直角三角形分类讨论

y
1 x 1 的图象与x轴交于点 2 1
解：(1)将 B(0，1)，D(1，0)的坐标代入
y＝ 1 x2＋bx＋c 得 2
c 1, 1 2 3 得解析式 y＝ x － x＋1 1 2 2 b c 0. 2 (2)当 P 为直角顶点时， 如图：过 C 作 CF⊥x 轴于 F．
C
D
B
A
解：当∠EDB=90°，则BE=2BD=2， A→B时， t= 4-2=2 B→A 时， t= 4+2=6（舍去） 1 1 当∠BED=90°，则BE= BD= ， 2 2 A→B时， t= 4－0.5 =3.5 B→A 时， t= 4+0.5=4.5 综上所述， t 的值为2或 3.5或4.5， 选D.
1
3-x
x
分析：按照直角顶点进行分类—— 根据勾股定理分类列方程
第一步 无需画图——罗列三边长 第二步按照直角顶点进行分类——根据勾股定理分类列方程
1
1 x
3－x 3－x
(3 x) 2 x 2 12
①A为直角顶点 ②B为直角顶点 ③C为直角顶点
12 (3 x) 2 x 2
x 2 (3 x) 2 12
3 在 Rt⊿B′EC 中，由勾股定理解得 x 2
B′ x E B′ x 2 4-x 图①
图②
E
③当 B ' CE 90 时，即 B ' 落在 CD 上， AB AB ' 3 ， 此时在 Rt⊿ADB′中，斜边 AB ' 小于直角边 AD ，
3 2
因此这种情况不成立。 【答案】 3或
1
3-x x
3-x
（1）求x的取值范围
1
1
3-x x
3-x
x 1 3 x 解：∵ 1 3 x x x 3 x 1
分析：由“三角形任意两边之和大于第三边 ”可列出不等式组，进而求出x的取值范围.
∴
1 x 2
（2）若△ABC为直角三角形， 求x的值.
参考答案：（1） y=x2+2x﹣3；
（2） S最大值
，此时点P的坐标为（﹣
，﹣
）
（3）点M的坐标
30°
在Rt△AED中,∠ADE=∠C=30°,
5 AD=2AE,即10-2t=2t,解得 t 2
如图：当∠DEF=90°，
1 1 AD AE , 即10 2t t , 解得 t 4. 2 2
∠EFD=90°，此种情况不存在
5 综上所述，当 t 或t 4时， 2 △DEF为直角三角形
注意：根据题意分情况正确画出相应图形是解决问题的关键 . ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．
上面解决问题的方法我们简单说成几何法
几何法三部曲： 先分类；
再画图；
后计算．
二、例题研讨：
1.已知A、B是线段MN上的两点，MN=4， MA=1，MB>1，以A为中心顺时针旋转点 M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N 两点重合成一点C，构成△ABC，设 AB=x，（1）求x的取值范围；（2）若 △ABC为直角三角形，求x的值. 1
∵Rt△BOP∽Rt△PFC，∴ BO OP ．
PF
CF
即 1
aຫໍສະໝຸດ Baidu 4a 3 整理得 a2 －4a＋3＝0．
解得 a＝1 或 a＝3 ∴所求的点 P 的坐标为(1，0)或(3，0) 综上所述：满足条件的点 P 共有 2 个。
三、小结
1、直角三角形指代不明应分类讨论.
2、直角三角形的分类方法. 让每个顶点分别为直角顶点
3.几何法：根据题意分情况正确画出相 应图形是解决问题的关键.
（每种情况的图形分开画，不要在一个图上画来画去）
4.代数法：解方程后要检验.
四、课后练习
1.如图Rt⊿ABC中，∠ACB=90°， ∠ABC=60°，
BC=2cm,D为BC中点，若动点E以1cm/s的速度，从点 A出发，沿着A→B→A的方向运动，设点E的运动时间 为t秒(0≤t＜6),连接DE，当⊿BDE为直角三角形时，t的 值为（ ） A A.2 B.2.5或3.5 C.3.5或4.5 E D.2或 3.5或4.5
5 x 3
此题解决问题的方法我们简单说成代数法
代数法三部曲：
先罗列三边长（或三边的平方）
再分类列方程 (根据勾股定理列)
最后解方程，并检验．
代数法：无需分类画图
只需分类求解
但有时计算量大，有时有些题不适 合用（如前面三题）.
建议：根据题意 选择合适的方法
3.已知：如图一次函数 A，与y轴交于点B；二次函数 y x 2 bx c 的图象 2 1 与一次函数 y 2 x 1的图象交于B、C两点，与x轴 交于D、E两点且D点坐标为(1，0) (1)求二次函数的解析式； 1 2 (2)在x轴上是否存在点P， 使得△PBC是以P为直角 顶点的直角三角形？若存 在，求出所有的点P，若 不存在，请说明理由．
而∠EFD不会等于90°，因此应分两种情况讨论.
关键是分类讨论时把图画对.
(画图时注意：由（2）知四边形AEFD为平行四边形， 因此不论哪种情况的图形都应保证AE和FD平行且相 等.) 即：当∠ＥＤＦ=90°时 当∠DEF=90°时
根据这两个图运用30°角直角三角形性质很容易求出 ｔ的值.
如图：当∠EDF=90°，
第三步 解方程
1 x 3 －x
①A为直角顶点 (3 x) 2 x 2 12 x 4 3 ②B为直角顶点 12 (3 x) 2 x 2 x 2 3x 4 0无实数根 ③C为直角顶点 x 2 (3 x) 2 12
5 x 3
∵1
x2
4 ∴x 3
（2013 河南 15 题） 如图， 矩形 ABCD 中，AB 3, BC 4 ,点 E 是 BC 边上一点，连接 AE ，把 B 沿 AE 折叠，使点 B 落在点 B ' 处，当△
CEB ' 为直角三角形时， BE 的长为
【解析】此题将折叠（或翻折） 、分类讨论和转化几种方法综合应用， 由△CEB′为直角三角形分类讨论，画出图形后可转化为两个一般折叠求边长问题.
中考复习专题
一、原题再现：
（2011河南22题）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，
BC= 5 3 ，∠C=30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒 2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿 AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中 一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E 运动的时间为t秒（t>0），过点D作DF⊥BC于点F，连结 DE、EF. （1）求证：AE=DF.
① 当 EB ' C 90 时，由题可知： ABE AB ' E 90 , 即： A, B ', C 在同一直线上， B ' 落在对角线 AC 上，如图① （转化为我们经常做的题目） 此时，设 BE x ，则 B ' E x ， CE 4 x, B ' C AC AB ' 2 ，
2
参考答案：（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x﹣5；
（2）直线FA的解析式为y=﹣x﹣1；
（3） P（0，﹣1）或（2，﹣3）
3.（2013•攀枝花）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过 点A（﹣3，0），B（1,0），C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P为第三象限内抛物线上的一点， 设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出 此时点P的坐标； （3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E， 在y轴上是否存在点M，使得△ADM是 直角三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
E
C
D
B
A
E C D B
2. （2012赤峰）如图，抛物线 y x bx 5 与x轴交于A．B两点（点A在点B的左侧），与y轴交 于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线 AF交y轴于点E， OC：OA=5：1． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线AF的解析式； （3）在直线AF上是否存在点P， 使△CFP是直角三角形？若存在， 求出P点坐标；若不存在，说明理由．
（2）四边形AEFD能成为菱形吗？
如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.
（3）当t为何值时，△ DEF为直角三角形？请说 明理由.
（3）当t为何值时，△ DEF为直角三角形？
请说明理由.
由（2）知四边形AEFD为 平行四边形，因此不论哪 种情况的图形都应保证AE 和FD平行且相等.
分析：由于直角顶点不明确，显然应分类讨论。