有心力场中圆形轨道稳定性的线性分析
物体在有心力场中运动的分析(毕业论文)
本科毕业论文题目：物体在有心力场中运动的分析目录1.引言 (1)2.有心力基本概念及它的性质： (1)3.推出动力学方程 (2)4.用开普勒定律推出引力公式 (6)5.两体问题 (7)6.结论 (9)7.参考文献 (10)8.致谢......................................................... - 10 -物体在有心力场中运动的分析摘要有心力场中的运动是经典力学和天体力学的一个重要问题.本文概括地介绍了有心力及其有关它的一些重要结论.首先研究质点和质点系在有心力作用下的运动，有心力的基本性质.用动力学方法推导关于有心力的公式,及在开普勒三定律的基础上推导万有引力方程.,介绍有心力场在物理学中的应用。
关键词有心力；动力学；开普勒定律；两体问题。
1.引 言经典力学的发展是与对天体运行的观察和研究分不开的.早在17世纪初叶，开普勒（J.Kepler ）通过对太阳系各行星运动的观察，总结出行星运动的三个定律，于1620年发表在《论天体之协调》（On Celestial Harmonics ）一书中.在此基础上，牛顿建立了著名的万有引力定律.行星绕恒星的运动属于所谓“有心运动”一类的运动.有心运动是一类常见的运动，天体的运行，原子核外的电子运动都属于这类运动.火箭和人造卫星的发射和运行都离不开对有心运动的研究.首先我们介绍有心力的基本概念及它的性质，然后利用开氏三定律推导出引力公式并对公式进行分析.2.有心力基本概念及它的性质：一般来讲，如果运动质点所受力的作用线始终通过惯性系中某一个固定点，则我们就说这个质点所受的力是有心力，此固定点称为力心.有心力的量值，一般是矢径（即质点和力心之间的距离）r 的函数，而力的方向则始终沿着质点和力心的连线，凡是趋向定点的是引力，离开定点的是斥力。
行星绕太阳运动时受到的力，电子饶原子核转动时受到的库仑引力，近似看做有心力.有心力场是自然界中最普遍、最重要的力场之一.有心力构成的力场称为有心力场.我们平时假定力心不动研究有心力场问题.这时以力心作为坐标质点,变成一个平面问题.质点受变力作用而沿曲线运动时，变力所作的总功为d W B A .⎰= （1）在平面极坐标系中，力所做的功为θθd F dr F W B A r +=⎰ （2）因为有心力只具有径矢方向的分量)(r F F r =,而横向分量为0=θF ，故质点由A 点运动到B 点时有心力作的功是dr r F dr r F W B A r r ⎰⎰==21)()( (3)这个顶积分的值只取决于起点和终点的矢径，与质点运动的路径无关，这就证明了有心力是保守力.而平面力,力和位置坐标相互平行且应满足0=⨯∇,那么角动量守恒.这是有心力场的一个特点，根据有心力场的特点，下面推导有心力场的动力学方程及加讨论。
有心力作用下物体运动的稳定性研究
有心力作用下物体运动的稳定性的研究摘要稳定是物体或系统在外干扰的作用下偏离其运动后返回该运动的性质。
若逐渐返回原运动则称此运动是稳定的，否则就是不稳定的。
通过推导有心力势场中粒子的运动轨道方程，以及利用等效势能曲线对中心力场中运动轨道的闭合性、封闭性条件以及中心力场中圆轨道运动的稳定性条件作出了定性的判断。
对于轨道的有界性、封闭性以作出定性研究，具有实际意义。
本文在此基础上进一步讨论有心力运动中的稳定性条件和封闭性条件。
通过查阅各种资料，我对宇宙多种天体的运动有了很深刻的认识。
关键词稳定性;封闭性；有心势场The study of the stability of the movement under the affectionof centripetal forceSchool of Physics and Electronic Information, Huai Bei Normal University, Anhui Huaibei, 235000 Abstract S tability is a object or system under the condition of outside interference from its campaign to return to the nature of the movement . If gradually returned to the original movement called the motion is stable, otherwise it is not stable. Motion orbit equation derived by central force of particle in potential field, and the use of equivalent potential energy curves of motion in central force field closed, closed conditions as well as the central force field in circular motion stability conditions made a qualitative judgment. The orbit of the bounded closed, in order to make a qualitative research, practical significance. In this paper, on the basis of further discussion of stability conditions of central force motion and closed condition. Through access to a variety of materials, I have a very profound understanding of the movements of celestial bodies. Keywords S tability; Closed; Centripetal force目次1 引言 (1)2 中心势场中粒子运动的轨道 (1)2.1由运动方程消去参数t导出轨道方程 (1)3 r的幂律中心势场中粒子运动轨道的闭合性 (2)3.1 和r的变化对轨道的影响 (2)4 r的幂律中心势场中粒子运动圆轨道的稳定性 (3)5 非r的幂律函数势场中粒子运动轨道的稳定性和封闭性 . 66 结论 (8)参考文献 (8)致谢 (9)1 引 言开普勒第一定律[1,2]认为行星运动的轨道是一个椭圆，同样根据牛顿万有引力和理论力学[1,2]可以得出，地日系统也是一个椭圆轨道，太阳在椭圆的一个焦点之上。
质点力学：圆形轨道运动研究
圆形轨道运动产生条件及其稳定性研究物理102，温一鸣，34号产生圆形轨道运动的条件研究：由比耐公式知，如果初速垂直于位矢且满足其中 为单位质量上所受的吸引力，则得：，但由初始条件知，，说明可见这时不论半径如何，质点将作圆形轨道运动。
圆形轨道的稳定性研究：1 圆形轨道的微扰微分方程1.1取一阶微扰近似地球绕太阳运行的轨道是接近于圆形的椭圆。
我们知道，对圆形轨道来讲，r 或1()u r =为常数。
由比耐公示2222d u F h u u d m θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭可知，在有心力作用下，对任何质点（或星体）来讲，如投掷（起始）速度的方向垂直于位矢，且满足23()P u h u =（1） 的关系，则不论其半径为何，都将作圆形轨道的运动，式中FP m-=为单位质量上所受的吸引力。
现在我们要问，这种圆形轨道是稳定的还是不稳定的？这个问题在物理上是很重要的。
因为自然界中微小扰动是经常存在的，它将破坏不稳定的圆形轨道，只有稳定的圆形轨道，才有机会继续下去。
令0u u =及0h h =为某一圆形轨道的u h 和之值，显然2030()P u h u =（2） 为了研究扰动，我们令o u u ξ=+，式中ξ及其微商均认为是很小的微量，把o u u ξ=+代入比耐公示中，得22d d ξθ+ u +。
ξ= ()()22P u h u ξξ++。
（3） 即引入微扰后轨道偏差()ξθ的微分方程 把式（3）的右边展为ξ的幂级数，得()()22p u h u ξξ++。
= ()22211p u h u u ξξ-⎛⎫++ ⎪⎝⎭。
= 22221(2)(3)P 1(2)...++...2!2!h u u u ξξξξ⎡⎤''--⎛⎫⎡⎤'+-++∙+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦。
P 。
P 。
=2000022200000002231...2p p p p h u p u p u p u ξξ⎡⎤⎛⎫⎛⎫''''+-+-++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦（4） 又因为2003()P u h u =，即2300=P h u ，则整理后为 220000020000233...2u p u p p d d p p p u ξξξθ⎛⎫⎛⎫''''+-=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （5） 式中p =dp du '，22p =d pdu''，下标0表示当u u =。
任意有心引力场中圆形轨道稳定性条件的简证
中 圆形轨 道 的 稳 定 性 作 了讨 论 ． 方 法 多是 从 比耐
２ 轨 道稳 定性 的物理 涵 义 当质 点在 圆形轨 道 ｒ —ｒ 。上做 匀 速 圆周 运 动
１
公 式 出发 ， 利 用泰 勒级 数 的展 开作 近似 计 算 ， 得 到
圆形 轨道 稳 定 性 的 一 般 条 件ｌ ＿ １ ］ ． 在一些文 献 中
１ 转 动 系 中 质 点 的 受 力 情 况
在极 坐标 系 中 ， 质 点运 动 微 分方 程 为 ｍ（ 一 ｒ ｚ ） 一－ － Ｆ（ ｒ 意有 心引 力场 中 圆形 轨道 稳 定性 的一 般 条件 ， 与文 献 ［ １ —７ ］ 中 的公 式 一致．
将其代入前一式 ， 得到 ７ ： ‘ ＝ｍ ｈ 去一Ｆ （ ｒ ） ， 其实
这 就是 以力 心 为原 点 ， 跟 随 质 点 一 起 转 动 的参 考 系 中质点 的 运动 微分 方 程嗍 ， 其 中 ｍｈ ／ ｒ ３ 表 示 惯
将 幂 律 Ｆ—ｋ ｍ／ ｒ ￣代 入 式 （ １ ） ， 有 ３ ｋ ｍ／ ｒ ｇ ＋
还用 了其 他 方 法 来 推 导 ， 如 ：引 入 “ 有效势能” 求 解［ ４ ； 用 微 扰 相 图 分 析［ ６ ； 用 非 线 性 方 法 证 明Ｌ ７ ］ ， 特 别是 文 献［ ８ ］ 从 转动 参 考 系 中质 点 动 力 学 方 程 出发 ， 利用 幂 函数 图像 的性质 ， 直观 地 证 明 了 满 足 幂律 的有 心 引力场 中圆形轨 道 稳定性 条 件．
时， 显然有 Ｆ 合（ ｒ —ｒ ｏ ） 一ｍ 声 ‘ Ｉ ＝ｍ ｈ 专 一
７ ０
Ｆ（ ｒ 。 ） 一０ ． 现 在假设 存 在 微 扰并 导致 ｒ ｅ ： ｒ ０ ， 则 只
在中心势场中质点圆形轨道的稳定性研究
ｒ （） 由于初始 条件 发生 微小 变化 或质点 受 到一个 短暂 扰动 时 ， 质点 偏 离原 轨 道 变 为 ｒ 如果 ｒ 终 保 ０ ， 使 ， 始 持在 ， 附 近作微 小振 动 ， ． 。 则这 种轨 道 是稳 定 的 ； 之 ， 随 着时 间 的增加 ｒ 离 ｒ 越 来越 大 ， 反 若 偏 。 以致 其轨 道 运 动趋 于 消失 ， 这种 轨道 就是不 稳定 的． 此 问题 的讨论 ， 般 文献 是根 据 质点 的轨道 微 分方 程 即 比耐公 式 或 对 一 能 量方 程来 进行 ， 并且 也 只是给 出 了轨道 稳 定 性条 件 ＿ ． １ 本文 将 直 接 从 最基 本 的质 点 运 动微 分 方 程 出 发 ， ］
由于满足 （ ） ７ 式时 ，６ 式表 示一 简谐 振 动方程 ， 考虑 到 中心势场 为保 守力 场 ， （） 再 质点所 受之 力 Ｆ（ ） 势 ｒ与
函数 — ｒ 具有 以下 关 系 （ ）
Ｆ（ 。 一 一 Ｖ ｒ ） Ｆ ｒ ） 一 一 （ 。 ｒ） （。 ， （。 ｒ） （ ２ １）
２１ ０ １年 ６月
在中心势场 中质点 圆形轨道的稳定性研究
邵 贵 成
（ 州 师 范 学 院 物理 系 ， 忻 山西 忻 州 ０ ４ ０ ） ３０ ０
（ 要 ］ 区 别 于 中 心 势 场 中 质 点 圆 形 轨 道 稳 定 性 问 题 的 一 般 研 究 方 法 ， 章 直 ４－ 质 点 运 动 摘 文 ｉ由
第 ２ 期
邵 贵 成 ： 中心 势 场 中质 点 圆形 轨 道 的稳 定 性 研 究 在
(完整版)第五章有心力场中的运动
p3 d 0 (1 cos )2
此式就是质点的运动方程。
式中积分常数为 0，即矢径r与e重合的时刻，称为
过近地点时间。
轨道平面方位（，i）和偏心率矢量e的方位确定后，轨道
方程和时间积分即完全确定二体问题的运动规律。
以上积分过程中出现8个积分常数，E，L，，i，，p，e，
，称为轨道根数，由于有关系式e
mr v F (r) r r 0 r
d (r v) 0
dt
r v L(常矢量）
称为动量矩积分（守恒）。L为单位质量的质点对O的动
量矩。常矢量L垂直于r与v构成的平面，因此质点必永远在此
平面内运动，此平面称为轨道平面。
因此可以采用极坐标来研究问题。
动量矩积分在极坐标中的的标量形式：
上节讨论的二体问题是多体问题中唯一可导出解析积分 的最简单情况。三体问题，即三个相互以万有引力吸引的质 点运动，不存在解析积分。
若三体问题中有一体质量m远小于另外两体的质量m1，m2， 以至于它对后两者运动的影响可以忽略不计，则可以认为m1， m2作为独立的二体运动，只需要讨论m在m1，m2的共同引力场 中的运动。这种简化的三体问题称为限制性三体问题。考虑 地球和月球引力共同作用的航天器运动就是典型的限制性三 体问题。
可以看出e在轨道面内且与速度方向垂直。在近地点e与e
方向一致，在远地点e与e方向相反，在其它位置e与e有夹角。
由此可以得出结论：在近地点或远地点施加冲量对改变偏 心率有最好的效果。
在近地点，e与e一致，使e增
加，轨道椭圆更扁。相反在远地点，
e与e相反，e减小，轨道椭圆更圆。
利用此原理，同步地球卫星的 发射过程设计为先进入近地圆轨道， 然后施加冲量，转移至远地点为同 步卫星高度的椭圆轨道(称为霍曼转 移轨道)，然后在远地点施加冲量使 偏心率减为0，变成以远地点为半径 的同步圆轨道。
理论力学 两体问题
§3.4 有心力场中粒子运动轨道的稳定性 d 2u 2 2 比耐公式 : u ( 2 + u ) = mF(r ) / L dθ d 2ε 2 d 2u o m dF 其中: + Aε = 0. 其中:A = 3 + + 2 2 2 2 dθ u o dθ u o L du 线性增加; 若A=0,ε 随 θ ( 从而随 t ) 线性增加; , 若A<0,ε 随 t 线性增加. , 线性增加. 若A> 0,ε 作简谐振动,轨道稳定. , 作简谐振动,轨道稳定. 轨道稳定条件: 轨道稳定条件: 2 2m 3 dU m 4 d U A = 1+ 2 r + 2r >0 2 L dr L dr
2
d 2u o d 2 ε m 2 2 (u o + 2u o ε + ε ) + 2 + u o + ε = 2 F(u o + ε ) 2 dθ dθ L dF F ( u o + ε ) = F (u o ) + uo ε + du d 2ε 2 d 2u o m dF 其中: + Aε = 0. 其中: A = 3 + + 2 2 uo 2 2 dθ u o dθ u o L du
例:如质点受有心力作 用而作双纽线 r = a cos 2θ
2 2
3ma 4 h 7 的运动时, 试证明之. , 试证明之. 的运动时,则 F = 7 r 1 1 证明: 证明: u = = r a cos 2θ du 1 3/ 2 = sin 2θ(cos 2θ ) dθ a d 2u 1 = [ 2(cos 2θ ) 1 / 2 + 3 sin 2 2θ(cos 2θ ) 5 / 2 ] 2 dθ a
有心力
6
理论力学
质点力学
此时必有： 此时必有：
B
F = −∇V
B r2 A r1
W = ∫ F ⋅ dr = ∫ Fr i ⋅ (dri +rdθ j ) = ∫ Fr dr = −(V2 − V1 )
A
机械能守恒： ∴ 机械能守恒：
1 & & m(r 2 + r 2θ 2 ) + V(r) = E 2 1 & & m(r 2 + r 2θ 2 ) + V(r) = E 2
哈雷慧星
第一章 质点力学
1
理论力学
本节教学目的： 本节教学目的：
质点力学
(1) 掌握有心力的概念和基本性质； 掌握有心力的概念和基本性质； (2) 掌握有心力作用下质点运动轨道满足的方程； 掌握有心力作用下质点运动轨道满足的方程； (3) 掌握两种重要的有心力 与距离平方成反比的引力和 掌握两种重要的有心力:与距离平方成反比的引力和 斥力作用下质点的运动规律及动力学性质. 斥力作用下质点的运动规律及动力学性质 (4) 掌握行星运动规律 掌握行星运动规律——开普勒定律。 开普勒定律。 开普勒定律
1 1 k 2m & E = mv 2 + V ( r ) = m ( r 2 + r 2θ& 2 ) − 2 2 r
k 2m V ( r ) = − r
& r 2θ = h
dr du dθ 1 du du & r= ⋅ ⋅ = - 2 ⋅ hu 2 ⋅ =-h du dθ dt u dθ dθ
c p , ⇒ p = a(1 − e2 ), e < 1 B点： = a − c = a(1 − ) = a(1 − e) = 点 r a 1+ e 13
轨道强度稳定性计算资料
目录............................................................... 错误！未定义书签。
轨道强度、稳定性计算 (2)1.1设计资料： (2)1.2 轨道强度、稳定性计算的基本原理 (2)1.2.1.轨道强度计算的基本原理 (2)1.2.2.稳定性计算的基本原理 (3)1.3 轨道各部件强度验算 (5)1.3.1SS1(客)电力机车 (5)1.3.2DF4B（货）内燃机车 (10)轨道强度、稳定性计算1.1设计资料：线路条件：曲线半径R=1500m ，钢轨：60kg/m ，U74钢轨，25m 长的标准轨；轨枕：Ⅱ型混凝土轨枕1760根/m ；道床：碎石道砟，厚度为40cm ；路基：既有线路；钢轨支点弹性系数D ：检算钢轨强度时取30000N/mm ；检算轨下基础时取70000N/mm ；由于钢轨长度为25m ，钢轨类型为60kg/m ，故温度应力a 51t MP =σ，不计钢轨附加应力。
机车类型：SS1（客）电力机车，三轴转向架，轮载115KN ，轴距2.3m ，机车构造速度95km/hDF4B （货）内燃机车，三轴转向架，轮载115KN ，轴距1.8m ，机车构造速度120km/h1.2 轨道强度、稳定性计算的基本原理1.2.1.轨道强度计算的基本原理目前，最常用的检算轨道强度方法称为准静态计算方法。
所谓准静态计算方法，就是应用静力计算的基本原理，对轨道结构尽力计算，然后根据轨轮系统的动力学特性，考虑为轮载、钢轨绕度、弯矩和轨枕反力等的动力增值问题。
轨道强度准静态计算包括以下三项内容：I 、 轨道结构静力计算II 、 轨道结构强度的动力计算——准静态计算 III 、 检算轨道结构各部件的强度 1) 强度检算的基本假设:a) 假设列车运行时，车轮荷载在轨道各部件中所引起的应力应变与量值相当的静荷载所引起的应力应变想等，即车轮荷载具有准静态性质。
2015-10-9中心力场
k m F 2 r
2
开普勒第一定律
2 2 2 2 2
hu F h 1 2 2d u h u 2 u 2 m p p r d
h m F 2 p r
平方反比引力
2
iii.开普勒第三定律
2 2A r h
2 A h t t0 2 ab h
2) 开普勒定律
开普勒第一定律：行星绕太阳作椭圆运动，太阳位于 椭圆的一个焦点上。(1609)
开普勒第二定律：行星和太阳之间的联线(矢径)，在 相等的时间内所扫过的面积相等。(1609)
开普勒第三定律：行星公转周期的平方和轨道半长轴 的立方成正比。(1619) 牛顿的万有引力定律(1687)：
GMm k m F 2 2 r r
1 r u
r
1 k A cos 2 h
2
轨道方程
2) 行星运动的分类I－圆锥曲线的几何判据
圆锥曲线正焦弦的一半
p r 1 e cos
偏心率
原点：力心：焦点
h2 p 2 k h2 e Ap A 2 k
r
1 k A cos 2 h
2
i. 椭圆
c e 1 a
由于 r 和 v始终在垂直于 J 的曲面内，所以质点
做平面曲线运动。
从角动量的大小为常数可得出位矢的掠面速度为 常数。
dA r dt 2
2
2 r re mr eJ J r mv mr r
constant 为行星对太阳的动量矩为常数，故 mr 行星所受力对太阳的力矩为零；又行星受力不为零， 因此必受有心力，太阳是力心。
(完整word版)线性系统的稳定性分析
第三章 线性系统的稳定性分析3。
1 概述如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态,当扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的.否则，系统不稳定.一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不可能付诸于工程实施的.因此，稳定性问题是系统控制理论研究的一个重要课题。
对于线性系统而言，其响应总可以分解为零状态响应和零输入响应,因而人们习惯分别讨论这两种响应的稳定性，从而外部稳定性和内部稳定性的概念。
应用于线性定常系统的稳定性分析方法很多.然而，对于非线性系统和线性时变系统,这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至是不可能的。
李雅普诺夫（A 。
M. Lyapunov ）稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。
本章首先介绍外部稳定性和内部稳定性的概念及其相互关系，然后介绍李雅普诺夫稳定性的概念及其判别方法，最后介绍线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析。
虽然在非线性系统的稳定性问题中，Lyapunov 稳定性分析方法具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，却并不是直截了当的.技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要.在本章中,对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。
3.2 外部稳定性与内部稳定性3。
2。
1 外部稳定:考虑一个线性因果系统，如果对一个有界输入u （t ），即满足条件：1()u t k ≤<∞的输入u （t),所产生的输出y （t)也是有界的，即使得下式成立：2()y t k ≤<∞则称此因果系统是外部稳定的，即BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定.注意：在讨论外部稳定性的时候，我们必须要假定系统的初始条件为零，只有在这种假定下面，系统的输入—输出描述才是唯一的和有意义的. 系统外部稳定的判定准则系统的BIBO 稳定性可根据脉冲响应矩阵或者传递函数矩阵来进行判别。
a)时变情况的判定准则对于零初始条件的线性时变系统，设(,)G t τ为脉冲响应矩阵，则系统BIBO 稳定的充要条件是，存在一个有限常数k ，使对于一切0[,),(,)t t G t τ∈∞的每一个元0(,)(1,2,.......;1,2,.....)(,)ij tij t g t i q j p g t d k τττ==≤<∞⎰有即，(,)G t τ是绝对可积的。
有心力场中圆形轨道稳定性的线性分析
有心力场中圆形轨道稳定性非线性近似分析摘要本文利用微扰法研究质点在有心力作用下圆形轨道的稳定性问题。
通过对比分析了一阶与二阶两种微扰近似条件下质点运动轨道的相图。
在引力与距离n次方成反比的有心力场中,影响圆形轨道稳定性的因素有幂次n、轨道初始半径及微扰强度。
当n趋近于2时,圆形轨道抗扰动能力比较强; 当n确定时,轨道半径越大的圆形轨道,所能承受的微扰越小。
并从粒子的运动方程出发,利用非线性动力学的方法分析了行星在有心力场中运行轨道的稳定性。
并指出，当粒子在与位置矢量n次方成反比的有心力的作用下，其运行轨道的稳定条件是n小于三。
关键词：稳定性；微扰法；相图；运行轨道NONLINEAR ANALYSIS ON STABILITY OF A CIRCULAR ORBIT IN THE CENTRAL FORCE FIELDABSTRACTIn this paper，the perturbation method is used to study the stability problem of a mass particle forced by a central force in a circular orbit. By comparative analysis, phase diagram of the perturbation orbit of mass is performed under the conditions for the first-order and second-order perturbation approximations. In the central force field where the gravity is in inverse proportion to nth power of the modulus of situation vector, Influence factors on the stability of circular orbit are power index n，initial orbit radius and the strength of the perturbation. When power index n tends to 2, the anti-disturbance capability of the circular orbit is strong. The larger the circular orbit radius is, for the same power index, the smaller perturbation the orbit can endure. Based on the basic motion equation, the stability of the planet orbits in central force field is studied by using nonlinear dynamics method. It is indicated that the stability condition of planet orbits in the central force field is that n is smaller than three when particle is forced by the central force which is in inverse proportion to nth power of situation vector.Key words: stability; perturbation method; phase diagram; orbit stability目录1．前言--------------------------------------------------------------------1 2．线性稳定性分析和奇点的分类----------------------------------------------2 2．1非线性方程的线性化和线性稳定性定理----------------------------------2 2．2线性方程的解及其稳定性----------------------------------------------3 2．3奇点（定点）的分类----------------------------------------------------4 3．圆形轨道的稳定性--------------------------------------------------------5 3．1圆形轨道的微扰微分方程----------------------------------------------5 3．1．1取一阶微扰近似------------------------------------------------5 3．1．2取二阶微扰近似------------------------------------------------6 3．2有心力场中圆形轨道的稳定性分析--------------------------------------73．2．1当10C=时的稳定性分析----------------------------------------73．2．2当10C≠时的稳定性分析----------------------------------------74．行星轨道的稳定性分析---------------------------------------------------12 5．结论-------------------------------------------------------------------15 参考文献-----------------------------------------------------------------16 致谢---------------------------------------------------------------------171 前言对于现行通用的理论力学教材中关于有心力场中圆形轨道稳定性的讨论，方法一般分为两类：第一类用有效势能法；第二类用比耐公式，然后归结为用线性近似方程判别稳定性。
有心力场
v1=7.9km/s
E<0 初动能判据 E=0 E>0
椭圆 抛物线 双曲线
四.椭圆轨道总能量及角运动周期
四.椭圆轨道总能量及角运动周期
每个能级简并度为 2
周期
开普勒第三定律
Summary:
椭圆轨道总能量只与半长轴有关, 而与半短轴有关 当E与a确定后,半长轴不确定
证明: Runge—Lenz为守恒量
α粒子
电子
α粒子散射实验
質子與中子的發現
質子：1919年拉塞福以α粒子撞擊 氮原子而發現
中子：1932年查兌克以α粒子撞擊鈹 原子而發現
P41,8-6答案
P43,8-14答案
有效质量是考虑了约束效应后的等效质量 如果me=me(r) me(rm ) 扰动沿径向,故受扰前后相对z轴角动量守恒
§6.两体问题 两体问题: 两个有相互作用的质点组成的 封闭系统在惯性系中的运动 束缚运动 散射或碰撞 质心运动 两体问题: 相对质心运动
demonstration
匀速直线运动
由图可知
r1
思路:
关键
两体相对质心角动量
折合质量 （等效概念）
力心固定情形
力心不固定情形
两体在不变面内相对质心运动
Summary:
两体相对质心角动量
两体在不变面内相对质心运动
在考虑力心运动后,只要用折合质量代替运 动物体质量就还原为力心不动情形
两质量均为m的质点用一长为a,弹性系数为k的轻弹簧连 接,静止在光滑水平面上.今有一质量为m的另一质点在水 平面上以速度v,与弹簧垂直的方向碰撞并粘在一起.试求 欲使弹簧伸长到最大长度3 a, v应为多少?
由以上二式得到重要结论：
由于E是个守恒量，所以上式处处成立。 另外还可以得到直角坐标系中椭圆轨道方程：
玻尔-索末菲的椭圆轨道理论的推导
玻尔-索末菲的椭圆轨道理论的推导武晓霞;展铁政;陈伟丽;侯小娟【摘要】本文从椭圆运动的轨道方程出发,结合量子化条件,详细推导了玻尔-索末菲的椭圆轨道的理论,给出了电子的能量以及量子化的半长轴a和半短轴b的表达式.能级公式与玻尔通过对圆轨道得到的结果一致,即能量是量子化的.而电子具有一定能量时,可能的状态n种,即n重简并.【期刊名称】《科技视界》【年(卷),期】2018(000)002【总页数】2页(P64-65)【关键词】玻尔-索末菲的椭圆轨道;量子化条件;守恒量【作者】武晓霞;展铁政;陈伟丽;侯小娟【作者单位】内蒙古科技大学理学院,内蒙古包头 040014;内蒙古科技大学理学院,内蒙古包头 040014;内蒙古科技大学理学院,内蒙古包头 040014;内蒙古科技大学理学院,内蒙古包头 040014【正文语种】中文【中图分类】O562.1玻尔理论是原子结构的半经典理论，虽然引入了量子化的概念，但大部分计算依然沿用经典力学。
索末菲推广了玻尔理论提出量子化通则，并应用有心力场中质点的普遍运动规律，得到了量子化的椭圆轨道。
通常的原子物理学教材中进介绍索末菲理论的结果，而对其推导的过程讲解较少。
其实，索末菲椭圆轨道理论是有心力场中粒子运动的重要应用环节。
本文依据理论力学中的有心力场理论详细推导了玻尔-索末菲椭圆轨道理论，并讨论了其物理意义。
希望对理论力学和原子物理学的教学有参考作用。
在原子中，核外电子受到的库仑力也是平方反比吸引力，即式中，ε0是真空的电容率、Z是原子序数、-e是电子的电量、+Ze是原子核的电量。
由于原子核的质量M远大于电子的质量m，可仍视作为力心的原子核静止不动，需要修正时再用μ取代m。
按照经典力学的处理方法，得到电子绕核作椭圆运动的轨道方程，即ε表示偏心率。
注意到，再用符号pφ表示L，并称之为电子的轨道角动量，则椭圆轨道的几何参量为：据行星沿椭圆轨道运动周期公式，可算出电子绕核运转的频率然而，在椭圆或圆轨道上运动的电子具有加速度，依经典电动力学：（1）加速运动的电子所发出的电磁辐射，其频率是连续分布的，这与原子的光谱是线状光谱不符；（2）因不断发出辐射而逐渐损失能量的电子将会很快陨落到原子核上，从而导致原子迅速塌缩，这就更与原子应具有稳定的结构这一基本事实相悖了。
关于圆形轨道稳定性的两个问题
作 者 简 介 ： 建 中 （ ９ ６ ） 男 ， 江 平 湖 人 ， 教 授 ， 要 从 事 混 沌 理 论 应 用 研 究 和 物 理 教 学 工 作 王 １５一 ， 浙 副 主
维普资讯
第 ４期
王 建 中 ： 于 圆 形 轨 道 稳 定 性 的 两个 问 题 关
了从 力 和 势 能 给 出 的 两 个稳 定性 条 件 之 间 的联 系 。 关 键 词 ： 形 轨 道 ； 定 平 衡 ； 能 曲 线 ； 效 势 能 圆 稳 势 有
中 图 分 类 号 ： １ Ｏ３ ７
文献 标 识 码 ： Ａ
质 点 在有 心 力 作 用 下 ， 满 足 一 定 的 初 始 条 件 ， 有 可 能 绕 力 心 作 圆 形 轨 道 运 动 。 现在 我 若 就 “ 们 要 问 ， 种 圆形 轨 道 是 稳 定 的 ， 是 不 稳 定 的 ？这 个 问题 在 物 理 上 很 重 要 。因 为 在 自然 界 ， 这 还 微
Ｆ 一 一 ｃ ｒ ／” （） １
的 作 用 下 ， 点 作 圆形 轨 道 运 动 时 ， 当 ｎ ３时 才 是 稳 定 的 。并 进 一 步 指 出 ， 方 反 比律 （ 质 只 ＜ 立 一
３ ， 给 不 出 稳 定 的 圆 形 轨 道 。 献 ［ ］ ｒ 小 参 量 展 开 的方 法 研 究 了这 一 问题 ， 到 了 同样 ）则 文 ２对 用 得
的 。其 次 ， 圆 形 轨 道 运 动 的 质 点 ， 其 势 能 为 Ｕ （ ） 一 ｋ ／￣ 则 ＂ Ｏ 声 ２时 ， 作 若 ｒ一 ｍ ｒ， ３ ＜ ＜ － 轨
道 是 稳 定 的 。 出 了 一 ３和 ＞ ３这 两 种情 况 所 对 应 的 轨 道 不 稳 定 性 的 区别 ， 讨 论 指 并
【doc】地下圆形隧道围岩稳定性的弹性力学分析
地下圆形隧道围岩稳定性的弹性力学分析tF-圈,阂生徽J璺.碍第篮考第3期1994年9月同济丈学JOURNAL0FTONGJIUNIVERSITyV ol匏No.38en.1994P.歹(同济大学地下建筑与工程系,上商,~0092)(中国矿韭大学采矿系.棘州,2210~)摘要杜据有学试验,提m对敷数连.石蠕奉摸-型.借对地隧道围岩祷定性进行了力学分析,探讨了^工支护蛄相与固岩相王作用的关系,寻出了描述其变化规律的特征方程,由此而得出了一些有益的蛄话.关键词岩石;蠕变;圆形隧道;粘弹性;支护;相互作用中国法分类号Tu45;U45岩石的流变变形是导致岩体地下隧道工程中支护结构产生变形和破坏的主要原因,对岩石的流变特性的研究,是我们在隧道工程中合理地选择支护类型及设计支护结构的前提.目前,一般常引用牛顿流体规律来描述岩石的粘性变形,通过牛顿体与虎克体的串并联来达到描述岩石的粘弹性力学行为.有时会增加方程中的岩石参数,而使得问题复杂化,这就需要寻找一个简单且能近似表达岩石的粘弹性变形规律的本构关系,以利于工程问题析和实践应用.1理论分析开挖在距地表很深的地下隧道,如矿山巷道及海底隧道,因为其埋深大,围岩大都表现出强烈的流变特性,即使是岩体较为完整且岩性较为坚硬的岩石亦然.因此,岩石的粘性变形性质逐步受到岩体工程界的重视,本文将开挖于地层深处的圆形隧道简化为无限大粘弹性连续体中的孔洞问题,且视为平面应变问题,设埋探足够大,则原岩应力场可视为均匀应力场(po=日),而对于圆形隧道,硐室,可进一步简化为轴对称问题.现对其进行力学分析如下.1.1本构关系根据有关岩石蠕变试验研究表明,岩石的蠕变,:!.变形遵循对数函数规律亦即非牛顿流体规律.一————一一物理模型见图l_此物理模型的本构关系如下(非牛顿粘性本构关系):图1非牛顿粘性流体元件6:旦ln(t+1),=三ln(c+1)式中:,分别定义为抗压,抗剪粘弹性常数,单位为MPa.本文收到日期;1993年3月24日第一作者:男,1964年生,博士研究生同侪大学第22卷写成张量形式E:s1n(t+1)兰2一一选择岩体的粘弹性物理模型见图,则一——一}——W一一岩体的本构方程为一一E{+吉n(￡+1)(1)图2修正Maxwell模或写成分量形式?e式中:,s分别为应变,变力偏量(￡,j=^8.力.以上述岩体本构模型为依据,对地下圆形隧道平面应变问题进行力学分析.模型见图3.由于粘弹性介质体积不产生流变.即体积不可压鳍.有e=吉=吉e++e=o1:÷:÷(++):P.i_I十十'J.J围3地下圆形盛道平面应变模型本构方程可化为erh件-,+等')e一~r~--po件-)+(4)el+1)+由一=△.—po;△.—=△可知,应变的产生是由于开挖孔洞后.孔洞周围应力场的变化而引起的.对于平面应变问题=1n(川)+=0(5)对于任意时刻t上式均成立.则有--Po=0-=po(6)由式(3)知+e一=0(7)由几何关系知=du/打.e,=u/r(8)将式(8)代人式(7).得du胁+u/r=0f0)■第3期朱索平等:地下圆形隧道国岩稳定性的粘弹性力学分析331解此偏微分方程得因此根据边界条件:r=,=0,则因此,应变u=A(t)/r一A(t)/r.1一A(t)Ir.)=鲁ln(川)+贵一nc川,+=hc川,+(10)r】',(12)(13)位移=1+1)+(14)式中:第一项为粘性变形,取决于时间的对数函数,随时间的增长,围岩各点位移呈对数规律增加;第二项为弹性变形,取决于弹性常数,此部分为常量.当t=O时,"一一a~pJ2Gr. 将式(13)代人式(4)得Po1:/r),=(+口),应变率,=一a'po雨11南:0.J1.埘,一口√2r2,一a~pJ2tlr2liraE,=一0,lim磊=+0……limH=oo(17)(18)(19)由式(17)～(19)可知,当f_+0时,即当地下隧道,硐室在开挖成形的瞬时,围岩中任一点的蠕变速率与原岩应力和材料的粘弹性常数有关,且与前者成正比,与后者成反比.之后随时间的增长,蠕变速率逐渐减小,并趋向于零,呈现出应变硬化效应.而应变与位移却逐渐增大,位移由0时的弹性变形逐渐趋于无穷大.实际上,隧道围岩位移不可能无限发展,当围岩体变形发展到将隧道空间充填实,即形成新的边界条件为止.2围岩一支护力学分析当在隧道中施筑一人工支护结构而对围岩变形施加影响时,由于支护结构限制约束围岩的变形而导致对围岩的作用力,设为p(f).设支护构筑时间为t..此时,隧道周边位移为一=+詈ln0.+1)设一厚壁筒状支护体,壁厚为b-c,由线弹性材料构成;壁后充填层亦设为线弹性材料332同济大学第22卷刚度为k,力学物理模型见图4.当>to时,对克填层p(})=(()一"o)(20)对厚壁筒支护p(t)=qu()(21)式中:q=E(b一c)/b(1+)[(1—2p)b+c]为支护刚度;,为支护材料的弹性常数;"()(r=b)为厚壁筒表面的位移.由此可知,对支护结构,其承载变形分成两个阶段.第一阶段为柔性克填层的压缩变形.由于k<q(几个数量级之差).支护相对于克填层为刚性.因而使得整个支护结构在围岩变形初期主要为克填层的压缩变形,支护阻力较小.第二阶段为厚壁筒支护(大刚度)变形段.由于克填层的压实,支护阻力逐步提高,直至达到一定值时,支护阻力急增,围岩变形受到有力阻止.支护力学特性曲线见图5.捌4地下隧道支护模型图5支护特性曲线对围岩,to时,由围岩边界条件r=以p()得应力,=(口/一()+po(1一口/r)1=(一口/一()+(1+口/r)位移)=1n(川)+当r=o时ln(川)+式(24)即为描述围岩与支护相互作用的特征方程.3算例目\山西省潞安矿务局常村煤矿+520水平运输巷道,埋深H=417m,巷道直径d=4.8m.支护为锚喷支护.岩石容重取为=2.5t?m一,根据现场实测围岩周边位移.测得粘弹性系数约为=247MPa,由于锚喷支护为柔性支护.故其阻力可忽略不计.由(22)(船)(24)圈6实测曲线与理论计算曲线比较第3期朱素平等:地下圆形隧道围岩稳定性的牯弹性力学分析333于实测未能及时测得弹性变形部分,故仅计算牯性变形.由计算结果与实测结果比较可知,曲线吻合较好,见图6.4结论与建议(1)岩石的初期蠕变服从时间的对数函数规律.(2)根据现场观测和理论分析结果,埋深很大的隧道围岩,呈现出一种无休止的蠕变变形特性,变形量大,变形速率快.(3)对于蠕变变形较为严重的地下隧道地段,支护形式应采用柔性充填材料与刚性支护相匹配的支护形式,以免由于岩石初期过大的蠕变变形而产生的变形压力破坏支护结构.先柔后刚的支护形式可有效地起到支护围岩的作用.参考文献1陈宗基.康文{击.岩石的封闭应力.蠕变和扩客及年构方程l岩石力学与工程.199l】1O(4):299~3122杨鳍灿.扬挂通,豫秉业.粘塑性力学概论.北京:中国铁道出版社.19853Cr~te6cuN.F0t茜D.MedvcsETunnelsupportanalysisincorporatingrockcreep.IntJRockMechMinSci&GeomechAbstr,1987.24(B]:321~3304朱亲平.岩石的流变性与地下工程结构舶稳定性研究:[学位论文].撩州:中国矿业大学采矿系t989ViscoeIasticMechanicalAnalysisofStabilityinCircularUndergroundTunnelsZhuShuping(DepartmclatofGvotcchnicalEngineering.Tong~iUniversityShanghai,200092) ZhouChuliang(DepartmentofMiningEngineering,ChinaUniversityofMiningandTechnology,X~zhou, 22100~)AbstractBasedonsomerocktestingresultsinlaboratory,alogarithmiclawis presentedasaconstitutivemodeltodescriberockcreep.Withthemodel,the undergroundtunnelwhichisexcavatedatgreatdepthbeneathgroundisdiscussed bytakingrockbehaviourasaviscoelasticbody.Thelinearsuppo~isassumed. Andtheinteractionbetweenmckandsupportisanalysed.Bymeanso mechanicalanalysisundergroundtunnelstabilityisformulatedinagoverning equationwhichcanreasonablyexplainsomephenomenahappeninginthetunne1. KeywordsRock;Creep;Circulartunnd;Viscoelasticity;Suppo~;Interaction。
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有心力场中圆形轨道稳定性非线性近似分析摘要本文利用微扰法研究质点在有心力作用下圆形轨道的稳定性问题。
通过对比分析了一阶与二阶两种微扰近似条件下质点运动轨道的相图。
在引力与距离n次方成反比的有心力场中,影响圆形轨道稳定性的因素有幂次n、轨道初始半径及微扰强度。
当n趋近于2时,圆形轨道抗扰动能力比较强; 当n确定时,轨道半径越大的圆形轨道,所能承受的微扰越小。
并从粒子的运动方程出发,利用非线性动力学的方法分析了行星在有心力场中运行轨道的稳定性。
并指出，当粒子在与位置矢量n次方成反比的有心力的作用下，其运行轨道的稳定条件是n小于三。
关键词：稳定性；微扰法；相图；运行轨道NONLINEAR ANALYSIS ON STABILITY OF A CIRCULAR ORBIT IN THE CENTRAL FORCE FIELDABSTRACTIn this paper，the perturbation method is used to study the stability problem of a mass particle forced by a central force in a circular orbit. By comparative analysis, phase diagram of the perturbation orbit of mass is performed under the conditions for the first-order and second-order perturbation approximations. In the central force field where the gravity is in inverse proportion to nth power of the modulus of situation vector, Influence factors on the stability of circular orbit are power index n，initial orbit radius and the strength of the perturbation. When power index n tends to 2, the anti-disturbance capability of the circular orbit is strong. The larger the circular orbit radius is, for the same power index, the smaller perturbation the orbit can endure. Based on the basic motion equation, the stability of the planet orbits in central force field is studied by using nonlinear dynamics method. It is indicated that the stability condition of planet orbits in the central force field is that n is smaller than three when particle is forced by the central force which is in inverse proportion to nth power of situation vector.Key words: stability; perturbation method; phase diagram; orbit stability目录1．前言--------------------------------------------------------------------1 2．线性稳定性分析和奇点的分类----------------------------------------------2 2．1非线性方程的线性化和线性稳定性定理----------------------------------2 2．2线性方程的解及其稳定性----------------------------------------------3 2．3奇点（定点）的分类----------------------------------------------------4 3．圆形轨道的稳定性--------------------------------------------------------5 3．1圆形轨道的微扰微分方程----------------------------------------------5 3．1．1取一阶微扰近似------------------------------------------------5 3．1．2取二阶微扰近似------------------------------------------------6 3．2有心力场中圆形轨道的稳定性分析--------------------------------------73．2．1当10C=时的稳定性分析----------------------------------------73．2．2当10C≠时的稳定性分析----------------------------------------74．行星轨道的稳定性分析---------------------------------------------------12 5．结论-------------------------------------------------------------------15 参考文献-----------------------------------------------------------------16 致谢---------------------------------------------------------------------171 前言对于现行通用的理论力学教材中关于有心力场中圆形轨道稳定性的讨论，方法一般分为两类：第一类用有效势能法；第二类用比耐公式，然后归结为用线性近似方程判别稳定性。
不管方法如何，这些文献都未涉及微扰大小对稳定性的影响。
一般认为，当初始扰动过大，轨道不可能保持稳定。
如果当圆形轨道取一阶微扰近似时的稳定性条件是什么？若当存在二阶微扰时，情况又如何呢？有心力场中圆形轨道稳定性又与哪些因素有关呢？这些结论又是否适用于行星轨道呢？本文将利用微扰法研究有心力场中圆形轨道稳定性的基础上，采用非线性近似，结合微扰相图，讨论了微扰大小对稳定性的影响，并从运动方程出发验证了此结论适用于行星轨道。
弥补了其他文献讨论上的不足。
2 线性稳定性分析和奇点分类2.1 非线性方程的线性化和线性稳定性定理设0()(1,2,...,)i x t i n =为非线性方程(),,1,2,....,i i j x f x i j n∙==的一个解。
为研究此解的稳定性，令()i x t 表示此解附近的另一解：0()()()i i i x t x t t ξ=+ （2.1）0()i x t 称为参考点或参考解，相应的状态称为参考态，()i t ξ就是状态()i x t 对参考态的偏离。
为了分析定点（定态）的稳定性及在其邻域解的表现，通常都是取定点为参考点。
将式（2.1）代入方程(),,1,2,....,i i j x f x i j n∙== （2.2）并实行泰勒展开：2000()()()()()()0()ii i i j i j j i j j j jjf x t t f x f x f x x ξξξξ∙∙∂+==+=++∂∑ （2.3）20()j ξ表示jξ的二次和二次以上无穷小项，下标0表示在参考点处取值。
由此得：11()nnii j i j jj j j f a x ξξξ∙==∂==∂∑∑ （2.4）方程（2.4）也可写成矢量形式：i A ξε∙= （2.5）式（2.4）中：0()ii j jf a x ∂=∂ （2.6） 式（2.5）中的系数矩阵（雅克比矩阵）是：111212122212..................n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （2.7）方程（2.4）或（2.5）就是非线性方程（2.2）在参考点邻域的线性化方程。
线性稳定性定[2]理：如果非线性方程（2.2）的线性化方程（2.4）的定点是渐进稳定的，则参考点（态)i x 是非线性方程的渐进稳定解；如果线性化方程的定点是不稳定的，则参考态也是非线性方程的不稳定解。
2.2 线性方程的解及其稳定性为求线性方程（2.4）并分析其解的稳定性，先就简单而形象的n=2情形进行研究 其结果不能推广到多变量的情形。
当n=2时，方程（2.4）简化为：111112222112220(),,1,2ja a a a f aij i j x ξξξξξξ∙∙⎫=+⎪⎬⎪=+⎭∂==∂ （2.8）通常方程（2.8）有如下形式的解：110220;t t e e λλξξξξ== （2.9）λ是下述特征值方程的解：aa 2111λ-λ-aa 2212 = 0 （2.10）或λ2— T λ + ∆ = 0 （2.11）用∆和T 分别表示方程(2.8)系数矩阵的行列式和迹11221221a a a a ∆=- （2.12）T = 11a + 22a （2.13）方程（2.10）有两个解：λ1=242∆-+TT ，λ2=242∆--TT （2.14）2.3 奇点（定点）的分类还可以根据∆和T 取值不同从而特征跟取值也不同进一步对线性方程（2.4）的解和非线性方程的参考态[定态或定点（奇点）]进行分类：（1）20,40T ∆>-∆≥情形 这时两个特征根1λ和2λ都是实的，而且符号相同。
这样的定点（奇点）称为结点。
T>0时它是不稳定结点，T<0时是稳定结点。
凡是λ1和λ2小于零的奇点，因为指数为负的，导致e tλ趋于零（t ∞→），都是稳定的，反之是不稳定的。
（2） 20,40(0)T T ∆>-∆<≠情形 这时两个特征根都是复数（r ii λλλ=±），其虚部表示振荡过程（cos sin i i t i i e t i tλλλ=+），实部（r te λ）则表示振荡的振幅。