绝对值问题也可不分类讨论学法指导不分版本.

绝对值问题也可不分类讨论

童严明

有关绝对值的题目，一般是根据绝对值的意义去掉绝对值符号，如果不能确定绝对值里面的数或式的符号，就要分类讨论。本文说明特殊情况下也可不讨论，下面说明处理方法。

1. 用公式

例1. 已知ab <0，求a b b a ab a b 22

||||(||||)-+-的值。

分析：如用定义，则要分四种情形进行分类讨论，麻烦。若根据||||||||a a a b ab 22==，。先变形，则可避免分类讨论。 解：原式=-+-||||||||(||||)a b b a ab a b 22 =-+-=-+=--+=||||(||||)(||||)

(||||)(||)

(||||)()

a b a b ab a b a b ab ab a b ab ab 0

2. 整体处理

例2. 解方程x x x 2

693290---+=||。

分析：按常规，应分x ≥3与x <3分类讨论，但若把||x -3看成一个整体，则可避免分类讨论。

解：原方程可化为

()||x x ---+=3932002 即所以或解得：，，，||||(||)(||)||||x x x x x x x x x x ---+=----=--=--===-==-393200

34350

340350

718221234

3. 数形结合

例3. 满足||||27218a a ++-=的整数a 的值有（ ）

A. 5个

B. 4个

C. 3个

D. 2个

解：由||||27218a a ++-=，得

a a --⎛⎝ ⎫

⎭⎪+-=7212

4 根据绝对值的几何意义，此式表示数轴上点P a ()到点A -⎛⎝ ⎫

⎭⎪72和点B 12⎛⎝ ⎫⎭⎪的距离之和，

由于AB =4，所以P 点只能是线段AB 上的点

即-≤≤7212

a 所以，整数a =---3210，，，

选（B ）。

4. 用性质

例4. 求方程||||x x -+-=231的实数根的个数。

分析：一般是分区间讨论求解，亦可利用数形结合法求解。但若注意到()()x x ---=231，再利用性质：若||||||a b a b +=-，则a 与b 异号。

解：原方程可化为

|||||()()|x x x x -+-=---2323

所以()()x x --≤230

解得：23≤≤x

因此，原方程有无限多个实数根。

5. 平方

例5. 已知有理数t 满足||||11-=+t t ，求||||t t ---20051的值。

分析：一般是先分区间讨论，再求出满足条件的t 的值，代入求值。实际上，平方法是去绝对值的一种常用方法。 解：原等式两边平方得

121222-+=++t t t t ||

所以||t t =-

即t ≤0

所以||||t t ---20051

=----=()()t t 200512004