近世代数模拟题9

陕西师范大学《近世代数》模拟题（九）

一、概念解释（每题4分，共20分）

1．代数运算 2. 代数结构A 与A 同构 3.群的定义 4.整环 5.域的定义

二、判断题（20分）

1、Φ是集合n A A A ⨯⨯⨯ 21到集合D 的映射，则),2,1(n i A i =不能相同。

2、集合A 的一个等价关系决定A 的一个分类。

3、在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。

4、任何一个子群都同一个变换群同构。

5、设N 为正整数集，并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈，那么N 对所给运算 能作成一个群。

三、证明题（每题8分，共40分）

1、设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个群。

2、证明：在群G 中只有单位元满足方程x x =2。

3、设G=（a ）是循环群，证明：当∞=a 时，G=（a ）与整数加群同构。

4、有限域F 的非零元素作成的乘群是一个循环群。

5、证明：高斯整环[]{}Z b a bi a i Z ∈+=,|中的单位有且只有1± ，i ±。

四、解答题（每题5分，共20分）

1、请举一个幺半群其中有一个元素的左逆元不一定是右逆元，右逆元也不一定是左逆元。

2、设2R 为所有实数对),(y x 作成的集合，对运算),(),(),(d b c a d c b a -+= ，2R 能否构成群，说明理由。

3、设H 是G 的一个非空子集，且H H =2

1）H 是否为G 的一个子群？

2）证明：当H 有限时，H 是G 的子群。

4、设R 是由数域F 上一 切形如⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛a b b a 2的二阶方阵作成的集合，问：R 对矩阵的普通加法和乘法是否作成环或域？

陕西师范大学《近世代数》模拟题（九）参考答案

一、概念解释（每题4分，共20分）

1、代数运算：一个集合B A ⨯到集合D 的映射叫做一个B A ⨯到D 的代数运算。

2、代数结构A 与A 同构：若在集合A 与A 之间存在保运算的双射，则称代数结构A 与A 同构。

3、群的定义：一个非空集合G 对乘法运算作成一个群，只要满足：

1）G 对乘法运算封闭；2）结合律成立： )()(bc a bc a =对G 中任意三个元c b a ,,都成立。

3）对于G 的任意两个元b a ,来说，方程b ax =和b ya =都在G 中有解。

4、整环：一个环R 叫做一个整环，若：

1）对乘法交换律成立， ab ba = (a 、b R ∈)2）R 有单位元I 使：Ia=aI=a ;

3）R 没有零因子：即00=⇒=a ab 或b a b ,,0=是R 的任意元。

5、域的定义：一个交换除环叫做一个子域。

二、判断题（每题4分，共20分）

1、×，

2、√，

3、×

4、√

5、 √

三、证明题（每题8分，共40分）

1、证：G 显然非空，又任取A ，B G ∈，则1,1±=±=B A ，于是AB 是整数方阵，且

1±=⋅=B A AB ，故G AB ∈，即G 对乘法封闭。结合律显然成立，且E 是G 单位元。

又设G A ∈，由于A 是整数方阵，故A 的伴随矩阵*A 也是整数方阵； 又,1±=A 故**-±==A A A

A 11，即1-A 也是整数方阵，即G 中每一个元在G 中都有逆元，从而证得G 作成一个群。

2、证：设e 是群G 的单位元，则e 显然满足方程另外设,G a ∈且a a =2，则有a a a a 121--= 即a=e, 即只有e 满足方程x x =2。

3、证：设∞=a ，则当n m ≠时，n m a a

≠，于是映射Φ：m a m →就是G=（a ）到整数加群Z 的一个一一映射。又n m a

a a n m n m +→=⋅+，故Φ是G 到Z 的同构映射。即G=

（a ）与整数加群Z 同构。 4、设F 是q 阶有限域，*F 是其非零元素乘群，阶为1-q 。令m 是*F 中所有元素的

最大阶，则*F 的m 个元素都是多项式1-m x 的根，故1-≥q m 。

另一方面，*F 中每个元素的阶都整除1-q ，从而也有1|-q m ，1-≤q m 。因此，

1-=q m 。即1-q 阶群*F 有阶为1-q 的元素α，从而*F 是循环群，即*()F α=={1，α，…，2-q α}。

5、证：i ±±,1显然是Z[i]的单位，设x=a+bi 是Z[i]中的任意单位，则存在y=c+di ][i Z ∈使xy=(a+bi)(c+di)=1 而(a+bi)(c+di)=ac-bd+(bc+ad)i 既有：ac-bd=1,ad+bc=0

(1)

从而 a abd c a =-2 又ad= –bc 代入前式有：（a c b a =+)(2

2，即)(22b a +|a 若a=0,则由（1）有bd= –1,只有b=1±,即i x ±=。

若0≠a ，则由)(22b a +|a 得b=0, a=1±,即x=1±,因此证得：Z[i] 的单位元只有i ±±,1。

四、解答题（每题5分，共20分）

1、解：设A 是正整数集合，{|:}M f f A A =，则M 是一个幺半群。做变换()1,f n n n A =+∀∈，f 是一个单射但不是满射，(1)1,()1,2,g g n n n n A ==-≥∀∈，g 是一个满射但不是单射，并且有1A gf =但是1A fg ≠，则g 是f 的左逆元不是右逆元，同样f 是g 的右逆元不是左逆元。

2、解：2R 不能作成群，因为所给运算不满足结合律，例：取)1,0(),0,0(),0,0(===c b a 则)1,0()1,0()0,0()(=-= c b a )1,0()1,0()0,0()(-== c b a

c b a c b a )()(≠ 即结合律不成立，不能作成群。

3、解1）H 不一定是群G 的子群，例： G=Z Z m m ⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101为整数域。对矩阵普通乘法作成一个群，而 H=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛ 101,1021,1011,1001n 为G 的一个非空子集，易知有H H =2，但

H 不是G 的子群，⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛1011在H 中没有逆元。

2）当H 有限时，则H 是G 的子群。任取H b a ∈,，由于H H =2，而H H ab =∈2

即H ab ∈即H 对乘法运算封闭，即H 是G 的子群。

4、解：易知R 作成一个有单位元的可换环，但不一定作成域，如：当F 为实数域时，方阵