第22章 22.2 二次根式二次根式的乘除法 (第1课时 二次根式的乘法及积的算术平方根)
二次根式乘除法PPT课件
酶
NADP+ + 2e + H+
NADPH
• 在电子传递过程中还形成了什么物质？ 写出其反应式。
ADP + Pi + 能量(电能) 酶 ATP
• 电能转换成的活跃的化学能，贮存在什么 物质中？
贮存在NADPH 和 ATP 中
• 活跃的化学能意味着什么?
意味着能量很容易释放，供碳反应阶 段合成有机物利用。
(3) 1000 0.1
(4) 3 2 23
(5) 24 3
1 121 225 2 4 7
(3) 49121 (4) 225
(5) 18
(6) 4 y
7 18 24
2. 化简：
（1） 72 52
（3） 2000
3. 化简
（1） 4a 2b3
（2） 16 81
（4） 532 282
NADPH
ATP的形成： ADP+Pi + 电能 酶（活A跃TP化学能）
碳反应
二氧化碳还原为糖的一系列反应成为碳 循环，又称卡尔文循环。
(二）碳反应阶段
碳反应总结
场所： 叶绿体的基质中
条件： 多种酶、 [H] 、ATP
物质变化：
CO2的固定： CO2＋C5
酶 2C3
酶
C3的还原：
2C3 NADPH
根式运算的结果中，被开方数应不含能开 得尽方的因数或因式。
思考：
（ 4）（ 9） 4 9对吗 ?
怎样化简 （ 4）（ 9）呢？你有哪些方法？
(1) abc与 a b c是否相等？ a、b、c有什么限制？
(2)化简：4a 4bc4
九年级上册数学第二十二章
例1 解
计算： 3 2 + 3 − 2 2 − 3 3 ．
3 2 + 3 −2 2 −3 3
= (3 2 − 2 2 ) + ( 3 − 3 3 )
= 2 −2 3． 思考
计算： 8 + 18 + 12 ．
分析
先将各二次根式化简：
8 = 4× 2 = 4 × 2 = 2 2 ， 18 = ______________________， 12 = ______________________． 解 8 + 18 + 12
阅读材料 ........................................................................................5 §22.2 二次根式的乘除法 ................................................................5 1．二次根式的乘法 ......................................................................5 2．积的算术平方根 ......................................................................6 3．二次根式的除法 ......................................................................7 §22.3 二次根式的加减法 ...................................................................9 小结.....................................................................................................12 复习题.................................................................................................12
《二次根式的乘除》课件
目录
• 二次根式的乘法规则 • 二次根式的除法规则 • 二次根式的混合运算 • 二次根式的乘除在实际问题中的应用 • 总结与回顾
01
二次根式的乘法规则
定义与性质
定义
二次根式是指形如√a（a≥0）的代数式。
性质
二次根式具有非负性，即√a≥0。
乘法运算规则
规则
对于任意实数a、b（a≥0，b≥0），有√a×√b=√(a×b)。
在此添加您的文本16字
根据除法规则，$frac{sqrt{5}}{sqrt{2}} = sqrt{frac{5}{2}} = frac{sqrt{10}}{2}$。
在此添加您的文本16字
例3：计算$sqrt{3} + sqrt{2} - frac{sqrt{5}}{2}$。
在此添加您的文本16字
先进行乘除运算，再进行加减运算，$sqrt{3} + sqrt{2} frac{sqrt{5}}{2} = sqrt{3} + sqrt{2} - frac{sqrt{5}}{2}$ 。
02
二次根式的除法规则
定义与性质
定义
二次根式是指形如√a（a≥0）的代数式。
性质
二次根式具有非负性，即√a≥0。
除法运算规则
规则
对于任意实数a和b（b≠0），有√a/√b=√(a/b)。
注意事项
在进行二次根式的除法运算时，需要保证分母不为0，即b>0。
除法运算实例
实例1
计算√10/√2的结果。
金融领域的应用
假设某项投资的年化收益率为10%，要求计算投 资回报。可以使用二次根式乘除运算，即年化收 益率 = (投资回报 / 本金)^(1/年数) = (1.1 / 1)^(1/2) = 10%√(2) = 14.42%。
第22章初中数学
D. 5 个
98 =______ 7.化简 （1）
1 4
2 =_____
5
3
+9 （5）
1
（2） 4 + 9
x 2 +y 2 x2 y2
（3） 4 2
1
（4）2
5 9
【主动探究】 最简二次根式的条件 1. 被开方数的因数是______ 因式是________ 2. 被开方数中不含能开得尽方的________ 【例题讲评】 例 1 把下列各式化成最简二次根式 （1）3
2. a 为 3的整数部分，b 为 3的小树部分，求 3. 若 x，y 为实数，且 y=
x 2 −4+ 4−x 2 +1 x+2 1 a
的值
求 x+y ， x−y
4. 已知 a 为实数，化简： −a3 —a −
§22.3 二次根式的加减法
【教学目标】 理解同类二次根式的相关概念，并能熟练进行二次根式的加减法运算 【课前练习】 1. 化简 （1） 18 （2） 27 (3) 12 (4) 8 2.观察以上二次根式的特征及关系，得出几个二次根式化成最简二次根式以后，如果 ___________的几个二次根式叫同类二次根式 3.下列各式中哪些是同类二次根式 （1）2 12 ， 27； （3） 2ab ，3 8ab ; 5. （2） 50 ，3 8 ； (4) 3a2 b , 27ab 2
2
2
= （x − 2）
2
则 x 的取值范围是 _______
3. 已知：|x—3|+ y— 6 = 0 则以 x、y 为两边长的等腰三角形的周长是______ 4. 数 a、b 在数轴上的位置如图所示。化简 （a + 1） + （b − 1） — （a − b）
22.2 二次根式的乘除法 课件(华师大版九年级下册) (8)
2
＝
4a b
4
·
2 3
在本章中, 如果没有 特别说明, 所有的字 母都表示 正数.
a
2 ·
b
3 ＝
2ab b
0, b 0
思考;若(2)的条件为 a 则化简结果是什么?
问题1：
(4) (9) 4 9
9 16
2 2
吗？
问题2： 9 16
2 2
5 3 5 3
a =∣a∣
计算下列式子.并观察他们之间有什么联系?
(1) 4 25 (3) 16 9 1 (5) 4 36
= = =
(2) 4 25 (4) 16 9 1 (6) 4 36
能用字母表示你所发现的规律吗?
一、二次根式乘法法则：一般地有
a b a b (a 0,b 0)
（ 3）
3x
× 1 xy
3
1. 计算：
（ 1）
2×
5
（ 2）
3
×
12
1 72
（3） 2
xy
1 · （ 4） x
288×
（ 2）
(4)
2. 化简： （ 1）
（ 3）
49 121
225
4y
16ab c
2 3
1、比较大小
（ 1） 4
3和 5 2 6
和
（2）比较－7
－6 7
2、已知
(99 x)( x 99) 99 x x 99 x 3x 2 求（x 1） 的值 . 2 x 1
注意：
吗？
a b× a b
化简二次根式的步骤：
1.将被开方数尽可能分解成几个平方数. 2、应用
《二次根式的乘除》二次根式PPT课件2
ab
c(a b)(a b) 0
c(a b)(a b)
a b 0
1• c(a b) c(a b) • c(a b)
c(a b)
c(a b)
a b 0, a b 0 c 0
原式 c(a b) c(a b)
多项式先因式分解,再乘除
二次根式的乘除法： （默2）
根式和根式按公式相乘除。 根号外的系数与系数相乘除，积为结果的系数
5b 5
5
计算
(1) 1 2 3
1 3
51 33
5
5 3
3
53 3
5
(2)9
1 3 48 2
3 4 9
1 2 48 3
4 9 2 33
1 4 6 48 3
1 1 36
(3)5 180 2 5 3 5 2 180 5 3 5 12 5 3
2
点评：也可以用“除以一个数，等于乘以这个数 的倒数”的法则进行计算．
(2) 0.03 3
积和商的二次根式的性质:
ab a b, (a 0,b 0)
a a bb
(a 0,b 0)
反过来:
二次根式乘除运算法则 （默1））
a b ab(a o,b 0), a a (a 0,b 0) bb
二次根式相乘：被开方数相乘， 根指数不变； 化简。
你能用上面二次根式乘法法则来计算吗？
(1) 6 · 2 3; 3
(2) 15 24 · 3. 6 54
计算(字母为正数) (1)2 6 6 2 2 6 6 2 12 3 4 24 3
(2) 1 32 2
1 32 16 4 2
(3) 24x 18x 4 6x 63 12 3x
(4)6 3a2b2 1 12a2 6 36a4b 36a2 b
《二次根式乘除》课件
在进行二次根式的除法运算时，可以 先将除法转化为乘法，再进行根式的 乘法运算。例如： $frac{sqrt{2}}{sqrt{3}} = sqrt{frac{2}{3}}$。
与有理数混合运算
有理数与二次根式相乘
有理数与二次根式相乘时，可以直接将有理数与根号内的数相乘，再开相同的根号得出结果。例如： $2 times sqrt{3} = 2sqrt{3}$。
乘法运算规则
规则
两个二次根式相乘，其结果是被乘数 和乘数的乘积的平方根，即$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（ $a, b geq 0$）。
举例
$sqrt{2} times sqrt{3} = sqrt{2 times 3} = sqrt{6}$。
特殊情况处理
计算 $(sqrt{5} + sqrt{3})(sqrt{5} - sqrt{3}) + (sqrt{2} + 1)^{2} - (sqrt{2} 1)^{2}$
计算 $frac{sqrt{3}}{sqrt{2}} times frac{sqrt{2}}{sqrt{3}} div (frac{sqrt{6}}{sqrt{2}} times frac{sqrt{2}}{sqrt{6}})$
性质
二次根式具有非负性，即$sqrt{a} geq 0$（当$a geq 0$） 。
除法运算规则
运算法则
二次根式的除法运算可以转化为乘法运算，即$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$（当$a geq 0$，$b > 0$）。
运算顺序
在进行二次根式的除法运算时，应先化简根式，再进行乘法运算。
二次根式的乘除ppt
二次根式的乘除运算可以扩展到更复杂的形式，如分母有理化、根式有理化 等。同时，二次根式的运算法则也可以推广到复数领域，为解决更复杂的问 题提供了基础。
感谢您的观看
THANKS
$=6\sqrt{6}$ 练习题1：$(2\sqrt{5})\times(3\sqrt{7})$
练习题2：$(4\sqrt{3})\times(6\sqrt{5})$
进阶练习题
总结词：灵活运用，注意简化
解答： $=\frac{3\sqrt{3}\times\frac{1}{\sqrt{6}}}{2\sqrt{6}}$ 练习题1：$\frac{(4\sqrt{48})}{(3\sqrt{12})}$
运算结果化简
总结词
二次根式乘除运算的结果需要进行化简，以最简二次根 式的形式表达。
详细描述
化简二次根式乘除运算的结果，需要遵循二次根式化简 的原则。首先，需要消除结果中的分母；然后，需要化 简根式内部的乘除项；最后，需要化简根式外部的乘除 项。
单位转换
总结词
在进行二次根式乘除运算时，需要注意单位转换的问 题。
详细描述
分解因式技巧包括提公因式法、公式法、十 字相乘法等，这些方法可以帮助我们将二次 根式化简为更简单的形式，从而更容易进行
乘除运算。
04
二次根式的乘除注意事项
负数处理
要点一
总结词
二次根式乘除中，对于负数处理，应先确定根式内部的 符号，再进行乘除运算。
要点二
详细描述
在二次根式中，当根式内部为负数时，需要先确定符号 。在进行乘除运算时，应保持根式内部的符号不变，并 将根式外部的符号与根式内部的符号相反。
06
二次根式的乘除总结与展 望
二次根式及二次根式的乘除法ppt课件
3 1 (a b) a b
3
3. (2 mx 3 ny)(3 ny+2 mx) (2 mx)2 (3 ny)2 =4mx-9ny.
8
例4：计算
1. 5 2 3
13 5 5 13
13 5 5 13
13 5
5 13
2. 13 5 0.6 2 3
13
5
13 5 13 0.6 13 5
=- 13 5 5 1 3 13
=- 25 3
9
例4：计算
3. 2m-4n 4 m-2n 1
6
a2
5
2ma 2
3
ma (m 2n)
6 5 1 43
2(m-2n) a2
2ma 2 m 2n
ma
5 4m2a 2
5 2m a 2
5m a
5
3
二、例题和练习
例1：x为何值时，下列各式在实数范围内有意义.
1. 5 x x2
解：
Q
5 x 0, x20
x 5, x 2.
∴x≤5且x≠-2时，原式在实数范围内有意义.
4
二、例题和练习
例1：x为何值时，下列各式在实数范围内有意义.
2. x x
解：Q
x 0, x 0
x 0, x 0.
即x=4，代入不等式得 此时，y-1<0,
y 1. 2
| y 1| (y 1) 1 y 1. 1 y 1 y 1 y
6
二、例题和练习
例3：计算
1. 3 30 1 2 2 0.4 43
解：原式 3 1 30 8 2
4
35
3 32 4
34 2 43 27Fra bibliotek例3：计算
二次根式的乘除2PPT课件
例题２ 化简：
（1） 12
解：(1)
（2） a3 （3） 4a 2b3
(a 0)
(a 0,b 0)
12 3 4 3 4 3 2 2 3
(2) a3 a2 • a a2 • a a a
3 4a2b3 4 a2 b2 b 2ab b
变 : 若(3)的条件为a 0,b 0呢?
解：1. 2 32 2 32 64 8
2.2
1 2
82
1 8 2 2
4 22 4
(3) 2a • 8a
2a • 8a 16a2 4a
二次根式的乘法：
a b ab （a≥0，b≥0）
反过来：
ab a b （a≥0，b≥0）
利用这个等式可以化简一些根式。
试一试：
a 4b a?2 b
2.应用 ab a b
3.将平方项应用 a2 a 化简.
根式运算的结果中，被开方数应不含能开 得尽方的因数或因式。
思考：
（ 4）（ 9） 4 9对吗?
怎样化简（ 4）（ 9）呢？你有哪些方法？
(1) abc与 a b c是否相等？ a、b、c有什么限制？
(2)化简：4a 4bc4
随堂练习
计算
(1) 2 6 (3) 1000 0.1 (4) 3 2
23
(2) 12 3 (5) 24 3
1 121 225 2 4 7
(3) 49121 (4) 225
(5) 18
(6) 4 y
7 18 24
1、比较大小
（1）4 3 和 5 2 解: 4 3 ＝ 48 5 2 ＝ 50
You Know, The More Powerful You Will Be
二次根式的乘除法ppt
二次根式的乘除法运算技巧
乘法运算技巧
$(1)$把每个二次根式化成最简二次根式;$(2)$灵活运用分配律，将每一项分别相 乘。
除法运算技巧
$(1)$把除法转化为乘法，将分子分母分别相除;$(2)$运用约分的方法将分子分母 约去公因式，将其化简。
03
二次根式的乘法运算
二次根式的乘法运算定律
运算法则
分配律
二次根式的混合运算同样适用分配律，即将一个二次根式乘以多个二次根式，等于将这个 二次根式分别乘以每一个二次根式，然后进行相乘。
结合律
二次根式的混合运算同样适用结合律，即将多个二次根式相乘，可以先把其中几个二次根 式乘起来，然后再与其他二次根式相乘。
二次根式的混合运算实例
• 例子1：将 $\sqrt{5} \times (\sqrt{3} + \sqrt{2})$ 进行化简 • 原式 = $\sqrt{5 \times 3} + \sqrt{5 \times 2}$ • = $\sqrt{15} + \sqrt{10}$。 • 例子2：计算 $(\sqrt{2} + \sqrt{3})^{2}$ • 原式 = $\sqrt{2} \times \sqrt{2} + \sqrt{3} \times \sqrt{3} + 2 \times \sqrt{2} \times \sqrt{3}$ • = 2 + 3 + 2 \sqrt{6}$ • = 5 + 2 \sqrt{6}$。 • · 例子1：将 $\sqrt{5} \times (\sqrt{3} + \sqrt{2})$ 进行化简 • · ``` • · 原式 = $\sqrt{5 \times 3} + \sqrt{5 \times 2}$ • · = $\sqrt{15} + \sqrt{10}$。 • · ``` • · 例子2：计算 $(\sqrt{2} + \sqrt{3})^{2}$
二次根式的乘除课件
乘法运算规则
01
两个二次根式相乘，其结果是被 开方数相乘，根号不变。
02
例如：$\sqrt{3} \times \sqrt{4} = \sqrt{3 \times 4} = \sqrt{12}$
实例解析
计算实例
$\sqrt{5} \times \sqrt{10} = \sqrt{5 \times 10} = \sqrt{50}$
在进行乘法运算时，需要将二次根式 进行相乘，并化简为最简二次根式。 具体来说，如果两个二次根式的被开 方数相同，则它们可以进行相乘；如 果两个二次根式的被开方数不同，则 需要先进行换元，将它们都转换为被 开方数相同的二次根式，再进行相乘 。
除法运算规则
在进行除法运算时，需要将被除式进 行分母有理化，并化简为最简二次根 式。具体来说，如果被除式的分母是 一个完全平方数，则可以将被除式转 换为有理分式；如果被除式的分母不 是一个完全平方数，则需要先进行换 元，将被除式转换为分母为完全平方 数的有理分式，再进行分母有理化。
在几何图形中的应用
计算面积和周长
在几何图形中，二次根式可以用 来计算图形的面积和周长。例如 ，在矩形、三角形等图形中，可 以通过二次根式计算其面积和周
长。
求解最值问题
在几何图形中，可以利用二次根 式来求解一些最值问题，如最大
值、最小值等。
判断形状
通过比较不同图形的面积或周长 ，可以利用二次根式来判断图形
将除法转化为乘法
将除法问题转化为乘法问题，利用乘法的性质进行计算。
分子分母同时平方
将除数和被除数分别平方，然后进行约分，得到最终结果。
实例解析
实例1
实例3
$\frac{4}{\sqrt{3}}$ 的计算过程及结 果解析。
华师大九年级(上)教案-第22章-二次根式(全)
22．1. 二次根式（1）教学内容二次根式的概念及其运用 教学目标a ≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键1a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；2a ≥0）”解决具体问题． 教学过程 回顾当a 是正数时，a 表示a 的算术平方根，即正数a 的正的平方根． 当a 是零时，a 等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根． 当a 是负数时，a 没有意义．概括a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一个非负数，它的平方等于a ．即有：（1）a ≥0（a ≥0）；（2）2)(a =a （a ≥0）．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式．注意在二次根式a 中，字母a 必须满足a ≥0，即被开方数必须是非负数．例 x 是怎样的实数时，二次根式1-x 有意义？分析 要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数． 解被开方数x-1≥0，即x ≥1．所以，当x ≥1时，二次根式1-x 有意义．思考2a 等于什么？我们不妨取a 的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律：概括:当a ≥0时，a a =2； 当a ＜0时，a a -=2．这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的．例如：22)2(4x x ==2x （x ≥0）； 2224)(x x x ==．练习1.x 取什么实数时，下列各式有意义.（1）x 43-； （2）23-x ；（3）2)3(-x ； （4）x x 3443-+-拓展例当x +11x +在实数范围内有意义？分析11x +0和11x +中的x+1≠0．解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-111x +在实数范围内有意义．例(1)已知，求xy的值．(答案:2)(2)，求a 2004+b 2004的值．(答案:25) 归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：1（a ≥0）的式子叫做二次根式，2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 布置作业1． 教材P422.1 二次根式（2）教学内容1a ≥0）是一个非负数；2．2=a （a ≥0）． 教学目标a ≥02=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简．a ≥0）是一个非负数，用具体数据2=a （a ≥0）；最后运用结论严谨解题．教学重难点关键1a ≥0）是一个非负数；）2=a （a ≥0）及其运用．2a ≥0）是一个非负数；•2=a （a ≥0）．教学过程一、复习引入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？2．当a ≥0a<0 ［老师点评（略）．］ 二、探究新知 议一议：（学生分组讨论，提问解答）（a ≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出做一做：根据算术平方根的意义填空：2=_______；）2=_______；2=______；2=_______；（2=______；2=_______；）2=_______．4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4）2=4．同理可得：）2=2，2=9，）2=3，2=13，）2=72，）2=0，所以例1 计算1．2 2．（2 3．2 4．（2）2分析）2=a （a ≥0）的结论解题．解：2 =32，（2 =32·2=32·5=45，2=56，274=． 三、巩固练习计算下列各式的值：2 2 2 ）2 （222- 四、应用拓展 例2 计算1．2（x ≥0） 2．2 3．2 4．2分析：（1）因为x ≥0，所以x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）≥0；（4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的4）2=a （a ≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x ≥0，所以x+1>0,2=x+1（2）∵a 2≥02=a 2（3）∵a 2+2a+1=（a+1）2 , 又∵（a+1）2≥0，∴a 2+2a+1≥0 2+2a+1（4）∵4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2 , 又∵（2x-3）2≥0∴4x 2-12x+9≥02=4x 2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3五、归纳小结 本节课应掌握：1a ≥0）是一个非负数；2．2=a （a ≥0）;反之:a=2（a ≥0）．六、布置作业1．教材P教学反思：22.1 二次根式（3）教学内容a（a≥0）教学目标（a≥0）并利用它进行计算和化简．（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键1a（a≥0）．2．难点：探究结论．3．关键：讲清a≥0a才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1（a≥0）的式子叫做二次根式；2a≥0）是一个非负数；3．2＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：=_______；=________．（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：110=23=0=37．例1 化简（1 （2 （3 （4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32（a ≥0）•去化简．解：（1 （2=4（3 （4 三、巩固练习 教材P ．四、应用拓展例2 填空：当a ≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a 可以是什么数？ （2，则a 可以是什么数？（3，则a 可以是什么数？分析（a ≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a ≤0-a ≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）│a │，而│a │要大于a ，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1，所以a ≥0； （2，所以a ≤0；（3）因为当a ≥0，即使a>a 所以a 不存在；当a<0，，即使-a>a ，a<0综上，a<0例3当x>2 五、归纳小结（a ≥0）及其运用，同时理解当a<0a 的应用拓展． 六、布置作业1．先化简再求值：当a=9时，求甲的解答为：原式（1-a）=1；乙的解答为：原式（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│=a，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│教学反思：22．2 二次根式的乘除第一课时教学内容a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．教学目标a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简a≥0，b≥0）并运用它进行计算；•利用逆（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及它们的运用．a≥0，b≥0）．a⨯，如=或关键：要讲清（a<0,b<0）=b．教学方法：三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题．1．填空（1=______；（2=_______=________．（3．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．2．利用计算器计算填空（1，（2（3（4（5．（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．一般地，对二次根式的乘法规定为反过来:合探1. 计算（1（2（3（4分析：（a≥0，b≥0）计算即可．合探2 化简（1（2（3（4（5（a≥0，b≥0）直接化简即可．二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！三、应用拓展判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2=4四、巩固练习（1）计算（学生练习，老师点评）①②×(2) 化简: ; ;五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握：（1（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．六、作业设计一、选择题1，•那么此直角三角形斜边长是（）．A．cm B．C．9cm D．27cm2．化简）．A B C．D．x-=）311A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-14．下列各等式成立的是（）．A．×B．×C．×D．×二、填空题1．2．自由落体的公式为S=12gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．三、综合提高题探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：===（2）验证：=同理可得：==，……通过上述探究你能猜测出：（a>0）,并验证你的结论．教后反思：22．2 二次根式的乘除第二课时教学内容a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．教学目标a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行运算．利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．教学重难点关键1a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题：1．填空（1；（2=_____；（3；（4=________．2．利用计算器计算填空:（1=_____，（2=_____，（3=____，（4=_____．每组推荐一名学生上台阐述运算结果．（老师点评）刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们进行合探：二次根式的除法规定：一般地，对二次根式的除法规定：下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．合探1．计算：（1 （2 （3 （4分析：上面4a ≥0，b>0）便可直接得出答案．合探2．化简：（1 （2 （3 （4（a ≥0，b>0）就可以达到化简之目的． 三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展=，且x 为偶数，求（1+x 的值．分析：a ≥0，b>0时才能成立． 因此得到9-x ≥0且x-6>0，即6<x ≤9，又因为x 为偶数，所以x=8．五、归纳小结（师生共同归纳）a ≥0，b>0a ≥0，b>0）及其运用．六、作业设计 一、选择题1÷的结果是（ ）．A ．27B ．27C D2====数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简的结果是（ ）． A ．2 B ．6 C ．13D二、填空题 1．分母有理化:(1)=_________;(2)=________;(3)2．已知x=3，y=4，z=5_______．三、综合提高题计算（1·（m>0，n>0）（2）（a>0）教后反思：22.2 二次根式的乘除(3)第三课时教学内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．教学目标理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．重难点关键1．重点：最简二次根式的运用．2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）B A C计算（1（2，（3自探2.观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有什么特点？（有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．）我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．合探1.把下面的二次根式化为最简二次根式：(1)合探2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=6cm，求AB的长．132====6.5（cm）因此AB的长为．三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=-，=，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算+））的值．分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．六、作业设计一、选择题1y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）．A（y>0）By>0）C（y>0）D．以上都不对2．把（a-1a-1）移入根号内得（ ）．A B C ． D ． 3．在下列各式中，化简正确的是（ ）A B =±12C 2D ．4的结果是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题1．（x ≥0）2．_________．三、综合提高题1．已知a 确，•请写出正确的解答过程：·1a（a-12．若x 、y 为实数，且y x y -的值．教后反思：22.3 二次根式的加减(1)第一课时教学内容二次根式的加减教学目标理解和掌握二次根式加减的方法．重难点关键1．重点：二次根式化简为最简根式．2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探（学生活动）：计算下列各式．（1）（2）（3（4）因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如可以合并吗？可以的．（板书）所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．合探1．计算（1（2分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．合探2．计算（1）（2））+三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y 2-（x ）的值．分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=12，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值．五、归纳小结（师生共同归纳） 本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．六、作业设计 一、选择题1．以下二次根式：；；是同类二次根式的是（ ）．A ．①和②B ．②和③C ．①和④D ．③和④2．下列各式：①；②17=1，其中错误的有（ ）．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 二、填空题1、是同类二次根式的有________．2．计算二次根式-3的最后结果是________． 三、综合提高题1≈2.236）-）的值．（结果精确到0.01）2．先化简，再求值．（-（，其中x=32，y=27． 教后反思：22.3 二次根式的加减(2)第二课时教学内容 利用二次根式化简的数学思想解应用题． 教学目标 运用二次根式、化简解应用题．重难点关键讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点． 教学方法 三疑三探 教学过程一、设疑自探——解疑合探上节课，我们已经学习了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们研究三道题以做巩固．自探1．如图所示的Rt △ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/•秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）BAC QP（分析：设x 秒后△PBQ 的面积为35平方厘米，那么PB=x ，BQ=2x ，•根据三角形面积公式就可以求出x 的值．解：设x 后△PBQ 的面积为35平方厘米． 则有PB=x ，BQ=2x 依题意，得：12x ·2x=35 x 2=35PBQ 的面积为35平方厘米．===PBQ 的面积为35平方厘米，PQ 的距离为厘米．）自探2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到）？（分析：此框架是由AB 、BC 、BD 、AC 组成，所以要求钢架的钢材，•只需知道这四段的长度．BAC2m1m4mD解：由勾股定理，得=所需钢材长度为+7≈3×2.24+7≈13.7（m ）答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要的钢材．）三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 四、应用拓展若最简根式3a a 、b 的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式|b|类二次根式的定义得3a-•b=•2，2a-b+6=4a+3b ．由题意得432632a b a b a b +=-+⎧⎨-=⎩ ∴24632a b a b +=⎧⎨-=⎩ ∴a=1，b=1五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题． 六、作业设计 一、选择题1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）．（•结果用最简二次根式）A ．BC ．D ．以上都不对2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm 和20cm 的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米．（结果同最简二次根式表示）A ．BC ．D ． 二、填空题1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m 2，•鱼塘的宽是_______m ．（结果用最简二次根式）2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为，•那么这个等腰直角三角形的周长是________．（结果用最简二次根式） 三、综合提高题1与n 是同类二次根式，求m 、n 的值．2．同学们，我们以前学过完全平方公式a 2±2ab+b 2=（a ±b ）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=2，5=（）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察： （-1）2=（）2-2·12 反之，-1）2 ∴=-1）2-1求：（1； （2（3（4，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．教后反思：22.3 二次根式的加减(3)第三课时教学内容含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．教学目标含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．重难点关键重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）：请同学们完成下列各题:1．计算（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy2．计算（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．自探2.计算:（1）（2）（）÷分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．自探3.计算:（1））（ （2）））分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展 已知x b a -=2-x a b-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，分析）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x 的值，代入化简得结果即可．解：原式=（x+1） =4x+2∵x b a -=2-x a b- ∴b （x-b ）=2ab-a （x-a ） ∴bx-b 2=2ab-ax+a 2∴（a+b ）x=a 2+2ab+b 2 ∴（a+b ）x=（a+b ）2 ∵a+b ≠0 ∴x=a+b∴原式=4x+2=4（a+b ）+2五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．六、作业设计一、选择题1．的值是（ ）．A ．203B ．23C ．23D ．2032 ）．A ．2B ．3C ．4D ．1二、填空题1．（-12）2的计算结果（用最简根式表示）是________．2．（（-（）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．3．若-1，则x 2+2x+1=________．4．已知，，则a2b-ab2=_________．三、综合提高题1时，（结果用最简二次根式表示）2．当教后反思：。
华师版九年级数学(上)教案(全册)
华师版,九年级,数学,上,教案,全册,第,22章,第22章二次根式22.1 二次根式22.2 二次根式的乘除法第一课时二次根式的乘除法习题22.2第2、(1)，(2)题，第3、(1)、(2)题、第4题教学后记：第二课时二次根式的乘除法教学目标1、使学生掌握二次根式的除法运算法则，会用它进行简单的二次根式的除法运算。
2、使学生了解两个二次根式的商仍然是一个二次根式或有理式。
3、使学生会将分母中含有一个二次根式的式子进行分母有理化、4。
经历探索二次根式的除法运算法则过程，培养学生的探究精神和合作交流的习惯。
教学过程一、创设问题情境问题l 上一节课，我们采取什么方法来研究二次根式的乘法法则?问题2 是否也有二次根式的除法法则呢?问题2 两个二次根式相除，怎样进行呢?二、加强合作，探索规律让抽象的问题具体化，这是我们研究抽象问题的一个重要方法、请同学们参考二次根式的乘法法则的研究，分组讨论两个二次根式相除，会有什么结论，并提出你的见解，然后其他小组同学补充，归纳为：＝提问：1、 a和b有没有限制?如果有限制，其取值范围是什么?2、＝(a≥0，b>0)成立吗?为什么?请举例。
三、范例例1、计算。
教学要求：(1)对于(1)可由教师解答示范；(2)对于(2)可由学生自己计算。
提问：1、除了课本中的解答外，是否还有其他解法?如果有，请给出另外解法。
2、哪种方法更简便?例2、化简：(要求分母不带根号)说明：二次根式的化简要求满足以下两条：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式，也就是说“被开方数不含分母”。
(2)被开方数中不含能开得尽的因数或因式，也就是说“被开方数的每一个因数或因式的指数都小于2”。
把一个二次根式化简的具体方法是：化去根号下的分母；并把被开方数中能开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面。
四、做一做化简：教学要点：(1)叫两位同学板演，其他同学做完练习进行评价、(2)可用提问的方式引导学生探索其他解法。
二次根式的乘除
二次根式的乘除是二次根式的基本运算之一，其规则如下：
1. 二次根式的乘法：将两个二次根式的被开方数相乘，得到的结果再开方即可。
例如，√2 ×√3 = √(2 × 3) = √6。
2. 二次根式的除法：将第一个二次根式的被开方数乘以第二个二次根式的倒数的被开方数，得到的结果再开方即可。
例如，√8 ÷√2 = (√8 ×√2) / √2 = √(8 × 2) / √2 = √4 = 2。
需要注意的是，在进行二次根式的乘除运算时，要保证两个二次根式的被开方数都是非负实数，否则会出现无意义的情况。
此外，在进行二次根式的除法运算时，如果第二个二次根式的值为0，则无法进行计算。
二次根式的乘除课件
二次根式的乘除课件一、引言在数学领域，二次根式是根式运算中的一种重要形式，它具有广泛的应用。
二次根式的乘除运算是根式运算的重要组成部分，理解和掌握二次根式的乘除法则对于深入学习和应用数学知识具有重要意义。
本课件旨在介绍二次根式的乘除运算，通过具体的例子和详细的解析，帮助大家更好地理解和掌握二次根式的乘除法则。
二、二次根式的定义和性质1.二次根式的定义：二次根式是指根号下只含有一个变量的表达式，且该变量的最高次数为2。
例如，√x、√(x^2+1)等都是二次根式。
2.二次根式的性质：二次根式具有一些基本的性质，如非负性、可乘性、可除性等。
这些性质是进行二次根式乘除运算的基础。
三、二次根式的乘法运算1.乘法法则：二次根式的乘法法则是将两个二次根式相乘，先将根号下的表达式相乘，然后再开方。
具体来说，如果两个二次根式的根号下的表达式分别为A和B，那么它们的乘积为√(AB)。
2.乘法运算的步骤：a.将两个二次根式的根号下的表达式相乘。
b.将乘积开方，得到最终的结果。
3.例子：a.计算√2√3。
根据乘法法则，√2√3=√(23)=√6。
b.计算√(x^2+1)√(x^2-1)。
根据乘法法则，√(x^2+1)√(x^2-1)=√((x^2+1)(x^2-1))=√(x^4-1)。
四、二次根式的除法运算1.除法法则：二次根式的除法法则是将两个二次根式相除，先将根号下的表达式相除，然后再开方。
具体来说，如果两个二次根式的根号下的表达式分别为A和B，那么它们的商为√(A/B)。
2.除法运算的步骤：a.将两个二次根式的根号下的表达式相除。
b.将商开方，得到最终的结果。
3.例子：a.计算√8/√2。
根据除法法则，√8/√2=√(8/2)=√4=2。
b.计算√(x^2+1)/√(x^2-1)。
根据除法法则，√(x^2+1)/√(x^2-1)=√((x^2+1)/(x^2-1))。
五、二次根式的乘除运算的应用二次根式的乘除运算在数学问题中有着广泛的应用。
二次根式的乘除法PPT课件
contents
目录
• 二次根式基本概念与性质 • 二次根式乘法运算规则 • 二次根式除法运算规则 • 乘除混合运算及简化方法 • 在实际问题中应用举例 • 错题集锦与答疑环节
二次根式基本概念与
01
性质
二次根式定义及表示方法
定义
形如$sqrt{a}$（$a geq 0$）的式 子叫做二次根式。
解析
首先将二次根式化为最简形式，$sqrt{8} = 2sqrt{2}$，$sqrt{12} = 2sqrt{3}$。 然后进行乘法运算，$2sqrt{2} times 2sqrt{3} = 4sqrt{6}$。
典型例题解析
• 例题2：计算$\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}}$。 • 解析：首先将二次根式化为最简形式，$\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。然后
注意挖掘题目中的隐含条件，避免因为忽视条件而导致错 误。
学生提问环节，老师答疑解惑
学生提问
老师，我在计算二次根式的乘法时总是出错，有什么方法可以 避免吗？
老师回答
首先，你需要熟练掌握二次根式的乘法运算法则，其次在计算 过程中要保持细心和耐心，注意每一步的计算准确性。同时， 你可以通过多做练习题来提高自己的计算能力和准确性。
进行除法运算，$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 2$。 • 例题3：计算$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$。 • 解析：首先观察分子分母的特点，发现可以分母有理化。然后进行化简，
$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{3}) \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{18} + 3}{3} = \frac{3\sqrt{2} + 3}{3} = \sqrt{2} + 1$。
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（） 1 12；（2） 4a3；（ 3） a4b
解：（） 1 12= 22 3 = 22 3 =2 3.
3 2
2 4 a a （2） 4a 4 a a 2a a
Hale Waihona Puke （ 3） a4b a4b (a 2 ) 2
a
2
b
被开方数 4a3含4,a3这样的 因数或因式，它 们可以开方后移 到根号外，它们 是开得尽的因数 或因式.
2 4 14 14 （3） 49= 7 = 3 3 9 3
4 25
4 25 100 102 10 10
2 144 12 12 16 9 12 4 196 14 2 14 14 49 = = （ ）= 9 9 3 3 3
12 （2）16 9 4 3 12
华师大版九年级上
22.2 二次根式的乘除法
第1课时 二次根式的乘法及积的算术平方根
学习目标：
• 1、掌握二次根式的乘法法则，会运用法则进 行运算。 • 2、会利用积的算术平方根的性质对二次根式 进行化简。 • 3、经历探索二次根式的乘法法则的过程，让 学生进一步了解数学知识之间是相互联系的， 培养学生努力探索事物之间内在联系的学习习 惯。
问题：一个长方形的长、宽分别是 2cm和 6cm， 求这个长方形的面积.
利用长方形的面积公式，可得面积S= 2 6(cm ). 这个结果能继续化简吗？应怎样化简呢？
2
其中 2、6是什么式子？ 2 6又表示什么意思？ 学习了本节以后，你就能解决这个问题了.
1.算一算
10 （） 1 4 25 2 5 10
比较左右两边的等式,你有什么发现?
能用字母a、b表示你所发现的规律吗? (1)被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘积 等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的被 开方数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方 数.
一般地,对于二次根式的乘法规定为:
a b ab
(a≥0,b≥0)
a、b必须都是非负数！
参考上面的计算结果，用“>”、“=”、“<”填空.
=
=
4 25；
16 9
=
16 9；
4 49 9
4 49. 9
2.根据上面的探究，下列式子是否也存在类似的关系，猜 想你的结论，并用计算器验证.
= 8， (1) 3 5 __ = 15，（2） 2 4 __ = 30，（4） 4 5 __ （3） 5 6 __ = 20 .
b
【例2】计算
（） 1 14 7；（2） 3x
解： 1
1 xy . 3
14 7 14 7 7 2 2 7 2 2 7 2；
2
1 1 1 2 3x xy 3x xy 3 x y x 2 y x 2 y x y . 3 3 3
两个二次根式相乘，等于将它们的被开方数相 乘.
计算：
试一试
1 1 (1) 7 6；（2） 32；（3） 6 . 2 2
解： (1) 7 6= 6 7= 42；
1 1 （2） 32= 32= 16=4； 2 2 1 1 （3） 6= 6= 3. 2 2
把
a b ab 反过来，就得到
C
2
10 24 676
2 13 2 13 26(cm)
答：AB长26cm.
5.（选做）计算：
3 （） 1 2 1 20（- 15 )（48 )； 3
b a x （2）（-x （ ) ax（ ) -2ab )( x 0). a x b
先确定结果 的符号，再按二 次根式的乘法法 则运算.
1 3 解：（）原式 1 = 20 15 48=20 6； 3 2 a b x （2）原式=-x 2ab ax =-2a 2bx. x a b
本节课应掌握：
a b ab
(a≥0,b≥0)
（a≥0，b≥0） ab a b
ab a b
（a≥0，b≥0）
a、b必须都是非负数！
积的算术平方根, 等于积中各因式算术平方根的积.
想一想？
(4) (9) (4) (9) ×
成立吗？为什么？
ab
(4) (9) 36 6
a b
(a 0, b 0)
非 负 数
【例1】化简，使被开方数不含完全平方因式（或因数）
24
（） 1 5 3 2 5； （2）3 5a 2 10b；（ 3）2 2 3 24.
10 15 30 2ab
4.如图，在三角形ABC中，∠C=90°,
A
AC=10cm, BC=24cm.
求：AB.
B 解: 2 2 2 AB AC BC
AB AC BC
2
2 2
2 2
注意:一般地,二次根式运算的结果中,被开 方数中应不含能开得尽方的因数或因式.
1.直接写出下列结果：
（ 1） 3 2=
6 ；（2） 20
5 10= 10 10 .
2.化简或计算：
（） 1 0.25 196； 7
4 （3） 96a 2b3c（ a 0)； 4abc 2 6b 3. 计算：
（2） 4000； 20 10 （4） 2.25 x 2 （ y x 0，y 0). 3 x y 2