材料力学莫尔定理
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内最终所储存的总变形能 U 1
U 1 U 0 U P 0 f L M 2 E 2 0 Z x d I x L M 2 2 E x Z dI 1 x f ——<d>
4. 采用将P0、（P1、P2、P3……）同时作用于梁上的加 载方式时X截面弯矩:
M 0xM x ——根据叠加原理
精选ppt
7
❖ 在求U之前，应将图六和图七进行比较，即可发现图七实质 上是图六的计算简图，因此，此时梁内的变形能仍应为：
10
q
EI z RA
C
x
l
P0 1
C
RB
EI 2
1/2 x l
EI 2
1/ 2
M0 1
fc ?、B?
1/ L
l
1/ L
精选ppt
11
解：〈一〉求支反力RA，RB
由对称性：
RA
RB
ql 2
〈二〉求 f c 及 B
M xRAxq22xq2xlq22x
0 x l 2
M0
x
1 2
x
M' x x
0
l
fc
L
MxM0xd
EIZ
x
2 l2 MxM0xdx 5ql4
0
EIZ
3 8 4EIZ
精选ppt
12
MxM' x
B L
0 dx EIZ
l MxM' x
2 2
0 dx
ql3
0
EIZ
24EIZ
❖ 在材料力学中，由于每一个具体的问题都要涉及到一定结构 的具体图形，因此，在接到问题，了解了已知条件和要求解的问 题之后，紧接着应该来分析图形的结构性质。很显然，图十为一 对称结构。
❖ 在研究莫尔定理之前，首先应明确：在这一章中，我们将学 习两种能量方法：1，莫尔定理。2，卡氏定理。其中莫尔定理是 今天这节课的内容。并且，在变形能概念的基础上来研究莫尔定 理。
精选ppt
3
二.定理证明：
1．在原始载荷P1、P2、P3……单独作用下，梁内变形能U
U M2xdx
L 2EIZ
—— <a>
况下梁内的变形能。即<c>式。
精选ppt
8
U1 LM0x2EM ZI x2dx
M02xdx M2xdx MxM0xdx
L 2EZI
L 2EZI
L EZI
4.根据变形能与加载方式无关的道理得：
U1 U1
f LMxEM IZ0xdx
——计算挠度的莫尔定理
5.推论：同样的道理，如果我们要求截面的转角，也只需在C 截面上施加一个单位力偶，用上述同样的方法可求出：
§2-4 莫尔定理
——计算线弹性结构变形的一种非常有效的工具
一．定理：
M(x)M(x)dx ——计算挠度的莫尔定理
l
EI
其中：
f —— 线位移
Mx ——在原始载荷P1、P2、P3作用下，X截面弯矩。
M (x)
——在预加单位载精荷选ppPt 0=1
作用下，X截面的弯矩。 1
P1 P2 P3
C EI 2
〈对于横截面高度远小于轴线曲率半径的平面曲杆，其弯曲正 应力分布规律接近于直梁，如再省略轴力和剪力的影响，可将计 算直梁变形的莫尔定理推广应用于这类曲杆〉挠度和转角的近似 计算公式：
MsM0s
f
ds
S EIZ
S
MsM0sds
EI
精选ppt
（10-12）
15
式中：S
Ms
M0s
——代表曲杆轴线的弧长 ——载荷作用下，曲杆横截面上的弯矩 ——单位力或力偶作用，曲杆横截面上的弯矩
“+”表示位移的实际方向同假设的单位载荷的方向一致。
“-”表示位移的实际方向同假设的单位载荷的方向相反。
精选ppt
14
为了表示出这两种含义，最后在求出的数值后面应用符号… 标明实际位移方向。
注意：
上述内容为一节课（50分钟）内容。整个板面应控制在两个 板面左右，以提高“讲”的效果。
五.莫尔定理在平面曲杆的应用：
❖ 对于对称结构，在求其某一具体物理量的数值时，只需取其
一个对称部分来进行计算，其结果再乘以对称部分的个数即可。
如图十，可沿梁中截面将梁分为两个对称部分，因此 f c 及 B 可写成左边的形式。
精选ppt
13
❖ 为了区别 f c 及 B 中的 M0 x ，在 B 中的 M0x 改写
成
M
0
P1 P2 P3
C EI 2
P0
C
EI 2
f
l
图七
x
l 图八
2．在P0=1单独作用下，梁内变形能U0
U0
M02 x dx L 2EIZ 精选ppt
—— <b>
4
P1 P2 P3 P 0
C
EI 2
f
l
图七
3. 采用先加P0 =1，然后再加P1、P2、P3…..的加载方
式时，梁内的变形能 U 1
精选ppt
9
c LMxEMIZ0xdx
U1
——计算转角的莫尔定理
EI 2
M0
三.总结：
C
xl
1.莫尔定理——单位力法
图九
2.适用范围——线弹性结构
四.应用举例：
例1：如图所示：简支梁AB，跨长为L，抗弯刚度为EI Z
。其上受均布载荷作用，载荷集度为q，试求出梁跨中点C的
挠度 f c 及端面B的转角 B 精选ppt
ຫໍສະໝຸດ Baidu
P0作用下：
U0
M20xdx
L 2EIZ
——<b>
P1、P2、P3……作用下：
M2xdx
U L
2EI精Z选ppt
——<c>
5
P1 P2 P3
C EI 2
U 1 EI 2
f
l
图七
P0
C
EI 2
l 图八
f
M0
l
精选ppt
6
图九
❖在产生 f变形过程中，P0做功： P0 f ——转变成变形能储存于弹性体中，从而可求出梁
f
x l
图七
P0
C
EI 2
x
l 图八
精选ppt
2
❖ 对于图六的情况：由于该梁是一横力弯曲梁，即在横截面上 不仅有弯矩，而且还有剪力，因此在梁的变形中，弯矩不仅要产
生影响，剪力也要产生影响，但当
L H
4
时，剪力的影响相对
于弯矩的影响来说是很小的， 故可略而不计，而近似地认为梁的
变形都是由于 Mx 的影响而产生的。
M2xdx
U
L 2EIZ
❖ 在进行第二步计算之前应明确：弹性体内所储存的变形能只 与外力和位移的最终数值有关，而与加载方式无关；基于这个道
理，在此分别研究梁在不同的加载方式作用情况下，变形能的情 况。
❖ 此时应强调P1、P2、P3…对梁的作用效果并不因预先在C点作 用了单位载荷而有所改变，因此得出：由于P1、P2、P3…的作用 ，C点产生的位移 f ' 应等于f；产生的变形能也应等于图七情
x
的形式。
例题总结：
1.从莫尔定理的证明过程及例题的分析过程中，可以看出莫尔
定理实质上就是单位载荷法。若要求某一点的线位移，只需在该 点上沿着线位移的方向作用一单位集中力就行了。若要求解一截
面的转角，也只需在该截面上作用一单位力偶就行了。
2． fc
5ql 4 384EIZ
B
ql3 24EIZ
中的正负号所表示的含义：
U 1 U 0 U P 0 f L M 2 E 2 0 Z x d I x L M 2 2 E x Z dI 1 x f ——<d>
4. 采用将P0、（P1、P2、P3……）同时作用于梁上的加 载方式时X截面弯矩:
M 0xM x ——根据叠加原理
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7
❖ 在求U之前，应将图六和图七进行比较，即可发现图七实质 上是图六的计算简图，因此，此时梁内的变形能仍应为：
10
q
EI z RA
C
x
l
P0 1
C
RB
EI 2
1/2 x l
EI 2
1/ 2
M0 1
fc ?、B?
1/ L
l
1/ L
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解：〈一〉求支反力RA，RB
由对称性：
RA
RB
ql 2
〈二〉求 f c 及 B
M xRAxq22xq2xlq22x
0 x l 2
M0
x
1 2
x
M' x x
0
l
fc
L
MxM0xd
EIZ
x
2 l2 MxM0xdx 5ql4
0
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3 8 4EIZ
精选ppt
12
MxM' x
B L
0 dx EIZ
l MxM' x
2 2
0 dx
ql3
0
EIZ
24EIZ
❖ 在材料力学中，由于每一个具体的问题都要涉及到一定结构 的具体图形，因此，在接到问题，了解了已知条件和要求解的问 题之后，紧接着应该来分析图形的结构性质。很显然，图十为一 对称结构。
❖ 在研究莫尔定理之前，首先应明确：在这一章中，我们将学 习两种能量方法：1，莫尔定理。2，卡氏定理。其中莫尔定理是 今天这节课的内容。并且，在变形能概念的基础上来研究莫尔定 理。
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3
二.定理证明：
1．在原始载荷P1、P2、P3……单独作用下，梁内变形能U
U M2xdx
L 2EIZ
—— <a>
况下梁内的变形能。即<c>式。
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8
U1 LM0x2EM ZI x2dx
M02xdx M2xdx MxM0xdx
L 2EZI
L 2EZI
L EZI
4.根据变形能与加载方式无关的道理得：
U1 U1
f LMxEM IZ0xdx
——计算挠度的莫尔定理
5.推论：同样的道理，如果我们要求截面的转角，也只需在C 截面上施加一个单位力偶，用上述同样的方法可求出：
§2-4 莫尔定理
——计算线弹性结构变形的一种非常有效的工具
一．定理：
M(x)M(x)dx ——计算挠度的莫尔定理
l
EI
其中：
f —— 线位移
Mx ——在原始载荷P1、P2、P3作用下，X截面弯矩。
M (x)
——在预加单位载精荷选ppPt 0=1
作用下，X截面的弯矩。 1
P1 P2 P3
C EI 2
〈对于横截面高度远小于轴线曲率半径的平面曲杆，其弯曲正 应力分布规律接近于直梁，如再省略轴力和剪力的影响，可将计 算直梁变形的莫尔定理推广应用于这类曲杆〉挠度和转角的近似 计算公式：
MsM0s
f
ds
S EIZ
S
MsM0sds
EI
精选ppt
（10-12）
15
式中：S
Ms
M0s
——代表曲杆轴线的弧长 ——载荷作用下，曲杆横截面上的弯矩 ——单位力或力偶作用，曲杆横截面上的弯矩
“+”表示位移的实际方向同假设的单位载荷的方向一致。
“-”表示位移的实际方向同假设的单位载荷的方向相反。
精选ppt
14
为了表示出这两种含义，最后在求出的数值后面应用符号… 标明实际位移方向。
注意：
上述内容为一节课（50分钟）内容。整个板面应控制在两个 板面左右，以提高“讲”的效果。
五.莫尔定理在平面曲杆的应用：
❖ 对于对称结构，在求其某一具体物理量的数值时，只需取其
一个对称部分来进行计算，其结果再乘以对称部分的个数即可。
如图十，可沿梁中截面将梁分为两个对称部分，因此 f c 及 B 可写成左边的形式。
精选ppt
13
❖ 为了区别 f c 及 B 中的 M0 x ，在 B 中的 M0x 改写
成
M
0
P1 P2 P3
C EI 2
P0
C
EI 2
f
l
图七
x
l 图八
2．在P0=1单独作用下，梁内变形能U0
U0
M02 x dx L 2EIZ 精选ppt
—— <b>
4
P1 P2 P3 P 0
C
EI 2
f
l
图七
3. 采用先加P0 =1，然后再加P1、P2、P3…..的加载方
式时，梁内的变形能 U 1
精选ppt
9
c LMxEMIZ0xdx
U1
——计算转角的莫尔定理
EI 2
M0
三.总结：
C
xl
1.莫尔定理——单位力法
图九
2.适用范围——线弹性结构
四.应用举例：
例1：如图所示：简支梁AB，跨长为L，抗弯刚度为EI Z
。其上受均布载荷作用，载荷集度为q，试求出梁跨中点C的
挠度 f c 及端面B的转角 B 精选ppt
ຫໍສະໝຸດ Baidu
P0作用下：
U0
M20xdx
L 2EIZ
——<b>
P1、P2、P3……作用下：
M2xdx
U L
2EI精Z选ppt
——<c>
5
P1 P2 P3
C EI 2
U 1 EI 2
f
l
图七
P0
C
EI 2
l 图八
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M0
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图九
❖在产生 f变形过程中，P0做功： P0 f ——转变成变形能储存于弹性体中，从而可求出梁
f
x l
图七
P0
C
EI 2
x
l 图八
精选ppt
2
❖ 对于图六的情况：由于该梁是一横力弯曲梁，即在横截面上 不仅有弯矩，而且还有剪力，因此在梁的变形中，弯矩不仅要产
生影响，剪力也要产生影响，但当
L H
4
时，剪力的影响相对
于弯矩的影响来说是很小的， 故可略而不计，而近似地认为梁的
变形都是由于 Mx 的影响而产生的。
M2xdx
U
L 2EIZ
❖ 在进行第二步计算之前应明确：弹性体内所储存的变形能只 与外力和位移的最终数值有关，而与加载方式无关；基于这个道
理，在此分别研究梁在不同的加载方式作用情况下，变形能的情 况。
❖ 此时应强调P1、P2、P3…对梁的作用效果并不因预先在C点作 用了单位载荷而有所改变，因此得出：由于P1、P2、P3…的作用 ，C点产生的位移 f ' 应等于f；产生的变形能也应等于图七情
x
的形式。
例题总结：
1.从莫尔定理的证明过程及例题的分析过程中，可以看出莫尔
定理实质上就是单位载荷法。若要求某一点的线位移，只需在该 点上沿着线位移的方向作用一单位集中力就行了。若要求解一截
面的转角，也只需在该截面上作用一单位力偶就行了。
2． fc
5ql 4 384EIZ
B
ql3 24EIZ
中的正负号所表示的含义：