数学建模论文改

数学建模论文改
文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
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竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学
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我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行
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2. 王新宇
3. 孙瑞航
指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：
日期： 2013 年 9 月 13
日
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
车道被占用对城市道路通行能力的影响的数学模型
摘要本文针对车道被占用对城市道路通行能力的影响问题，在合理的假设下，建立了交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量之间的函数模型。

采用将实际通过能力由标准车当量表示，用数据直观地给出实际通过能力的变化。

统计视频(一)中事故期间的几个重要时间段（取1分钟）内的流量，建立折线图。

从折线图可以看出，实际通行能力随事故时间的增长而逐渐减小，随着发生撤离而逐渐增大。

而视频中交通高峰期在16：52到17：02，在此期间由于大车比较多，从上游进入以及小区进入的车流量比较大，所以出现了堵车，影响了实际通行能力，在前面一段车流量不大的时间里，并且没有大车在横截面的时候也不会出现堵车影响道路通行能力
所以实际通行能力不仅与事故有关，还和道路上的车流量有关。

通过对视频的分析，由于交通事故发生时间较短，并且上游车流量无明显变化，模型中忽略了时间对车流量的影响，重点分析了由于车道被占用，车辆由所占车道转向正常车道的问题。

通过对视频(一)与视频(二)中左、中、右各车道的当量的统计计算，成立关系式，从而联立得出知三车道换道对车道的影响。

通过查阅相关资料，可知三车道换道对直行车道的影响为0.92，进而求出对右、左车道的影响，用函数关系式当挡住直和左车道时，对道路的综合影响为0.17r+s×0.1+t×0.92、当挡住直和右车道时，对道路的综合影响为0.17×r+0.1×t+0.92×s、当挡住左道和右车道时，对道路的综合影响为0.92×
r+0.17×（s+t ）表示出所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。

对于交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事
故持续时间、路段上游车流量间的关系，采用抽样的方法，截取小段时间分
析，忽略时间对车速的影响。

在这一小段时间内，实际流量减去上游流量就是
滞留未及时通过的的车流量，车流量乘以时间就是滞留车辆，再乘以车长和车
距，就是总滞留距离，除以三条车道，就是实际堵车长度：L=
))((*3/1t
dt Y X ⎰-*(n+m).
将问题四中的数据代入问题三所建立的数学模型中，交通事故所处横断面
距离上游路口变为140米，路段下游方向需求不变，路段上游车流量为
1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零，且事故持续不撤离。

估算，从
事故发生开始，车辆排队长度到达上游路口的时间。

计算得出t=203.87秒。

最后，对模型的优缺点进行了分析。

由于模型是建立在理想化条件下，忽
略了时间、车速等对实际通过能力的影响，但在实际中，将一些实际问题抽象
简化为数学问题来解决，从方法上具有一定的启发性。

1.问题的重述
车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道
路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。

由于城市道路具有交通流密度
大、连续性强等特点，一条车道被占用，可能引起车辆排队，甚至出现区域性
拥堵。

现如图1所示，两次交通事故均处于这一路段的同一横断面，且完全占用
两条车道。

通过对交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行
能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系的分析建立数学模型，从而解
决以下问题：
(1)、根据视频1（附件1），描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所
处横断面实际通行能力的变化过程。

(2)、根据问题1所得结论，结合视频2（附件2），分析说明同一横断面交
通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。

(3)、分析视频1（附件1）中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横
断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。

(4)、假设视频1（附件1）中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140
米，路段下游方向需求不变，路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初
始排队长度为零，且事故持续不撤离。

请估算，从事故发生开始，经过多长时间，车辆排队长度将到达上游路口。

图1
2.模型的假设与符号说明
2.1 模型的假设
(1)、所有车辆只分为小车、大车与电瓶车，每辆车的车距相等。

(2)、发生交通事故与发生其他事件是相互独立的。

(3)、假设左转车道为直左车道,右转车道为直右车道。

(4)、假设在整个事故的过程中车速是不变的。

(5)、不考虑人为心理因素导致看到堵车而改变车道从而改变三条道的流量比例。

(6)、由于视频一和视频二的事故时间有误差，所以车流量不相同。

假设我们选取的时间段的车流量近似相同，并且在每个视频中事故期间选取的几个时间段的上游车流量近似相等。

并且假设每天同一时刻的流量相同。

(7)、假设司机完全遵守交通规则，不会出现随意越道的情形。

(8)、假设堵车时，车已经停下，每条道上车的长度相同。

2.2 符号的说明
L表示车辆排队长度
Y表示事故发生后车道的实际通行能力
Y1表示事故发生后直车道的实际通行能力
Y2表示事故发生后左车道的实际通行能力
Y3表示事故发生后右车道的实际通行能力
t表示事故持续时间
X表示上游车流量
m表示标准车长度
n表示安全车距
k表示轮胎与地面附着系数
v表示车速
T 信号周期
T1绿灯时间
T2 变为绿灯后第一辆车启动并通过停止线的时间
T3 直行或右行车辆通过停止线的平均时间间隔，大约为1.3S
S 直行车道通行能力折减系数，一般为0.9
a 换两次道对通行能力的影响率
b换一次道对通行能力的影响率
c不换道对通行能力的影响率
3.问题的分析
这个问题是一个车道因交通事故所影响，造成车道被占用，路段车辆排队的问题。

目地是通过对交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系的分析，正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度。

3.1、问题一：
本问题中求的是交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。

根据已知内容，我们采用逐步分析的方法，即立足于已知，一层层分析下去，我们发现在忽略时间对路段上流量的影响的前提下，通过对事故发生后的实际通过能力与事故发生前的实际通过能力进行比较，可以很明显地看出事故所处横断面实际通行能力的变化过程。

对于计算实际通过能力，主要要考虑车速因素。

通过对视频1（附件1）的分析，在理想化条件下利用统计原理对于120m内车的行驶时间进行计算，可以得出该横断面车辆的平均行驶速度，从而计算出横断面的实际通行能力。

3.2、问题二：
本问题的关键在于视频2（附件2）与视频1（附件1）中不同的是，其所表示的车道占用为直行通道和左转通道。

对于所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的问题，在计算实际通过能力时，还要考虑的一个因素是三个车道的
车流量比例不同。

在问题一的计算基础上，通过加入车流量比例的分析，就可以从数据上直观地看出所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。

3.3、问题三：
建立模型的目的就是建立一个以交通事故所影响的路段车辆排队长度为应变量的函数关系。

我们根据模拟实验的原则：在短时间内时间对于路段上游车流量的影响忽略不计，车流量仅受上游红绿灯影响。

通过对于视频1（附件1）的分析，取单独一次红绿灯的相位变化。

利用控制变量法，求出事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量与路段车辆排队长度的关系。

3.4、问题四：
本问题基于问题三的分析基础给出了一个理想化情况进行计算。

通过将问题四中给出的数据带入问题三的模型中，可以直接得出答案。

4.模型的准备
解决这一问题的关键之一是如何正确理解车道实际通行能力，并对车道实际通行能力做出计算。

车道通行能力是指道路上某一点某一车道或某一断面处，单位时间内可能通过的最大交通实体(车辆或行人)数，亦称道路通行能量，用辆/h或用辆/昼夜或辆/秒表示，车辆多指小汽车，当有其他车辆混入时，均采用等效通行能力的当量标准车辆(小汽车)为单位(pcu)。

本文中，所有车流量均采用pcu/h单位表示。

其中大车相当于3pcu，电瓶车相当于0.5pcu。

其中对于实际通过能力的函数有：
方法一：Y1=1000v/(v*t/3.6+v2/254k+m+n)
方法二：Y1=3600×s((T1-T2)/T3+1)/T
其中轮胎对地面附着系数k等于0.33，m=5m,n=2m。

5.模型的建立求解与结果分析
5.1 问题（1）：统计视频1中事故期间的几个重要时间段（取1分钟）内的流量，这些数据是研究事故期间的实际通行能力
（1）、在十一个时间段里，统计出每分钟通过事故截面的电瓶车，小车和大车的辆数，换算成标准当量，再求出一小时的流量即可。

如上的图表，统计表反映了每次的统计结果，折线图则反映了事故期间实际通行能力的变化。

数值越大，通行能力越大。

视频一中的实际通行能力的平均值为1148pcu/h。

（2）、从折线图可以看出，实际通行能力随事故时间的增长而逐渐减小，随着发生撤离而逐渐增大。

同时下面对通行能力进行精细分析。

（3）、交通高峰期在16：52到17：02，在此期间由于大车比较多，从上游进入以及小区进入的车流量比较大，所以出现了堵车，影响了实际通行能力，在前面一段车流量不大的时间里，并且没有大车在横截面的时候也不会出现堵车影响道路通行能力，所以实际通行能力出现了波动，同时由于车流密度比一开始不堵车大的多，也会增加道路的实际通行能力。

所以实际通行能力不仅与事故有关，还和道路上的车流量有关。

5.2 问题（2）：比较视频一和视频二在同一个横断面事故发生在不同车道对实际通行能力的影响
（1）、通过两个视频数据的对比，可以看出视频二实际通行能力的变化过程和视频一的相似，但视频二的总体实际通行能力要比视频一中的要高。

视频二中的实际通行能力的平均值为1587pcu/h，要比视频一大的多。

下面分析两者实际通行能力差异的影响因素及原理。

（2）、由于两个事故发生地为同一个横截面，虽然时间上有差异，但前面已经假设上游的流量相同，所以就认为没有影响。

（3）、下面主要分析不同车道由于流量比例的不同而导致被占用时实际通行能力产生差异。

附件3给出右转流量比例21%，直行流量比例44%，左转流量比例35%。

可以发现当堵住直行车道和左转车道时的通行能力小于堵住直行车道和右转车道的通行能力，因为当堵住车道时，另外两个车道的车要想出去的话，就得变换车道，换车道的同时又会影响原车道的车的通行。

由于原来两车道的初始流量不相同，右转流量小于左转流量，所以需要变换车道的车相对多了，就会影响整个道路的实际通行能力。

下面想要定量分析占用不同初始流量的车道对通行能力影响的关系。

（4）下面用三种方法计算该条道路的理论通行能力。

方法一：Y1=1000v/(v*t/3.6+v2/254k+m+n) Y2=Y1*(1-35%/2) Y3=Y1通过观察视频，经过多次估算，发现小汽车通过视频中120米所用的时间大约是8秒，由此可以估算出汽车的平均速度为60km/h,轮胎对地面附着系数k 等于0.33，m=5m,n=2m,t=1s，可以求得Y1=901pcu/h，Y2=743pcu/h，
Y3=901pcu/h,所以Y=2545pcu/h
方法二：Y1=3600×s((T1-T2)/T3+1)/T
代入数据可得，Y1=1080pcu/h,Y2=891pcu/h,Y1=1080pcu/h,Y=3051pcu/h 方法三：通过查阅中国道路建设标准，60km/h的道路的一般通行能力为1500pcu/h,再乘系数，由于为城市主干路，系数为0.9。

所以Y1=1500*0.9=1350pcu/h，所以Y=3814pcu/h
下面通过视频一和二来验证理论饱和值的大小，通过观察事故刚撤离时通过横截面的车流量的大小，因为此时的状况趋于一条道路的理论通行能力，发现在20秒内，通过十二辆小车，两辆大车，两辆电瓶车，可以估算出此时的通行的能力为3420pcu/h,所以实际的饱和通行能力大于3420pcu/h，综上所述，方法三的结果最符合实际值，所以该条道路的理论最大通行能力为3814pcu/h。

（5）、根据每条车道的流量比例，可以计算出每条道上的当量。

左边为
1335pcu/h，中间为1678pcu/h，右边为800pcu/h。

所以可以列出方程组：
a*1335+b*1678+c*800=1148
a*800+b*1678+c*1335=1587
可以计算出a=c-0.82，a=0.23-0.78b，通过查阅相关数据，可知三车道换道对直行车道的影响，c=0.92，a=0.1，b=0.17，然后对两个视频不同占道情况的对通行能力的影响的综合分析，求出视频1：
0.35×0.1+0.44×0.17+0.21×0.92=0.303
视频2：0.35×0.92+0.44×0.17+0.21×0.1=0.4178
两者比值0.303/0.4178=0.72≈1148/1587，且通过计算视频一中的占道对通行能力总的影响为1148/3814≈0.3，视频二中的占道对通行能力总的影响为1587/3814≈0.416，综上所述符合实际情况。

下面列出关系式：
假设直车道为r，左车道为s，右车道为t
当挡住直和左车道时，对道路的综合影响为0.17r+s×0.1+t×0.92
当挡住直和右车道时，对道路的综合影响为0.17×r+0.1×t+0.92×s
当挡住左道和右车道时，对道路的综合影响为0.92×r+0.17×（s+t）
5.3问题（3）：构建数学模型，分析视频1中交通事故所影响的路段车辆排队
长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。

通过上面的分析，我们可以得出概括性的判断，就是
（1）交通事故的发生所占车道影响和实际通行能力，所占车道的位置不同，对于实际通行能力的影响也是不同的。

例如：事故占用左中车
道与占用中右车道对于实际通行能力影响不同，因为原本各个车道
有不同的行驶目标方向，而事故发生后，因为要换道，道与道之间
不同的车流速度也会彼此影响。

（2） 事故发生后，离未堵车道越远的车道，其换道到正常道路的困难程
度越大，因为中间还有车道被堵，所以我们根据车道距离正常车道
的距离有不同的影响，得到影响后的实际各车道通行能力。

所以得到： Y=A*Y1+B*Y2+C*Y3
其中：
Y1=3814*（左车道理论所占总路段比例）
Y2=3814*（中车道理论所占总路段比例）
Y3=3814*（右车道理论所占总路段比例）
（3） 交通事故发生后，随着时间的变化，上游车辆将在事故点减速，进
而后面的车辆也在前面的车辆影响下减速，所以将时间看成一小
段，在这一小段时间内，实际流量减去上游流量就是滞留未及时通
过的的车流量，车流量乘以时间就是滞留车辆，再乘以车长和车
距，就是总滞留距离，除以三条车道，就是实际堵车长度。

L= ))
((*3/1t
0dt Y X ⎰
-*（n+m ） (*) L 单位为米
X ，Y 单位为pcu/s
n,m 单位为米
时间单位为秒。

（4）验证模型
将视频1 的流入流量1296 pcu/h ，实际流量1148 pcu/h ，堵车60
M ，及时间2013-02-26 16:47:32-16:48:45共73 s 带入（*）式左边60，右边为63.021得到：相对误差为5.053%，说明所建模型较好的符合事实。

1. 5.4 问题（4）：将第四问中的数据代入第三问所建立的数学模型中，交
通事故所处横断面距离上游路口变为140米，路段下游方向需求不变，
路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零，且事
故持续不撤离。

估算，从事故发生开始，车辆排队长度到达上游路口的
时间。

带入求值：L=140 m
X=1500 pcu/h=0.41669 pcu/s
视频1所堵车道为左中，
所以Y=a*Y1+c*Y2+b*Y3=1148 pcu/h=0.318889 pcu/s
m=5 m ， n=2 m
把以上数据带入（*）L= ))
((*3/1t
0dt Y X ⎰
-*（n+m ） 得t=203.87 秒，即为第四问的结果。

6.模型的评价
6.1 模型的优点
(1)、通过表格及折线图表示实际通过能力的变化与车流量的关系；
(2)、利用数据及函数关系直观地表示出实际通过能力的变化过程；
(3)、用三种方法计算该条道路的理论通行能力。

通过视频一和二来验证理论饱和值的大小，较为客观地计算出车道实际饱和通行能力；
(4)、论文中将视频1 的流入流、实际流量、堵车及时间带入问题三进行验证，说明所建模型较好的符合事实。

6.2模型的缺点
(1)、模型未考虑车速及时间对于上游车流量及实际通过能力的影响，然而在实际中，车速及时间是影响实际通过能力的重要因素；
(2)、在模型中，对于车辆的分类及车长车距的计算有些粗糙。

(3)、实际中司机的主观能动性对实际通行能力也是有影响的。

参考文献
[1]刘红征. 浅谈从设计角度如何提高城市道路通行能力. 黑龙江：黑龙江交通科技，2012年第11期。

[2]交通部. 城市道路工程设计规范（CJJ 37-2012)。

[3]姜启源谢金星叶俊. 数学模型（第四版）.北京：高等教育出版社，2011。

[4]道路通行能力计算. ，2013年9月14日。

[5] 王智超．交通工程．，2013年9月14日。