角平分线定理的巧妙应用

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distance 浅谈角平分线定理的巧妙应用

吉林省磐石市第一中学：周喜瑞 定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例， 即在△ABC 中，BD 平分∠ABC，则AD ：DC=AB ：BC （注：定理的逆命题也成立） 这是初中和高中都没有直接给出的重要定理，而它的应用却是那么的广泛，令很多老师学生望而生畏，下面就其三个方面的应用作以详细的介绍，仅供参考：

应用1：半角与倍角

这是在人教A 版必修Ⅱ练习册中出现的习题，而此时还没有学习三角函数的半角与倍角公式，因此很多教师把这样的习题都删了。笔者认为放在这里自有它的作用，通过平面几何知识可以巧妙地解决此类问题。

例题1、已知两点()10,2--A ，()4,6-B ，直线l 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的一半，求直线l 的斜率。

解析：4

3=

AB k ，如图：作直角三角形ACB ，AD 是角A 的平分线 由角平分线定理得DB

CD AB AC =，又由勾股定理得5=AB x x -=∴354，解得34=x ，因此31=AC DC ，31=l k 例题2、一条直线l 经过点()1,2P ，并且满足倾斜角是直线1l ：034=+-y x 的倾斜角的两倍；求直线l 方程。

解析：4

11=

l k ，如图：作直角三角形ACB ，AD 是角A 的平分线 由角平分线定理得DB

CD AB AC =，又由勾股定理得 ()()222144++=x x ，解得15

17=x 或1-=x （舍）， 因此158415171=+=AC BC ，158=l k ，所以直线l 的方程为01158=--y x 应用2：求轨迹方程

我们知道动点P 与两个定点A ，B 的距离的比为定值λ，若1=λ，则动点P 的轨迹是线段AB 的垂直平分线。若1≠λ，则动点P 的轨迹是圆。我们可以通过建立适当的坐标系，用坐标法求出动点P 的轨迹方程，进而说明轨迹形状。下面用另一种方法，从几何角度求出动点P 的轨迹。

例题3、已知定点()0,2-A ，()0,1B ，动点P 与A ，B 两点的距离的比为2:1，求动点P 的

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distance 轨迹方程。 解析：如图：1

2==BO AO BP AP ，所以PO 是APB ∠的平分线。取AP 中点为M ，易证三角形POM 与三角形POB 全等，所以1==OB OM ，取点()0,2N ，

连接PN ，则在三角形APN 中，OM 是中位线，所以22==OM PN ， 因此P 的轨迹是以N 为圆心，2为半径的圆，所以动点P 的轨迹方

程为：()4222=+-y x

应用3：三角形内心的向量式的充分性的证明

例题4设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则 O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.下面用角平分线定理证明充分性 证明：如图所示：O 为ABC ∆的内心

b OA =

c OA =

又c b a

+===

c b a

OA DO +===

()()()BO DB c b DO c b OA a ++=+=∴

()()⎥⎦⎤

⎢⎣⎡++-+=c b c c b c b c c ++-==++∴c b a 同理ABC ∆的旁心是两条外角平分线和一条内角平分线的交点

结论：O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+的充分性也可以证明