞0，﹣1＜x＜2时，f′（x）＞0，x＞2时，f′（x）＜0∴﹣1不是极值点，2是函数f（x）的极大值点故选：C．5．（3分）若动点P（x，y）与两定点M（﹣a，0），N（a，0）连线的斜率之积为常数k（ka≠0），则P点的轨迹一定不可能是（）A．除M、N两点外的圆B．除M、N两点外的椭圆C．除M、N两点外的双曲线D．除M、N两点外的抛物线【解答】解：依题意可知•=k，整理得y2﹣kx2=﹣ka2，当k＞0时，方程的轨迹为双曲线．当k＜0时，且k≠﹣1方程的轨迹为椭圆．当k=﹣1时，点P的轨迹为圆∴抛物线的标准方程中，x或y的指数必有一个是1，故P点的轨迹一定不可能是抛物线．故选：D．6．（3分）已知椭圆的焦点在y轴上，离心率为，则m的值为（）A．B．C．D．或【解答】解：∵椭圆的焦点在y轴上，∴a2=m，且m＞2，b2=2，可得c==又∵椭圆的离心率为，∴e===，解之得m=故选：B．7．（3分）函数f（x）=ax3+x+1有极值的充要条件是（）A．a＞0 B．a≥0 C．a＜0 D．a≤0【解答】解：当a=0时，函数f（x）=ax3+x+1=x+1是单调增函数无极值，故排除B，D当a＞0时，函数f（x）=ax3+x+1是单调增函数无极值，故排除A，故选：C．8．（3分）椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若正三角形的第三个顶点恰好是椭圆短轴的一个端点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：因为以F1F2为边作正三角形，所以正三角形的边长为2c，又因为正三角形的第三个顶点恰好是椭圆短轴的一个端点，所以b=c，所以，所以e=．故选：A．9．（3分）过双曲线右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得双曲线的渐近线斜率2＜＜3，∵∴∴双曲线离心率的取值范围为故选：B．10．（3分）如图所示的曲线是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x12+x22等于（）A．B．x2C．D．【解答】解：∵f（x）=x3+bx2+cx+d，由图象知，﹣1+b﹣c+d=0，0+0+0+d=0，8+4b+2c+d=0，∴d=0，b=﹣1，c=﹣2∴f′（x）=3x2+2bx+c=3x2﹣2x﹣2．由题意有x1和x2是函数f（x）的极值，故有x1和x2是f′（x）=0的根，∴x1+x2=，x1•x2=﹣．则x12+x22 =（x1+x2）2﹣2x1•x2=+=，故选：C．二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）双曲线C：﹣y2=1的离心率是；渐近线方程是y=x．【解答】解：双曲线C：﹣y2=1的a=2，b=1，c==，则e==，渐近线方程为y=x．故答案为：，y=x．12．（4分）函数f（x）=x3﹣3x2+1的极小值点为2．【解答】解：f′（x）=3x2﹣6x令f′（x）=3x2﹣6x=0得x1=0，x2=2且x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0；x∈（0，2）时，f′（x）＜0；x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0故f（x）在x=2出取得极小值．故答案为2．13．（4分）抛物线x2=（2a﹣1）y的准线方程是y=1，则实数a=．【解答】解：∵抛物线x2=（2a﹣1）y的准线方程为y=1，∴=﹣1，解得a=，故答案为：14．（4分）已知函数f（x）=x2﹣2lnx，则f（x）的最小值为1．【解答】解：函数的定义域（0，+∞）令f′（x）≥0⇒x≥1；f′（x）≤0⇒0＜x≤1所以函数在（0，1]单调递减[1，+∞）单调递增所以函数在x=1时取得最小值，f（x）min=f（1）=1故答案为：115．（4分）已知函数f（x）的图象关于直线对称，且当时，f（x）=x+sinx，则f（1），f（2），f（3）的大小关系为f（2）＞f（1）＞f（3）．【解答】解：∵f（x）=x+sinx，∴f（x）是奇函数，又f（x）的图象关于直线对称，故f（1）=f（π﹣1），f（3）=f（π﹣3），由π﹣3＜π﹣1＜2，故f（π﹣3）＜f（π﹣1）＜f（2），故f（3）＜f（1）＜f（2），故答案为：f（2）＞f（1）＞f（3）．16．（4分）以下是关于圆锥曲线的四个命题：①设A、B为两个定点，k为非零常数，若PA﹣PB=k，则动点P的轨迹是双曲线；②方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③双曲线与椭圆有相同的焦点；④以过抛物线的焦点的一条弦AB为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切．其中真命题为②③④（写出所以真命题的序号）．【解答】解：①不正确．若动点P的轨迹为双曲线，则|k|要小于A、B为两个定点间的距离．当|k|大于A、B为两个定点间的距离时动点P的轨迹不是双曲线．②正确．方程2x2﹣5x+2=0的两根分别为和2，和2可分别作为椭圆和双曲线的离心率．③正确，双曲线有相同的焦点，焦点在x轴上，焦点坐标为（±，0）；④正确；不妨设抛物线为标准抛物线：y2=2px （p＞0 ），即抛物线位于Y轴的右侧，以X轴为对称轴．设过焦点的弦为PQ，PQ的中点是M，M到准线的距离是d．而P到准线的距离d1=|PF|，Q到准线的距离d2=|QF|．又M到准线的距离d是梯形的中位线，故有d=，由抛物线的定义可得：=半径．所以圆心M到准线的距离等于半径，所以圆与准线是相切．故答案为：②③④三、解答题（共4小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=4x相交于不同的A，B两点．（Ⅰ）如果直线l的方程为y=x﹣1，求弦AB的长；（Ⅱ）如果直线l过抛物线的焦点，求的值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）联立得：x2﹣6x+1=0．由韦达定理：x1+x2=6．易知直线l经过抛物线的焦点F（1，0），由准线x=﹣1得：|AB|=|OA|+|OB|=（x1+1）+（x2+1）=x1+x2+2=8．（Ⅱ）设直线l：x=my+1（由于有两个交点，直线l的斜率必存在），联立得：y2﹣4my﹣4=0，由韦达定理：y1+y2=4m，y1y2=﹣4．所以所以．18．（12分）已知函数f（x）=x3﹣2x2+1（Ⅰ）求函数f（x）在[﹣1，2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）曲线f（x）上是否存在一点P，使得在点P处的切线平行于直线2x+y+3=0？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣4x，由f′（x）=0得x1=0，x2=当x在[﹣1，2]上变化时，f（x）和f′（x）的变化情况如下表由表格可知，函数f（x）在[﹣1，2]上的最大值为1，最小值为﹣2．（II）由（I）知：f′（x）=3x2﹣4x，∴，即曲线上的点P处的切线的斜率的取值范围是∵直线2x+y+3=0的斜率为﹣2，且﹣2∉∴曲线上不存在点P，使得P处的切线平行于直线2x+y+3=0．19．（12分）已知动点M到定点F1（﹣2，0）和F2（2，0）的距离之和为．（1）求动点M轨迹C的方程；（2）设N（0，2），过点P（﹣1，﹣2）作直线l，交椭圆C于不同于N的A，B 两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，问k1+k2是否为定值？若是的求出这个值．【解答】解：（1）由椭圆定义，可知点M的轨迹是以F1、F2为焦点，以为长轴长的椭圆．由，得b=2．故曲线C的方程为．（2）当直线l的斜率存在时，设其方程为y+2=k（x+1），由，得（1+2k2）x2+4k（k﹣2）x+2k2﹣8k=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），，．从而．当直线l的斜率不存在时，得，得k1+k2=4．综上，恒有k1+k2=4．20．（12分）设函数f（x）=x2e x﹣1+ax3+bx2，已知x=﹣2和x=1为f（x）的极值点．（1）求a和b的值；（2）讨论f（x）的单调性；（3）设g（x）=x3﹣x2，试比较f（x）与g（x）的大小．【解答】解：（Ⅰ）因为f'（x）=e x﹣1（2x+x2）+3ax2+2bx=xe x﹣1（x+2）+x（3ax+2b），又x=﹣2和x=1为f（x）的极值点，所以f'（﹣2）=f'（1）=0，因此解方程组得，b=﹣1．（Ⅱ）因为，b=﹣1，所以f'（x）=x（x+2）（e x﹣1﹣1），令f'（x）=0，解得x1=﹣2，x2=0，x3=1．因为当x∈（﹣∞，﹣2）∪（0，1）时，f'（x）＜0；当x∈（﹣2，0）∪（1，+∞）时，f'（x）＞0．所以f（x）在（﹣2，0）和（1，+∞）上是单调递增的；在（﹣∞，﹣2）和（0，1）上是单调递减的．（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，故f（x）﹣g（x）=x2e x﹣1﹣x3=x2（e x﹣1﹣x），令h（x）=e x﹣1﹣x，则h'（x）=e x﹣1﹣1．令h'（x）=0，得x=1，因为x∈（﹣∞，1]时，h'（x）≤0，所以h（x）在x∈（﹣∞，1]上单调递减．故x∈（﹣∞，1]时，h（x）≥h（1）=0；因为x∈[1，+∞）时，h'（x）≥0，所以h（x）在x∈[1，+∞）上单调递增．故x∈[1，+∞）时，h（x）≥h（1）=0．所以对任意x∈（﹣∞，+∞），恒有h（x）≥0，又x2≥0，因此f（x）﹣g（x）≥0，故对任意x∈（﹣∞，+∞），恒有f（x）≥g（x）．。
2017-2018北京海淀101高二上期末【文】数学真题卷
北京一零一中2017-2018学年度第一学期期末考试高二数学（文）一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将答案填在答题纸上．1．如果命题p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，那么（）．A ．命题p ，q 均为真命题B ．命题p ，q 均为假命题C ．命题p ，q 有且只有一个为真命题D ．命题p 为真命题，q 为假命题【答案】C【解析】p q ∨为真命题，即至少有1个为真，p q ∧为假命题，即至少有1个为假，∴p ，q 一真一假．故选C ．2．已知函数()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程210x x -+=，则(1)2(1)f f '+的值是（）．A ．12B ．1C ．32D ．2 【答案】D 【解析】12k =，即1(1)2f '=，11(1)12f +==， ∴(1)2(1)2f f '+=．故选D ．3．已知AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，||4AB =，则AB 的中点M 的横坐标是（）． A ．2B ．12C ．32D ．52【答案】C【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y 由抛物线定义可知，1212||14AB x x P x x =++=++=，123x x +=， ∴M 横坐标为12322x x +=． 故选C ．4．函数()e x f x x =⋅的最小值是（）．A ．1-B ．e -C ．1e -D ．不存在【答案】C【解析】()e x f x x =⋅，()e e e (1)x x x f x x x '=+=+，∴当1x <-时，()0f x '<，()f x 单减，当1x >-时，()0f x '>，()f x 单增， ∴min 1()(1)ef x f =-=-． 故选C ．5．“1a >”是“函数()cos f x ax x =+在(,)-∞+∞上单调递增”的（）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】()cos f x ax x =+，()sin f x a x '=-，∵sin [1,1]x ∈-，当1a ≥时，()0f x '≥恒成立，∴当1a >时，()f x 恒增，当()f x 恒增时，a 可以为1．故选A ．6．已知双曲线的一个焦点为F ，点P 在双曲线的一条渐近线上，点O 为双曲线的对称中心，若OFP △为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）．ABC ．2 D【答案】B 【解析】设双曲线方程为22221x y a b-=，(,0)F c ， P 在渐近线b y x a=上，OFP △为等腰直角三角形， 只能90OPF =︒△或90OFP =︒∠，均有45POF =︒∠， 即1b a=，∴e = 故选B ．7．函数32()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则下列结论成立的是（）．A ．0a >，0b <，0c >，0d >B ．0a >，0b <，0c <，0d >C ．0a <，0b <，0c >，0d >D ．0a >，0b >，0c >，0d <【答案】A 【解析】2()32f x ax bx c '=++，由图可知，()f x 在1(,)x -∞，2(,)x +∞上为增函数，12(,)x x 为减函数，∴0a >，12203b x x a +=->， ∴0b <，12.03c x x a=>，∴0c >，0d >．故选A ．8．如图，抛物线2:4W y x =与圆22:(1)25C x y -+=交于A ，B 两点，点P 为劣弧 AB 上不同于A ，B 的一个动点，与x 轴平行的直线PQ 交抛物线W 于点Q ，则PQC △的周长的取值范围是（）．A ．(10,14)B ．(12,14)C ．(10,12)D ．(9,11) 【答案】C【解析】由图可知，PC PQ QC PQC ++=△周长，Q 为抛物线上点，准线方程1x =-，延长PQ 交准线方程于M ，∴QC QM =，∴PQC △周长为5PM PC PM +=+，2224(1)25y xx y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，∴2(1)25x +=，4x =，当P 在A 上，PM 最短，当P 为圆x 轴交点时PM 最长，∴周长(10,12)∈．故选C ．二、填空题共6小题．9．命题0x ∃>，20x x +≤的否定是__________．【答案】0x ∀>，20x x +>【解析】否定为：0x ∀>，20x x +>．10．若椭圆221(4)4x y m m +=<的离心率为12，则m =__________．【答案】3【解析】∵4m <，∴24a =，2b m =，1e 2=， ∴22222241e 44c a b m a a --====，∴3m =．11．函数3()31f x x x =-+在闭区间[3,0]-上的最大值是__________最小值是__________．【答案】3；17-【解析】22()333(1)f x x x '=-=+，∴当[3,1)x ∈--时，()0f x '>，()f x 为增函数，当[1,0]x ∈-时，()0f x '<，()f x 为减函数，∴max ()(1)1313f x f =-=-++=，{}{}min ()min (3),(0)min 17,117f x f f =-=-=-．12．若命题“x ∃∈R ，使得2(1)10x a x +-+<”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．【答案】1a <-或3a >【解析】若命题为真，则0∆>，2(1)40a -->，∴1a <-或3a >．13．抛物线28y x =的准线与双曲线22:184x y C -=的两条渐近线所围成的三角形面积为__________．【答案】【解析】28y x =，准线方程为2x =-，双曲线渐近线方程为y =，∴交点分别为(2,A -，(B -，∴||AB =∴122OAB S =⨯⨯=△．14．设函数33,,()2,.x x x a f x x x a ⎧-=⎨->⎩≤ （1）若0a =，则()f x 的最大值__________．（2）若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是__________．【答案】（1）2；（2）(,1)-∞．【解析】（1）若0a =，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-=⎨->⎩≤， 当0x >时，()0f x <，当0x ≤时，2()33f x x '=-，∴()f x 在(,1)f -∞-上为增，在(1,0)-为减，∴max ()(1)2f x f =-=，∴max ()2f x =．（2）由①可知，33x x -在(,1)-∞-，(1,)+∞上为增函数，在(1,1)-上为减函数，如图所示：①当12a -<≤时，最大值为(1)2f -=，②当2a ≥时，3max ()()3f x f a a a ==-，③当1a <-时，没有最大值．综上，当1a <-时，函数没有最大值．三、解答题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．设函数32()f x x ax bx c =+++满足(0)4f '=，(2)0f '-=．（1）求a ，b 的值及曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程．（2）若函数()f x 有三个不同的零点，求c 的取值范围．【答案】（1）4y x c =+．（2）32027c <<． 【解析】（1）∵2()32f x x ax b '=++，依题意(0)4(2)1240f b f a b ⎧'==⎪⎨'⎪-=-+=⎩， ∴4b =，4a =，2()384f x x x '=++，32()44f x x x x c =+++，∴(0)4k f '==，(0)f c =，∴切点坐标为(0,)c ，∴切线方程4y x c =+．（2）∵()(2)(32)f x x x '=++且x ∈R ，令()0f x '=，∴12x =-，223x =-，∴(2)f c -=，2327f c ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， 若()f x 有2个不同零点，则(2)0f c -=>，2320327f c ⎛⎫-=-+< ⎪⎝⎭， ∴32027c <<． 16．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，右焦点为((1,0)F ． （1）求椭圆E 的方程．（2）设点O 为坐标原点，过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，若OM ON ⊥，求直线l 的方程．【答案】（1）2212x y +=．（2）1x y =+． 【解析】（1）2221c a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，得a =1b =， ∴椭圆方程为2212x y +=． （2）依题意，直线l 斜率不为0，设l 方程为1x my =+， 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立：221220x my x y =+⎧⎨+-=⎩，消22:(2)210x m y my ++-=， ∵相交，∴2244(2)0m m ∆=++>，m ∈R ，1221222212m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩， ∵OM ON ⊥， ∴12120OM ON x x y y ⋅=+= ，∴1212(1)(1)0my my y y +++=，21212(1)()10m y y m y y ++++=， ∴212m =，直线l方程为1x y =+．17．已知函数()ln f x x =．（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．（2）求证：当0x >时，1()1f x x-≥． （3）若1ln x a x ->对任意1x >恒成立，求实数a 的最大值． 【答案】（1）10x y --=．（2）见解析．（3）max 1a =．【解析】（1）∵1()(0)f x x x'=>， ∴(1)1k f '==，(1)0f =，∴切线方程为1y x =-，10x y --=．（2）证明：设1()()1g x f x x=--+，(0,)x ∈+∞， 1ln 1x x=+-， 则22111()x g x x x x-'=-=，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 减函数， 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 增函数， ∴min ()(1)0g x g ==，∴()(1)0g x g =≥， ∴1()1f x x-≥． （3）设()1ln h x x a x =--，(0,)x ∈+∞， 则()1a x a h x x x-'=-=， ①当1a ≤时，()0h x '>对(1,)x ∀∈+∞恒成立， ∴()h x 在(1,)+∞上单调递增，∴()(1)0h x h >=，∴1ln 0x a x -->在(1,)+∞上成立， ∴1a ≤成立．②当1a >时，令()0h x '=，∴x a =且(1,)a ∈+∞，当(1,)x a ∈时，()0h x '<，∴()h x 单减， 当(,)x a ∈+∞时，()0h x '>，∴()h x 单增， ∴min ()()(1)0h x h a h =<=，∴不成立， 故1a ≤，max 1a =．18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的点到它的两个焦的距离之和为4，以椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点，点A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点． （1）求圆O 和椭圆C 的方程． （2）已知P ，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点（P ，Q 位于y 轴两侧），且直线PQ 与x 轴平行，直线AP ，BP 分别与y 轴交于点M ，N ．求证：MQN ∠为定值．【答案】（1）222x y +=；22142x y +=；（2）见解析． 【解析】（1）依题意22224a b c a b c⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，得2a =，b c =， ∴圆方程222x y +=，椭圆C 方程22142x y +=． （2）设00(,)P x y ，10(,)Q x y ， ∴2200142x y +=，22102x y +=，00y ≠， ∵AP 方程00(2)2y y x x =++，令0x =时，0020,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，BP 方程为00(2)2y y x x =--，令0x =得02020,y N x -⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴01002,2y QM x y x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭ ，01002,2y QN x y x ⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭， ∴2222220000102200(42)2042x y y y QM ON x y x y -⋅=+=-+=-- ， ∴90MON =︒∠．。
北京海淀区2017-2018高二数学上学期期末试题文科附答案
北京海淀区2017-2018高二数学上学期期末试题（文科附答案）海淀区高二年级第一学期期末练习数学（文科）2018.1第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）直线在轴上的截距为A.B.C.D.（2）双曲线的渐近线方程为A.B.C.D.（3）已知圆经过原点，则实数等于A.B.C.D.（4）鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑.它看似简单，却凝结着不平凡的智慧.下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为A.32B.34C.36D.40（5）椭圆的焦点为，若点在上且满足，则中最大角为A.B.C.D.（6）“”是“方程表示双曲线”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（7）已知两条直线，两个平面，下面说法正确的是A.B.C.D.（8）在正方体的中，点是的中点，点为线段（与不重合）上一动点.给出如下四个推断：①对任意的点，平面；②存在点，使得；③对任意的点，则上面推断中所有正确的为A.①②B.②③C.①③D.①②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。
（9）直线的倾斜角为,经过点且与直线平行的直线方程为. （10）抛物线的焦点坐标为，点到其准线的距离为. （11）请从正方体的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是.（只需写出一组）（12）直线被圆所截得的弦长为.（13）已知椭圆和双曲线的中心均在原点，且焦点均在轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为.04（14）曲线的方程为①请写出曲线的一条对称轴方程；②请写出曲线上的两个点的坐标；③曲线上的点的纵坐标的取值范围是.三、解答题共4小题，共44分。
北京市海淀区2017 — 2018学年度第一学期数学(文)期末试卷及 答案
海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科）2018.1本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题纸交回。
第一部分（选择题，共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知i 是虚数单位,若i(i)1i a +=-+，则实数a 的值为(A) 1（B ）0（C ）−1（D ）−2（2）已知,a b ∈R ，若a b <，则(A)2a b <（B ）2ab b <（C ）1122a b <（D ）33a b <（3）执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（A ）4（B ）5 (C) 6 （D ）7（4）下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5个同学在一次数学测试中的选择题的成绩(单位:（A ） 0，0 （B ）0，5 （C ）5，0（D ）5，5（5）已知直线0-+=x y m 与圆22:1+=O x y 相交于,A B 两点，且∆OAB 为正三角形，则实数m 的值为（A ）23（B）2C ）23或23-（D ）26或26- （6）设a ∈R ,则“1a =”是“直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）在∆ABC 中，1==AB AC ，D 是AC 边的中点，则⋅BD CD 的取值范围是(A)31(,)44-(B) 1(,)4-∞ （C ）3(,+)4-∞ （D ）13()44， （8）已知正方体1111-ABCD A BC D 的棱长为2，,M N 分别是棱11、BC C D 的中点，点P 在平面1111A B C D 内，点Q 在线段1A N 上.若=PM ，则PQ 长度的最小值为1（B（C）15-（D）5第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
【精品】2017-2018年北京市海淀区高二上学期数学期末试卷(文科)与答案
2017-2018学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）直线2x+y﹣1=0在y轴上的截距为（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．12．（4分）双曲线的渐近线方程为（）A． B． C．D．3．（4分）已知圆x2+y2﹣3x+m+1=0经过原点，则实数m等于（）A．B．﹣1 C．1 D．4．（4分）鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑．它看似简单，却凝结着不平凡的智慧．下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（）A．32 B．34 C．36 D．405．（4分）椭圆的焦点为F1，F2，若点M在C上且满足|MF1|﹣|MF2|=2，则△F1MF2中最大角为（）A．90°B．105°C．120° D．150°6．（4分）“m＜0”是“方程x2+my2=m表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）已知两条直线m，n，两个平面α，β，下面说法正确的是（）A． B．C．D．8．（4分）在正方体的ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是BC的中点，点Q为线段AD1（与AD1不重合）上一动点．给出如下四个推断：①对任意的点Q，A 1Q∥平面B1BCC1；②存在点Q，使得A1Q∥B1P；③对任意的点Q，B1Q⊥A1C则上面推断中所有正确的为（）A．①②B．②③C．①③D．①②③二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）直线l：x+y﹣1=0的倾斜角为，经过点（1，1）且与直线l平行的直线方程为．10．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为，点（4，4）到其准线的距离为．11．（4分）请从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是．（只需写出一组）12．（4分）直线x+y﹣1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为．13．（4分）已知椭圆C1和双曲线C2的中心均在原点，且焦点均在x轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为．x04y﹣214．（4分）曲线W的方程为①请写出曲线W的一条对称轴方程；②请写出曲线W上的两个点的坐标；③曲线W上的点的纵坐标的取值范围是．三、解答题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，其圆心在射线y=x（x ≥0）上，且．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过点P（1，0），且与圆C相切，求直线l的方程．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB=PC，AB=AC，且点D，E分别是BC，PB的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PAC；（Ⅱ）求证：BC⊥PA．17．（12分）如图，平面ABCF⊥平面FCDE，四边形ABCF和FCDE是全等的等腰梯形，其中AB∥FC∥ED，且，点O为FC的中点，点G是AB的中点．（Ⅰ）求证：OG⊥平面FCDE；（Ⅱ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在的直线与平面EGO垂直，并给出证明；（Ⅲ）在线段CD上是否存在点，使得BH∥平面EGO？如果存在，求出DH的长度；如果不存在，请说明理由．18．（12分）已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，△AF1F2是斜边长为的等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=x+m与椭圆C交于不同两点P，Q．（ⅰ）当m=1时，求线段PQ的长度；（ⅱ）是否存在m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．2017-2018学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）直线2x+y﹣1=0在y轴上的截距为（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．1【解答】解：直线2x+y﹣1=0化为：y=﹣2x+1，则在y轴上的截距为1．故选：D．2．（4分）双曲线的渐近线方程为（）A． B． C．D．【解答】解：双曲线的渐近线方程为：y=±x．故选：A．3．（4分）已知圆x2+y2﹣3x+m+1=0经过原点，则实数m等于（）A．B．﹣1 C．1 D．【解答】解：∵圆x2+y2﹣3x+m+1=0经过原点，∴0+0﹣0+m+1=0，则实数m=﹣1，故选：B．4．（4分）鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑．它看似简单，却凝结着不平凡的智慧．下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（）A．32 B．34 C．36 D．40【解答】解：由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：长为10，宽为2，高为2的长方体的上面的中间部分去掉一个长为2，宽为2，高为2的小长体的一个几何体，如图，∴该零件的体积：V=10×2×2﹣2×2×1=36．故选：C．5．（4分）椭圆的焦点为F1，F2，若点M在C上且满足|MF1|﹣|MF2|=2，则△F1MF2中最大角为（）A．90°B．105°C．120° D．150°【解答】解：椭圆的焦点为F1，F2，若点M在C上且满足|MF1|﹣|MF2|=2，|MF1|+|MF2|=8，所以|MF1|=5，|MF2|=3，|F1F2|=4，则△F1MF2中最大角为：∠F1F2M=90°．故选：A．6．（4分）“m＜0”是“方程x2+my2=m表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：方程x2+my2=m表示双曲线，+y2=1⇔m＜0．∴“m＜0”是“方程x2+my2=m表示双曲线”的充要条件．故选：C．7．（4分）已知两条直线m，n，两个平面α，β，下面说法正确的是（）A． B．C．D．【解答】解：由两条直线m，n，两个平面α，β，知：在A中，相交、平行或异面，故A错误；在B中，相交、平行或异面，故B错误；在C中，相交、平行或m⊂β，故C错误；在D中，，由面面平行的性质定理得D正确．故选：D．8．（4分）在正方体的ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是BC的中点，点Q为线段AD1（与AD1不重合）上一动点．给出如下四个推断：①对任意的点Q，A1Q∥平面B1BCC1；②存在点Q，使得A1Q∥B1P；③对任意的点Q，B1Q⊥A1C则上面推断中所有正确的为（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【解答】解：对于①，平面A1ADD1∥B1BCC1，A1Q⊂平面A1ADD1，∴对任意的点Q，A1Q∥平面B1BCC1，①正确；对于②，平面A1ADD1∥B1BCC1，过点A1、B1、B作平面A1B1B，交直线AD1于Q，则交线A1Q∥B1P，如图1所示，∴②正确；对于③，由正方体的性质知，B1D1⊥A1C，AD1⊥A1C，且B1D1∩AD1=D1，∴A1C⊥平面AB1D1，如图（2）所示；∴对任意的点Q，B1Q⊥A1C，③正确；综上，上面推断中正确的是①②③．故选：D．二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）直线l：x+y﹣1=0的倾斜角为135°，经过点（1，1）且与直线l 平行的直线方程为x+y﹣2=0．【解答】解：直线l：x+y﹣1=0的斜率为k=﹣1，倾斜角为α=135°，经过点（1，1）且与直线l平行的直线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．故答案为：135°，x+y﹣2=0．10．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），点（4，4）到其准线的距离为5．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为：x=﹣1，点（4，4）到其准线的距离为：5．故答案为：（1，0）；5．11．（4分）请从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是A1、A、C、D．（只需写出一组）【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CD⊥平面ADD1A1，∴A1D⊥CD，AD⊥CD，AA1⊥CD，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥AD，AA1⊥AC，∴从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点A1、A、C、D，构成一个三棱锥A1﹣ACD，这个三棱锥的4个面都是直角三角形．故答案为：A1、A、C、D．12．（4分）直线x+y﹣1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心O（0，0），半径等于1，圆心到直线x+y﹣1=0的距离d=，故直线x+y﹣1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为2=．故答案为：．13．（4分）已知椭圆C1和双曲线C2的中心均在原点，且焦点均在x轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为．x04y﹣2【解答】解：∵双曲线的焦点在x轴上，∴图标中点（0，）是椭圆上的点，则（4，﹣2），（，﹣）是双曲线上的两点．设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则，解得．∴，．则e=．故答案为：．14．（4分）曲线W的方程为①请写出曲线W的一条对称轴方程x=0；②请写出曲线W上的两个点的坐标（0，2），（0，﹣2）；③曲线W上的点的纵坐标的取值范围是[﹣2，2] ．【解答】解：曲线W的方程为即为[x2+（y+1）2][x2+（y﹣1）2]=9，即有[（x2+y2+1）+2y][（x2+y2+1）﹣2y]=9，可得（x2+y2+1）2﹣4y2=9，即有x2+y2+1=，①将x换为﹣x，y不变，方程不变，可得曲线的一条对称轴为x=0；②令x=0，可得y=2或﹣2，可得曲线上两点的坐标为（0，﹣2），（0，2）；③由x2=﹣（y2+1）≥0，即为≥y2+1，平方可得9+4y2≥y4+2y2+1，即为y4﹣2y2﹣8≤0，解得﹣2≤y2≤4，解得﹣2≤y≤2，则曲线上点的纵坐标的范围是[﹣2，2]．故答案为：x=0；（0，2），（0，﹣2）；[﹣2，2]．三、解答题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，其圆心在射线y=x（x ≥0）上，且．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过点P（1，0），且与圆C相切，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设C（a，a），a≥0，∵．∴=a，则a=2，即圆心C（2，2），．则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1．（Ⅱ）若直线斜率不存在，则直线方程为x=1，圆心到直线x=1的距离d=2﹣1=1=r，此时满足直线和圆相切，若直线斜率存在，设直线斜率为k，则直线方程为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0，∵直线和圆相切，∴圆心到直线的距离d===1，即|k﹣2|=，平方得k2﹣4k+4=1+k2，即k=，此时直线方程为x﹣y﹣=0，即3x﹣4y﹣3=0，则对应的切线方程为x=1或3x﹣4y﹣3=0．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB=PC，AB=AC，且点D，E分别是BC，PB的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PAC；（Ⅱ）求证：BC⊥PA．【解答】证明：（Ⅰ）∵点D，E分别是BC，PB的中点．∴DE∥PC，∵DE⊄平面PAC，PC⊂平面PAC，∴DE∥平面PAC．（Ⅱ）∵PB=PC，AB=AC，且点D是BC的中点，∴PD⊥BC，AD⊥BC，∵PD∩AD=D，∴BC⊥平面PAD，17．（12分）如图，平面ABCF⊥平面FCDE，四边形ABCF和FCDE是全等的等腰梯形，其中AB∥FC∥ED，且，点O为FC的中点，点G是AB的中点．（Ⅰ）求证：OG⊥平面FCDE；（Ⅱ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在的直线与平面EGO垂直，并给出证明；（Ⅲ）在线段CD上是否存在点，使得BH∥平面EGO？如果存在，求出DH的长度；如果不存在，请说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCF是等腰梯形，点O 为FC的中点，点G是AB的中点，∴OG⊥FC，又平面ABCF⊥平面FCDE，平面ABCF∩平面FCDE=FC，∴OG⊥平面FCDE．解：（Ⅱ）F、D点为所求的点．∵FD⊂平面FCDE，∴OG⊥FD，又ED FO，且EF=ED，∴EFOD为菱形，∴FD⊥EO，∵EO∩OG=O，∴FD⊥平面EGO．（Ⅲ）假设存在点H，使得BH∥平面EOG，由ED OC，得EOCD是平行四边形，∴EO∥DC，∵EO⊂平面EOG，∴DC∥平面EOG，又BH∩DC=H，∴平面EOG∥平面BCD，∴GBCO是平行四边形，∴GB=CO，矛盾，∴不存在点H，使得BH∥平面EOG．18．（12分）已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，△AF1F2是斜边长为的等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=x+m与椭圆C交于不同两点P，Q．（ⅰ）当m=1时，求线段PQ的长度；（ⅱ）是否存在m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵△AF1F2是斜边长为的等腰直角三角形，∴a=2，b=c=，∴椭圆标准方程为+=1．（Ⅱ）分别设为P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=x+m代入椭圆+=1中，消y可得3x2+4mx+2m2﹣4=0，∵△=16m2﹣12（2m2﹣4）＞0，解得m2＜6，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴|PQ|=•=•=•，（i）当m=1时，|PQ|=，（ii ）原点到直线y=x +m 的距离d=，∴S△POQ=|PQ |•d=ו×=，整理可得m 4﹣6m 2+8=0， 解得m 2=4，或m 2=2， 解得m=±2，或m=±故m 的值存在，为±，±2赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p)f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
2017海淀区高二(上)期末数学(文科)
2017海淀区高二（上）期末数学（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x﹣y=0的斜率是（）A．1 B．﹣1 C．D．2．（4分）圆（x﹣1）2+y2=1的圆心和半径分别为（）A．（0，1），1 B．（0，﹣1），1 C．（﹣1，0），1 D．（1，0），13．（4分）若两条直线2x﹣y=0与ax﹣2y﹣1=0互相垂直，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．44．（4分）双曲线的渐近线方程为（）A．y=±3x B．C．D．5．（4分）已知三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，下面说法正确的是（）A．⇒α∥βB．⇒m∥n C．⇒l∥βD．⇒m⊥γ6．（4分）一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．7．（4分）“直线l的方程为y=k（x﹣2）”是“直线l经过点（2，0）”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（4分）椭圆的两个焦点分别为F1（﹣1，0）和F2（1，0），若该椭圆与直线x+y﹣3=0有公共点，则其离心率的最大值为（）A． B．﹣1 C．D．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．（4分）抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是．10．（4分）已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+1＞0，则￢p是．11．（4分）实数x，y满足，若m=2x﹣y，则m的最小值为．12．（4分）如图，在棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M是侧棱AA1的中点，点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥平面BCM，则点P的轨迹的长度为．13．（4分）将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=2，则三棱锥D﹣ABC的顶点D到底面ABC的距离为．14．（4分）若曲线F（x，y）=0上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）满足x1≤x2且y1≥y2，则称这两点为曲线F（x，y）=0上的一对“双胞点”．下列曲线中：①；②；③y2=4x；④|x|+|y|=1．存在“双胞点”的曲线序号是．三．解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知点A（﹣3，0），B（1，0），线段AB是圆M的直径．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）过点（0，2）的直线l与圆M相交于D，E两点，且，求直线l的方程．16．（12分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，点M为侧棱PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDM；（Ⅱ）若PA⊥PC，求证：PA⊥平面BDM．17．（10分）顶点在原点的抛物线C关于x轴对称，点P（1，2）在此抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）若直线y=x与抛物线C交于A，B两点，求△ABP的面积．18．（12分）已知椭圆经过点D（0，1），一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过的直线l交椭圆C于A，B两点，判断点D与以AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】由x﹣y=0，得y=x，∴直线x﹣y=0的斜率是1．故选：A．2．【解答】由圆的标准方程（x﹣1）2+y2=1可以得到该圆的圆心是（1，0），半径是1．故选：D．3．【解答】∵两条直线2x﹣y=0与ax﹣2y﹣1=0互相垂直，∴2a+2=0，解得a=﹣1．故选B．4．【解答】双曲线中a=3，b=1，焦点在x轴上，故渐近线方程为y=±x，故选B．5．【解答】三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，知：在A中，⇒α与β相交或平行，故A错误；在B中，⇒m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，⇒l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；在D中，⇒m⊥γ，由线面垂直的判定定理得m⊥γ，故D正确．故选：D．6．【解答】如图所示，三棱锥P﹣ABC，点P在平面ABC的投影D，则四边形ABCD是矩形．则三棱锥的体积V==．故选：B．7．【解答】若直线l的方程为y=k（x﹣2），则直线l过（2，0），是充分条件，若直线l经过点（2，0），则直线方程不一定是：y=k（x﹣2），比如直线：x=0，故不是必要条件，故选：A．8．【解答】∵椭圆的两个焦点分别为F1（﹣1，0）和F2（1，0），∴由题意，c=1，∴=，∴a越小e越大，而椭圆与直线相切时，a最小设椭圆为+=1，把直线x+y﹣3=0代入，化简整理可得（2a2﹣1）x2+6a2x+10a2﹣a4=0由△=0，解得：a2=5，于是a=，e max==．故选：A．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．【解答】根据题意可知焦点F（1，0），准线方程x=﹣1，∴焦点到准线的距离是1+1=2故答案为2．10．【解答】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即∃x＞1，x2﹣2x+1≤0，故答案为：∃x＞1，x2﹣2x+1≤011．【解答】满足的可行域如下图所示：当m=2x﹣y过（﹣2，﹣1）点时，m取最小值﹣3，故答案为：﹣312．【解答】由题意，点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥平面BCM，A1P∥平面BCM，则P的轨迹是平行于BC的一条线段，长度为2．故答案为2．13．【解答】取AC的中点O，连结OB，OD，∵AD=CD=2，∠ADC=90°，∴AC=2，OD=AC=，OD⊥AC．同理OB=，∵BD=2，∴OD2+OB2=BD2，∴OB⊥OD，又AC⊂平面ABC，OB⊂平面ABC，AC∩OB=O，∴OD⊥平面ABC，∴三棱锥D﹣ABC的顶点D到底面ABC的距离为OD=．故答案为：14．【解答】由题意①，在第一、三象限，单调递减，满足题意；②，在第一象限，单调递减，第三象限单调递增，不满足题意；③y2=4x，存在“双胞点”比如（1，﹣1），（4，﹣4），满足题意；④|x|+|y|=1，存在“双胞点”比如（0，1），（1，0），满足题意；故答案为①③④．三．解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．【解答】（Ⅰ）已知点A（﹣3，0），B（1，0），线段AB是圆M的直径，则圆心M的坐标为（﹣1，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又因为|AM|=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以圆M的方程为（x+1）2+y2=4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知圆M的圆心M（﹣1，0），半径为2．设N为DE中点，则MN⊥l，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）则．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）当l的斜率不存在时，l的方程为x=0，此时|MN|=1，符合题意；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）当l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+2，由题意得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）故直线l的方程为，即3x﹣4y+8=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）综上，直线l的方程为x=0或3x﹣4y+8=0．16．【解答】证明：（Ⅰ）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，连接AC，设AC∩BD=O，连接MO．（1分）因为ABCD为正方形，则O为AC中点．又因为M为侧棱PA的中点，所以MO∥PC．（3分）又因为PC⊄面BDM，MO⊂面BDM，所以PC∥平面BDM．（5分）（Ⅱ）连接PO，在正四棱锥P﹣ABCD中，PO⊥平面ABCD，（6分）BD⊂平面ABCD，所以PO⊥BD．（7分）又因为BD⊥AC，（8分）AC∩PO=O，且AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，（9分）又因为PA⊂平面PAC，所以BD⊥PA．（10分）由（Ⅰ）得MO∥PC，又因为PA⊥PC，则MO⊥PA．（11分）又MO∩BD=O，且MO⊂平面BDM，BD⊂平面BDM，所以PA⊥平面BDM．（12分）17．【解答】（Ⅰ）因为抛物线的顶点在原点，且关于x轴对称，可设抛物线方程为y2=2px（p＞0），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）由抛物线经过P（1，2）可得p=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）所以抛物线方程为y2=4x，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）准线方程为x=﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）由﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）得或﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）可得）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）点P到直线y=x的距离﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）18．【解答】（Ⅰ）∵椭圆经过D（0，1），∴b=1．（1分）∵一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，∴a=．（3分）所以椭圆C的方程为=1．（4分）（Ⅱ）以AB为直径的圆经过点D，理由如下：（5分）当直线AB与x轴垂直时，由题意知D在圆上，（6分）当直线AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程为．（7分）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得9（2k2+1）x2﹣12kx﹣16=0，△=144k2+64×9（2k2+1）＞0，（8分），，（9分），．∴（10分）==（1+k2）x1x2﹣（x1+x2）+=（1+k2）[﹣]﹣•+=0，（11分）∴DA⊥DB，∴点D在圆上．综上所述，点D一定在以AB为直径的圆上．（12分）。
2016-2017年北京市海淀区高二上学期期末数学试卷(文科)与解析
2016-2017学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x﹣y=0的斜率是（）A．1 B．﹣1 C．D．2．（4分）圆（x﹣1）2+y2=1的圆心和半径分别为（）A．（0，1），1 B．（0，﹣1），1 C．（﹣1，0），1 D．（1，0），13．（4分）若两条直线2x﹣y=0与ax﹣2y﹣1=0互相垂直，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．44．（4分）双曲线的渐近线方程为（）A．y=±3x B． C．D．5．（4分）已知三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，下面说法正确的是（）A．⇒α∥β B．⇒m∥n C．⇒l∥βD．⇒m⊥γ6．（4分）一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．7．（4分）“直线l的方程为y=k（x﹣2）”是“直线l经过点（2，0）”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（4分）椭圆的两个焦点分别为F1（﹣1，0）和F2（1，0），若该椭圆与直线x+y﹣3=0有公共点，则其离心率的最大值为（）A．B．﹣1 C．D．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．（4分）抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是．10．（4分）已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+1＞0，则￢p是．11．（4分）实数x，y满足，若m=2x﹣y，则m的最小值为．12．（4分）如图，在棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M是侧棱AA1的中点，点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥平面BCM，则点P的轨迹的长度为．13．（4分）将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=2，则三棱锥D﹣ABC的顶点D到底面ABC的距离为．14．（4分）若曲线F（x，y）=0上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）满足x1≤x2且y1≥y2，则称这两点为曲线F（x，y）=0上的一对“双胞点”．下列曲线中：①；②；③y2=4x；④|x|+|y|=1．存在“双胞点”的曲线序号是．三．解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知点A（﹣3，0），B（1，0），线段AB是圆M的直径．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）过点（0，2）的直线l与圆M相交于D，E两点，且，求直线l 的方程．16．（12分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，点M为侧棱PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDM；（Ⅱ）若PA⊥PC，求证：PA⊥平面BDM．17．（10分）顶点在原点的抛物线C关于x轴对称，点P（1，2）在此抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）若直线y=x与抛物线C交于A，B两点，求△ABP的面积．18．（12分）已知椭圆经过点D（0，1），一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过的直线l交椭圆C于A，B两点，判断点D与以AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．2016-2017学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x﹣y=0的斜率是（）A．1 B．﹣1 C．D．【解答】解：由x﹣y=0，得y=x，∴直线x﹣y=0的斜率是1．故选：A．2．（4分）圆（x﹣1）2+y2=1的圆心和半径分别为（）A．（0，1），1 B．（0，﹣1），1 C．（﹣1，0），1 D．（1，0），1【解答】解：由圆的标准方程（x﹣1）2+y2=1可以得到该圆的圆心是（1，0），半径是1．故选：D．3．（4分）若两条直线2x﹣y=0与ax﹣2y﹣1=0互相垂直，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【解答】解：∵两条直线2x﹣y=0与ax﹣2y﹣1=0互相垂直，∴2a+2=0，解得a=﹣1．故选：B．4．（4分）双曲线的渐近线方程为（）A．y=±3x B． C．D．【解答】解：双曲线中a=3，b=1，焦点在x轴上，故渐近线方程为y=±x，故选：B．5．（4分）已知三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，下面说法正确的是（）A．⇒α∥β B．⇒m∥n C．⇒l∥βD．⇒m⊥γ【解答】解：三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，知：在A中，⇒α与β相交或平行，故A错误；在B中，⇒m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，⇒l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；在D中，⇒m⊥γ，由线面垂直的判定定理得m⊥γ，故D正确．故选：D．6．（4分）一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，三棱锥P﹣ABC，点P在平面ABC的投影D，则四边形ABCD是矩形．则三棱锥的体积V==．故选：B．7．（4分）“直线l的方程为y=k（x﹣2）”是“直线l经过点（2，0）”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若直线l的方程为y=k（x﹣2），则直线l过（2，0），是充分条件，若直线l经过点（2，0），则直线方程不一定是：y=k（x﹣2），比如直线：x=0，故不是必要条件，故选：A．8．（4分）椭圆的两个焦点分别为F1（﹣1，0）和F2（1，0），若该椭圆与直线x+y﹣3=0有公共点，则其离心率的最大值为（）A．B．﹣1 C．D．【解答】解：∵椭圆的两个焦点分别为F1（﹣1，0）和F2（1，0），∴由题意，c=1，∴=，∴a越小e越大，而椭圆与直线相切时，a最小设椭圆为+=1，把直线x+y﹣3=0代入，化简整理可得（2a2﹣1）x2+6a2x+10a2﹣a4=0由△=0，解得：a2=5，于是a=，e max==．故选：A．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．（4分）抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是2．【解答】解：根据题意可知焦点F（1，0），准线方程x=﹣1，∴焦点到准线的距离是1+1=2故答案为2．10．（4分）已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+1＞0，则￢p是∃x＞1，x2﹣2x+1≤0．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即∃x＞1，x2﹣2x+1≤0，故答案为：∃x＞1，x2﹣2x+1≤011．（4分）实数x，y满足，若m=2x﹣y，则m的最小值为﹣3．【解答】解：满足的可行域如下图所示：当m=2x﹣y过（﹣2，﹣1）点时，m取最小值﹣3，故答案为：﹣312．（4分）如图，在棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M是侧棱AA1的中点，点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥平面BCM，则点P的轨迹的长度为2．【解答】解：由题意，点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥平面BCM，A1P∥平面BCM，则P的轨迹是平行于BC的一条线段，长度为2．故答案为2．13．（4分）将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=2，则三棱锥D﹣ABC的顶点D到底面ABC的距离为．【解答】解：解：取AC的中点O，连结OB，OD，∵AD=CD=2，∠ADC=90°，∴AC=2，OD=AC=，OD⊥AC．同理OB=，∵BD=2，∴OD2+OB2=BD2，∴OB⊥OD，又AC⊂平面ABC，OB⊂平面ABC，AC∩OB=O，∴OD⊥平面ABC，∴三棱锥D﹣ABC的顶点D到底面ABC的距离为OD=．故答案为：14．（4分）若曲线F（x，y）=0上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）满足x1≤x2且y1≥y2，则称这两点为曲线F（x，y）=0上的一对“双胞点”．下列曲线中：①；②；③y2=4x；④|x|+|y|=1．存在“双胞点”的曲线序号是①③④．【解答】解：由题意①，在第一、三象限，单调递减，满足题意；②，在第一象限，单调递减，第三象限单调递增，不满足题意；③y2=4x，存在“双胞点”比如（1，﹣1），（4，﹣4），满足题意；④|x|+|y|=1，存在“双胞点”比如（0，1），（1，0），满足题意；故答案为①③④．三．解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知点A（﹣3，0），B（1，0），线段AB是圆M的直径．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）过点（0，2）的直线l与圆M相交于D，E两点，且，求直线l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）已知点A（﹣3，0），B（1，0），线段AB是圆M的直径，则圆心M的坐标为（﹣1，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又因为|AM|=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以圆M的方程为（x+1）2+y2=4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知圆M的圆心M（﹣1，0），半径为2．设N为DE中点，则MN⊥l，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）则．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）当l的斜率不存在时，l的方程为x=0，此时|MN|=1，符合题意；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）当l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+2，由题意得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）故直线l的方程为，即3x﹣4y+8=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）综上，直线l的方程为x=0或3x﹣4y+8=0．16．（12分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，点M为侧棱PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDM；（Ⅱ）若PA⊥PC，求证：PA⊥平面BDM．【解答】证明：（Ⅰ）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，连接AC，设AC∩BD=O，连接MO．（1分）因为ABCD为正方形，则O为AC中点．又因为M为侧棱PA的中点，所以MO∥PC．（3分）又因为PC⊄面BDM，MO⊂面BDM，所以PC∥平面BDM．（5分）（Ⅱ）连接PO，在正四棱锥P﹣ABCD中，PO⊥平面ABCD，（6分）BD⊂平面ABCD，所以PO⊥BD．（7分）又因为BD⊥AC，（8分）AC∩PO=O，且AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，（9分）又因为PA⊂平面PAC，所以BD⊥PA．（10分）由（Ⅰ）得MO∥PC，又因为PA⊥PC，则MO⊥PA．（11分）又MO∩BD=O，且MO⊂平面BDM，BD⊂平面BDM，所以PA⊥平面BDM．（12分）17．（10分）顶点在原点的抛物线C关于x轴对称，点P（1，2）在此抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）若直线y=x与抛物线C交于A，B两点，求△ABP的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为抛物线的顶点在原点，且关于x轴对称，可设抛物线方程为y2=2px（p＞0），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）由抛物线经过P（1，2）可得p=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）所以抛物线方程为y2=4x，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）准线方程为x=﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）由﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）得或﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）可得）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）点P到直线y=x的距离﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）18．（12分）已知椭圆经过点D（0，1），一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过的直线l交椭圆C于A，B两点，判断点D与以AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆经过D（0，1），∴b=1．（1分）∵一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，∴a=．（3分）所以椭圆C的方程为=1．（4分）（Ⅱ）以AB为直径的圆经过点D，理由如下：（5分）当直线AB与x轴垂直时，由题意知D在圆上，（6分）当直线AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程为．（7分）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得9（2k2+1）x2﹣12kx﹣16=0，△=144k2+64×9（2k2+1）＞0，（8分），，（9分），．∴（10分）==（1+k2）x1x2﹣（x1+x2）+=（1+k2）[﹣]﹣•+=0，（11分）∴DA⊥DB，∴点D在圆上．综上所述，点D一定在以AB为直径的圆上．（12分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作yxomax ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
北京市海淀区高二上学期期末考试数学(文)试题Word版无答案
北京市海淀区高二上学期期末考试数学（文）试题Word版无答数学（文科）2018.1第一部分（选择题共40 分）一、选择题共8小题，每小题4分，共32 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1）直线在轴上的截距为A.B.C.D.2）双曲线的渐近线方程为A. B. C.D.3）已知圆经过原点，则实数A. 等于B.C.D.（4）鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑. 它看似简单，却凝结着不平凡的智慧. 下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为A.32B.34C.36D.405）椭圆的焦点为，若点在上且满足中最大角为A. B. C. D. (6) “ ”是“方程表示双曲线”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件A. B.C. D.(8) 在正方体的① 对任意的点， 平面② 存在点，使得③对任意的点 ，则上面推断中所有正确.的为 A.①②B.②③C. ①③D.①②③第二部分(非选择题 共110分)、填空题共6小题，每小题4分，共24分 (9)直线的倾斜角为_—经过点 且与直线平行的直线方 程为 (10) 抛物线 _________________ 的焦点坐标为 ，点 到其准线的距离(7)已知两条直线 ,两个平面 ，下面说法正确的是 中，点 是的中点，点为线段 (与不重合)上一动点.给出如下四个推断:（11）请从正方体的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是.（只需写出一组）（12）直线被圆所截得的弦长为（13）已知椭圆和双曲线的中心均在原点，且焦点均在轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为•（14）曲线的方程为①请写出曲线________________ 的一条对称轴方程；②请写出曲线上的两个点的坐标________ ；③曲线上的点的纵坐标的取值范围是.三、解答题共4小题，共44分。
【真题】2017-2018年北京市海淀区高三(上)期末数学试卷(文科)与答案
2017-2018学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知i是虚数单位，若i（a+i）=﹣1+i，则实数a的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣22．（5分）已知a，b∈R，若a＜b，则（）A．a＜2b B．ab＜b2C．D．a3＜b33．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．4 B．5 C．6 D．74．（5分）下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5各同学在一次数学测试中的选择题的成绩（单位：分，每道题5分，共8道题）：已知两组数据的平均数相等，则x，y的值分别为（）A．0，0 B．0，5 C．5，0 D．5，55．（5分）已知直线x﹣y+m=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为正三角形，则实数m的值为（）A．B．C．或D．或6．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+1=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）在△ABC中，AB=AC=1，D是AC的中点，则的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）已知正方体的ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，点M，N分别是棱BC，C1D1的中点，点P在平面A1B1C1D1内，点Q在线段A1N上，若，则PQ长度的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知双曲线ax2﹣y2=1的一条渐近线方程为y=x，则实数a的值为．10．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是．11．（5分）△ABC中，，且△ABC的面积为，则c=．12．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中最大的值是．13．（5分）函数的最大值为；若函数f（x）的图象与直线y=k（x﹣1）有且只有一个公共点，则实数k的取值范围是．14．（5分）某次高三英语听力考试中有5道选择题，每题1分，每道题在三个选项中只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：12345得分甲C C A B B4乙C C B B C3丙B C C B B2则甲同学答错的题目的题号是，其正确的选项是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和S n，且a2=5，S3=a7．（Ⅰ）数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{a n+b n}前n项和．16．（13分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）求函数f（x）的值域．17．（14分）据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器．为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下（数值越小，速度越快，单位是MIPS）设a i，b i分别表示第次测试中品牌A和品牌B的测试结果，记X i=|a i﹣b i|（i=1，2， (12)（Ⅰ）求数据X1，X2，X3，…，X12的众数；（Ⅱ）从满足X i=4的测试中随机抽取两次，求品牌A的测试结果恰好有一次大于品牌B的测试结果的概率；（Ⅲ）经过了解，前6次测试是打开含有文字和表格的文件，后6次测试是打开含有文字和图片的文件．请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价．18．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1⊥底面ABC，AC⊥AB，AC=AB=AA1=2，∠AA1B1=60°，E，F分别为棱A1B1BC的中点．（Ⅰ）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（Ⅱ）在直线AA1上是否存在一点P，使得CP∥平面AEF？若存在，求出AP的长，若不存在，说明理由．19．（14分）已知椭圆，直线l：x+y﹣2=0与椭圆C相交于两点P，Q，与x轴交于点B，点P，Q与点B不重合．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；=2时，求椭圆C的方程；（Ⅱ）当S△OPQ（Ⅲ）过原点O作直线l的垂线，垂足为N．若|PN|=λ|BQ|，求λ的值．20．（13分）已知函数f（x）=（x﹣1）e x+ax2．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求证：“a＜0”是“函数y=f（x）有且只有一个零点”的充分不必要条件．2017-2018学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知i是虚数单位，若i（a+i）=﹣1+i，则实数a的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：由i（a+i）=ai﹣1=﹣1+i，得a=1．故选：A．2．（5分）已知a，b∈R，若a＜b，则（）A．a＜2b B．ab＜b2C．D．a3＜b3【解答】解：a，b∈R，若a＜b，对A，a＜b，若b=0，则b=2b；b＞0，则b＜2b；b＜0，则b＞2b，故A错误；对B，若b=0，则ab=b2；若b＞0，则ab＜b2；若b＜0，则ab＞b2，故B错误；对C，a，b＞0，则a＜b，若a，b中有负的，则不成立，故C错误；对D，y=x3在R上递增，可得a3＜b3，故D正确．故选：D．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：模拟程序的运行，可得a=1，k=1不满足条件a＞10，执行循环体，a=2，k=2不满足条件a＞10，执行循环体，a=4，k=3不满足条件a＞10，执行循环体，a=8，k=4不满足条件a＞10，执行循环体，a=16，k=5满足条件a＞10，退出循环，输出k的值为5．故选：B．4．（5分）下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5各同学在一次数学测试中的选择题的成绩（单位：分，每道题5分，共8道题）：已知两组数据的平均数相等，则x，y的值分别为（）A．0，0 B．0，5 C．5，0 D．5，5【解答】解：根据茎叶图中的数据，计算甲、乙两个班级的平均数为=×（25+35+30+x+40+40）=34+，=×（30+30+35+30+y+40）=33+，∴34+=33+，即y=x+5；由题意知，x=0，y=5．故选：B．5．（5分）已知直线x﹣y+m=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为正三角形，则实数m的值为（）A．B．C．或D．或【解答】解：直线x﹣y+m=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为正三角形，则：△AOB的边长为1，则：圆心（0，0）到直线x﹣y+m=0的距离d=，解得：m=±．故选：D．6．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+1=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由a2﹣1=0，解得a=±1．经过验证可得：a=﹣1时，两条直线重合，舍去．∴“a=1”是“直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+1=0平行”的充分必要条件．故选：C．7．（5分）在△ABC中，AB=AC=1，D是AC的中点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：=﹣（），设∠CAB=α∈（0，π），所以=﹣=﹣[]=﹣﹣cos（π﹣α）=﹣（）∈．故选：A．8．（5分）已知正方体的ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，点M，N分别是棱BC，C1D1的中点，点P在平面A1B1C1D1内，点Q在线段A1N上，若，则PQ长度的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，取B1C1中点O，则MO⊥面A1B1C1D1，即MO⊥OP，∵，则OP=1，∴点P在以O为圆心，1以半径的位于平面A1B1C1D1内的半圆上．可得O到A1N的距离减去半径即为PQ长度的最小值，作OH⊥A1N于N，△A1ON的面积为2×=，∴，可得OH=，∴PQ长度的最小值为．故选：C二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知双曲线ax2﹣y2=1的一条渐近线方程为y=x，则实数a的值为1．【解答】解：∵双曲线ax2﹣y2=1的渐近线方程为y=x，又已知一条渐近线方程为y=x，∴=1，a=1，故答案为：1．10．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是2．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）：由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（2，0），代入目标函数z=x+y得z=2．即目标函数z=x+y的最大值为：2．故答案为：2．11．（5分）△ABC中，，且△ABC的面积为，则c=2或．【解答】解：∵，且△ABC的面积为=absinC=，∴可得：sinC=，可得cosC==±，∴由余弦定理可得：c===2或．故答案为：2或．12．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中最大的值是．【解答】解：依据三视图，可得该几何体，如图三棱锥P﹣ABC，AC=BC=1，AB=．PA=PB，面PC⊥面ABC，P到面ABC的距离为PC=1．CD=，PD==，三棱锥侧面PAB的面积取得最大值，=．故答案为：．13．（5分）函数的最大值为1；若函数f（x）的图象与直线y=k（x﹣1）有且只有一个公共点，则实数k的取值范围是[0，+∞）．【解答】解：作出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知当x=0或x=1时，f（x）取得最大值1．又y=k（x﹣1）过点（1，0），∴当k≥0时，直线y=k（x﹣1）与y=f（x）的图象只有一个交点，当k＜0时，直线y=k（x﹣1）与y=f（x）的图象有两个或三个交点，∴k的取值范围是[0，+∞）．故答案为：1，[0，+∞）．14．（5分）某次高三英语听力考试中有5道选择题，每题1分，每道题在三个选项中只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：则甲同学答错的题目的题号是5，其正确的选项是A．【解答】解：由甲得4分，则正确4个，乙得3分，正确答案为3个，则1，2，4必为正确答案，由丙答对两个，即2和4，则5为错误，∴第5题甲答错，且乙答案也错误，故第5题选A，故答案为：5，A．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和S n，且a2=5，S3=a7．（Ⅰ）数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{a n+b n}前n项和．【解答】（本题共13分）解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，，解得a1=3，d=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）由a n=a1+（n﹣1）d，则a n=2n+1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）因此，通项公式为a n=2n+1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：a n=2n+1，则，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）因为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）所以{b n}是首项为8，公比为q=4的等比数列．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）记{a n+b n}的前n项和为T n，则T n=（a1+b1）+（a2+b2）+…+（a n+b n）=（a1+a2+…+a n）+（b1+b2+…+b n）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）16．（13分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）求函数f（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）由正切函数的性质，，k∈Z﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）解得：，k∈Z﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以，函数的定义域为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）=﹣（cosx﹣sinx）2=2sinxcosx﹣1=sin2x﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）因为，所以，所以sin2x ≠﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）所以，函数f （x ）的值域为（﹣2，0]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）17．（14分）据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器．为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下（数值越小，速度越快，单位是MIPS ）测试1测试2 测试3 测试4 测试5 测试6 测试7 测试8 测试9 测试10 测试11 测试12 品牌A 3691041121746614品牌B2 8 5 4 2 5 8 15 5 12 10 21设a i ，b i 分别表示第次测试中品牌A 和品牌B 的测试结果，记X i =|a i ﹣bi |（i=1，2， (12)（Ⅰ）求数据X 1，X 2，X 3，…，X 12的众数；（Ⅱ）从满足X i =4的测试中随机抽取两次，求品牌A 的测试结果恰好有一次大于品牌B 的测试结果的概率；（Ⅲ）经过了解，前6次测试是打开含有文字和表格的文件，后6次测试是打开含有文字和图片的文件．请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价． 【解答】（本题共13分）解：（Ⅰ）求出X i =|a i ﹣b i |（i=1，2，…，12），列表如下：所以X i等于1有2次，X i=2有3次，X i=4有4次，X i=6有2次，X i=7有1次，则数据X1，X2，X3…X12的众数为4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）设事件D=“品牌A的测试结果恰有一次大于品牌B的测试结果”．满足X i=4的测试共有4次，其中品牌A的测试结果大于品牌B的测试结果有2次即测试3和测试7，不妨用M，N表示．品牌A的测试结果小于品牌B的测试结果有2次即测试6和测试11，不妨用P，Q表示．从中随机抽取两次，共有MN，MP，MQ，NP，NQ，PQ六种情况，其中事件D发生，指的是MP，MQ，NP，NQ四种情况．故．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分．给出明确结论，（1分），结合已有数据，能够运用以下两个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，（2分）．标准1：分别比较两种不同测试的结果，根据数据进行阐述标准2：会用测试结果的平均数进行阐述．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）可能出现的作答情况举例，及对应评分标准如下：结论一：，品牌B处理器对含有文字与表格的文件的打开速度快一些，品牌A处理器对含有文字与图片的文件的打开速度快一些．理由如下：从前6次测试（打开含有文字与表格的文件）来看，对于含有文字与表格的相同文件，品牌A的测试有两次打开速度比品牌B快（数值小），品牌B 有四次比品牌A快，从后6次测试（打开含有文字与图片的文件）来看，对于含有文字与图片的相同文件，品牌A有四次打开速度比品牌B快（数值小）．结论二：从测试结果看，这两种国产品牌处理器的文件的打开速度结论：品牌A 打开文件速度快一些理由如下：品牌A处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为，品牌B处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为，所以品牌A打开文件速度快一些．（且品牌A方差较小）其他答案情况，比照以上情况酌情给分．18．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1⊥底面ABC，AC⊥AB，AC=AB=AA1=2，∠AA1B1=60°，E，F分别为棱A1B1BC的中点．（Ⅰ）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（Ⅱ）在直线AA1上是否存在一点P，使得CP∥平面AEF？若存在，求出AP的长，若不存在，说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1⊥底面ABC，AC⊥AB，∵侧面ABB1A1∩底面ABC=AB，AC⊂底面ABC，∴AC⊥平面ABB1A1，又∵AE⊂平面ABB1A1，∴AC⊥AE；（Ⅱ）解：连接AB1，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∴A1B1=AB．∵AB=AA1=2，∴A1B1=AA1=2．又∵∠AA1B=60°，且，∴△AA1B1是边长为2的正三角形．∵E是棱A1B1的中点，∴AE⊥A1B1，又∵AE⊥AC，A1C1∥AC，∴AE⊥A1C1．∵A1C1∩A1B1=A1，A1C1，A1B1⊂底面A1B1C1，∴AE⊥底面A1B1C1．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为；（Ⅲ）解：在直线AA1上存在点P，使得CP∥平面AEF．证明如下：连接BE并延长，与AA1的延长线相交，设交点为P．连接CP．∵BB1∥AA1，∴△A1PE～△B1BE，故．由于E为棱A1B1的中点，∴EA1=EB1，故有PE=EB．又F为棱BC的中点，故EF为△BCP的中位线，∴EF∥CP．又EF⊂平面AEF，CP⊄平面AEF，∴CP∥平面AEF．故在直线AA1上存在点P，使得CP∥平面AEF．此时A1P=BB1=2，AP=2AA1=4．19．（14分）已知椭圆，直线l：x+y﹣2=0与椭圆C相交于两点P，Q，与x轴交于点B，点P，Q与点B不重合．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；=2时，求椭圆C的方程；（Ⅱ）当S△OPQ（Ⅲ）过原点O作直线l的垂线，垂足为N．若|PN|=λ|BQ|，求λ的值．【解答】（本题共14分）解：（Ⅰ）a2=3m，b2=m，c2=2m，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分），故．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），，得到4x2﹣12x+12﹣3m=0，依题意，由△=（﹣12）2﹣4×4×（12﹣3m）＞0得m＞1．且有，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）原点到直线l的距离﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）解得＞1，故椭圆方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（Ⅲ）直线l的垂线为ON：y=x，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）由解得交点N（1，1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）因为|PN|=λ|BQ|，又x1+x2=3所以=，故λ的值为1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）20．（13分）已知函数f（x）=（x﹣1）e x+ax2．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求证：“a＜0”是“函数y=f（x）有且只有一个零点”的充分不必要条件．【解答】解：（Ⅰ）依题意，函数f（x）=（x﹣1）e x+ax2的导数为f'（x）=xe x+2ax，x∈R，所以切线的斜率k=f'（0）=0，又因为f（0）=﹣1，所以切线方程为y=﹣1；（Ⅱ）证明：当a=0时，f（x）=（x﹣1）e x，令f（x）=0，解得x=1．此时，f（x）有且只有一个零点，可得f（x）有且只有一个零点，则a＜0，不成立；当a＜0时，f'（x）=x（e x+2a）．令f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln（﹣2a）．（i）当ln（﹣2a）=0，即时，f'（x）=x（e x﹣1）≥0，所以f（x）在R上单调增．又∵f（0）=﹣1＜0，f（2）=e2﹣2＞0，所以f（x）有且只有一个零点．（ii）当ln（﹣2a）＜0，即时，f（x），f'（x）随x的变化情况如下：x（﹣∞，ln（﹣2a））ln（﹣2a）（ln（﹣2a），0）0（0，+∞）f'（x）+0﹣0+ f（x）↗极大值↘极小值↗当x≤0时，（x﹣1）e x＜0，ax2≤0，所以f（x）＜0，又f（2）=e2+4a＞e2﹣2＞0所以f（x）有且只有一个零点．（iii）当ln（﹣2a）＞0，即时，f（x），f'（x）随x的变化情况如下：因为f（0）=﹣1＜0，所以x∈（﹣∞，ln（﹣2a）]时，f（x）＜0，令x0=1﹣a，则x0＞1．下面证明当x＞1时，e x＞x2．设，则．当x ∈（1，2）时，g'（x ）＞0，g （x ）在（1，2）上单调递增； 当x ∈（2，+∞）时，g'（x ）＜0，g （x ）在（2，+∞）上单调递减． 所以当x=2时，g （x ）取得极大值．所以当x ＞1时，g （x ）＜1，即x 2＜e x ． 所以．由零点存在定理，f （x ）有且只有一个零点．综上，a ＜0是函数f （x ）有且只有一个零点的充分不必要条件．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()mf q = ②02b x a->，则()m f p =． xxxx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xf xfxx<O-=f (p)f(q)()2b f a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
2017-2018年北京市海淀区高二(上)期末数学试卷和答案(理科)
2017-2018学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）直线2x+y﹣1=0在y轴上的截距为（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．12．（4分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，1），B（3，2，1），则线段AB的中点的坐标是（）A．（1，1，1）B．（2，1，1）C．（1，1，2）D．（1，2，3）3．（4分）已知圆x2+y2﹣3x+m+1=0经过原点，则实数m等于（）A．B．﹣1 C．1 D．4．（4分）鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑．它看似简单，却凝结着不平凡的智慧．下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（）A．32 B．34 C．36 D．405．（4分）已知平面α，β，直线m，n，下列命题中假命题是（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m⊥α，m⊂β，则α⊥βD．若m∥α，α∥β，n⊂β，则m∥n6．（4分）椭圆的焦点为F1，F2，若点M在C上且满足|MF1|﹣|MF2|=2，则△F1MF2中最大角为（）A．90°B．105°C．120° D．150°7．（4分）“m＜0”是“方程x2+my2=m表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（4分）平面α，β，γ两两互相垂直，在平面α内有一个点A到平面β，平面γ的距离都等于1．则在平面α内与点A，平面β，平面γ距离都相等的点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）直线l：x+y﹣1=0的倾斜角为，经过点（1，1）且与直线l平行的直线方程为．10．（4分）直线被圆x2+y2=1所截得的弦长为．11．（4分）请从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是．（只需写出一组）12．（4分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，0），B（x，3，﹣1），C（4，y，2），若A，B，C三点共线，则x+y=．13．（4分）已知椭圆C1和双曲线C2的中心均在原点，且焦点均在x轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为．14．（4分）曲线W的方程为（x2+y2）3=8x2y2①请写出曲线W的两条对称轴方程；②请写出曲线W上的两个点的坐标；③曲线W上的点到原点的距离的取值范围是．三、解答题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，其圆心在射线y=x（x ≥0）上，且．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过点P（1，0），且与圆C相切，求直线l的方程．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB=PC，AB=AC，且点D，E分别是BC，PB的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PAC；（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面PAD．17．（12分）如图，平面ABCF⊥平面FCDE，四边形ABCF和FCDE是全等的等腰梯形，其中AB∥FC∥ED，且，点O为FC的中点，点G是AB的中点．（Ⅰ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在的直线与平面EGO垂直，并给出证明；（Ⅱ）求二面角O﹣EG﹣F的余弦值；（Ⅲ）在线段CD上是否存在点，使得BH∥平面EGO？如果存在，求出DH的长度；如果不存在，请说明理由．18．（12分）已知抛物线W：y2=4x，直线x=4与抛物线W交于A，B两点．点P （x0，y0）（x0＜4，y0≥0）为抛物线上一动点，直线PA，PB分别与x轴交于M，N．（Ⅰ）若△PAB的面积为4，求点P的坐标；（Ⅱ）当直线PA⊥PB时，求线段PA的长；（Ⅲ）若△PMN与△PAB面积相等，求△PMN的面积．2017-2018学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）直线2x+y﹣1=0在y轴上的截距为（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．1【解答】解：直线2x+y﹣1=0化为：y=﹣2x+1，则在y轴上的截距为1．故选：D．2．（4分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，1），B（3，2，1），则线段AB的中点的坐标是（）A．（1，1，1）B．（2，1，1）C．（1，1，2）D．（1，2，3）【解答】解：∵在空间直角坐标系中，点A（1，0，1），B（3，2，1），∴线段AB的中点的坐标是（2，1，1）．故选：B．3．（4分）已知圆x2+y2﹣3x+m+1=0经过原点，则实数m等于（）A．B．﹣1 C．1 D．【解答】解：∵圆x2+y2﹣3x+m+1=0经过原点，∴0+0﹣0+m+1=0，则实数m=﹣1，故选：B．4．（4分）鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑．它看似简单，却凝结着不平凡的智慧．下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（）A．32 B．34 C．36 D．40【解答】解：由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：长为10，宽为2，高为2的长方体的上面的中间部分去掉一个长为2，宽为2，高为2的小长体的一个几何体，如图，∴该零件的体积：V=10×2×2﹣2×2×1=36．故选：C．5．（4分）已知平面α，β，直线m，n，下列命题中假命题是（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m⊥α，m⊂β，则α⊥βD．若m∥α，α∥β，n⊂β，则m∥n【解答】解：由平面α，β，直线m，n，知：在A中，若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判断定理得α∥β，故A正确；在B中，若m∥n，m⊥α，则由线面垂直的判定定理得n⊥α，故B正确；在C中，若m⊥α，m⊂β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若m∥α，α∥β，n⊂β，则m与n平行或异面，故D错误．故选：D．6．（4分）椭圆的焦点为F1，F2，若点M在C上且满足|MF1|﹣|MF2|=2，则△F1MF2中最大角为（）A．90°B．105°C．120° D．150°【解答】解：椭圆的焦点为F1，F2，若点M在C上且满足|MF1|﹣|MF2|=2，|MF1|+|MF2|=8，所以|MF1|=5，|MF2|=3，|F1F2|=4，则△F1MF2中最大角为：∠F1F2M=90°．故选：A．7．（4分）“m＜0”是“方程x2+my2=m表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：方程x2+my2=m表示双曲线，+y2=1⇔m＜0．∴“m＜0”是“方程x2+my2=m表示双曲线”的充要条件．故选：C．8．（4分）平面α，β，γ两两互相垂直，在平面α内有一个点A到平面β，平面γ的距离都等于1．则在平面α内与点A，平面β，平面γ距离都相等的点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：如图1所示，∠OCB=45°，令∠OAB=22.5°，∴AC=BC，点C满足题意；如图2所示，∠OAN=45°，令∠OMN=22.5°，则AN=AM，点M满足题意；综上，满足条件的点的个数是2个．故选：B．二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）直线l：x+y﹣1=0的倾斜角为135°，经过点（1，1）且与直线l 平行的直线方程为x+y﹣2=0．【解答】解：直线l：x+y﹣1=0的斜率为k=﹣1，倾斜角为α=135°，经过点（1，1）且与直线l平行的直线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．故答案为：135°，x+y﹣2=0．10．（4分）直线被圆x2+y2=1所截得的弦长为．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心O（0，0），半径r=1，圆心O（0，0）到直线的距离：d==，∴直线被圆x2+y2=1所截得的弦长为：|AB|=2=2=．故答案为：．11．（4分）请从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是A1、A、C、D．（只需写出一组）【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CD⊥平面ADD1A1，∴A1D⊥CD，AD⊥CD，AA1⊥CD，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥AD，AA1⊥AC，∴从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点A1、A、C、D，构成一个三棱锥A1﹣ACD，这个三棱锥的4个面都是直角三角形．故答案为：A1、A、C、D．12．（4分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，0），B（x，3，﹣1），C（4，y，2），若A，B，C三点共线，则x+y=﹣．【解答】解：=（x﹣1，1，﹣1），=（3，y﹣2，2），∵A，B，C三点共线，∴存在实数k使得：=k，∴，解得k=﹣，x=﹣，y=0．∴x+y=﹣．故答案为：﹣．13．（4分）已知椭圆C1和双曲线C2的中心均在原点，且焦点均在x轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为．【解答】解：∵双曲线的焦点在x轴上，∴图标中点（0，）是椭圆上的点，则（4，﹣2），（，﹣）是双曲线上的两点．设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则，解得．∴，．则e=．故答案为：．14．（4分）曲线W的方程为（x2+y2）3=8x2y2①请写出曲线W的两条对称轴方程x=0，y=0；②请写出曲线W上的两个点的坐标（0，0）、（1，1）；③曲线W上的点到原点的距离的取值范围是[0，] ．【解答】解：①，曲线W的方程为（x2+y2）3=8x2y2，分析可得，有[x2+（﹣y）2]3=8x2（﹣y）2，其图象关于x轴对称，又由有[（﹣x）2+y2]3=8（﹣x）2y2，其图象关于y轴对称，则曲线W的两条对称轴方程为x=0，y=0；②，曲线W的方程为（x2+y2）3=8x2y2，有（02+02）3=8×02×02，（12+12）3=8×12×12，点（0，0）与（1，1）都在曲线上，则曲线W上的两个点的坐标为（0，0），（1，1）；③，曲线W的方程为（x2+y2）3=8x2y2，设（x，y）是曲线W上的点，其到原点的距离为t，则t=，（t≥0）又由x2y2≤（）2，则有（x2+y2）3≤（）2，即有t6≤，变形可得：0≤t≤，即曲线W上的点到原点的距离的取值范围为[0，]．三、解答题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，其圆心在射线y=x（x ≥0）上，且．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过点P（1，0），且与圆C相切，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设C（a，a），a≥0，∵．∴=a，则a=2，即圆心C（2，2），．则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1．（Ⅱ）若直线斜率不存在，则直线方程为x=1，圆心到直线x=1的距离d=2﹣1=1=r，此时满足直线和圆相切，若直线斜率存在，设直线斜率为k，则直线方程为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0，∵直线和圆相切，∴圆心到直线的距离d===1，即|k﹣2|=，平方得k2﹣4k+4=1+k2，即k=，此时直线方程为x﹣y﹣=0，即3x﹣4y﹣3=0，则对应的切线方程为x=1或3x﹣4y﹣3=0．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB=PC，AB=AC，且点D，E分别是BC，PB的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PAC；（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面PAD．【解答】证明：（Ⅰ）∵点D，E分别是BC，PB的中点．∴DE∥PC，∵DE⊄平面PAC，PC⊂平面PAC，∴DE∥平面PAC．（Ⅱ）∵三棱锥P﹣ABC中，PB=PC，AB=AC，且点D是BC，∴PD⊥BC，AD⊥BC，∵PD∩AD=D，∴BC⊥平面PAD，∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面PAD．17．（12分）如图，平面ABCF⊥平面FCDE，四边形ABCF和FCDE是全等的等腰梯形，其中AB∥FC∥ED，且，点O为FC的中点，点G是AB的中点．（Ⅰ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在的直线与平面EGO垂直，并给出证明；（Ⅱ）求二面角O﹣EG﹣F的余弦值；（Ⅲ）在线段CD上是否存在点，使得BH∥平面EGO？如果存在，求出DH的长度；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）F，D为所求的点．证明如下：∵四边形ABCF是等腰梯形，点O是FC的中点，点G是AB的中点，∴OG⊥FC，又平面ABCF⊥平面FCDE，平面ABCF∩平面FCDE=FC，∴OG⊥平面FCDE，同理，取DE中点M，由OM⊥平面ABCF，分别以OG、OC、OM为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，由AB=2，得G（，0，0），D（0，1，），E（0，﹣1，），F（0，﹣2，0），则=（0，3，），=（，0，0），=（0，﹣1，），∵=0，=0，∴FD⊥OG，FD⊥OE，∵EO∩OG=0，∴FD⊥平面ECO．（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面EGO的一个法向量为=（0，3，），设平面EFG的法向量=（x，y，z），则，取y=，得=（﹣2，，﹣1），∴cos＜，＞==，∵二面角O﹣EG﹣F的平面角为钝角，∴二面角O﹣EG﹣F的余弦值为﹣．（Ⅲ）假设存在点H，使得BH∥平面EGO，设=，∴，∴=0，∵B（，1，0），C（0，2，0），=（0，3，），=（﹣，0，）+（0，﹣λ，）=（﹣，﹣λ，），=0﹣3λ+3+3λ=3，这与=0矛盾，∴在线段CD上不存在点，使得BH∥平面EGO．18．（12分）已知抛物线W：y2=4x，直线x=4与抛物线W交于A，B两点．点P （x0，y0）（x0＜4，y0≥0）为抛物线上一动点，直线PA，PB分别与x轴交于M，N．（Ⅰ）若△PAB的面积为4，求点P的坐标；（Ⅱ）当直线PA⊥PB时，求线段PA的长；（Ⅲ）若△PMN与△PAB面积相等，求△PMN的面积．【解答】解：（Ⅰ）由，解得，或，不妨设A（4，4），B（4，﹣4），则|AB|=4+4=8，∵点P（x0，y0）（x0＜4，y0≥0）为抛物线上一动点，∴点P到直线x=4的距离d为4﹣x0，∴S=|AB|•d=×8×（4﹣x0）=4，△PAB解得x0=3，当x0=3时，y0=2，∴点P的坐标为（3，2）；（Ⅱ）∵点P（x0，y0）（x0＜4，y0≥0）为抛物线上一动点，∴P点的坐标（y02，y0），∴=（4﹣y02，4﹣y0），=（4﹣y02，﹣4﹣y0），∵PA⊥PB，∴•=（4﹣y02）2﹣（4﹣y0）（4+y0）=0，解得y0=0或y0=4，∴点P的坐标为（0，0）或（4，4），舍去．∴|PA|=4，（Ⅲ）由（Ⅰ）可得，P点的坐标（y02，y0），∵A（4，4），B（4，﹣4），则直线AP的方程为y﹣4=（x﹣4）=（x﹣4），直线BP的方程为y+4=（x﹣4）=（x﹣4），∵直线AP，BP分别与直线x轴交于点M，N，∴令y=0，得x M=﹣y0，x N=﹣y0，∴△PMN的面积S=•|x M﹣x N|•y0=y02，△PMN=|4﹣x0|×8=16﹣y02，∵△PAB的面积S△PAB∴16﹣y02=y02，解得y02=8，∴S=8．△PMN。
北京市海淀区2017-2018学年高三上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析
北京市海淀区2017-2018学年高三上学期期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U={x∈R|x＞0}，集合A={x∈R|x≥2}，则C U A=（）A．{x∈R|x＜2} B．{x∈R|0＜x＜2} C．{x∈R|x≤2} D．{x∈R|0＜x≤2} 2．（5分）如图所示，在复平面内，点A对应的复数为z，则z=（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣2﹣i D．﹣2+i3．（5分）已知直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：ax﹣y+2=0．若l1∥l2，则实数a的值是（）A．0或﹣3 B．2或﹣1 C．0D．﹣34．（5分）当向量==（﹣1，1），=（1，0）时，执行如图所示的程序框图，输出的i值为（）A．5B．4C．3D．25．（5分）为了解某年级女生五十米短跑情况，从该年级中随机抽取8名女生进行五十跑测试，她们的测试成绩（单位：秒）的茎叶图（以整数部分为茎，小数部分为叶）如图所示．由此可估计该年级女生五十米跑成绩及格（及格成绩为9.4秒）的概率为（）A．0.375 B．0.625 C．0.5 D．0.1256．（5分）已知函数f（x）=log2（x+a）+log2（x﹣a）（a∈R）．p：∃a∈R，函数f（x）是偶函数；q：∀a∈R，函数f（x）在定义域内是增函数．那么下列为真的是（）A．¬q B．p∧q C．（¬p）∧q D．p∧（¬q）7．（5分）某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：m3）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：（H为常数），其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为．那么瞬时融化速度等于的时刻是图中的（）A．t1B．t2C．t3D．t48．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为底面ABCD上的动点．若三棱锥B﹣D1EC 的表面积最大，则E点位于（）A．点A处B．线段AD的中点处C．线段AB的中点处D．点D处二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）抛物线y2=﹣2x的焦点坐标为．10．（5分）若双曲线的一条渐近线的倾斜角为60°，则m=．11．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为．12．（5分）设不等式组表示的平面区域为D．则区域D上的点到坐标原点的距离的最小值是．13．（5分）在等比数列{a n}中，若a1=﹣24，a4=﹣，则公比q=；当n=时，{a n}的前n项积最大．14．（5分）已知⊙O：x2+y2=1．若直线y=kx+2上总存在点P，使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出φ及图中x0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．16．（13分）某中学在2014-2015学年高二年级开设大学先修课程《线性代数》，共有50名同学选修，其中男同学30名，女同学20名．为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采用分层抽样的方法抽取5人进行考核．（Ⅰ）求抽取的5人中男、女同学的人数；（Ⅱ）考核前，评估小组打算从选出的5人中随机选出2名同学进行访谈，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（Ⅲ）考核分答辩和笔试两项.5位同学的笔试成绩分别为115，122，105，111，109；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为125，132，115，121，119．这5位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为s12，s22，试比较s12与s22的大小．（只需写出结论）17．（14分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C是菱形，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C．（Ⅰ）求证：BC∥平面AB1C1；（Ⅱ）求证：B1C⊥AC1；（Ⅲ）设点E，F，H，G分别是B1C，AA1，A1B1，B1C1的中点，试判断E，F，H，G四点是否共面，并说明理由．18．（13分）已知椭圆M：x2+2y2=2．（Ⅰ）求M的离心率及长轴长；（Ⅱ）设过椭圆M的上顶点A的直线l与椭圆M的另一个交点为B，线段AB的垂直平分线交椭圆M于C，D两点．问：是否存在直线l使得C，O，D三点共线（O为坐标原点）？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，说明理由．19．（13分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为ax﹣y=0，求x0的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）＞x；（Ⅲ）问集合{x∈R|f（x）﹣bx=0}（b∈R且为常数）的元素有多少个？（只需写出结论）20．（14分）数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，2a n+1=2a n+p（p为常数，n=1，2，3，…）．（Ⅰ）若S3=12，求S n；（Ⅱ）若数列{a n}是等比数列，求实数p的值．（Ⅲ）是否存在实数p，使得数列{}满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的p的值；若不存在，说明理由．北京市海淀区2015届高三上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U={x∈R|x＞0}，集合A={x∈R|x≥2}，则C U A=（）A．{x∈R|x＜2} B．{x∈R|0＜x＜2} C．{x∈R|x≤2} D．{x∈R|0＜x≤2}考点：补集及其运算．专题：集合．分析：欲求补集，利用补集的定义求解解答：解：∵全集U={x∈R|x＞0}，集合A={x∈R|x≥2}，∴C U A={x∈R|0＜x＜2}故选：B点评：本题主要考查了集合交，并，补的混合运算，较为简单．2．（5分）如图所示，在复平面内，点A对应的复数为z，则z=（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣2﹣i D．﹣2+i考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的几何意义即可得出．解答：解：由图可知：z=﹣2+i．故选：D．点评：本题考查了复数的几何意义，属于基础题．3．（5分）已知直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：ax﹣y+2=0．若l1∥l2，则实数a的值是（）A．0或﹣3 B．2或﹣1 C．0D．﹣3考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：对a分类讨论，利用两条直线相互平行与斜率之间的关系即可得出．解答：解：当a=﹣2时，两条直线分别化为﹣2x+1=0，﹣2x﹣y+2=0，此时两条直线不平行，舍去．当a≠﹣2时，两条直线分别化为：，y=ax+2．∵l1∥l2，∴，．解得a=0，a=﹣3．综上可得：a=0或﹣3．故选：A．点评：本题考查了两条直线相互平行与斜率之间的关系、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（5分）当向量==（﹣1，1），=（1，0）时，执行如图所示的程序框图，输出的i值为（）A．5B．4C．3D．2考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟程序运行，依次写出每次循环得到的的值，当=（1，1），满足条件a•c=0，退出循环，输出i的值为2．解答：解：模拟程序运行，有i=1时，=（0，1），不满足条件a•c=0i=2时，=（1，1），满足条件a•c=0退出循环，输出i的值为2．故选：D．点评：本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．5．（5分）为了解某年级女生五十米短跑情况，从该年级中随机抽取8名女生进行五十跑测试，她们的测试成绩（单位：秒）的茎叶图（以整数部分为茎，小数部分为叶）如图所示．由此可估计该年级女生五十米跑成绩及格（及格成绩为9.4秒）的概率为（）A．0.375 B．0.625 C．0.5 D．0.125考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：由已知茎叶图得到该年级女生五十米跑成绩及格的人数，然后由古典概型的概率求解．解答：解：由已知得到该年级女生五十米跑成绩及格的有：7.8，8.6，8.1，8.8，9.1共有6人，由古典概型概率公式得P==0.625；故选B．点评：本题考查了由茎叶图找到调查数据的信息以及由此计算概率，属于基础题．6．（5分）已知函数f（x）=log2（x+a）+log2（x﹣a）（a∈R）．p：∃a∈R，函数f（x）是偶函数；q：∀a∈R，函数f（x）在定义域内是增函数．那么下列为真的是（）A．¬q B．p∧q C．（¬p）∧q D．p∧（¬q）考点：复合的真假．专题：简易逻辑．分析：先求f（x）的定义域（|a|，+∞），根据偶函数的定义域特点及对数函数的单调性知p 是假，q是真，所以便可判断（￢p）∧q是真．解答：解：函数f（x）的定义域为（|a|，+∞）；定义域不关于原点对称；∴f（x）是非奇非偶函数；∴p是假；根据对数函数的单调性知f（x）在定义域内是增函数；∴q是真；∴￢p是真，（￢p）∧q为真．故选C．点评：考查偶函数定义域的特点，以及对数函数的单调性，对于F（x）=f（x）+g（x），若f（x），g（x）在F（x）的定义域内都是增函数，则F（x）是增函数，以及￢p，p∧q的真假和p，q真假的关系．7．（5分）某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：m3）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：（H为常数），其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为．那么瞬时融化速度等于的时刻是图中的（）A．t1B．t2C．t3D．t4考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意可知，平均融化速度为=，反映的是V（t）图象与坐标轴交点连线的斜率，通过观察某一时刻处瞬时速度（即切线的斜率），即可得到答案解答：解：平均融化速度为=，反映的是V（t）图象与坐标轴交点连线的斜率，观察可知t3处瞬时速度（即切线的斜率）为平均速速一致，故选：C点评：本题考查了图象的识别，关键理解平均速度表示的几何意义（即斜率），属于基础题8．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为底面ABCD上的动点．若三棱锥B﹣D1EC 的表面积最大，则E点位于（）A．点A处B．线段AD的中点处C．线段AB的中点处D．点D处考点：棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意画出图形，数形结合得到使三棱锥B﹣D1EC的三个动面面积最大的点E得答案．解答：解：如图，E为底面ABCD上的动点，连接BE，CE，D1E，对三棱锥B﹣D1EC，无论E在底面ABCD上的何位置，面BCD1的面积为定值，要使三棱锥B﹣D1EC的表面积最大，则侧面BCE、CAD1、BAD1的面积和最大，而当E与A重合时，三侧面的面积均最大，∴E点位于点A处时，三棱锥B﹣D1EC的表面积最大．故选：A．点评：本题考查了空间几何体的表面积，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）抛物线y2=﹣2x的焦点坐标为．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的方程的标准方程，求出p值，确定开口方向，从而写出焦点坐标．解答：解：抛物线y2 =﹣2x，开口向左，p=1，故焦点坐标为（﹣，0），故答案为：（﹣，0）．点评：本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，属于容易题．10．（5分）若双曲线的一条渐近线的倾斜角为60°，则m=3．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的渐近线方程，由题意可得，tan60°=，计算即可得到m．解答：解：双曲线（m＞0）的渐近线方程为y=x，则有tan60°=，即有=，即为m=3．故答案为：3．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．11．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为8．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱锥，其高为3，底面是直角边长为3，4的直角三角形，故先求出底面积，再由体积公式求解其体积即可．解答：解：由题设条件，此几何几何体为一个三棱锥，其高为3，底面是直角边长为3，4的直角三角形，故其体积是=8，故答案为：8点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积．12．（5分）设不等式组表示的平面区域为D．则区域D上的点到坐标原点的距离的最小值是．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，当OQ垂直直线x+y﹣1=0时，此时区域D上的点到坐标原点的距离的最小，最小值为圆心到直线x+y﹣1=0的距离d=，故答案为：．点评：本题主要考查两点间距离的应用，利用数形结合以及点到直线的距离公式是解决本题的关键．13．（5分）在等比数列{a n}中，若a1=﹣24，a4=﹣，则公比q=；当n=4时，{a n}的前n项积最大．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：直接由已知及等比数列的通项公式求得公比；写出等比数列的通项公式，得到前n 项积，然后根据奇数项积为负值，分析偶数项乘积得答案．解答：解：在等比数列{a n}中，由a1=﹣24，a4=﹣，得，∴q=；∴．则{a n}的前n项积：=．当n为奇数时T n＜0，∴当n为偶数时T n有最大值．又，且当n为大于等于4的偶数时，T n+2＜T n，∴当n=4时，{a n}的前n项积最大．故答案为：；4．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是中档题．14．（5分）已知⊙O：x2+y2=1．若直线y=kx+2上总存在点P，使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪故答案为：（﹣∞，﹣1]∪上的最大值和最小值．考点：余弦函数的图象；余弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由图观察可知，函数的图象过点（0，），有=cosφ可解得φ的值是．由图观察可知，函数的图象过点（x0，），有π×x0+=2，可解得x0的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：．根据余弦函数的单调性即可求f（x）在区间上的最大值和最小值．解答：解：（Ⅰ）∵由图观察可知，函数的图象过点（0，），∴=cosφ，∵0＜φ＜，∴可解得φ的值是．∵由图观察可知，函数的图象过点（x0，），∴=cos（π×x0+）∴π×x0+=2∴可解得x0的值是．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：．因为，所以．所以当，即时f（x）取得最大值1；当，即时f（x）取得最小值．点评：本题主要考查了三角函数解析式的求法，余弦函数的定义域和值域，余弦函数的图象和性质，属于基础题．16．（13分）某中学在2014-2015学年高二年级开设大学先修课程《线性代数》，共有50名同学选修，其中男同学30名，女同学20名．为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采用分层抽样的方法抽取5人进行考核．（Ⅰ）求抽取的5人中男、女同学的人数；（Ⅱ）考核前，评估小组打算从选出的5人中随机选出2名同学进行访谈，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（Ⅲ）考核分答辩和笔试两项.5位同学的笔试成绩分别为115，122，105，111，109；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为125，132，115，121，119．这5位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为s12，s22，试比较s12与s22的大小．（只需写出结论）考点：极差、方差与标准差；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）按照分层抽样的方法：各层被抽到的比例相同解答；（Ⅱ）利用列举法分别明确从选出的5人中随机选出2名同学进行访谈和选出的两名同学中恰有一名女同学的所以可能，利用古典概率公式解答；（Ⅲ）按照方差的计算公式解答．解答：解：（Ⅰ）抽取的5人中男同学的人数为人，女同学的人数为人．…（4分）（Ⅱ）记3名男同学为A1，A2，A3，2名女同学为B1，B2．从5人中随机选出2名同学，所有可能的结果有A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共10个．…（6分）用C表示：“选出的两名同学中恰有一名女同学”这一事件，则C中的结果有6个，它们是A1B1，A1B2，A2B1，A2B2．A3B1，A3B2…（8分）所以选出的两名同学中恰有一名女同学的概率．…（10分）（Ⅲ）．…（13分）点评：本题考查了统计与概率的问题，属于基础题．17．（14分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C是菱形，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C．（Ⅰ）求证：BC∥平面AB1C1；（Ⅱ）求证：B1C⊥AC1；（Ⅲ）设点E，F，H，G分别是B1C，AA1，A1B1，B1C1的中点，试判断E，F，H，G四点是否共面，并说明理由．考点：平面与平面平行的性质；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由BC∥B1C1，证明BC∥平面AB1C1；（Ⅱ）先证明AB⊥平面BB1C1C，得AB⊥B1C，再证明B1C⊥平面ABC1，得出B1C⊥AC1；（Ⅲ）E，F，H，G四点不共面，通过证明点F∉平面EHG，即F∈平面AA1C1C，且平面AA1C1C∥平面EFH即可．解答：证明：（Ⅰ）在菱形BB1C1C中，BC∥B1C1，因为BC⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1，所以BC∥平面AB1C1；…（3分）（Ⅱ）连接BC1，在正方形ABB1A1中，AB⊥BB1，因为平面AA1B1B⊥平面BB1C1C，平面AA1B1B∩平面BB1C1C=BB1，AB⊂平面ABB1A1，所以AB⊥平面BB1C1C；…（5分）又因为B1C⊂平面BB1C1C，所以AB⊥B1C；…（6分）在菱形BB1C1C中，BC1⊥B1C；因为BC1⊂平面ABC1，AB⊂平面ABC1，且BC1∩AB=B，所以B1C⊥平面ABC1；…（8分）因为AC1⊂平面ABC1，所以B1C⊥AC1；…（10分）（Ⅲ）E，F，H，G四点不共面，理由如下；…（11分）因为E，G分别是B1C，B1C1的中点，所以GE∥CC1，同理可证：GH∥C1A1；因为GE⊂平面EHG，GH⊂平面EHG，GE∩GH=G，CC1⊂平面AA1C1C，A1C1⊂平面AA1C1C，所以平面EHG∥平面AA1C1C；又因为F∈平面AA1C1C，所以F∉平面EHG，即E，F，H，G四点不共面．…（14分）点评：本题考查了空间中的平行与垂直的判断与直线的应用问题，也考查了判断空间中的四点是否共面问题，是综合性题目．18．（13分）已知椭圆M：x2+2y2=2．（Ⅰ）求M的离心率及长轴长；（Ⅱ）设过椭圆M的上顶点A的直线l与椭圆M的另一个交点为B，线段AB的垂直平分线交椭圆M于C，D两点．问：是否存在直线l使得C，O，D三点共线（O为坐标原点）？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意可知椭圆M的标准方程为：，可知：，b=1．c=，即可得出离心率与长轴长．（II）若C，O，D三点共线，CD是线段AB的垂直平分线，可得|OA|=|OB|．由（I）可得：A（0，1），设B（x0，y0），=1．与=2，联立解出即可得出．解答：解：（Ⅰ）由题意可知椭圆M的标准方程为：，可知：，b=1．∴c==1．∴=，2a=2．（II）若C，O，D三点共线，CD是线段AB的垂直平分线，可得|OA|=|OB|．由（I）可得：A（0，1），设B（x0，y0），∴=1．又=2，联立，解得，或（舍去）．当取点B（0，﹣1）时，直线l的方程为x=0，满足条件．∴存在直线l使得C，O，D三点共线（O为坐标原点），直线l的方程为：x=0．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（13分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为ax﹣y=0，求x0的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）＞x；（Ⅲ）问集合{x∈R|f（x）﹣bx=0}（b∈R且为常数）的元素有多少个？（只需写出结论）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求函数的导数，根据函数的切线方程进行求解即可求x0的值；（Ⅱ）构造函数g（x）=，求函数的导数，利用导数证明不等式f（x）＞x；（Ⅲ）根据函数和方程之间的关系直接求解即可．解答：（Ⅰ）解：，因为切线ax﹣y=0过原点（0，0），所以，解得x0=2（Ⅱ）证明：设，则．令，解得x=2，当x在（0，+∞）上变化时，g（x），g′（x）的变化情况如下表x （0，2） 2 （2，+∞）g′（x）﹣0 +g（x）↘↗所以当x=2时，g（x）取得最小值，所以当时x＞0时，即f（x）＞x．（Ⅲ）解：当b≤0时，集合{x∈R|f（x）﹣bx=0}的元素个数为0；当时，集合{x∈R|f（x）﹣bx=0}的元素个数为1；当时，集合{x∈R|f（x）﹣bx=0}的元素个数为2；当时，集合{x∈R|f（x）﹣bx=0}的元素个数为3．点评：本题主要考查导数的综合应用，以及导数的几何意义，考查学生的运算能力．20．（14分）数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，2a n+1=2a n+p（p为常数，n=1，2，3，…）．（Ⅰ）若S3=12，求S n；（Ⅱ）若数列{a n}是等比数列，求实数p的值．（Ⅲ）是否存在实数p，使得数列{}满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的p的值；若不存在，说明理由．考点：等差数列的性质；数列递推式．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用a1=1，2a n+1=2a n+p，求出2a2=2+p，2a3=2+2p，利用S3=12，求出p，即可求S n；（Ⅱ）若数列{a n}是等比数列，则a22=a1a3，求出实数p的值，再验证；（Ⅲ）利用反证法进行证明即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）∵a1=1，2a n+1=2a n+p，∴2a2=2+p，2a3=2+2p，∵S3=12，∴2+2+p+2+2p=6+3p=24，∴p=6，∴a n+1﹣a n=3，∴数列{a n}是以1为首项，3为公差的等差数列，∴S n=n+=；（Ⅱ）若数列{a n}是等比数列，则a22=a1a3，∴（1+）2=1×（1+p），∴p=0，∴a n+1=a n，此时，数列{a n}是以1为首项，1为公比的等比数列；（Ⅲ）p=0时，a n=1，数列{}是等差数列，满足题意；p≠0时，a n+1﹣a n=，∴数列{a n}是以1为首项，为公差的等差数列，∴a n=n+1﹣．假设存在p0≠0，满足题意，数列记为{b n}．①p0＞0，a n＞0，数列{b n}是各项均为正数的递减数列，∴d＜0．∵b n=b1+（n﹣1）d，∴n＜1﹣时，b n=b1+（n﹣1）d＜b1+（1﹣﹣1）d=0，与b n＞0矛盾；②p0＞0，令＜0，∴n＞1﹣，a n＜0，数列{b n}是各项均为负数的递增数列，∴d＞0．∵b n=b1+（n﹣1）d，∴n＞1﹣时，b n=b1+（n﹣1）d＞b1+（1﹣﹣1）d=0，与b n＜0矛盾，综上所述，p=0是唯一满足条件的p的值．点评：本题考查数列的通项与求和，考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，有难度．。
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2017-2018学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）直线2x+y﹣1=0在y轴上的截距为（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．12．（4分）双曲线的渐近线方程为（）A． B． C．D．3．（4分）已知圆x2+y2﹣3x+m+1=0经过原点，则实数m等于（）A．B．﹣1 C．1 D．4．（4分）鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑．它看似简单，却凝结着不平凡的智慧．下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（）A．32 B．34 C．36 D．405．（4分）椭圆的焦点为F1，F2，若点M在C上且满足|MF1|﹣|MF2|=2，则△F1MF2中最大角为（）A．90°B．105°C．120° D．150°6．（4分）“m＜0”是“方程x2+my2=m表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）已知两条直线m，n，两个平面α，β，下面说法正确的是（）A． B．C．D．8．（4分）在正方体的ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是BC的中点，点Q为线段AD1（与AD1不重合）上一动点．给出如下四个推断：①对任意的点Q，A1Q∥平面B1BCC1；②存在点Q，使得A1Q∥B1P；③对任意的点Q，B1Q⊥A1C则上面推断中所有正确的为（）A．①②B．②③C．①③D．①②③二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）直线l：x+y﹣1=0的倾斜角为，经过点（1，1）且与直线l平行的直线方程为．10．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为，点（4，4）到其准线的距离为．11．（4分）请从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是．（只需写出一组）12．（4分）直线x+y﹣1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为．13．（4分）已知椭圆C1和双曲线C2的中心均在原点，且焦点均在x轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为．14．（4分）曲线W的方程为①请写出曲线W的一条对称轴方程；②请写出曲线W上的两个点的坐标；③曲线W上的点的纵坐标的取值范围是．三、解答题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，其圆心在射线y=x（x ≥0）上，且．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过点P（1，0），且与圆C相切，求直线l的方程．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB=PC，AB=AC，且点D，E分别是BC，PB的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PAC；（Ⅱ）求证：BC⊥PA．17．（12分）如图，平面ABCF⊥平面FCDE，四边形ABCF和FCDE是全等的等腰梯形，其中AB∥FC∥ED，且，点O为FC的中点，点G是AB的中点．（Ⅰ）求证：OG⊥平面FCDE；（Ⅱ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在的直线与平面EGO垂直，并给出证明；（Ⅲ）在线段CD上是否存在点，使得BH∥平面EGO？如果存在，求出DH的长度；如果不存在，请说明理由．18．（12分）已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，△AF1F2是斜边长为的等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=x+m与椭圆C交于不同两点P，Q．（ⅰ）当m=1时，求线段PQ的长度；（ⅱ）是否存在m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．2017-2018学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）直线2x+y﹣1=0在y轴上的截距为（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．1【解答】解：直线2x+y﹣1=0化为：y=﹣2x+1，则在y轴上的截距为1．故选：D．2．（4分）双曲线的渐近线方程为（）A． B． C．D．【解答】解：双曲线的渐近线方程为：y=±x．故选：A．3．（4分）已知圆x2+y2﹣3x+m+1=0经过原点，则实数m等于（）A．B．﹣1 C．1 D．【解答】解：∵圆x2+y2﹣3x+m+1=0经过原点，∴0+0﹣0+m+1=0，则实数m=﹣1，故选：B．4．（4分）鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑．它看似简单，却凝结着不平凡的智慧．下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（）A．32 B．34 C．36 D．40【解答】解：由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：长为10，宽为2，高为2的长方体的上面的中间部分去掉一个长为2，宽为2，高为2的小长体的一个几何体，如图，∴该零件的体积：V=10×2×2﹣2×2×1=36．故选：C．5．（4分）椭圆的焦点为F1，F2，若点M在C上且满足|MF1|﹣|MF2|=2，则△F1MF2中最大角为（）A．90°B．105°C．120° D．150°【解答】解：椭圆的焦点为F1，F2，若点M在C上且满足|MF1|﹣|MF2|=2，|MF1|+|MF2|=8，所以|MF1|=5，|MF2|=3，|F1F2|=4，则△F1MF2中最大角为：∠F1F2M=90°．故选：A．6．（4分）“m＜0”是“方程x2+my2=m表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：方程x2+my2=m表示双曲线，+y2=1⇔m＜0．∴“m＜0”是“方程x2+my2=m表示双曲线”的充要条件．故选：C．7．（4分）已知两条直线m，n，两个平面α，β，下面说法正确的是（）A． B．C．D．【解答】解：由两条直线m，n，两个平面α，β，知：在A中，相交、平行或异面，故A错误；在B中，相交、平行或异面，故B错误；在C中，相交、平行或m⊂β，故C错误；在D中，，由面面平行的性质定理得D正确．故选：D．8．（4分）在正方体的ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是BC的中点，点Q为线段AD1（与AD1不重合）上一动点．给出如下四个推断：①对任意的点Q，A1Q∥平面B1BCC1；②存在点Q，使得A1Q∥B1P；③对任意的点Q，B1Q⊥A1C则上面推断中所有正确的为（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【解答】解：对于①，平面A1ADD1∥B1BCC1，A1Q⊂平面A1ADD1，∴对任意的点Q，A1Q∥平面B1BCC1，①正确；对于②，平面A1ADD1∥B1BCC1，过点A1、B1、B作平面A1B1B，交直线AD1于Q，则交线A1Q∥B1P，如图1所示，∴②正确；对于③，由正方体的性质知，B1D1⊥A1C，AD1⊥A1C，且B1D1∩AD1=D1，∴A1C⊥平面AB1D1，如图（2）所示；∴对任意的点Q，B1Q⊥A1C，③正确；综上，上面推断中正确的是①②③．故选：D．二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）直线l：x+y﹣1=0的倾斜角为135°，经过点（1，1）且与直线l 平行的直线方程为x+y﹣2=0．【解答】解：直线l：x+y﹣1=0的斜率为k=﹣1，倾斜角为α=135°，经过点（1，1）且与直线l平行的直线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．故答案为：135°，x+y﹣2=0．10．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），点（4，4）到其准线的距离为5．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为：x=﹣1，点（4，4）到其准线的距离为：5．故答案为：（1，0）；5．11．（4分）请从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是A1、A、C、D．（只需写出一组）【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CD⊥平面ADD1A1，∴A1D⊥CD，AD⊥CD，AA1⊥CD，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥AD，AA1⊥AC，∴从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点A1、A、C、D，构成一个三棱锥A1﹣ACD，这个三棱锥的4个面都是直角三角形．故答案为：A1、A、C、D．12．（4分）直线x+y﹣1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心O（0，0），半径等于1，圆心到直线x+y﹣1=0的距离d=，故直线x+y﹣1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为2=．故答案为：．13．（4分）已知椭圆C1和双曲线C2的中心均在原点，且焦点均在x轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为．【解答】解：∵双曲线的焦点在x轴上，∴图标中点（0，）是椭圆上的点，则（4，﹣2），（，﹣）是双曲线上的两点．设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则，解得．∴，．则e=．故答案为：．14．（4分）曲线W的方程为①请写出曲线W的一条对称轴方程x=0；②请写出曲线W上的两个点的坐标（0，2），（0，﹣2）；③曲线W上的点的纵坐标的取值范围是[﹣2，2] ．【解答】解：曲线W的方程为即为[x2+（y+1）2][x2+（y﹣1）2]=9，即有[（x2+y2+1）+2y][（x2+y2+1）﹣2y]=9，可得（x2+y2+1）2﹣4y2=9，即有x2+y2+1=，①将x换为﹣x，y不变，方程不变，可得曲线的一条对称轴为x=0；②令x=0，可得y=2或﹣2，可得曲线上两点的坐标为（0，﹣2），（0，2）；③由x2=﹣（y2+1）≥0，即为≥y2+1，平方可得9+4y2≥y4+2y2+1，即为y4﹣2y2﹣8≤0，解得﹣2≤y2≤4，解得﹣2≤y≤2，则曲线上点的纵坐标的范围是[﹣2，2]．故答案为：x=0；（0，2），（0，﹣2）；[﹣2，2]．三、解答题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，其圆心在射线y=x（x ≥0）上，且．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过点P（1，0），且与圆C相切，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设C（a，a），a≥0，∵．∴=a，则a=2，即圆心C（2，2），．则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1．（Ⅱ）若直线斜率不存在，则直线方程为x=1，圆心到直线x=1的距离d=2﹣1=1=r，此时满足直线和圆相切，若直线斜率存在，设直线斜率为k，则直线方程为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0，∵直线和圆相切，∴圆心到直线的距离d===1，即|k﹣2|=，平方得k2﹣4k+4=1+k2，即k=，此时直线方程为x﹣y﹣=0，即3x﹣4y﹣3=0，则对应的切线方程为x=1或3x﹣4y﹣3=0．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB=PC，AB=AC，且点D，E分别是BC，PB的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PAC；（Ⅱ）求证：BC⊥PA．【解答】证明：（Ⅰ）∵点D，E分别是BC，PB的中点．∴DE∥PC，∵DE⊄平面PAC，PC⊂平面PAC，∴DE∥平面PAC．（Ⅱ）∵PB=PC，AB=AC，且点D是BC的中点，∴PD⊥BC，AD⊥BC，∵PD∩AD=D，∴BC⊥平面PAD，17．（12分）如图，平面ABCF⊥平面FCDE，四边形ABCF和FCDE是全等的等腰梯形，其中AB∥FC∥ED，且，点O为FC的中点，点G是AB的中点．（Ⅰ）求证：OG⊥平面FCDE；（Ⅱ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在的直线与平面EGO垂直，并给出证明；（Ⅲ）在线段CD上是否存在点，使得BH∥平面EGO？如果存在，求出DH的长度；如果不存在，请说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCF是等腰梯形，点O 为FC的中点，点G是AB的中点，∴OG⊥FC，又平面ABCF⊥平面FCDE，平面ABCF∩平面FCDE=FC，∴OG⊥平面FCDE．解：（Ⅱ）F、D点为所求的点．∵FD⊂平面FCDE，∴OG⊥FD，又ED FO，且EF=ED，∴EFOD为菱形，∴FD⊥EO，∵EO∩OG=O，∴FD⊥平面EGO．（Ⅲ）假设存在点H，使得BH∥平面EOG，由ED OC，得EOCD是平行四边形，∴EO∥DC，∵EO⊂平面EOG，∴DC∥平面EOG，又BH∩DC=H，∴平面EOG∥平面BCD，∴GBCO是平行四边形，∴GB=CO，矛盾，∴不存在点H，使得BH∥平面EOG．18．（12分）已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，△AF1F2是斜边长为的等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=x+m与椭圆C交于不同两点P，Q．（ⅰ）当m=1时，求线段PQ的长度；（ⅱ）是否存在m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵△AF1F2是斜边长为的等腰直角三角形，∴a=2，b=c=，∴椭圆标准方程为+=1．（Ⅱ）分别设为P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=x+m代入椭圆+=1中，消y可得3x2+4mx+2m2﹣4=0，∵△=16m2﹣12（2m2﹣4）＞0，解得m2＜6，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴|PQ|=•=•=•，（i）当m=1时，|PQ|=，（ii）原点到直线y=x+m的距离d=，=|PQ|•d=ו×=，∴S△POQ整理可得m4﹣6m2+8=0，解得m2=4，或m2=2，解得m=±2，或m=±故m的值存在，为±，±2。