华师版八年级上册数学第十一章第一节平方根和立方根(第一课时)

（3）如果有一个正方形的面积为10平方米，那么
它的边长是多少呢？
填空：
3
2
=( 9 )
2
(－3 ) = ( 9 ) 1 2 1 (2 ) =( 4 ) 1 1 2 (－ ) =( 4 ) 2 2 0 =( 0 ) 什么叫乘方？什么叫幂？
( ±3 ) = 9
2
1 2 1 (± ) = 4 2 2 ( 0 ) =0
a≤2
（ 2 ）求（ 4 ） ，（ 9 ） ， （ 25 ） ， （ 49 ） ， （ 0 ）的 值 ， 对 于 任 意 非 负 a 数 ，（ a ） ？
2 2
2
2
2
2
若 （x 3 ） x 3 0， X≤0 则x的 取 值 范 围 是 。
2
计算各式中 x的 值 ： （ 1 ） 9x 2 256 0 （ 2 ） x 2 100 0
0.81 表示0.81 的算术平方根， 0.81 =0.9
(2) 25 表示25的算术平方根的相反数,
25
= -5
wenku.baidu.com知
x y 4 | x 2 y 5 | 0求x，y的值．
解：根据题意得 x y 4 和 | x 2 y 5 | 均为非负数,
x y 4 | x 2 y 5 | 0
2 （ 3 ） 4 （ 2x 1 ） 25 0
补充练习；
1. 16的 算 术 平 方 根 是 ； 2 5 12 。 13
2 2
2 ２ .若 2x 5 4，则（ 2x 5 ） 。
256
３ .当a 时， 9a2的算术平方根为 3a。
由非负数的性质得： x y 4=0 且 | x 2 y 5 | =0 x y 4 0 所以 x 2y 5 0 x 3 解方程组得， y 1
我们已学习了3种非负数，即绝对值、 偶数次方、算术平方根。几个非负数 的和为零，它们就同时为零，然后转 化为方程（或方程组）来解。
小结 & 归纳
1.本节课引入了新的运算------开方运算，开 方和乘方互为逆运算，从而完备了初等代数中 六种基本代数运算（加、减、乘、除、乘方、 开方），这对代数内容学习有着重要的意义。 2.本节主要学习了:①平方根的概念； ②平方 根的性质：一个正数有两个平方根，它们互 为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根； ③平方根的表示方法；④求一个数的平方根 的运算—开平方，应分清平方运算与开平方 运算的区别与联系. 3.算术平方根的定义及表示方法
归纳总结
算术平方根的完整定义
正数a的正的平方 根叫做a的算术平方 根，0的平方根也叫 做0的算术平方根。
探索 & 交流
3 （1）9的算术平方根是＿＿ 3 （2） 9 的算术平方根是＿＿ 0.1 （3）0.01的算术平方根是＿＿ 10 （4） 10 的算术平方根是＿＿ 4 （5）(－4)2的算术平方根是＿＿ 0 或 1 （6）算术平方根等于它本身的是＿＿
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
121 144 169 196 225 256 289 324 361 400
补充讲解
下列式子表示什么含义？你能求出它们的值吗？ (1) (4)
0.81；
(2)
25
(5)
2
;
(3)
0
( 23)
；
2 ．
23
2
； (5)
； (6)
解：(1)
( ±3 ) = 9
1 2 1 (± ) = 4 2
2
( 0 ) =0 ( 不存在 ) =－4
2
2
得出：一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 零有一个平方根，它是零本身； 负数没有平方根。
随堂练习1
1、检验下面各题中前面的数是不是后面的数的平方根。 （1）±12 , （3）10
2
144
4
，10
是 是
例：x为何值时，下列各式有 意义？
（ 1 ） 2x （ 2 ） x （ 3 ） x 1 （ 4 ） 1 x x
x 1 2 2 （ 5 ） （ 6 ） x （ 7 ） x 1 （ 8 ） 2 x1 x
（ 9 ） x 2 4 2x
已知a、b满足： a 5 2 10 2a b 4，求a、b的值。
(2) 3 81 的算术平方根是＿＿＿． 算术平方根等于它本身． 0和1 ⑶＿＿＿ ⑷若 ⑸若
4 x 2 , 则 x _____ 6 3 x 3 ,则 x ____
(6)若
3 x x 3 ,则
2
x3
3.已知
x 2y 9 与
x y 3 互为相反
2
2
2 有多大?
因为
2 ( ) 1 < 2 < 2 2 2
所以
1 <
2
2 < 2
2
因为 1.4 < ( 2 ) < 1.5 2 所以 1.4 <
… …
1.414 <
2 < 1.5 2 < 1.415
逼 近 法
2 = 1.4142135623730950 …
无限不循环小数!
学以致用
判断下列各数有没有平方根，若有，求其平方根。若没有， 说明为什么。 25 1 2 （1） 0.81 （2） 36 （3） 2 （4） （－2 ） 4 （5 ）9 （6）0 （7）－100 （8） 10
2
解： （1）∵ 0.9 0.81 ∴0.81的平方根是 0. 9,即 0.81 0.9 （2） 5 2 25 25 5 ∵ 6 36 ∴36 的平方根是 6 ，即 25 5 2 0.9 0.81 36 6 （7）∵ －100 是负数，∴ －100 没有平方根；
( ) =－ 4 不存在
2
已知底数、指数，求幂。 已知幂、指数，求底数。
乘方运算
乘方的逆运算
请认清：
底数
X =
2
指数
a
幂
a是x的平方幂 ，
x是a的平方根。
请同学们概括一个数的平方根的性质：
3
2
=( 9 )
2
(－3 ) = ( 9 ) 1 2 1 ( 2) =( ) 4 1 2 1 (－ ) =( ) 4 2 2 0 =( 0 )
（2）±0.2 , 0.04 是 （4）14 ，256
不是
2、选择题 （A）0.1
（1） 0.01的平方根是 （ B ） （B）±0.1 （C）0.0001 （D）±0.0001
（2）∵ （0.3） = 0.09
（A）0.09 是 0.3的平方根.
（ C （B）0.09是0.3的3倍.
2
∴
）
（C）0.3 是0.09 的平方根.
36=＿＿ 1.44=＿＿ 1 2 =＿＿ 25=＿＿ 4
(1) 、如果－5是某数的平方根，那么这个数 是（ ） (2)、36的平方根记作（ ），值是（ ）。 (3) 、若15是m的一个平方根，则m的另一个 平方根是________. (4) 、9平方根是________，的平方根是 ________.
2
× ）
√ ）
×
)
则X = 4
（ × ）
2. 问：3 有没有平方根 ？ 若有 ，怎样表示？没 有，说明为什么 ？
认清：一个数的平方根的表示方法：
非负 数m 即 正的平方根表示为： ＋ 负的平方根表示为： － m的平方根表示为：
2
m m
m
2
m
简写为±
m
如：49 的平方根是 ± 则： ± 49 =±7
已知b a 6 3 18 3a 3，求a b的平方根。
探究：
（ 1 ）求 2 ， （ 3 ）， 5 ， （ 6 ）， 7 ，
2 2 2 2 2
0 的值，对于任意数 a， a ？
2 2
2 4或-2 。 练习： 1. （m 1 ） 3，则m
2 ２ .若 （a 2 ） 2 a，则a的取值范围是 。
例：求 31的整数部分和小数部分 。
解：31的整数部分是 5
31的小数部分是 31 5
小数部分=原数-整数部分
思考： 7 7的整数部分与小数部分 。
学以致用
1. 当x为何值时,下列各式有意义? (1) x 1 ； (2) 2 3 x ；(3) x - 2 2 x
3 2. (1) ３的算术平方根是＿＿＿．
≥0
-5 互为相反数 此时a与b的关系为 。
4. 5 a b的最大值为 ，
５ .已 知 （ ｘ １ ） y 2 z 3 0
2
求x y z的 算 术 平 方 根 。
思考：
1.下列各式哪些有意义，哪些没 有意义？ （1）- 4 （2） 4 （3） 3 （4） 32
数,求xy的算术平方根．
4.如果一个正数的算术平方根为m，则比这个数大
2 ２的数的算术平方根是____________ m 2
5、判断： • （1）5是25的算术平方根； ( √ ) • （2）-6是 36 的算术平方根； ( ×) • （3）0的算术平方根是0； ( √) • （4）0.01是0.1的算术平方根； ( × ) • （5）-5是-25的算术平方根； ( ×) • （6）5的算术平方根是 5 。 ( √)
（D）0.3不是0.09的平方根.
练习2：
1. 判断下列说法是否正确：
（1）－9的平方根是－3; ( × )
（2）49的平方根是7 ；
2
( （
（ (
×
)
）
（3）（－2） 的平方根是±2 ；（ √
（4）1 的平方根是 1 ；
（5）－1 是 1的平方根; （6）7的平方根是±49. （7）若X = 16
回顾 & 思考 ☞
1、我们已经学习过哪些运算？它们中互 为逆运算的是？ 答：加法、减法、乘法、除法、乘方 五种运算。 加法与减法互逆；乘法与除法互逆。
2、乘方有没有逆运算？
8米
8米
？
（图一）
？
100米2
（图二）
2
64米 （1）图一的正方形的面积为＿＿＿＿＿；
10米 （2）图二的正方形的边长为＿＿＿＿＿；
49
3的平方根是：
±
3
请熟悉：
根号
根指数
2
m
被开方数 （m≥0)
读作： 二次根号m
简写为：
m
读作： 根号m
开平方： 求一个数a(a≥0)的平方根的运算，叫做开平 方，开平方运算是已知指数和幂，求底数。 是不是所有的数都能进行开平方运算？ 不是，只有正数和零才能进行开平方运算。
由于平方与开平方互为逆运算，因此可以通过 平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运 算来检验一个数是不是另一个数的平方根。