一次函数与几何的结合
(完整版)《一次函数与几何图形综合》专题
《一次函数与几何图形综合》专题总论：函数与几何是初中数学中的重点内容,是中考命题重点考查的内容之一；函数中的几何问题，能使代数知识图形化，而几何中的函数问题，能使图形性质代数化；由于函数与几何结合的综合题的形式灵活、立意新颖，能更好地考查学生的思维水平和数学思想方法，因而成为近几年各地中考的一类热门试题；函数知识与几何知识有机结合的综合题，根据构成命题的主要要素可分为以下两类：一类是几何元素间的函数关系问题（这类问题不妨称简称为“几函”问题），这类问题的特点是：根据已知几何图形间的位置和数量关系（如平行、全等、相似，特别是成比例）建立自变量与函数所表示的几何元素间的等量关系，求出函数关系式，运用函数的性质解决几何图形中的问题；另一类是函数图像中的几何图形的问题（如三角形、四边形，特别是圆）（这类问题不妨简称为“函几”问题），这类问题的特点是：根据已知函数图像中的几何图形的位置特征，运用数形结合方法解决有关函数、几何问题。
一次函数与几何综合题是八年级学生初次接触一种用代几综合解决问题的方法，这种方法和能力是九年级解决中考压轴题所必须具备的。
1.代数（1）表达什么函数（包括其系数的代数意义、几何意义、物理意义）（2）显现怎样的图形（自身、与坐轴、与其他图形）（3）既是一个方程，也是一个坐标4）藏有那些数据，含有什么些关系（5）要建立某种代数关系缺少那些数据2.几何（1）基本图象有几个（2）图象之间有怎样关系（3）图象与所要证明（求解）的结论怎样的关联（4）要建立图象与图象之间的关系缺少那些数据3.代数与几何（1）代数（几何）在那些地方为几何（代数）提供了怎样的数据（2）几何（代数）通过什么方式为几何（代数）提供关系式（3）怎样设数据（坐标或线段长）函数与几何综合题的解题思想方法：“函几问题”与“几函问题”涉及的知识面广、知识跨度大、综合性强，应用数学方法多、纵横联系较复杂、结构新颖灵活、注重基础能力、探索创新和数学思想方法，它要求学生有良好的心理素质和过硬的数学基本功，能从已知所提供的信息中提炼出数学问题，从而灵活地运用所学知识和掌握的基本技能创造性的解决问题，正因如此，解决这类问题时，要注意解决问题的策略，常用的解题策略一般有以下几种：1.综合使用分析法和综合法。
一次函数与几何综合解答策略
一次函数与几何综合一般解答思路金山初级中学庄士忠 201508 一、“一次函数与几何综合”解题思路：⑤④③②①几何图形一次函数坐标①_坐标代入可求表达式_；②_由表达式可求坐标或者表达坐标_；③_坐标转线段长；④_线段长转坐标_；⑤_ k、b的几何意义以及直线的位置关系（平行或垂直）；二、精讲精练1.如图，点B，C分别在直线y=2x和y=kx上，点A，D是x轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k值为________．总结提升：此题可通过“设份数法”解题。
由于直线y=2x的斜率为2，所以其铅直高度比水平宽度就是2；故而我们设OA=1，则AB=AD=CD=2，OD=3，所以y=kx的斜率就是三分之二；与横轴正半轴夹角是锐角，所以k＞0；2.如图，直线l1交x轴，y轴于A，B两点，OA=m，OB=n，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD．CD所在直线l2与直线l1交于点E，则l1l2；若直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1·k2=_______．总结提升：此题可先通过构造小山坡法，算出直线l1的斜率，由于其与横轴正半轴的夹角是钝角，所以k＜0，斜率前加负号；再根据旋转是一种全等变换，对应边和对应角都相等，计算出直线l2的斜率，夹角为锐角，所以k＞0；k1·k2=﹣1；3.如图，已知直线l：y=xx轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿直线l折叠，点O落在点C处，则直线CA的表达式为_________．总结提升：1、首先应学会“数形结合”的思想，看到一个直线的表达式，从中读出相应的信息。
比如直线l：y=x首先我们可以从中读出b的信息，它是直线与纵轴交点的纵坐标，所以B点的坐标就是（0；其次我们能从中读出斜率的信息，也就是铅直高度与水平宽度的比，由此判断三角形AOB是一个含有30°角的直角三角形；2、根据折叠的轴对称性质，对应边相等，同时有一个角是60°，则连接OC，就会出现一个等边三角形，过C点做横轴的垂线，就又会出现一个含有30°角的直角三角形，据此可以求出直线AC的斜率，夹角是钝角，所以k为负，前面加负号，再把A点坐标代入表达式求出b即可。
一次函数与几何图形的结合
优翼微课
初中数学
一次函数与几何图形的结合
解题步骤归纳
根据条件
求出解析式
结合三角形全等求出线段长 待定系数法求解析式
根据解析式和正方形性质求出点的坐标
典例精讲
类型一：一次函数与三角形结合
如图①所示，直线l：y=mx+5m与x轴负半轴、y轴正 B A 图1 O
半轴分别交于A、B两点。
(1)当OA=OB时，试确定直线l的解析式； (2)在(1)的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上 一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于 M，BN⊥OQ于N，若AM=4，BN=3，求MN的
Q
B A M N O
图2
长.
典例精讲
（2）在△AMO与△ONB中，
解：（1）∵直线l：y=mx+5m，
C E
x
课堂小结
一次函数 一次函数 与三角形 与四边形 结合 结合
Hale Waihona Puke ∴△ABO≌△DAH。∴DH=AO=2，AH=BO=4， ∴OH=AH-AO=2， ∴点D（2，-2）。 B
y
∴∠BAD=∠AOB=∠AHD=90°，
AB=AD
A O H
C E x
D
典例精讲
y
（2）设直线BD的表达式为y=kx+b ∴ 2 k b 2 b 4 k 3 解得 b 4 ∴直线BD的表达式为y=-3x+4． B A O H D
典例精讲
类型二：一次函数与四边形的结合
y
如图，一次函数y=2x+4的图象与x、y轴分别 相交于点A、B，四边形ABCD是正方形。 （1）求点A、B、D的坐标； （2）求直线BD的表达式．
初二一次函数与几何的联系难题
初二一次函数与几何1、平面直角坐标系中，点A 的坐标为（4，0），点P 在直线y=-x-m 上，且AP=OP=4，则m 的值是多少？2、如图，已知点A 的坐标为（1，0），点B 在直线y=-x 上运动，当线段AB 最短时，试求点B 的坐标。
3、如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为（15，6），直线y=1/3x+b 恰好将矩形OABC 分为面积相等的两部分，试求b 的值。
4、如图，在平面直角坐标系中，直线y=别相交于点A 、B ，点C 在x 轴上，若△ABC 的坐标。
5、在平面直角坐标系中，已知A （1，4）、B （3一点，（1）当P 的坐标为多少时，AP+BP P 的坐标为多少时，AP-BP 6交x 轴于点B （-6，0），△AOB 的面积为15，且AB=AO ，求正比例函数和一次函数的解析式。
7、已知一次函数的图象经过点（2，20），它与两坐标轴所围成的三角形的面积等于1，求这个一次函数的表达式。
8、已经正比例函数Y=k1x的图像与一次函数y=k2x-9的图像相交于点P(3,-6)求k1,k2的值如果一次函数y=k2x-9的图象与x轴交于点A 求点A坐标9、正方形ABCD的边长是4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB在x轴负半轴上，A点的坐标是（-1，0），（1）经过点C的直线y=-4x-16与x轴交于点E，求四边形AECD 的面积；（2）若直线L经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线L的解析式。
10、在平面直角坐标系中，一次函数y=Kx+b(b小于0）的图像分别与x轴、y轴和直线x=4交于A、B、C，直线x=4与x轴交于点D，四边形OBCD的面积为10，若A的横坐标为-1/2，求此一次函数的关系式11、在平面直角坐标系中,一个一次函数的图像过点B(-3,4),与y轴交于点A，且OA=OB：求这个一次函数解析式12、如图，A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点，点P（2，m）在第一象限，直线PA交y轴于点C（0，2），直线PB交y轴于点D，S AOP=6.求：（1）△COP的面积（2）求点A的坐标及m的值；（3）若S BOP =S DOP ，求直线BD的解析式3x+1的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，以13、一次函数y=-3AB为边在第一象限内做等边△ABC（1）求△ABC的面积和点C的坐标；1），试用含a的代数式表示（2）如果在第二象限内有一点P（a，2四边形ABPO的面积。
一次函数几何综合题解题技巧
一次函数几何综合题解题技巧一次函数是初中数学的重点知识之一，同时也是中考的热点。
它与几何知识的综合应用在中考中主要体现在：利用一次函数求待定系数、一次函数图象与几何图形相结合、一次函数图象的应用等几个方面。
本文将结合实例谈谈一次函数与几何图形综合题的解题技巧。
一、利用一次函数求待定系数解决这类问题的关键是利用已知条件建立方程组，求出待定系数。
具体来说，一般先设出一次函数解析式，利用已知条件得到解析式中的系数，再得到一次函数解析式。
【例1】已知：如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与两坐标轴分别交于A、B两点，且与反比例函数的图象在第一象限交于点C。
（1）求该反比例函数的解析式；（2）求直线AB的解析式；（3）根据图像，当C的横坐标在哪个取值范围内时，线段AB不经过第四象限？分析：（1）由点C在反比例函数图象上，可直接求得解析式；（2）由于点C在直线AB上，可设直线AB的解析式为，将点C 的坐标分别代入解析式，可求得A、B两点的坐标，进而可求得直线AB 的解析式；（3）由图象可知，当C点的横坐标小于时，线段AB不经过第四象限。
解：（1）设反比例函数的解析式为，将点C（3，4）代入得，所以该反比例函数的解析式为；（2）设直线AB的解析式为，因为点C（3，4）在直线AB上，所以，解得，所以直线AB与轴交于点D（6，0），又因为点A（－3，－4），所以直线AB的解析式为；（3）由图象可知，当C点的横坐标小于时，线段AB不经过第四象限。
二、一次函数图象与几何图形相结合此类问题主要利用了待定系数法、数形结合的思想以及分类讨论的思想。
解题时要注意数形结合，根据已知条件建立方程或不等式，结合图形加以分析。
【例2】如图2，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，2），点D是边BC上的一个动点（点D与B、C不重合），过点D的抛物线经过点A、C、E。
（1）求该抛物线的解析式；（2）当AC为何值时，四边形DEOB为平行四边形？请说明理由；（3）设点D的坐标为（x，y），①试求该抛物线的对称轴及点D 到直线AC的距离；②试探究在抛物线上是否存在点M，使四边形AMDE 的面积最大？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
第三讲一次函数归纳探索与几何综合(教案)
3.一次函数的性质：探讨一次函数的增减性、对称性等性质；
4.一次函数在实际问题中的应用：结合实际情境，解决线性方程组问题；
5.几何综合：通过一次函数与坐标系中点、线的关系，培养学生的空间想象能力。
本讲内容旨在让学生通过归纳探索，掌握一次函数的基本概念与性质，并能将其应用于解决实际问题，提高几何综合能力。
第三讲一次函数归纳探索与几何综合（教案）
一、教学内容
第三讲一次函数归纳探索与几何综合（教案）
本讲主要依据人教版八年级数学上册第十二章“一次函数”相关内容展开，具体包括：
1.一次函数的定义：y=kx+b（k≠0）的形式，理解k、b的几何意义；
2.一次函数的图像：掌握一次函数图像的直线特征，了解其与k、b的关系；
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一次函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一次函数的基本概念。一次函数是形如y=kx+b（k≠0）的函数，其中k、b分别代表斜率和截距。它在描述物体运动、成本计算等方面具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何通过一次函数解决物体运动中的问题，以及一次函数如何帮助我们分析实际问题。
一次函数与几何综合
一次函数与几何综合例1：如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知矩形纸片ABCO 的顶点AC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且BC =15．将纸片沿过点C 的直线折叠后，点B 恰好落在x 轴上的点B ′处，折痕交AB 于点D ．若34OC OB'=则直线CD 的表达式为____________． 【思路分析】1. 由折叠性质得，△BCD ≌△B′CD ，则B′C =BC =OA =15，=2. 设AD =t ，则B′D =BD =9-t ，在Rt △B′AD 中利用勾股定理可求出t =4，故D (15，4)；3. 由C (0，9)，D (15，4)，可通过k ，b 的几何意义得到直线CD 的表达式：193y x =-+．例2：如图，点A 的坐标为(-2，0)，点B 在直线122y x =-+上运动，则当线段AB 最短时，点B 的坐标为_____________．【思路分析】1. 如图，当AB ⊥l 时，线段AB 最短；2. 因为AB ⊥l ，所以1()12AB k ⋅-=-，故k AB =2，设l AB ：y =2x +b ，把A (-2，0)代入，得b =4； 3. 联立可求得点B 的坐标为(-一、知识点睛1. 一次函数表达式：y =kx +b （k ，b 为常数，k ≠0）①k 是斜率，表示倾斜程度，可以用几何中的坡度（或坡比）来解释．坡面的竖直高度与水平宽度的比叫坡度或坡比，如图所示，AM即为____________，BM 即为____________，则=AM k BM．②b 是截距，表示直线与y 轴交点的纵坐标．MAB2. 设直线l 1：y 1=k 1x +b 1，直线l 2：y 2=k 2x +b 2，其中k 1，k 2≠0．①若k 1=k 2，且b 1≠b 2，则直线l 1_____l 2； ②若k 1·k 2=_________，则直线l 1_____l 2．3. 一次函数与几何综合解题思路①要求坐标，______________________________________； ②要求函数表达式，________________________________； ③要研究几何图形，________________________________．二、精讲精练1. 如图，点B ，C 分别在直线y =2x 和y =kx 上，A ，D 是x轴上的两点，若四边形ABCD 是正方形，则k 的值为________．第1题图 第2题图 第3题图2. 如图，已知直线l：y x =x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将△AOB 沿直线l 折叠，点O 落在点C 处，则直线AC 的表达式为__________________．3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中放入一张长方形纸片ABCO ，点D 在AB 边上，将纸片沿CD4. 如图，直线l 1交x 轴、y 轴于A ，B 两点，OA =m ，OB =n ，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到△COD ．CD 所在直线l 2与直线l 1交于点E ，则l 1____l 2；若直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2=_______．5. 如图，直线483y x =-+分别交x 轴、y 轴于A ，B 两点，线段AB的垂直平分线交x 轴于点C ，交AB 于点D ，则点C 的坐标为____________．坐标几何图形一次函数6. 如图，在平面直角坐标系中，函数y =x 的图象l 是第一、三象限的角平分线．探索：若点A 的坐标为(3，1)，则它关于直线l 的对称点A'的坐标为____________；猜想：若坐标平面内任一点P 的坐标为(m ，n )，则它关于直线l 的对称点P ′的坐标为____________；应用：若已知两点B (-2，-5)，C (-1，-3)，试在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到B ，C 两点的距离之和最小，则此时点Q 的坐标为____________．7. 如图，已知直线l 1：2833y x =+与直线l 2：y =-2x +16相交于点C ，直线l 1，l 2分别交x 轴于A ，B 两点，矩形DEFG 的顶点DE 分别在l 1，l 2上，顶点F ，G 都在x 轴上，且点G 与点B 重合，那么S 矩形DEFG :S △ABC =_________．8. 如图，已知点A 的坐标为(2，0)，点B 在直线y =-x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为（ ） A ．(-1，1)B ． ，C ．(1，-1)D ．( 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为A (4，0)B (0，-4)，P 为y 轴上B 点下方的一点，且PB =m （m >0），以点P 为直角顶点，AP 为腰在第四象限内作等腰Rt △APM ． （1）求直线AB 的解析式；（2）用含m 的代数式表示点M 的坐标；（3）若直线MB 与x 轴交于点Q ，求点Q 的坐标．1. 点B ，C 分别在直线y =2x 和直线y =kx 上，A ，D 是x 轴上的两点．若四边形ABCD 是长方形，且AB :AD =1:2，则k 的值为____________．2. 如图，一次函数y =-2x +4的图象与坐标轴分别交于A ，B 两点，把线段AB绕着点A 沿逆时针方向旋转90°，点B 落在点B ′处，则直线AB ′的表达式为______________________．3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是正方形，点A 的坐标是(4，0)，P 为AB 边上一点，沿CP 折叠正方形，折叠后的点B 落在平面_____________，直线CP 的表达式为___________________．第3题图 第4题图4. 如图，点A 的坐标是(-2，0)，点B 的坐标是(6，0)，点C 在第一象限内，且△OBC 为等边三角形，直线BC 交y 轴于点D ，过点A 作直线AE ⊥BD ，垂足为点E ，交OC 于点F ，则点C 的坐标为_______，直线AE 的表达式为______________．5. 如图，在平面直角坐标系中，函数y =-x 的图象l 是第二、四象限的角平分线．实验与探究：由图观察易知A (0，2)关于直线l 的对称点A ′的坐标为(-2，0)，请在图中分别标出B (-5，-3)，C (-2，5)关于直线l 的对称点B ′，C ′的位置，并写出它们的坐标：B ′_________，C ′_________． 归纳与发现：结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P (m ，n )关于第二、四象限的角平分线l 的对称点P ′的坐标为______________． 运用与拓广：已知两点D (0，-3)，E (1，-4)，试在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到D ，E 两点的距离之和最小，并求出点Q 的坐标．。
例讲初中数学一次函数与几何综合问题
(下转第 ５７ 页)
学习指导
２０２３ 年 １２ 月下半月
这些错误都是解题 教 学 的 宝 贵 资 源 ．
教师应指导学困
题能力 ．
生从思想 上 重 视 错 题,并 明 确 错 题 是 宝 贵 的 知 识 财
富;在解题教 学 中,聚 焦 错 题,引 领 学 生 分 析、反 思 错
误产生的原因,并找到正确的解题方法 ．
°,点 P 是
∠AOB 内 的 定 点 且 OP ＝ ３,若 M ,N 分 别 是 射 线
OA ,
OB 上 异 于 点 O 的 动 点,求 △PMN 周 长 的 最
小值 ．
(
１)平行四边形的 存 在 性 口 诀:平 行 四 边 存 在 性,
对边平行且相等,等量关系里面有 ．
常通过平行四 边 形
性质得到对边的位置关系与数量关系 ．
１)
借助表达式设出点的坐标,将 点 的 坐 标 转 化 为 横 平 竖
点O,
B 重合),作 CD 平 行 于y 轴 交 直 线l２ 于 点 D ,
究几何特征,考 虑 线 段 间 关 系,通 过 设 线 段 长 进 而 表
解:(
１)在 y＝－x＋２４ 中,令 x＝０,则 y＝２４,所
以 A(
０,
２４)．
以在解决一次函数与几何 综 合 问 题 时,可 以 从 如 下 解
故 S△ABO ＝
题技巧来破解:数形结 合 记 心 头,大 题 小 做 来 转 化,潜
在条件不能忘,化动为 静 多 画 图,分 类 讨 论 要 严 密,方
程函数是工具,计算 推 理 要 严 谨,创 新 品 质 得 提 高 ．
做
不出,找相似,有 相 似,用 相 似;构 造 定 理 所 需 的 图 形
一次函数与几何图形结合的问题习题
一次函数与几何图形的综合问题类型一 一次函数与面积问题1.如图，一次函数y =- x +m 的图象和y 轴交于点B ,与正比例函数y =12x 的图象交于点P (2,n ).(1)求m 和n 的值;(2)求APOB 的面积.2.如图,把Rt △ABC 放在平面直角坐标系内,其中∠CAB =90°,BC =5,点A ,B 的坐标分别为(1,0),(4,0)，将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y =2x -6上时,线段BC 扫过的面积为 .3.如图,直线y =-2x +3与x 轴相交于点A ,与y 轴相交于点B .[易错7](1)求A ,B 两点的坐标；(2)过B 点作直线BP 与x 轴相交于点P ,且使OP =2OA ,求△ABP 的面积.4.如图,直线y =-x +10与x 轴、y 轴分别交于点B ,C ,点A 的坐标为(8,0)，点P (x ,y )是在第一象限内直线y =-x +10上的一个动点.(1)求△OPA 的面积S 与x 的函数解析式,并写出自变量x 的取值范围；(2)当△OPA 的面积为10时，求点P 的坐标.图类型二一次函数与几何图形的规律探究问题1. (2017●安顺中考)如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=x+2交x轴于点A,交y轴于点A1,点A2,A3，..在直线l上,点B1,B2,B3,...在x轴的正半轴上，若△A1OB1,△A2B1B2,△A3B2B3,...依次均为等腰直角三角形,直角顶点都在x轴上,则第n个等腰直角三角形AnBn-1Bn,顶点Bn的横坐为.2.(2016●潍坊中考)在平面直角坐标系中,直线l:y=x-1与x轴交于点A1,如图所示依次作正方形A1B1C1O,正方形A2B2C2C1,.. ,正方形AnBnCnC n-1,使得点A1,A2,A3…在直线l上,点C1 ,C2,C3,...在y轴正半轴上,则点Bn的坐标是.类型三一次函数与新定义几何图形的探究1.在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2),且x1≠x2, y1≠y2,若P,Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P,Q 的“相关矩形”.下图①为点P,Q的“相关矩形”的示意图.(1)已知点A的坐标为(1,0)，①若点B的坐标为(3,1),求点A,B的“相关矩形”的面积；②点B在直线x=3上.若点A,B的“相关矩形”面积是4,求点B的坐标；(2)一次函数y=-2x+b的图象经过点A，交y轴于点C，若在线段AC上存在一点D，使得点D、B的对角矩形是正方形，求m的取值范围；(3)一次函数y=k x+4的图象交y轴于点C，点A、B的对角矩形且面积是12，且m>0，要使得一次函数y=k x+4的图象与该对角矩形有交点，求k的取值范围．图①。
【人教版】八年级数学下册：专题9《一次函数与几何结合、全等问题、最小值问题》课件
上，在y轴上找一点P，使PA＋PC的值最小，求这个最小值及点P的坐 标．
解：作点 A 关于 y 轴的对称点 A′，连 CA′交 y 轴于 P，此时 PA＋PC 值最小，最小值为 CA′，易求 C(－3，1)，∵A′(4，0)，∴CA′：y 1 4 4 2 2 ＝－7x＋7， ∴P(0， ) ， 作 CE ⊥ x 轴于 E ， ∴ CA ′＝ CE ＋ EA′ ＝5 2 7
一、一次函数与三角形全等
1．如图，A(－4，0)，B(0，2)，C(0，4)，点D在x轴上，CD交直线
AB于P，若△AOB≌△COD，求点P的坐标．
1 解：易求：AB：y＝2x＋2.(1)D 在 x 轴正半轴时，D(2，0)，CD：y＝－ 4 12 2x＋4，∴P(5， 5 ) 4 4 ∴P(－3，3) (2)D 在 x 轴负半轴，D(－2，0)，CD：y＝2x＋4，
3．如图，正方形OBAC中，O(0，0)，A(－2，2)，B，C分别在x轴、
y轴上，D(0，1)，CE⊥BD于E，求点E的坐标．
解：延长 CE 交 x 轴于 F，则有△BOD≌△COF，OD＝OF＝1，∴F(1， 0)，∵C(0，2)，∴CF：y＝－2x＋2，∵B(－2，0)，D(0，1)，∴BD： 1 y ＝ x＋1， 1 2 6 2 y＝2x＋1，由 得 E(5，5) y＝－2x＋2，
2．如图，A(0，4)，B(－4，0)，D(－2，0)，OE⊥AD于F，交AB于 E，BM⊥OB交OE的延长线于M. (1)求直线AB和直线AD的解析式； (2)求点M的坐标； (3)求点E，F的坐标．
解：(1)AB：y＝x＋4，AD：y＝2x＋4 (2)由△OBM≌△AOD 得 BM 1 y ＝－ x， 1 2 ＝OD，∴M(－4，2) (3)由(2)得 OM：y＝－2x，联立 得 y＝x＋4， y＝2x＋4， 8 4 8 4 E(－3，3)．联立 得 F( － ，5) 1 5 y＝－2x，
第四章一次函数 一次函数与几何综合(一)讲义2021-2022学年八年级数学北师大版上册
一次函数与几何综合（一）（讲义）➢ 课前预习1. 若一次函数经过点A (2，-1)和点B (4，3)，则该一次函数的表达式为____________．2. 如图，一次函数的图象经过点A ，且与正比例函数y =-x 的图象交于点B ，则该一次函数的表达式为____________．第2题图 第3题图3. 如图，直线334y x =-+与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，点C 是y 轴负半轴上一点，若BA =BC ，则直线AC 的表达式为__________． 4. 如图，点A 在直线l 1：y =3x 上，且点A 在第一象限，过点A 作y 轴的平行线交直线l 2：y =x于点B ．（1）设点A 的横坐标为t ，则点A 的坐标为_________，点B 的坐标为_________，线段AB 的长为__________；（用含t 的式子表示） （2）若AB =4，则点A 的坐标是__________．➢ 知识点睛1. 一次函数与几何综合的处理思路：从已知的表达式、坐标或几何图形入手，分析特征，通过坐标与横平竖直线段长、函数表达式相互转化解决问题．2. 函数与几何综合问题中常见转化方式：（1）借助表达式设出点坐标，将点坐标转化为横平竖直线段长，结合几何特征利用线段长列方程；（2）研究几何特征，考虑线段间关系，通过设线段长进而表达点坐标，将点坐标代入函数表达式列方程．➢ 精讲精练1. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =kx +b 的图象经过点A (-2，6)，且与x 轴相交于点B ，与正比例函数y =3x 的图象交于点C ，点C 的横坐标为1，则△OBC 的面积为_______．第1题图 第2题图2. 如图，直线l 1：364y x =+与y 轴相交于点N ，直线l 2：y =kx -3与直线l 1相交于点P ，与y轴相交于点M ，若△PMN 的面积为18，则直线l 2的表达式为______________．3. 如图，一次函数123y x =+的图象与y 轴交于点A ，与正比例函数y =kx 的图象交于第二象限内的点B ，若AB =OB ，则k 的值为__________．第3题图 第4题图4. 如图，点A ，B 的坐标分别为(-8，0)，(0，4)，点C (a ，0)为x 轴上一个动点，过点C 作x轴的垂线，交直线AB 于点D ，若CD =5，则a 的值为_________．5. 如图，直线y =kx +6与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点A 的坐标为(6，0)，点C 的坐标为(4，0)．若点P 是直线y =kx +6上的一个动点，当点P 的坐标为______________时，△OPC 的面积为4．第5题图 第6题图6. 如图，在平面直角坐标系中，直线y =x +1与334y x =-+相交于点A ，两直线与x 轴分别交于点B 和点C ，D 是直线AB 上的一个动点．当△BDC 的面积是△ABC 面积的2倍时，点D 的坐标为______________．第8题图7. 如图，直线12y x b =-+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与直线y =x 交于点M ，点M 的横坐标为2，点C 为线段AM 上一点，过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ，交直线y =x 于点E ．若ED =4CD ，则点E 的坐标为________．8. 如图，直线AB ：y =-x +20与y 轴交于点A ，与直线OB ：13y x =交于点B ．点C 为线段OB上一点，过点C 作y 轴的平行线交直线AB 于点D ，向y 轴作垂线，垂足为点E ．若DC =2CE ，则点C 的坐标为__________．y9. 如图，在平面直角坐标系中，点A ，C 和B ，D 分别在直线132y x =+和x 轴上，若△OAB ，△BCD 都是等腰直角三角形，∠OAB =∠BCD=90°，则点C 的坐标为___________．第9题图 第10题图10. 如图，P ，Q 是直线122y x =+上的两点，OP =OQ ，OP ⊥OQ ，则点Q 的坐标为__________．11. 如图，直线l 1：y =2x +1与直线l 2：y =mx +4相交于点P (1，b )，垂直于x 轴的直线x =a 与直线l 1，l 2分别交于点A ，B ，若线段AB 的长为2，则a 的值为__________．12. 如图，直线l 1：34y x =与直线l 2：y =-x +7相交于点A ．点P 在x 轴正半轴上，过点P 作x 轴的垂线，与直线l 1，l 2分别交于点B ，C ．设点P 的横坐标为t ．（1）当t =1时，求线段BC 的长； （2）用含t 的式子表达BC 的长；（3）若三个点B ，C ，P 中恰有一点是其他两点所连线段的中点，则称B ，C ，P 三点为“共谐点”．请直接写出使得B ，C ，P 三点成为“共谐点”的t 的值．一次函数与几何综合（一）（随堂测试）1. 如图，直线l 1：y =2x +3与y 轴交于点A ，直线l 2：y =kx -1与y 轴交于点B ，两直线相交于点C ，若AC =BC ，则直线l 2的表达式为_____________．第1题图 第2题图2. 如图，已知直线l 1：443y x =-+与直线l 2：y kx =交于点A ，点A 的横坐标为2，点B 为线段OA 上一点，过点B 作x 轴的垂线，垂足为点C ，交直线l 1于点D ．若BD =2BC ，则点B 的坐标为________．一次函数与几何综合（一）（习题）1. 如图，直线l 1：y =-x +2与x 轴交于点B ，直线l 2经过点D (0，5)，与直线l 1交于点C (-1，m )，且与x 轴交于点A ．则△ABC 的面积为___________．第2题图2. 如图，在平面直角坐标系中，直线y =kx +4与x 轴交于点A ，与直线y =3x 交于点B ，点B的纵坐标为3，点C 是线段AB 上一点，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，连接BD ，若BD =BC ，则点C 的坐标为___________．3. 如图，直线l 1：y =kx -3与x 轴交于点A ，交直线l 2：y =x 于点B ，且点B 的横坐标为-2．若P 为直线l 1上一动点，当P 的坐标为_________________时，△AOP 的面积为9．第3题图 第4题图4. 如图，已知正比例函数43y x =与一次函数y =-2x +10的图象交于点A ，点P (a ，0)是x 轴上一点，过点P 作x 轴的垂线（垂线位于点A 的右侧），与43y x =和y =-2x +10的图象分别交于点B ，C ．若BC =2AO ，则a 的值为___________．5. 如图，直线与直线y =-x +14相交于点A ，点B 为线段OA 上一点，过点B 作BC ∥y轴交直线y =-x +14于点C ，过点B 向y 轴作垂线，垂足为点D ，若B D =B C ，则点B 的坐标为____________．第5题图 第6题图6. 如图，在平面直角坐标系中，直线OM 经过点A (6，6)，过A 作正方形ABCD ，在直线OA上有一点E ，过E 作正方形EFGH ．已知正方形的边长与坐标轴平行，直线OC 经过点G，且正方形ABCD 的边长为2，正方形EFGH 的边长为3，则点F 的坐标为__________．13y x =7. 如图，直线l 1：y =x +4与直线l 2：y =-2x 交于点A ，点B 是直线l 1上一点，过点B 作BC ∥y轴，交直线l 2于点C ．若BC =5，则点B 的坐标是____________________．第7题图第8题图8. 如图，在平面直角坐标系中，点A 在直线y =2x +5上，连接OA ，过点O 作OA 的垂线，交直线y =-x +3于点B ，若OA =OB ，则点B 的坐标是________．9. 如图，在平面直角坐标系中，过点A (-6，0)的直线AB 与直线OB 相交于点B (-4，2)，与y 轴相交于点C ．动点M 在线段OB 和射线BC 上运动，当点M 的坐标为_______________时，△OMC 的面积是△OBC 的面积的14．一次函数与几何综合（一）【讲义】➢课前预习1.25y x=-2.2y x=+3.122y x=-4.（1）(t，3t)，(t，t)，2t（2）(2，6)➢精讲精练1.62.332y x=--3.1 3 -4.2或-185.(4，2)或(8，-2)6.(237，307)或(377-，307-)7.(4，4)8.(6，2)9.(30，18)10.(45，125)11.53或1312.（1）214 BC=；（2）77(04)477(4)4t tBCt t⎧-+<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩≤；（3）当t的值为145，5611或28时，B，C，P三点成为“共谐点”【随堂练习】1.21y x=--2.(65，45)【习题】1.2742.(2，2)3.(-12，3)或(0，-3)4.65.(6，2)6.(9，6)7.(13，133)或(-3，1)8.(1，2)9.(-1，12)，(-1，5)，(1，7)。
一次函数-反比例函数与几何综合
一次函数与几何综合【例1】 如图,直线6y kx =+与x 轴y 轴分别相交于点E F 、. 点E 的坐标为 8, 0-（）, 点A 的坐标为()60-，. 点,P x y （）是第二象限内的直线上的一个动点。
（1）求k 值；（2）当点P 运动过程中，试写出OPA ∆的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）探究：当P 运动到什么位置（求P 的坐标）时，OPA ∆的面积为278，并说明理由【例2】 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线AC的解析式为y =+，直线AC 交x 轴于点C ，交y 轴于点A ．（1）若一个等腰直角三角板OBD 的顶点D 与点C 重合，求直角顶点B 的坐标；（2）若（1）中的等腰直角三角板绕着点O 顺时针旋转，旋转角度为()0180αα︒<<︒，当点B 落在直线AC 上的点'B 处时，求α的值；图2反比例函数与几何综合【例1】 两个反比例函数1k y x =和()2120ky k k x=>>在第一象限内的图象如图所示，动点P 在1k y x =的图象上，PC x ⊥轴于点C ，交2k y x =的图象于点A ，PD y ⊥轴于点D ，交2ky x =的图象于点B ．⑴求证：四边形PAOB 的面积是定值； ⑵当23PA PC =时，求DBBP的值； ⑶若点P 的坐标为()52，，OAB ABP ∆∆，的面积分别记为OAB S ∆、ABP S ∆，设ABP OAB S S S ∆∆-=． ①求1k 的值；②当2k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？k 2x【例2】 已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)ky k x=>的图象与AC 边交于点E ．（1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；（2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】 如图，已知反比例函数12y x=的图象和一次函数7y kx =-的图象都经过点()2P m ，．①求这个一次函数的解析式；②如果等腰梯形ABCD 的顶点A B ，在这个一次函数图象上，顶点C D ，在这个反比例函数图象上，两底AD ，BC 与y 轴平行，且A 和B 的横坐标分别为a 和2a +，求a 的值。
一次函数与几何综合题型
1. 一次函数与几何综合班级： ______________【知识点睛】 一次函数表达式：y=kx+b （k ，b 为常数，k 工0） ①k 是斜率，表示倾斜程度，可以用几何中的坡度（或坡比）来解释.坡 面的竖直高度与水平宽度的比叫坡度或坡比，如图所示， AM 即为竖直 AM BM姓名:高度，uj7BM 即为水平宽度，则k = ,②b 是截距，表示直线与y 轴交点的纵坐标. 设直线 l i : y i =k i x+b i ，直线 12： k i ， k 2 工 0. ① 若k i =k 2，且b i 工b 2,则直线I ② 若k i k 2=-1，则直线l i 丄I 2. 一次函数与几何综合解题思路 从关键点出发，关键点是信息汇聚点，通常是函数图象与几何图形的交 点.通过点的坐标和横平竖直的线段长的互相转化将函数特征与几何特征结合 起来进行研究，最后利用函数特征或几何特征解决问题. 2. 3. 【精讲精练】 1.如图，点B ，C 分别在直线y=2x 和y=kx 上，点A ，D 是x 轴上的两点，已 知四边形ABCD 是正方形，则k 的值为 _________ . yi1. \/X CO A \ X2. 逆时针旋转90°得到△ COD. CD 所在直线 若直线11， l 2的斜率分别为k i ， k 2，则k i k 2=第3题图OA=m , OB=门，将厶AOB 绕点OI 2与直线l i 交于点E,则l i ________ l 2；7.如图，直线y=-4x・8交x轴、y轴于A, B两点，线段AB的垂直平分线3交x轴于点C,交AB于点D，则点C的坐标为_____________________________________________:如图，在平面直角坐标系中，函数y=x的图象I是第一、三象限的角平分线.探索：若点A的坐标为(3，1)，则它关于直线I的对称点A的坐标为________________ ；猜想：若坐标平面内任一点P的坐标为(m，n)，则它关于直线I的对称点P '的坐标为应用：已知两点B(-2, -5)，C(-1, -3)，试在直线I上确定一点Q,使点Q到B，C两点的距离之和最小，则此时点Q的坐标为_____________ :J3如图，已知直线I: y .3与x轴交于点A,与y轴交于点B,将△3AOB沿直线I折叠，点0落在点C处，则直线CA的表达式为EC=15、5，把△ BCE沿折痕EC向上翻折，点B恰好落在AD边上的点F 处•若以点A为原点，以直线AD为x轴，以直线BA为y轴建立平面直角坐6.A第7题图第5题图如图，四边形ABCD第6题图张矩形纸片，E是AB上的一点，且BE:EA=5:3,3.4.5.标系，贝卩直线FC 的表达式为____________________ .如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点与原点0重合，AB=2,AD=1,过定点Q(0, 2)和动点P(a, 0)的直线与矩形ABCD的边有公共点.(1)a的取值范围是 _________________ ;(2)若设直线PQ为y=kx+2 (2 0),则此时k的取值范围是 ________________7.8. 如图，已知正方形 ABCD 的顶点A(1, 1), B(3, 1),直线y=2x+b 交边AB 于点E ,交边CD 于点F ，则直线y=2x+b 在y 轴上的截距b 的变化范围是2 8 9. 如图，已知直线l i ： y=-x •-与直线12： y=- 2x+16相交于点C ，直线l i ,3312分别交x 轴于A , B 两点，矩形DEFG 的顶点D , E 分别在l i , 12上，顶点F, G 都在x 轴上，且点G 与点B 重合，那么S 矩形DEFG ： &ABC =___________________________________________________________________________________________.10. 如图，在平面直角坐标系中，点A , B 的坐标分别为A(4, 0), B(0, -4), P 为 y 轴上 B 点下方一点，PB=m (m>0),以点P 为直角顶点，AP 为腰在第四象限 内作等腰Rt △ APM . (1) 求直线AB 的解析式；(2) 用含m 的代数式表示点M 的坐标；(3) 若直线MB 与x 轴交于点Q ,求点Q 的坐标.大类二、一次函数之存在性问题班级： ______________ 姓名： __________________【知识点睛】存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否 存在的题目，主要考查运动的结果.一次函数背景下解决存在性问题的思考方向： 1. 把函数信息(坐标或表达式)转化为几何信息; 2. 分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形；3. 结合图形(基本图形和特殊状态下的图形相结合)的几何特征建立等式来解决问题.【精讲精练】J 3 -1.如图，直线• 3与x 轴、y 轴分别交于点A ,点B ，已知点P 是第一象限内的点，由点P ，O , B 组成 了一个含60°角的直角三角形，则点P 的坐标为(1) 求点B 的坐标和k 的值.(2) 若点A 是第一象限内直线y=kx-4上的一个 动点，则当点A 运动到什么位置时，△ AOB 的 面积是6?(3) 在(2)成立的情况下，x 轴上是否存在一 点卩，使厶P0A 是等腰三角形？若存在，求出 点P 的坐标；若不存在，请说明理由.2. 如图，直线y=kx-4与x 轴、 y 轴分别交于B ，C 两点，且OC OB3.如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC, OA分别与x轴、y 轴重合，AB// OC,Z AOC=90° / BCO=45°BC=6^2，点C 的坐标为(-9, 0).(1)求点B的坐标.(2)若直线BD交y轴于点D，且OD=3，求直线BD 的表达式.(3)若点P是(2)中直线BD上的一个动点，是否存在点P,使以O, D，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.4. 如图，直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A, B两点，= 3，点C是直线y=kx+3上与A, B不重OA 4合的动点.过点C的另一直线CD与y轴相交于点D，是否存在点C使厶BCD与厶AOB全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.。
一次函数与几何图形的联系
一次函数与几何图形的联系一次函数，也称为一次方程，是数学中的基础概念之一。
它表示了一个变量与另一个变量之间的线性关系。
与一次函数密切相关的是几何图形，特别是直线。
本文将探讨一次函数与几何图形之间的联系，包括一次函数的图像、斜率与截距的几何意义，以及在几何图形中应用一次函数进行问题求解的实际例子。
一、一次函数的图像一次函数的图像是一条直线，具有如下一般形式：y = mx + b其中，m代表斜率，b代表截距。
斜率决定了直线的倾斜方向和陡峭程度，截距则决定了直线与y轴的交点。
对于斜率m，当m > 0时，直线向右上方倾斜；当m < 0时，直线向右下方倾斜；当m = 0时，直线平行于x轴。
斜率的绝对值越大，直线的倾斜程度越大。
对于截距b，当b > 0时，直线与y轴的交点在y轴的上方；当b < 0时，直线与y轴的交点在y轴的下方；当b = 0时，直线通过y轴的原点。
通过改变斜率m和截距b的值，可以绘制出直线在坐标系中的各种位置和倾斜情况的图像。
这些图像不仅在数学中有重要意义，也在几何图形中有广泛应用。
二、斜率与截距的几何意义斜率和截距在几何图形中具有重要的几何意义，对于理解和描述直线的性质起着关键作用。
1. 斜率的几何意义斜率代表了直线上两个点之间的纵向变化与横向变化之间的比例关系。
具体来说，斜率等于直线上任意两个点的纵坐标之差与横坐标之差之比。
在几何上，当两点的纵向变化与横向变化之间的比例关系相等时，得到的直线是一条直角线，即斜率为正负无穷大。
当两点的纵向变化与横向变化之间的比例关系不相等时，得到的直线是一条斜线，斜率为有限值。
斜率还可以表示直线的坡度和倾斜程度。
当斜率越大（绝对值越大），直线越陡峭；当斜率越小（绝对值越小），直线越平缓。
2. 截距的几何意义截距代表了直线与y轴的交点在坐标系中的位置。
截距为正时，直线与y轴的交点在y轴的上方；截距为负时，直线与y轴的交点在y轴的下方；截距为零时，直线通过y轴的原点。
几何直观在解决一次函数实际问题中的应用分析
几何直观在解决一次函数实际问题中的应用分析几何直观是一种凭借直观感觉和几何图形来解决数学问题的方法。
它在解决一次函数实际问题中有着广泛的应用。
一次函数是指形式为 y = ax + b（a和b为常数）的函数，也叫做一次方程。
它描述了一个斜率为 a 的直线，并且直线与 y 轴的交点为 b。
一次函数的应用非常广泛，尤其在实际问题中。
下面我们通过一些实际问题来解析几何直观在解决一次函数实际问题中的应用。
1. 直线的方程和斜率：几何直观能帮助我们理解直线的方程和斜率。
通过直观感觉和几何图形，我们可以知道斜率越大，直线越陡峭；斜率为正数时，直线向上倾斜；斜率为负数时，直线向下倾斜。
通过这些直观的观察，我们可以更好地理解一次函数的图像和表达式。
2. 直线的截距：几何直观能帮助我们理解直线的截距。
截距是指直线与 y 轴的交点的坐标。
在一次函数中，截距的值为 b。
通过直观感觉和几何图形，我们可以知道当 b 大于 0 时，直线与 y 轴的交点在 y 轴的上方；当 b 小于 0 时，直线与 y 轴的交点在 y 轴的下方。
这样我们可以通过直观的观察，更好地理解一次函数的截距。
3. 直线的交点：几何直观能帮助我们理解直线的交点。
在一次函数中，两条直线相交的点解释了方程的解。
通过直观感觉和几何图形，我们可以更好地理解两条直线相交的情况，也能够推导出相交的点的坐标。
4. 变量的变化规律：几何直观能帮助我们理解变量的变化规律。
在一次函数中，自变量 x 和因变量 y 的变化是有规律的。
通过直观感觉和几何图形，我们可以预测变量的变化规律，并通过函数的表达式来验证和计算。
考点09 一次函数的应用-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理(原卷版)
考点09 一次函数的应用一次函数的实际应用在中考中更多的是以简答题的形式出题，选择题、填空题多考察一次函数图象的理解和信息提取，并且多考行程类实际应用题。
简答题在出题时也多和方程、不等式结合，考察对象的方案设计和决策等。
在考生复习此考点时，需要多注意一次函数图象具体意义的，熟练掌握根据已知条件确定一次函数的表达式的方法，并能根据一次函数的性质解决简单的实际问题。
一、一次函数图象信息类问题二、利用一次函数进行方案设计与决策三、一次函数与几何的结合问题考向一：一次函数图象信息类问题一．一次函数图象与性质的应用解题要点：1.明确题目中图象的横、纵坐标表示的意义；2.理解并能准确应用图象中的拐点的意义；3.理解函数图象的变化趋势、倾斜程度各表示什么意义；二．分段函数图象问题解题要点：1.读懂每段图象的意义，从图象中获取信息，2.注意图象中的一些特殊点的实际意义；1．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地（轿车的平均速度大于货车的平均速度），如图线段OA和折线BCD分别表示两车离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．则下列说法正确的是（ ）A．两车同时到达乙地B．轿车行驶1.3小时时进行了提速C．货车出发3小时后，轿车追上货车D．两车在前80千米的速度相等2．已知张老师家、超市、书店在同一条直线上．下面的图象反应的过程是：张老师晚饭后从家里散步到超市，在超市停留了一会儿后又去书店看书，看会儿书觉得有点晚了，就快步走回家．图中x表示张老师离开家的时间，y表示张老师离开家的距离．根据图象提供的信息，下列说法错误的是（ ）A．张老师家离超市1.5kmB．张老师在书店停留了30minC．张老师从家里到超市的平均速度与从超市到书店的平均速度是相等的D．张老师从书店到家的平均速度是10km/h3．公路旁依次有A，B，C三个村庄，小明和小红骑自行车分别从A村、B村同时出发匀速前往C村（到了C村不继续往前骑行，也不返回），如图所示，l1，l2分别表示小明和小红与B村的距离s（km）和骑行时间t（h）之间的函数关系，下列结论：①A，B两村相距12km；②小明每小时比小红多骑行8km；③出发1.5h后两人相遇；④图中a＝1.65．其中正确的是（ ）A．②④B．①③④C．①②③D．①②③④4．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1（km），出租车离甲地的距离为y2（km），客车行驶时间为x（h），y1，y2与x的函数关系图象如图所示：（1）根据图象，求出y1，y2关于x的函数关系式．（2）若设两车间的距离为S（km），请写出S关于x的函数关系式．（3）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200km，若客车进入A站加油时，出租车恰好进入B站加油．求A加油站到甲地的距离．考向二：利用一次函数进行方案设计与决策一次函数与方程（组）、不等式的实际应用解题要点：1.利用图象交点的意义及图象关系将实际问题转化为一次函数问题2.在解题中要分清图象所对应的实际问题中的参量，同时要注意自变量的取值范围3.利用一次函数的性质进行方案设计与决策，一般先求出函数表达式，结合不等式求出自变量的取值范围，然后再利用函数的增减性或函数图象进行决策。
几何直观在解决一次函数实际问题中的应用分析
几何直观在解决一次函数实际问题中的应用分析一、几何直观对一次函数的理解一次函数通常以y=kx+b的形式表示，其中k为斜率，b为常数项。
在几何直观中，我们可以将y=kx+b看作是一条直线，其中k代表直线的斜率，b代表直线与y轴的交点。
这种直观的理解使我们能够更加清晰地把握一次函数的特点和规律。
二、几何直观在实际问题中的应用1. 货币兑换问题假设我们需要将人民币兑换成美元，银行给出的汇率是1美元=6.5人民币。
如果我们需要兑换x美元，那么需要支付的人民币可以用一次函数y=6.5x来表示，其中y代表需要支付的人民币，x代表需要兑换的美元数。
这个一次函数的几何直观表示就是一条经过原点斜率为6.5的直线。
通过几何直观，我们可以直观地理解不同美元数对应的人民币支付量，从而更好地进行兑换决策。
2. 距离与时间的关系假设一个人以60公里/小时的速度骑自行车，他骑行的时间与骑行的距离之间的关系可以用一次函数来描述。
如果他骑行x小时，那么他所骑行的距离可以表示为y=60x。
这个一次函数的几何直观表示就是一条通过原点斜率为60的直线。
通过这种几何直观的表示，我们能够更加直观地理解速度与时间对距离的影响，从而更好地规划自行车出行的路线和时间。
3. 购买食物的费用假设一家餐厅的每份牛肉面的售价为15元，而每份素菜面的售价为10元。
如果我们购买了x份牛肉面和y份素菜面，那么我们需要支付的总费用可以表示为y=15x+10y。
这个一次函数的几何直观表示就是一条通过y轴截距为10、斜率为15的直线。
通过几何直观的表示，我们可以更直观地理解不同份额的牛肉面和素菜面对应的总费用，帮助我们更好地进行食物的购买决策。
通过以上实际问题的分析，我们可以看到几何直观在解决一次函数实际问题中的应用是非常重要的。
通过几何直观的方式，我们能够更直观、更形象地理解一次函数的特点和规律，从而更加灵活地应用一次函数解决实际问题。
三、如何培养几何直观对于培养几何直观，我们可以通过以下几种途径进行：1. 经常观察与绘制图形通过观察和绘制图形，我们能够更加直观地理解一次函数的特点和规律。
一次函数和几何综合(教师版)
一次函数与几何综合思想方法小结 ： （1）函数方法．函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．（2）数形结合法．数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．知识规律小结 （1）常数k ，b 对直线y=kx+b(k ≠0）位置的影响． ①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交； 当b=0时，直线经过原点；当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交． ②当k ，b 异号时，即-kb ＞0时，直线与x 轴正半轴相交；当b=0时，即-kb =0时，直线经过原点；当k ，b 同号时，即-kb ﹤0时，直线与x 轴负半轴相交．③当k ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限； 当k ＞0，b=0时，图象经过第一、三象限；当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限； 当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k ﹤O ，b=0时，图象经过第二、四象限；当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限．（2）直线y=kx+b （k ≠0）与直线y=kx(k ≠0)的位置关系． 直线y=kx+b(k ≠0)平行于直线y=kx(k ≠0)当b ＞0时，把直线y=kx 向上平移b 个单位，可得直线y=kx+b ； 当b ﹤O 时，把直线y=kx 向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b ． （3）直线b 1=k 1x+b 1与直线y 2=k 2x+b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2⇔y 1与y 2相交；②⎩⎨⎧=≠2121b b k k ⇔y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）；③⎩⎨⎧≠=2121,b b k k ⇔y 1与y 2平行； ④⎩⎨⎧==2121,b b k k ⇔y 1与y 2重合. 典型例析：一次函数与等腰三角形的多解问题【例1】 直线1y x =-与坐标轴交于A B 、两点，点C 在坐标轴上，若ABC △为等腰三角形，则满足条件的点C 最多有_______个。
一次函数与几何综合(学生版)
x轴
试求这个一次函数的表达式 若△POB≌△EPA 求这个一次函数的表达式
有一定点 E ( 2,0 )
9 /15
电话 024-22823262
一次函数与动态问题
36. 如图 直线 y = kx + b
y 轴 x 轴分别相交于点 A ( 0,4 ) B ( 6,0 )
点 C 的坐标为 ( 2,0 )
B ( 4 2)
C
在x轴
取一点 P
使点 P 到点 A 和点 B 的距离
D
(2
0)
(0
0)
2 /15
电话 024-22823262
8.
在平面直角坐标系中
BP + AP 最小时
x轴
一动点 P 到定点 A (1 1)
B ( 5 7 ) 的距离分别为 AP 和 BP
那 当
P 点坐标为_______________
OP ⋅ OQ = ________
11. 已知点 P 坐标是 ( 4，0 )
点 Q 坐标是 ( 6，2 )
在直线 y = x
找一点 M
使得 △QMP 的周长最小
则点 M 的坐标为_________
12. 如 图 牧童在 A 处放牛 其家在 B 处 CD = 8m
A
B 到河岸的距离分别为 AC
BD 且 AC = BD = 3m
25. 已知一次函数 y = kx + b 的图象 过点 ( 0, −3)
a 的值 k b 的值 这两个函数图象
且
比例函数 y =
1 x 的图象相交于点 ( 2, a ) 2
求
x 轴所围
的
角形面
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一次函数复习(三) ──一次函数与几何的结合
一、以代数为中心的数形结合问题
1、如图，在平面直角坐标系中，直线22y x =+ 交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，将线段AB 绕点B 逆时针旋转0
90至点C ，
(1)求直线AC 的解析式；
(2)若C 、D 两点关于直线AB 对称，求D 点坐标； (3)若AC 交x 轴于M ，点P 5
(,)2
m -
为BC 上一点，
在线段BM 上是否存在点N ，使PN 平分△BCM 的面积？若存在，求N 点的坐标；若不存在，说明理由。
2、(1)如图1，直线AB 的解析式1
1,(0,2)3
y x C =+ ，直线1y kx =-交AB 于G 点，交AC 于N 点，且MN =MG ，求k .
(2) 如图2，直线AB 的解析式1
1,(0,2)3
y x C =+ ，直线y kx k =+交AB 于E 点，交AC 于F 点，且PE =PF ，求k .
3、已知，如图1，在平面直角坐标系中，直线1:4l y x =-+ 与坐标轴分别相交于点A 、B ，与直线
21
:3
l y x =相交于点C.
(1)求点C 的坐标；
(2)如图1，平行于y 轴的直线x a =交直线1l 于点E ，交直线2l 于点D ，交x 轴于M ，若DE =2DM ，求a 的值；
(3)如图2，点P 是第四象限内一点，且∠BPO =0
135，连接AP ，探究AP 与BP 之间的位置关系，并证明你的结论。
4、如图，直线4y x =+与坐标轴交于A 、B 两点，BD 平分∠ABO ，交y 轴于D ，OE ⊥BD 于AB 于E 点，点F 在OB 上，且OF =AE ，AF 与OE 相交于M 点.
求证：(1)AE =OD ； (2)DM ⊥AF
5、如图，直线33y x =+与x 轴 ，y 轴分别相交于A 、B 两点，∠OAB 的角平分线与OB 的垂直平
分线交于P 点.
(1)求P 点的坐标；
(2)作ABO ∠ 的平分线交AP 于M ，判断△PBM 的形状.
二、构造全等三角形的数形结合问题
6、如图，直线AB 的解析式为24y x =-+ ，D (0，－2)，CD ⊥AB 交x 轴于C 点， (1)求直线CD 的解析式；
(2)直线(0)y kx k =< 上有一点E ，EAO BAO ∠=∠ ，BF //AE 交直线y kx =于F ，求AE BF
AB
+
的值.
7、如图，点P 在直线y x =上，且P (4，m )，P A ⊥AB ，∠OAB 的平分线交直线y x =于O 1，作O 1H ⊥OA ，求2O 1H +AB 的值.
8、如图1，直线AB 的解析式为44y x =+ ，OA =OC ，
(1)求C 点的坐标；
(2)点P 在BA 的延长线上，且∠BPC =0
45，求P 点坐标； (3)如图2，若点P 在AB 上，∠APC =045，求P 点坐标.。