数值分析引论

第0章引论§1数值分析的对象、任务、特点建立数学模型科学技术数学应用于科学研究方法：科学计算理论研究科学实验科学计算计算数学数值分析任务：数值分析是研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及理论。

前绪知识：微积分、高等代数、常微分方程等基础数学内容：数值线代数数值逼近数值微积分非线性方程与方程组常微分方程数值方法特点：１、本课程是建立在严格的数学理论基础上的一门实用性很强的课程；２、它面向计算机，根据计算机特点提供实际可行的且计算复杂性好的有效算法。

３、它具有可靠的理论分析与数值试验，以保证计算结果达到要求的精度。

§2 数值分析中的误差一、 误差来源用应用数学方法研究工程或科学问题，一般只能得到问题的近似解。

（1）模型误差：模型与实际问题有差异。

（2）观测误差：建模时，试验、量测等数据误差。

（3）截断误差：由于计算机本身的特性，要求算法必须在有限步内完成，这就要求把数学模型用数值分析方法导出一个计算公式来近似，由此而产生的误差称为截断误差或称为方法误差。

由Taylor 公式求xe 的近似值，由于12)!1(!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ取n 项近似则有!212n x x x e nx++++≈截断误差为 1)!1(++n xx n e θ（4）舍入误差：由于计算机字长有限，参加运算的数据只能截取有限位，由此而产生的误差称为舍入误差。

1/3＝0.3333333注：在数值分析中，我们主要关心截断误差和舍入误差。

二、误差的概念----绝对误差、相对误差和有效数字如果│E （a ）│≤,则称为近似数a 的绝对误差限（误差限）。

绝对误差的局限性例子：测量光速误差为４公里／秒，运动员的跑速误差为0.0１公里／秒 =10米/秒实际运算时，a a x a E r /)()(-=，δr =δ/aa ＝３.１４是x=π的近似值，002.0,002.014.3)(=<-=δπ即a E 41036942.614.3002.0002.0)(-⨯=≈≤πa E r ，即δr =41036942.6-⨯256.01000256.0,002567.02⨯===-a4102100005.0-⨯=≤-a x 而m=-2，所以n=2，即a 有2位有效数字；具有5位有效数字。

近似数的有效数字不但给出了近似值的大小,而且还指出了它的绝对误差限有效数字与相对误差的关系近似值的有效数字与相对误差密切相关。

粗略地说，有效数字的位数相当于相对误差的百分数的位数，如3位有效数字相当于相对误差大约为百分之几，反之亦然。

0.5*1e-4/0.00256 确切地说，有如下两个定理n n r a a a x a ---⋅=⋅≤-=10510211)1(1δ证明 显然有m m a a a 10)1.00(10011⨯+⋅<≤⨯⋅ 或 111110)1(10--⨯+<≤⨯m m a a a于是，x 的相对误差111011021--⨯⋅⨯≤-=m n m r a a x a δ=)1(11021--⋅n a n a -⋅=1051 【注】a 的有效数字位数越多，a 的相对误差就越小。

反过来，可以从近似数a 的相对误差限来估计a 有效数字的位数。

n n r a a a x a ---⨯+=⨯+≤-=10)1(510)1(211)1(1δ 则a 至少具有n 位有效数字。

证明 由于axa ax a -=-)1(11110)1(2110)1(---⨯+⋅⨯+≤n m a a n m -≤1021故a 至少具有n 位有效数字。

设)0(,10).0(121≠⨯±=a a a a a m n ，如果a 相对误差满足n r a x a -⨯≤-=1021δ 则a 至少具有n 位有效数字。

证明axa ax a -=-nm a --⨯⋅⨯+≤102110)1(11n m n m a --≤⨯⋅+≤1021102110)1(1 三、函数值的误差估计设a 、b 分别为精确值x 、y 的近似值；δa 、δb 分别为a 、b 的误差限。

1、一元函数f(x)的误差估计： f(a)为f(x)的近似函数值设函数f(x)在a 的邻域上连续可微，由一阶近似Taylor 展开f(x)=f(a)+f '(a)(x-a)则近似函数值 f(a)的误差限、相对误差限估计式：⎪⎩⎪⎨⎧'≤='≤a a f a f a f a f a f a a f a f r δδδδδ)()()()()()()( 2、二元函数f(x,y)的误差估计:f(a,b)为f(x,y)的近似函数值设函数f(x,y)在(a,b)的邻域上连续可微，由一阶Taylor 展开f(x,y)≈f(a,b)+)(),()(),(b x yb a f a x x b a f -∂∂+-∂∂ 则近似函数值 f(a,b)的误差限、相对误差限估计式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂≤),(),(),(),(),(),(b a f b a f b a f b y b a f a x b a f b a f r δδδδδ ３、简单算术运算的误差限和相对误差限,1)(,)(,)(2b ba ab bab a a b ab b a b a δδδδδδδδδ+≤+≤+≤± ba bbaabab a b ba a ab b a ba b a r r r r r r r δδδδδδδδδδδδδ+=+≤+=+≤±+≤±)()()( 四、算法的选择（控制误差）１、截断误差估计误差限12)!1(!21+++++++=n xn xx n e n x x x θ只需估计出满足|1)!1(++n xx n e θ|≤ε的n 即可.２、舍入误差 数值稳定性⎰+=1,999dx x x I nn n=0,1,……(1) ⎰⎰⎰==++<+<--11011011999)999(9990ndx x dx x x x dx x x n n n →0 (n →∞)因此，⎰+=1999dx x x I nn →0 (n →∞)（2）递推算法，即由11)999/()999(--=++n n n x x x x得递推公式： ,,2,1,19991 =+-=-n nI I n n （3）因 1*11*999)(999---=--=-n n n n n n e e I I I I 所以 附计算程序： clear syms x;in=int(1/(x+999),0,1);in=numeric(in);in=vpa(in,4)%为递推公式赋初值,取四位有效数字for k=1:6 %递推计算6次in=-999*in+1/k %递推计算，并输出迭代结果(积分值) end%symsum(x^6/(x+999),0,1) for k=1:6ii=int(x^k/(x+999),0,1);Ii=numeric(ii) %对比积分精确解 end另一方面，若用递推公式0,,9,10,999199911 =+-=-n nI I n nclearIn=0.00014288; %为递推公式赋初值for n=6:-1:1 %递推计算6次In=-1/999*In+1/(999*n); %递推公式endI0=In %输出第6次迭代结果【注】计算出的I0=0.0010与优化的数值算法的计算结果几乎没有差别，即此递推算法是数值稳定的。

数值稳定的算法：算法在运算过程中舍入误差的积累对计算结果影响不大；否则称算法数值不稳定。

例如：蝴蝶效应。

我们计算克莱姆（Cramer）法则的时间复杂度：当n=20时，我们需要计算21个20阶行列式，每个行列式需要计算（20-1）*20！次乘法，相比加减法的计算次数可以忽略不计，于是总的计算量约为21*19*20！；假设计算机每秒可作1亿次运算，则求解这样一个线性方程组需用的时间是多少？我们用Matlab语言程序解算如下：clearn=1:20;zjl=21*19*prod(n); %总计算量ms=zjl/100000000; %占用CPU的时间（秒）ns=ms/60/60/24/365 %转换为年数天啊，30多万年的时间！若改用高斯（Gauss）消元法只需2千多次乘除运算，并且n越大两种算法的时间复杂度的差别越大。

这说明当我们把一个数学模型转化为计算机程序时，对算法的研究是十分重要的。

４、算法的选择：选择复杂度、截断误差、稳定性（舍入误差）兼顾的最佳方法。

五、病态数学问题与条件数病态数学问题是指这样的问题：当输入数据（如参数、初始值等）有微小摄动时，会引起解的大扰动；相反的问题为良态数学问题。

通常用条件数来衡量问题的病态程度。

)()())((x f x f x x f '=这是因为ax f cond xa x x f x f x x f a x x f x f a f x f a f r r δδ⋅=-⋅'=-'≈-=))(()()()())(()()()()(分别取x=0.1, 0.9, 0.99, 1.01, 1.1, 10, 100 1/abs(log(10))§3 若干注意事项（1） 避免两相近的数相减0006.09994.012cos 1=-≈︒-只有一位有效数字。

但是，利用Matlab 语言程序进行这类计算，由于系统采用双精度数（浮点运算的绝对误差限ε=2.2204×10-16，即小数点后保留14位有效数字）计算，有效数字损失的问题得到了相当程度的缓解。

vpa(1-cos(2*pi/180),6)（2）要选择数值稳定的计算公式 (3) 要尽量减少运算次数x 31=x x 2x 4x 8x 16秦九韶法： 10x 4+5x 3+2x 2+x-9=(((10x+5)x+2)x+1)x-9 （4）要避免用绝对值很小的数除数xx -+11, (x>>0)（5）两数相加要防止大数“吃”掉小数 1234567+0.0001-1234567若计算机只能处理7位有效数字的单精度数：vpa(1234567+0.0001,7)-1234567。