广东省深圳市2019-2020学年高三下学期第二次线上统一测试数学(文)试题

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2019-2020学年广东省广州市、深圳市学调联盟高三(下)第二次调研数学试卷(文科)(4月份)(含答案解析)

2019-2020学年广东省广州市、深圳市学调联盟高三（下）第二次调研数学试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B.C. D.2.设复数z的共轭复数是，且，又与为定点，则函数取最大值时在复平面上以z，A，B三点为顶点的图形是A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形3.已知函数的图象过两点、，在内有且只有两个极值点，且极大值点小于极小值点，则A. B.C. D.4.在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，且，，，P为BC中点．过点P作交AC所在直线于Q，则在方向上投影的最大值是A. B. C. D.5.若深圳人民医院有5名医护人员，其中有男性2名，女性3名．现要抽调两人前往湖北进行支援，则抽调的两人刚好为一男一女的概率为A. B. C. D.6.若是数列的前n项和，，则是A. 等比数列，但不是等差数列B. 等差数列，但不是等比数列C. 等差数列，而且也是等比数列D. 既非等比数列，也非等差数列7.已知函数的定义域为R，当时，，且对任意的实数x，，等式成立，若数列满足，且，则下列结论成立的是A. B.C. D.8.执行如图所示的程序框图，输出的结果为A. B. C. D.9.已知F为双曲线C：的右焦点，过点F作C的渐近线的垂线FD，垂足为D，且满足为坐标原点，则双曲线C的离心率为A. B. 2 C. 3 D.10.如图，斜满足，，，其中表示a，b中较大的数时定义线段AC的中垂线上有一点D ，过点D作于点E，满足，则点D到外接圆上一点的距离最大值为A. 4B. 3C. 2D. 111.已知，给出下列四个命题：：，；：，；；；其中真命题的是A. ，B. ，C. ，D. ，12.已知函数的导函数是偶函数，若方程在区间其中e为自然对数的底上有两个不相等的实数根，则实数c的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.对于实数x，表示不超过x的最大整数，已知正数数列满足，，其中为数列的前n项的和，则______．14.方程在区间上的解为______．15.已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆：的左、右顶点分别为，直线l：交椭圆于P，Q两点，直线和直线相交于椭圆外一点R，则点R的轨迹方程为______．16.在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球，晃动此正方体，则小球可以经过的空间的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知是等差数列，是各项均为正数的等比数列，且，，．求数列，的通项公式．设，求数列的前n项和．18.如图，在多面体ABCDFE中，，四边形ABCD和四边形ABEF是两个全等的等腰梯形．求证：四边形CDFE为矩形；若平面平面ABCD，，，，求在多面体ABCDFE的体积．19.某省的一个气象站观测点在连续4天里记录的AQI指数M与当天的空气水平可见度单位：的情况如表1：M900700300100y该省某市2016年11月AQI指数频数分布如表2：M频数361263设，根据表1的数据，求出y关于x的线性回归方程；附参考公式：，其中，小李在该市开了一家洗车店，经统计，洗车店平均每天的收入与AQI指数由相关关系，如表M日均收入元200060008000根据表估计小李的洗车店该月份平均每天的收入．20.已知直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于A，B两点，线段AB的中点是，求椭圆的方程；过原点的直线l与线段AB相交不含端点且交椭圆于C，D两点，求四边形ACBD面积的最大值．21.已知函数．讨论函数的单调性；若对，，求实数a的取值范围．22.在极坐标系中，直线l的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为，以极点为坐标原点O，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，射线：与曲线C交于O，M两点．Ⅰ写出直线l的直角坐标方程以及曲线C的参数方程；Ⅱ若射线与直线l交于点N，求的取值范围．23.已知，函数，其中Ⅰ求使得等式成立的x的取值范围Ⅱ求的最小值求在上的最大值-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合，，．故选：B．先分别求出集合A和B，由此能求出．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：解：，设，则则，当，即，时取得最大值，最大值为，此时，，，，则，则对应三角形为等腰三角形，故选：D．根据复数的几何意义，结合复数模长公式进行计算即可本题主要考查复数的几何意义，利用三角函数的性质求出对应最值，结合复数模长公式是解决本题的关键．3.答案：C解析：【分析】由利用导数研究函数的极值及三角函数图象的性质逐一检验即可得解．本题考查了利用导数研究函数的极值及三角函数图象的性质，属中档题．【解答】解：由已知可得：，，所以或，当时，，所以，，若时，在有一个极大值点，不符合题意，若时，在极大值点为小于极小值点，符合题意，时，，所以，，若时，在有一个极小值点，不符合题意，若时，在极小值点为和极大值点，不符合题意，综合得：故选C．4.答案：C解析：解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，设，则，设直线AB，AC的斜率分别为，，由到角公式得：，化简得：，则，则，由在方向上投影的几何意义可得：在方向上投影为，则在方向上投影的最大值是，故选：C．先建系，再由到角公式得：，化简得：，则，则，再由在方向上投影的几何意义可得解．本题考查了到角公式及平面向量数量积的运算，属中档题．5.答案：C解析：解：深圳人民医院有5名医护人员，其中有男性2名，女性3名．现要抽调两人前往湖北进行支援，基本事件总数，抽调的两人刚好为一男一女包含的基本事件个数，则抽调的两人刚好为一男一女的概率为．故选：C．基本事件总数，抽调的两人刚好为一男一女包含的基本事件个数，由此能求出抽调的两人刚好为一男一女的概率．本题考查概率的求法，考查古典概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：B解析：解：，所以当时，，当时，，又，所以数列的通项公式为：，所以是等差数列不是等比数列．故选：B．是数列的前n项和，且，求出的通项公式判断即可．本题考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，考查等差数列与等比数列的定义，属于基础题．7.答案：A解析：解：对任意的实数x，，恒成立，令，，则，当时，，，则，，，则，即，且，当时，；当时，；当时，，数列是以3为周期的周期数列，，，，，，当时，，，进而得．设，且，则，，．即，是R上的减函数，故选：A．利用恒等式和赋值法求的值，由恒等式化简，得到数列的递推公式，依次求出、、，判断数列是周期数列，再由周期性求出、、、、，即可比较大小，选出答案项．本题考查数列与函数的综合运用，以及数列的周期性，一般采用赋值法，根据恒等式求出数列的递推公式是解决本题的关键．8.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，由于．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.答案：A解析：解：如图，F为双曲线C：的右焦点，FD与直线垂直，垂足为D，，则，，得，．故选：A．由题意画出图形，可得，结合隐含条件及离心率公式求解．本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．10.答案：C解析：解：由，可得C为锐角，设BC，AC的中垂线交于O，过D作OT的垂线，垂足为M，由，则，当且仅当，即时等号成立，所以，由，且，所以，即，又，所以，由正弦定理可得，即，故D到外接圆上一点的距离最大值为，故选：C．由，可得C为锐角，设BC，AC的中垂线交于O，过D作OT的垂线，垂足为M，结合两角和的正切公式和基本不等式可得C的范围，再由正弦定理和正弦函数的单调性，可得所求最大值．本题考查两点的距离最大值问题解法，涉及到正弦定理、三角函数恒等变换，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11.答案：D解析：【分析】作出平面区域，举反例或根据命题表示的几何意义判断．本题考查了线性规划的应用，属于中档题．【解答】解：作出集合D表示的平面区域如图所示：设为平面区域内的任意一点，则P在内部或边上．显然当P为时，，故而命题为假命题；作出直线，由图象可知在直线的上方，故而对于任意一点P，都有，故命题为真命题；取点，连结MB，MC，则，，，故命题错误；联立方程组，解得，故，故命题正确．故选：D．12.答案：B解析：解：，，是偶函数，，，设，，令得，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，要使方程在区间其中e为自然对数的底上有两个不相等的实数根，只需在区间上有两个不同的交点，，即解得，故选：B．先求导，根据导函数是偶函数得，再设求出单调性极值，由在区间其中e为自然对数的底上有两个不相等的实数根可求实数c的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，属于中档题．13.答案：20解析：【分析】本题考查等差数列的判定，考查利用放缩法证明数列不等式，属于较难题．由已知数列递推式可得数列是首项为1，公差为1的等差数列，求得结合，得，令，由求得S的范围，则答案可求．【解答】解：由，令，得，，得．当时，，即．因此，数列是首项为1，公差为1的等差数列，，即．由，得，令，，．．．故答案为：20．14.答案：解析：解：原方程右边，故原方程可化为：，即，解得，故，．故答案为：．先利用商数关系、倍角公式等将方程化简成一个三角函数的三角方程，然后求解．本题考查三角恒等变换及三角方程的求解问题．注意转化思想的应用．属于基础题．15.答案：解析：解：由椭圆的方程可得左、右顶点，的坐标分别为：，，直线l：整理可得，所以直线恒过直线和的交点，联立直线，解得，，即直线l：恒过为椭圆的右焦点；当直线PQ的方程的斜率不为0时，设直线为，设，直线PQ与椭圆联立，整理可得，则，，直线的方程为：，直线的方程为：，联立可得，即，即，整理可得，即，所以可得，当直线PQ的斜率为0时，即直线与椭圆的交点为长轴的顶点，直线和直线过也符合R的轨迹，综上所述，R的轨迹方程为，故答案为：．由椭圆的方程可得左右顶点，的坐标，再由直线l：整理可得，恒过直线和的交点，分直线PQ的斜率为0和不为0两种情况讨论，设直线PQ的方程与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，求出直线，的方程，两个方程联立可得，即求出交点R的轨迹，当直线PQ的斜率为0时两条直线的交点也在直线上求出两条直线的交点．本题考查直线恒过定点，及求两条直线的交点的轨迹问题，属于中档题．16.答案：解析：解：在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球，晃动此正方体，小球可以经过的空间的体积：．故答案为：．利用正方体体积公式和球的体积公式能求出小球可以经过的空间的体积．本题考查正方体中小球的可以经过的空间的体积的求法，考查正方体、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．17.答案：解：设数列的公差为d，的公比为q，依，，．得解得，，所以，；由知，则得：．所以．解析：设数列的公差为d，的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，可得d，q的方程组，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；求得，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18.答案：解：证明：分别取DF、CE的中点M，N，四边形ABCD和四边形ABEF是两个全等的等腰梯形，，且，四边形CDEF是平行四边形，，M为DF的中点，，同理，，为DF的中点，N为CE的中点，，且，，B，N，M四点共面，且四边形ABNM是以AB，MN为底的梯形，，，且AM，BN是平面ABNM内的相交线，平面ABNM，平面ABNM，，又，，四边形CDFE为矩形．解：连结AC，CF，作，垂足为H，则，，，，在中，，，平面ABEF，平面ABEF，平面ABEF，平面平面ABCD，，平面平面，平面ABCD，平面ABEF，点C到平面ABEF的距离为2，同理，点F到平面ABCD的距离为2，，，，，多面体ABCDFE的体积：．解析：分别取DF、CE的中点M，N，推导出四边形CDEF是平行四边形，从而，，，推导出，且，从而A，B，N，M 四点共面，且四边形ABNM是以AB，MN为底的梯形，推导出平面ABNM，，由，得，由此能证明四边形CDFE为矩形．连结AC，CF，作，垂足为H，则，多面体ABCDFE的体积，由此能求出结果．本题考查四边形为矩形的证明，考查多面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：根据表中数据，计算，，，，，，关于x的线性回归方程为；根据表3可知，该月30天中有3天每天亏损约2000元，有6天每天亏损约1000元，有12天每天收入约2000元，有6天每天收入约6000元，有3天每天收入约8000元，估计小李的洗车店该月份平均每天的收入约为元．解析：根据表中数据计算平均数与回归系数，即可写出线性回归方程；根据表3数据，计算洗车店该月份平均每天的收入值即可．本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题．20.答案：解：直线与x轴交于点，所以椭圆右焦点的坐标为，故．设，，则，，又，所以，则，得，又，，所以，，因此椭圆的方程为．联立方程，得，解得或．不妨令，易知直线l的斜率存在，设直线l：，代入，得，则或，设，，则．则，到直线的距离分别是，由于直线l与线段不含端点相交，所以，即，所以，四边形ACBD的面积，令，则，，，当，即时，，符合题意，因此四边形ACBD面积的最大值为．解析：令解出x值可得椭圆的右焦点的坐标，再由直线与椭圆联立可得两根之和，进而求出中点坐标，由题意可得a，b的关系，再由a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；由可得直线与椭圆联立求出A，B的坐标，设直线l的方程与椭圆联立可得C，D的坐标，进而求出弦长CD，再由A，B到直线CD的距离公式可得A，B到直线l的距离，四边形的面积转化为两个三角形，的面积，再由均值不等式求出面积的最大值．本题考查求椭圆的标准方程的方法，以及直线与椭圆的相交求相交弦长，点到直线的距离公式，均值不等式等的应用，属于中档题．21.答案：解：由题意知，的定义域为，由函数得；当时，令，可得，令，可得；故函数的增区间为，减区间为．当时，，令，可得，令，可得或，故的增区间为，减区间为，；当时，，故函数的减区间为；当时，，令，可得；令，可得或．故的增区间为，减区间为，．综上所述：当时，在上为减函数，在上为增函数；当时，在，上为减函数，在上为增函数；当时，在上为减函数；当时，在，上为减函数．在上为增函数．由可知：当时，，此时，；当时，，当时，，，可得，不合题意；当时，，由的单调性可知，当时，，不合题意；当时，，由的单调性可知，当时，，不合题意．综上可知：所求实数a的取值范围为：．解析：先求函数定义域，对函数求导得，分类讨论和的解集，即可得出的单调区间；根据讨论的单调性，分别讨论的取值范围，看是否满足条件，得出结果即可．本题考查了函数的单调性讨论，函数的恒成立问题，是综合性较强的题目，属于难题．22.答案：解：Ⅰ直线l的极坐标方程为，直线l的直角坐标方程为，曲线C的极坐标方程为，曲线C的直角坐标方程为，即．曲线C的参数方程为，为参数．Ⅱ设，，则，，，，的取值范围是解析：Ⅰ由直线l的极坐标方程能求出直线l的直角坐标方程；由曲线C的极坐标方程，求出曲线C的直角坐标方程，由此能求出曲线C的参数方程．Ⅱ设，，则，，从而，由此能求出的取值范围．本题考查直线的直角坐标方程、曲线的参数方程、两线段的比值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.答案：解：Ⅰ由，故时，；当时，，则等式成立的x的取值范围是；Ⅱ设，，则，．由，解得，负的舍去，由的定义可得，即；当时，；当时，．则．解析：Ⅰ由，讨论时，，去掉绝对值，化简，判断符号，即可得到成立的x的取值范围；Ⅱ设，，求得和的最小值，再由新定义，可得的最小值；分别对当时，当时，讨论的最大值，即可得到在上的最大值．本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论的思想方法，以及二次函数的最值的求法，不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。

2020年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试(文科数学)参考答案

已知数列{an}的首项 a1
=
2 3
， an+1an
+
an+1
=
2an
(an
0, n N*) ．
（1）证明：数列{ 1 −1}是等比数列； an
（2）数列
n {
an
}
的前
n
项和
Sn
．
解：（1） an+1an + an+1 = 2an (an 0, n N*) ，
1 = an +1 = 1 + 1 1 ， an+1 2an 2 2 an
f
( x1 )
=
(1 +
a ) ex1 x1
=
(1 −
x2 ) ex1
，
f
(x2 )
= (1− x1) ex2
，
所以 ln f (x2 ) = ln(1− x1) ex2 = ln(1− x1) + x2 ，
ln f (x1) = ln(1− x2) ex1 = ln(1− x2) + x1 ，
所以 ln
所以 f (x) 在 (− , x1) 上是增函数，在 (x1 , 0) 是减函数.
……………3 分
由 f (x) = (1+ a )ex = x + a ex 可知，
x
x
当 x = −a 时， f (x) = 0 ，当 x −a 时， f (x) 0 ，当 −a x 0 时， f (x) 0 ，
即1 an
=
1 2n
+1，
n an
=
n 2n
+n．
…………………………9 分

广东省广州、深圳市学调联盟2019-2020学年高三下学期第二次调研数学(文)试题

示 a，b 中较大的数（ a b 时定义 max a, b a b ）．线段 AC 的中垂线上有一点 D，过点 D 作 DE BC
于点 E，满足 AB BE CE ，则点 D 到 ABC 外接圆上一点的距离最大值为（）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
x y 2 0
11.记不等式组
B. 直角三角形 D. 等腰三角形
3.已知函数 f x sin x 0, 0 的图象过两点 A(0,
2 2
),
B(
4
,
0)
，
f
(
x)
在
(0,
4
)
内有
且只有两个极值点，且极大值点小于极小值点，则 f x （）
A.
f
x
sin
3x
4
B.
f
x
sin
5x
3 4
C.
f
x
sin
7x
4
D.
f
x
sin
9x
3 4
4.在同一平面内，已知 A 为动点，B，C 为定点，且∠BAC= ， ACB ，BC=1，P 为 BC 中点．过点 P
3
2
作 PQ⊥BC 交 AC 所在直线于 Q，则 AQ 在 BC 方向上投影的最大值是（）
A. 1 3
B. 1 2
C. 3 3
形.
（1）求证：四边形 CDFE 为矩形；（2）若平面 ABEF 平面 ABCD ， AB 2 ， CD 6 ， AD 2 2 ，求多面体 ABCDFE 的体积.
则点 R 的轨迹方程为_______________． 16.在棱长为 4 的密封正方体容器内有一个半径为 1 的小球，晃动此正方体，则小球可以经过的空间的体积

广东省深圳市2019届高三下学期第二次调研(二模)文科数学试卷及答案

绝密★启用前试卷类型：A深圳市2019年高三年级第二次调研考试数学（文科） 2019．4本试卷共6页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．2．复数21i+的共轭复数是3．已知双曲线C ：()22210x y a a −=>的渐近线方程为3y x =±，则该双曲线的焦距为（A ）(0,1)（B ）(0,3)（C ）(1,2)（D ）(2,3)（A ）1i +（B ）1i −（C ） 1i −+（D ）1i −−注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答． 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}220A x x x =−< ，{}13B x x =<<，则A B =4．某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图．若从每周使用时间在[)15,20，[)20,25，[]25,30三组内的学生中，用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[)20,25内的学生中选取的人数为5．已知角α为第三象限角，若πtan()34α+=，则sin α=6．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为7．若函数π()sin()6f x x ω=−(0)ω>图象的两个相邻最高点的距离为π，则函数)f x (的一个单调递增区间为（A ）8π3（B ）10π3（C ）14π3（D ）10π第6题图第4题图0.04 0.06 O5 10 15 20 25 300.010.02 a（A 2（B ）2 （C ）22 （D ）4（A ）1（（C （D ）4（A ）25（B ）5（C 5 （D 258．函数21()lgxf xx−=的图象大致为10．已知正方体1111ABCD A B C D−，P为棱1CC上的动点，Q为棱1AA的中点，设直线m为平面BDP与平面11B D P的交线，以下关系中正确的是11．已知1F、2F分别是椭圆C：2222+10x ya ba b=>>（）的左、右焦点，点A是1F关于直线bx ay ab+=的对称点，且2⊥AF x轴，则椭圆C的离心率为（A）ππ,63⎡⎤−⎢⎥⎣⎦（B）ππ,22⎡⎤−⎢⎥⎣⎦（C）ππ,36⎡⎤−⎢⎥⎣⎦（D）π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦第10题图（A）14（C）13（D）12（A）//m1D Q（B）//m平面11B D Q（C）1m B Q⊥（D）m⊥平面11ABB A（A）312（B）12（C）512（D）32（A）（B）（C）（D）9．十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即：“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长大于这个圆的内接正三角形边长的概率是多少？”贝特朗给出了“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理求解的方法，但结果都不相同，这类悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．其中“随机端点”的求法如下：设A为圆O上的一个定点，在圆周上随机取一点B，连接AB，求所得弦长大于圆O的内接正三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为15（B）12．若函数()ln f x x x a x =−−在区间(1,)+∞上存在零点，则实数a 的取值范围为第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设函数23, 0,()(2), 0,x x x f x f x x ⎧+≥=⎨+<⎩则(3)f −＝______________．14．设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且6c =，1cos 4C =−，三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足12a =,122nn n a a +=++()n *∈N ．（1）判断数列{2}nn a −是否为等差数列，并说明理由；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求n S ．（A ）1(0,)2（B ）1(,e)2（C ） (0+)∞，（D ）1(,)2+∞第16题图(1)A'BDC第16题图(2)sin 2sin A B =，则b ＝______________．15．已知等边ABC ∆的边长为2，若点D 满足=2AD DC ，则=BD AC ⋅______________． 16．如图（1），在等腰直角ABC ∆中，斜边4AB =， D 为AB 的中点，将△ACD 沿CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥C A BD '−．若三棱锥C A BD '−的外接球的半径为5，则A DB '∠=______________．ABCD18．（本小题满分12分）某网店经销某商品，为了解该商品的月销量y （单位：千件）与当月售价x （单位：元/件）之间的关系，收集了5组数据进行了初步处理，得到如下数表：x 5 6 7 8 9 y864.53.53（1）统计学中用相关系数r 来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱，若[0.75,1]r ∈，则认为相关性很强；若[0.3,0.75)r ∈，则认为相关性一般；若[0,0.25]r ∈，则认为相关性较弱. 请根据上表数据计算y 与x 之间的相关系数r （精确到0.01），并说明y 与x 之间的线性相关关系的强弱；（2）求y 关于x 的线性回归方程；（3）根据（2）中的线性回归方程，估计当售价x 定为多少时，月销售金额最大？(月销售金额=月销售量⨯当月售价) 附注：参考数据：16512.85≈，参考公式：相关系数12211()()()()niii n niii i x x y y r x x y y ===−−=−−∑∑∑，线性回归方程y bx a =+，121()()()niii nii x x y y b x x ==−−=−∑∑，a y bx =−.19．（本小题满分12分）在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别为边AB 、AD 的中点，以CE 和CF 为折痕把△DFC 和△BEC 折起，使点B 、D 重合于点P 位置，连结PA ，得到如图所示的四棱锥P AECF −.（1）在线段PC 上是否存在一点G ，使PA 与平面EFG 平行？若存在，求PGGC的值；若不存在，请说明理由.（2）求点A 到平面PEC 的距离．CD FP20．（本小题满分12分）设点P 是直线2y =−上一点，过点P 分别作抛物线2:4C x y =的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点. （1）若点A 的坐标为1(1,)4，求点P 的横坐标；（2）当△ABP 的面积为272时，求AB . 21．（本小题满分12分）已知函数()e +21xf x a x =−，其中常数e 2.71828......=，是自然对数的底数．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：对任意的1a ≥，当0x >时，()(e)f x x a x ≥+．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,sin ,αα=⎧⎨=⎩x y （α为参数），圆2C 的方程为22(2)4x y −+=，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为0θθ=(0)ρ≥．（1）求曲线1C 和圆2C 的极坐标方程；（2）当0π02θ<<时，若射线l 与曲线1C 和圆2C 分别交于异于点O 的M 、N 两点，且||2||ON OM =，求△2MC N 的面积．23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数1()||||(1)f x x m x m m=−++>．（1）当2m =时，求不等式()3f x >的解集；（2）证明：1()3(1)f x m m +≥−．2019年深圳市高三第二次调研考试文科数学试题答案及评分参考第Ⅰ卷一．选择题（1） C （2） A （3） D （4） C （5） B （6）C （7） A （8） B （9） C （10）B （11）C （12）D12.【解法1】22()12a x af x x x'==．注意到函数2y x =()1+∞，上单调递增，且21x >．若12a ≤，则120a −≥，则()0f x '>，函数()f x 在()1+∞，上单调递增，故()(1)0f x f >=，不合题意，应舍去．当12a >12a >()01x ∈+∞，()01x x ∈，()f x ()0,x x ∈+∞(1)0f =0()0f x <()2(1)0f a +>，通过研究直线()1+∞，与曲线l n 0x x a x −−=的位置关系，易知(1)t x t =>，所以12a >. 【解法3】此题作为选择题，结合答案是有一些较为灵活的解题方法的，比如可以将问题转化为直线22l n 0(1)t t a t t −−=>与a =在()1+∞，上有交点，注意到0a ≠和函数()ln h x a x =的凹凸性以及(), ()g x h x 均过点()1,1，故可研究()h x 在()1,1处的切线即可．二．填空题：13．4 14．115．23 16．2π316【解法1】设A BD '∆的外接圆半径为r ，2A DB θ'∠=，其中π(0,)2θ∈．由正弦定理易得12a >时，此时存在()01x ∈+∞，，使得当()01x x ∈，时，()f x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()f x 单调递增．因为(1)0f =，所以0()0f x <．又因为()2(1)0f a +>，故此时()f x 在()1+∞，上必定存在零点．综上所述，答案为D ．【解法2】函数()f x 在()1+∞，上存在零点，即方程ln 0x x a x −−=在()1+∞，上有解，设(1)t x t =>，则方程可化为22ln 0(1)t t a t t −−=>，显然当0a =时，方程在()1+∞，上无解；当0a ≠时，方程可化为4sin 2sin 2r θθ=，故1cos r θ=解得1cos =2θ，所以A DB '∠2π=2=3θ．【解法2】设A BD '∆的外接圆半径为r ，2A DB θ'∠=，其中π(0,)2θ∈，并设A B '中点为M ，DM b =，A M a '=，则有222()a b r r +−=，由于224a b +=，由此可得2br =，又因为21=5r +，所以=2r ，而11cos =22b r θ==，所以A DB '∠2π=2=3θ． n n n n n S n n ++−⨯−=+=−+−−. …………………………12分【命题意图】本题主要考查数列的递推公式，等差数列的证明方法，分组求和法以及等差、等比数列的前n 项和公式等知识，重点考查等价转换思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．18．（本小题满分12分）某网店经销某商品，为了解该商品的月销量y （单位：千件）与售价x （单位：元/件）之间的关系，收集了5组数据进行了初步处理，得到如下数表：（1）统计学中用相关系数r 来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱，若[0.75,1]r ∈，则三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足12a =,122nn n a a +=++()n *∈N ．（1）判断数列{2}nn a −是否为等差数列，并说明理由；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求n S ．【解析】(1) 设2n n n b a =−，则1112n n n b a +++=−，……………………………2分则1111(2)(2)2n n n n n n n n n b b a a a a ++++−=−−−=−−， ……………………4分(22)22nnn n a a =++−−=()n *∈N ， ……………………………5分所以，数列{2}nn a − 是首项为0，公差2d =的等差数列．………………6分 (2)由（1）可知20(1)nn n a −=+−2， …………………………………………8分 ∴ 22(1)nn a n =+−，………………………………………………………………9分∴[]120(1)2(12)22122认为相关性很强；若[0.3,0.75)r ∈，则认为相关性一般；若[0,0.25]r ∈，则认为相关性较弱. 请计算相关系数r ，并说明y 与x 之间的线性相关关系的强弱（精确到0.01）；（2）求y 关于x 的线性回归方程；（3）根据（2）中的线性回归方程，应将售价x 定为多少，可获取最大的月销售金额？解：(1)由表中数据和附注中的参考数据得，7x =，5y =， ………………………………1分521()10ii x x =−=∑，521()16.5i i y y =−=∑，……………………………………………2分51()()12.5iii x x y y =−−=−∑，0.97r ≈≈− ……………………………3分因为0.97[0.75,1]r ≈−∈， ………………………4分说明y 与x 的线性相关关系很强．.……………………………………………………5分（2）由（1）可知121()()12.51.2510()niii nii x x y y b x x ∧==−−−===−−∑∑ ………………………7分 ∧∧=⋅⋅−+（元）或者2= 1.2513.75z y x x x ∧∧=⋅−+（千元） ………10分则当 5.5x =时，z ∧PGGC的值；若不存在，请说明理由.5 1.25713.75a y b x ∧∧∴=−=−−⨯=（），…………………………………………… 8分 1.2513.75y x ∧∴=−+……………………………………………………………………9分（3）由题意可知，月销售额的预报值21000=125013750z y x x x 取到最大值，即该店主将售价定为5.5元/件时，可使网店的月销售额最大. ……12分【命题意图】本题旨在考查概率统计在实际问题中的应用，以研究相关系数，线性回归，二次函数等知识为载体，考查了学生的数学运算、数学建模等数学核心素养． 19．（本小题满分12分）在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别为边AB 、AD 的中点，以CE 和CF 为折痕把△DFC 和△BEC 折起，使点B 、D 重合于点P 位置，连结PA ，得到如图所示的四棱锥P AECF −.（1）在线段PC 上是否存在一点G ，使PA 与平面EFG 平行，若存在，求（2）求点A 到平面PEC 的距离．解：（1）线段PC 上的点G 满足13PG GC =时，PA 与平面EFG 平行． ………1分证明如下：连结EF ，EG ，FG ，AC ，记AC 与EF 的交点为O ，连结OG ．在正方形ABCD 中，∵E 、F 分别为边AB 、AD 的中点， ∴13AO OC =， ……………………2分故13AO PG OC GC ==， ……………………3分 ∴PA // OG ． ……………………4分∵PA EFG ⊄平面，OG EFG ⊂平面,∴ //PA EFG 平面． ……………………6分（2）解法一：在正方形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，翻折后PC PE ⊥，PC PF ⊥，又PE PF P =，PC ∴⊥平面PEF ． ……………………8分记AC 与EF 的交点为O ，连结PO ，可知△OPC 为直角三角形，2OP =，4PC =，32OC =，设P 到直线AC 的距离为h ，4232h =⋅，43h ∴=． ……………………9分33239P AEC AEC V S h −∆∴=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=，142PCE S PC PE ∆=⋅⋅=，设点A 到平面PCE 的距离为h '，AEF PAC⊥平面E F A E C F ⊂平面C C⊥平面平面C C C平面平面OPC OC,,PC EF AC EF ACPC C ⊥⊥=,∴EF PAC ⊥平面EF AECF ⊂平面,∴ PAC AEC ⊥平面平面 ∵ =PACAEC AC 平面平面∴ △OPC 斜边OC 上的高h 即为三棱锥-P AEC 的高． ……………………10分111416241433A PCE PCE V S h h −∆''∴=⋅⋅=⋅，41639h '∴=，解得4=3h '． …………………12分解法二：在正方形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，翻折后PC PE ⊥，PC PF ⊥，又PE PF P =，PC ∴⊥平面PEF ， ……………………8分记AC 与EF 的交点为O ，连结PO ，可知△OPC为直角三角形，OP =4PC =，OC =易得P 到直线AC 的距离为43， ……………………9分 238342421=⋅⋅=∴ΔPAC S ，,,PC EF AC EF ACPC C ⊥⊥=,∴ EF PAC ⊥平面，-1116=339P AEC E PAC PAC V V S OE −∆∴=⋅⋅==，又142PCE S PC PE ∆=⋅⋅=，设点A 到平面PCE 的距离为h ， 1433A PCE PCE V S h h −∆∴=⋅⋅=⋅，41639h ∴=，解得4=3h 1=⋅⋅=ΔPOCS ． ……………………9分 ,,PC EF AC EF ACPC C ⊥⊥=，∴EF PAC ⊥平面，3422231=⋅⋅=∴E-POC V ，BCDEFPO． …………………12分解法三：在正方形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，翻折后PC PE ⊥，PC PF ⊥，又PE PF P =，PC ∴⊥平面PEF ． ……………………8分记AC 与EF 的交点为O ，连结PO ，可知△OPC 为直角三角形，OP =4PC =，OC =易得22242-44416=3339E PAC E POC V V −∴=⋅=，又142PCE S PC PE ∆=⋅⋅=，设点A 到平面PCE 的距离为h ， 1433A PCE PCE V S h h −∆∴=⋅⋅=⋅，41639h ∴=，解得4=3h ． …………………12分【说明】本题以翻折问题为载体考查空间中点，线，面的位置关系，线面平行的性质定理的应用，点到平面的距离等知识，意在考查考生的空间想象能力，逻辑推理能力以及运算求解能力．20．（本小题满分12分）设点P 是直线2y =−上一点，过点P 分别作抛物线2:4C x y =的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点.（1）若点A 的坐标为1(1,)4，求点P 的横坐标；（2）当△ABP 的面积为272时，求AB . 【解析】（1）由214y x =，所以12y x '=， ……………………………………1分因为1(1,)4A ，由导数的几何意义知，切线PA 的斜率111=22PA k =⨯，……………………2分所以切线PA 的方程为11:(1)42−=−PA l y x ，即1124=−y x ，………………………3分又因为点P 为直线2y =−与直线1124=−y x 的公共点，联立2y =−与1124=−y x ，可得P 点横坐标为72−．.…………………………4分（2）法一：不妨设1122(,),(,)A x y B x y ，0(,2)P x −，由（1）可知112PA k x =，即直线PA 的方程为1111()2−=−y y x x x ，即111:2PA l y x x y =−，同理可得221:2PB l y x x y =−，…………………………5分因为切线PA ，PB 均过点0(,2)P x −，所以0110222222x x y x x y ⎧−=−⎪⎪⎨⎪−=−⎪⎩， ……………6分所以1122(,),(,)x y x y 为方程22x x y −=−的两组解，所以直线AB 的方程为022x x y −=−，即0:22AB xl y x =+.…………………7分联立02224x y x x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得20280x x x −−=，显然0∆＞，由韦达定理得，120122,8x x x x x +==−， ……………………………………8分所以AB ==， …………9分又因为点P 到直线AB的距离d =， …………………………10分所以322020111274(8)22222ABPx S AB d x ∆⎛=⋅=+=+= ⎝，………11分解得201x =，所以=AB . ………………………12分法二：不妨设1122(,),(,)A x y B x y ，由（1）可知直线PA 的方程为21124x x y x =−，同理，直线PB 的方程为22224x x y x =−，…………………………………………5分联立解得1212(,)24x x x x P +，…………………………………………………………6分又点P 在直线2y =−，所以1224x x=−，128x x =−， …………………………7分设直线AB 的方程为y kx m =+，联立24x y y kx m⎧=⎨=+⎩，可得2440x kx m −−=，由韦达定理得124x x k +=，1248x x m =−=−，可得2m =，(2,2)P k −，…………………………………………………………8分所以||AB == …………………9分又因为点P 到直线AB的距离为2d =， ……………………………10分所以3222127||4(2)22ABP S AB d k ∆=⋅==+=，…11分解得214k =，所以||2ln()x a <−，由()0f x '<解得2ln()x a>−．故()f x 在2,ln()a ⎛⎫−∞− ⎪⎝⎭上单调递增，在2ln()a⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减． …………………………4分综上所述，当0a ≥时，()f x 在R 上单调递增；当0a <时， ()f x 在2,ln()a ⎛⎫−∞− ⎪⎝⎭上单调递增，在2ln()a⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减． …………………………5分（2）证法一：原不等式等价于e 12e 0x x x a ax a−−+−≥． ………………6分令e 12()e x x g x x a ax a =−−+−，则2(1)(e 1)()x x a x g x ax −−−'=．…………………7分当1a ≥时，e 1e 1x xa x x −−≥−−，…………………8分AB = ………………………12分【命题意图】本题以直线与抛物线为载体，及其几何关系为背景，利用方程思想解决几何问题，主要考查抛物线的切点弦，直线与抛物线的位置关系等知识，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力. 21．（本小题满分12分）已知函数()e +21xf x a x =−，其中常数e 2.71828......=，是自然对数的底数．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：对任意的1a ≥，当0x >时，()(e)f x x a x ≥+．【解析】（1）()e 2xf x a '=+． …………………………1分① 当0a ≥时，()0f x '>，函数()f x 在R 上单调递增；………………………2分 ② 当0a <时，由()0f x '>解得令()e 1x h x x =−−，则当0x >时，()e 10xh x '=−>，∴ 当0x >时，()h x 单调递增，即()(0)0h x h >=， ………………………10分 ∴ 当01x <<时，()0g x '<；当1x =时，()0g x '=；当1x >时，()0g x '>， ∴ ()(1)0g x g ≥=． ………………………11分即e 12e 0x x e x x−−−+≥，…………10分令xaaxa−−+−≥，则()(e)f x x a x ≥+，易证当0x >时，()()2e e 1xa x x −≥−，∴当()e e x g x x =−时，()e e x g x '=−，当1x <时，()0g x '<， ∴函数1x >在()0g x '>上单调递减，在()(1)0g x g ≥=上单调递增， ∴e e 0xx −≥， …………………11分∴1x =，即e 1e 20x x x x−−−+≥，从而，对任意的0x >，当1x ≠时，e e 0x x −>． …………………………12分x a ax a−−+−≥，故()(e)f x x a x ≥+． ………………12分证法二：原不等式等价于()()2e e 1xa x x −≥−． ………………………6分令()e e x g x x =−，则()e e xg x '=−．当1x <时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>．∴()(1)0g x g ≥=，即e e 0xx −≥，当且仅当1x =时等号成立．…………………7分当1x =时，()()2e e 1xa x x −≥−显然成立；当0x >且1x ≠时，e e 0xx −>．欲证对任意的1a ≥，()()2e e 1xa x x −≥−成立，只需证()2e e 1xx x −≥−．……9分思路1： ∵0x >，∴不等式()2e e 1xx x −≥−可化为1e 20x x思路2：令()21+e ()e xx xx ϕ−=，则(1)(e 3)()e xx x x ϕ−−+−'=．()0 3e 1x x ϕ'>⇒−<<，()0 103e x x x ϕ'<⇒><<−或．∴()x ϕ在(0,3e)−上单调递减，在(3e 1)−，上单调递增，在(1+)∞，上单调递减． …………………………11分∵ (0)=(1)1ϕϕ=，∴ ()21+e ()1e xx x20ln 1a ⎛⎫<<⎪⎝⎭．当20ln x a ⎛⎫<< ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减；当2ln x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增．②—（i ）：若22e 1a ≤<−，则()(0)1e +20h a =−≤． ∵ 2ln(1)0h h a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭∴ 当()0,1x ∈时，()=()0g x h x '<；当()1+x ∈∞，时，()=()0g x h x '>．与①同，不等式成立． …………………………9分x ϕ−=≤，即()21e e x x x −≤−．从而，对任意的1a ≥，当0x >时，()(+e)f x x a x ≥． …………………………12分证法三：原不等式等价于2e 21e 0x a x x a x +−−−≥．令()2()e e 21xg x a x a x =−−−−，则()()e 2e 2xg x a x a '=−−−． ……………6分令()()e 2e 2xh x a x a =−−−，则()e 2xh x a '=−，其中0x >．① 当2a ≥时，()0h x '>．()h x 在()0+∞，上单调递增．注意到(1)0h =，故当()0,1x ∈时，()=()0g x h x '<；当()1+x ∈∞，时，()=()0g x h x '>． ∴ ()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增．∴ min ()=(1)0g x g =，即()(e)f x x a x ≥+． …………………………7分 ② 当12a ≤<时，②—（ii ）：若21e 1a ≤<−，则()(0)1e +2>0h a =−， ∵ 2ln(1)0h h a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭， ∴ 020,ln x a ⎛⎫⎛⎫∃∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()00h x =，且当()00,x x ∈时，()=()0g x h x '>；当()01x x ∈，时，()=()0g x h x '<；当()1+x ∈∞，时，()=()0g x h x '>． ∴ ()g x 在()00,x 上单调递增，在()01x ，上单调递减，在()1,+∞上单调递增． ∵ (0)=10g a −≥，(1)=0g∴ 此时，()0g x ≥，即()(e)f x x a x ≥+．综上所述，结论得证． …………………………12分【命题意图】本题旨在考查导数在研究函数时的应用，以研究单调性，证明不等式等为载体，综合考查学生的分类讨论、化归转化、数形结合等数学思想，考查了学生的数学运算、逻辑推理等数学核心素养．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,sin ,αα=⎧⎨=⎩x y （α为参数），圆2C 的方程为22(2)4x y −+=，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为0θθ=(0)ρ≥．（1）求曲线1C 和圆2C 的极坐标方程；（2）当0π02θ<<时，若射线l 与曲线1C 和圆2C 分别交于异于点O 的M 、N 两点，且||2||ON OM =，求△2MC N 的面积．解：（1）由2cos ,sin αα=⎧⎨=⎩x y 消去参数α可得1C 的普通方程为2214x y +=，……………1分把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得22(cos )(sin )14ρθρθ+=，即222244cos 4sin 13sin ρθθθ==++，所以1C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+； ………………………3分把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入22(2)4x y −+=，得4cos ρθ=，所以2C 的极坐标方程为4cos ρθ=． ………………………5分（2）把0θθ=代入22413sin ρθ=+，得220413sin ρθ=+M ，把0θθ=代入4cos ρθ=，得04cos ρθ=N ， ………………………6分由||2||ON OM =，得2N M ρρ=，即224N M ρρ=，即202016(4cos )13sin θθ=+， ………………………7分∵ 0π02θ<<，∴ 0sin 3θ=，0cos θ=，∴ 3ρ=M，04cos ρθ==N ， …………………8分 ∴ △2MC N 的面积222∆∆∆=−MC N C N C M O O S S S2011||()sin 222ρρθ=−⋅=⨯N M OC ．……………………10分【命题意图】本题主要考查了椭圆，圆的极坐标方程与直角坐标方程以及参数方程的互化、极径ρ的几何意义与应用等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．考察考生的化归与转化能力．23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数1()||||(1)f x x m x m m=−++>．（1）当2m =时，求不等式()3f x >的解集；（2）证明：1()3(1)f x m m +≥−．解：（1）当2m =时，1()|2|||2f x x x =−++， ………………………1分①当12x ≤−时，原不等式等价于1(2)()32x x −−+>，解得34x <−，……………2分 ②当122x −<<时，原不等式等价于532>，不等式无解， ……………3分 ③当2x ≥时，原不等式等价于()12+32x x ⎛⎫−+> ⎪⎝⎭，解得94x >，………………4分综上，不等式()3f x >的解集为39(,)(,)44−∞−+∞； ………………5分（2）由题11()||||||f x x m x m m m=−++≥+， ………………………6分 0m >，11||m m m m∴+=+， 1()f x m m ∴≥+，当且仅当1,x m m ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦时等号成立． ………………7分 11111()(1)1(1)(1)11f x m m m m m m m m m m ∴+≥++=+=−++−−−−，1m >，10m ∴−>，1(1)1131m m ∴−++≥+=−，…………9分 1()3(1)f x m m ∴+≥−，当2m =，且1[,2]2x ∈−时等号成立．……………………10分【说明】本题主要考查绝对值三角不等式以及不等式的解法，分段函数，基本不等式等知识点，重点考查分类讨论，数形结合的思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．。

2020年深圳市高三二模文科数学试卷(含答案和解析)

2020年广东深圳文科高三二模数学试卷注意事项:1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2. 请将答案正确填写在答题卡上。

一、标题A.B.C.D.1.设集合，，则（）．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（）．A.或B.或C.D.3.已知点和在直线的两侧，则实数的取值范围是（）．4.已知是上的减函数，那么实数的取值范围是（）．A.B.C.D.，，5.一个容量为的样本，其数据分组与各组的频数如下表：组别频数则样本数据落在上的频率为（）．A.B.C.D.6.在中，是边上一点，，，，则（）．A.B.C.D.7.（）．A.B.C.D.8.已知抛物线，过点作倾斜角为的直线，若与抛物线交于、两点，弦的中垂线交轴于点，则线段的长为（）．A.B.C.D.9.如图，在四面体中，截面是正方形，现有下列结论：①，②截面，③，④异面直线与所成的角为，其中所有正确结论的编号是（）．A.①③B.①②④C.③④D.②③④10.已知函数（）的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是（）．A.函数的图象关于直线对称B.函数的图象关于点对称C.函数在区间上单调递减D.函数在上有个零点，11.已知函数是上的奇函数，函数是上的偶函数，且，当时，，则的值为（）．A.B.C.D.12.已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点，点是双曲线在第一象限内的点，直线、分别交双曲线的左右支于另一点、，若，且，则双曲线的离心率为（）．A.B.C.D.13.已知轴为曲线的切线，则的值为．14.已知为数列的前项和，若，则．15.在中，若，则的值为．16.已知球的半径为，则它的外切圆锥体积的最小值为．（1）（2）17.已知数列的首项，．证明：数列是等比数列．数列的前项和．（1）（2）（3）18.随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出吨该商品可获利润万元，未售出的商品，每吨亏损万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如右图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了吨该商品．现以（单位：吨，）表示下一个销售季度的市场需求量，（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．需求量频率组距将表示为的函数，求出该函数表达式．根据直方图估计利润不少于万元的概率．根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量的平均数与中位数的大小（精确到）．19.如图所示，四棱锥中，平面．，，，为的中点．（1）（2）求证：平面．求点到平面的距离．（1）（2）20.已知椭圆：，、分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，求的最大值，并证明你的结论．若、分别是椭圆长轴的左、右端点，设直线的斜率为，且，求直线的斜率的取值范围．（1）（2）21.已知函数（为自然对数的底数），其中．在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．若函数的两个极值点为：，，证明：．（1）（2）22.在平面直角坐标系中，直线（为参数，），曲线（为参数），与相切于点，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．求的极坐标方程及点的极坐标．已知直线与圆交于，两点，记的面积为，的面积为，求的值．（1）（2）23.已知．当时，解不等式．若存在实数，使得关于的不等式有实数解，求实数的取值范围．2020年广东深圳文科高三二模数学试卷答案注意事项:1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2. 请将答案正确填写在答题卡上。

2020年广东省深圳市高考数学二模试卷(文科)(有答案解析)

2020年广东省深圳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，，则A. B. C. D.2.棣莫弗公式为虚数单位是由法国数学家棣莫弗发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知点和在直线的两侧，则a的取值范围是A. 或B. 或C. D.4.已知是上的减函数，那么实数a的取值范围是A. B. C. D.5.组别频数1213241516137则样本数据落在上的频率为A. B. C. D.6.如图，在中，，，，则的值为A. B. C. D.7.等于A. B. C. D.8.已知抛物线，过点作倾斜角为的直线l，若l与抛物线交于B、C两点，弦BC的中垂线交x轴于点P，则线段AP的长为A. B. C. D.9.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，现有下列结论：截面PQMN异面直线PM与BD所成的角为其中所有正确结论的编号是A.B.C.D.10.已知函数的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是A. 函数的图象关于直线对称B. 函数的图象关于点对称C. 函数在区间上单调递减D. 函数在上有3个零点11.已知函数是R上的奇函数，函数是R上的偶函数，且，当时，，则的值为A. B. C. D.12.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点P是双曲线在第一象限内的点，直线PO，分别交双曲线C的左、右支于另一点M，N，若，且，则双曲线的离心率为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x轴为曲线的切线，则a的值为______．14.已知为数列的前n项和，若，则______．15.在中，若，则的值为______．16.已知球O的半径为r，则它的外切圆锥体积的最小值为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列的首项，，，2，求证数列为等比数列；求数列的前n项和．18.随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润万元，未售出的商品，每1吨亏损万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以单位：吨，表示下一个销售季度的市场需求量，单位：万元表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．将T表示为x的函数，求出该函数表达式；根据直方图估计利润T不少于57万元的概率；根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x的平均数与中位数的大小保留到小数点后一位．19.如图所示，四棱锥中，平面ABCD，，，，M为SB的中点．求证：平面SCD；求点B到平面SCD的距离．20.已知椭圆，、分别是椭圆C的左、右焦点，M为椭圆上的动点．求的最大值，并证明你的结论；若A、B分别是椭圆C长轴的左、右端点，设直线AM的斜率为k，且，求直线BM的斜率的取值范围．21.已知函数为自然对数的底数，其中．在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．若函数的两个极值点为，，证明：．22.在平面直角坐标系xOy中，直线：为参数，，曲线：为参数，与相切于点A，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．求的极坐标方程及点A的极坐标；已知直线：与圆：交于B，C两点，记的面积为，的面积为，求的值．23.已知．当时，解不等式；若存在实数，使得关于x的不等式有实数解，求实数m 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合，，，．故选：C．求函数的定义域得集合B，再根据补集与交集的定义运算即可．本题考查了求函数的定义域和集合的运算问题，是基础题．2.答案：C解析：解：由，得，复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限．故选：C．由题意可得，再由三角函数的符号得答案．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查三角函数值的符号，是基础题．3.答案：C解析：解：点与，在直线的两侧，两点对应式子的符号相反，即，即，解得，故选：C．根据二元一次不等式组表示平面区域，以及两点在直线两侧，建立不等式即可求解．题主要考查二元一次不等式表示平面区域，利用两点在直线的两侧得对应式子符号相反是解决本题的关键．4.答案：C解析：解：是上的减函数，满足，即，解得，故选：C．根据分段函数单调性的性质，列出不等式组，求解即可得到结论．本题主要考查函数的单调性的应用，根据复合函数单调性的性质是解决本题的关键．5.答案：B解析：解：由频率分布表知，样本数据落在上的频率为：．故选：B．由频率分布表计算样本数据落在上的频率值．本题考查了利用频率分布表计算样本数据的频率问题，是基础题．6.答案：D解析：解：在中，，故选：D．将转化成，化简后得，然后转化成，再进行化简可得结论．本题主要考查了向量在几何中的应用，以及平面向量数量积的运算，同时考查了转化的思想，属于中档题．7.答案：B解析：解：原式．通过两角和公式化简，转化成特殊角得出结果．本题主要考查了正弦函数的两角和与差．要熟练掌握三角函数中的两角和公式．8.答案：A解析：解：由题意，直线l方程为：，代入抛物线整理得：，，设、，，弦BC的中点坐标为，弦BC的中垂线的方程为，令，可得，，，．故选：A．先表示出直线方程，代入抛物线方程可得方程，利用韦达定理，可求弦BC的中点坐标，求出弦BC的中垂线的方程，可得P的坐标，即可得出结论．本题以抛物线为载体，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，解题的关键是联立方程，利用韦达定理．9.答案：B解析：解：在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，由，可得：截面PQMN．由，，，．，，，，可得：，AC与BD不一定相等．，PM与QM所成的角为，异面直线PM与BD所成的角为．其中所有正确结论的编号是．故选：B．在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，由，可得：截面由，，，可得进而判断出结论．本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解析：解：函数的最小正周期是，，解得．，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，，可得，，，取，可得．，验证：，，因此AB不正确．若，则，因此函数在区间上单调递减，正确．若，则，因此函数在区间上只有两个零点，不正确．故选：C．函数的最小正周期是，，解得，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，，可得，可得，利用三角函数的图象与性质即可判断出结论．本题考查了三角函数的图象与性质、方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：D解析：解：由题意可得：因为函数是R上的奇函数，并且，所以，即．又因为函数是R上的偶函数，所以，所以，所以，所以，所以函数是周期函数，并且周期为8．所以．故选：D．根据函数是R上的奇函数，并且，得到结合是R上的偶函数，得到，进而推出函数的周期为8，再结合函数的奇偶性与解析式可得答案．解决此类问题的关键是熟练掌握函数的有关性质，即奇偶性，单调性，周期性等性质．解析：【分析】由题意，，，可得，，由，可得，由余弦定理可得，即可求出双曲线C的离心率．本题考查双曲线C的离心率，注意运用双曲线的定义和三角形的余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．【解答】解：由题意，，由双曲线的定义可得，，可得，由四边形为平行四边形，又，可得，在三角形中，由余弦定理可得，即有，即，可得，即．故选：B．13.答案：解析：解：由，得，轴为曲线的切线，的切线方程为，设切点为，则，又，由，得，，的值为．故答案为：．先对求导，然后设切点为，由切线斜率和切点在曲线上得到关于和a的方程，再求出a的值．本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属基础题．14.答案：32解析：解：因为为数列的前n项和，若，则；则，得：数列是首项为2，公比为2的等比数列；故；．故答案为：32．根据数列的递推关系，求出数列的通项公式，然后即可求解结论．本题主要考查利用数列的递推关系求解通项公式，属于基础题目．15.答案：解析：解：在中，若，则，故答案为．在中，若，利用诱导公式、二倍角公式把要求的式子化为，运算求得结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．16.答案：解析：解：作出截面图如图，设圆锥的高为h，圆锥的底面半径为R，，，又，∽，，即，．圆锥体积，．令，得．．故答案为：．由题意画出截面图，设圆锥的高为h，圆锥的底面半径为R，利用三角形相似可得R，h，r的关系，写出圆锥的体积公式，再由导数求最值．本题考查球外接圆锥体积最值的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用导数求最值，是中档题．17.答案：证明：，，，又，．数列为等比数列；解：由可得：，化为，．设，，，，数列的前n项和．解析：由，变形为，可得，即可证明；由可得：，设，利用“错位相减法”可得，即可得出数列的前n项和．本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．18.答案：解：当时，；分当时，，分所以，分根据频率分布直方图及Ⅰ知，当时，由，得，分当时，由，分所以，利润T不少于57万元当且仅当，于是由频率分布直方图可知市场需求量的频率为，所以下一个销售季度内的利润T不少于57万元的概率的估计值为；分估计一个销售季度内市场需求量x的平均数为吨；分由频率分布直方图易知，由于时，对应的频率为，而时，对应的频率为，分因此一个销售季度内市场需求量x的中位数应属于区间，于是估计中位数应为吨分解析：计算和时T的值，用分段函数表示T的解析式；计算利润T不少于57万元时x的取值范围，求出对应的频率值即可；利用每一小组底边的中点乘以对应的频率求和得出平均数，根据中位数两边频率相等求出中位数的大小．本题考查了分段函数以及频率、平均数和中位数的计算问题，是基础题目．19.答案：解：取SC的中点N，连结MN和DN，为SB的中点，，且，，，，，且，平行且等于MN，四边形AMND是平行四边形，，平面SCD，平面SCD，平面SCD．，M为SB中点，，平面ABCD，，，，平面SAB，，平面SBC，由可知，平面SBC，平面SCD，平面平面SBC，作交SC于E，则平面SCD，在直角三角形SBC中，，，即点B到平面SCD的距离为．解析：取SC的中点N，连结MN和DN，可证明得到四边形AMND是平行四边形，进而平面SCD；先证明得到平面SBC，进而得到平面平面SBC，作交SC于E，则平面SCD，在直角三角形中利用等面积法即可求出距离本题考查线面平行的证明，考查求点到平面距离，数形结合思想，转化思想，等面积法，属于中档题20.答案：解：由椭圆的定义可知：，在中，由余弦定理可得：，，的最大值为，此时，即点M为椭圆C的上、下顶点时取最大值，其最大值为；设直线BM的斜率为，，则，，，又，，，，，故直线BM的斜率的取值范围为解析：由题意可知，在中，利用余弦定理可得：，再利用基本不等式得到，当且仅当时等号成立，再结合以及余弦函数的图象，即可得到的最大值；设直线BM的斜率为，，则，再根据k的范围即可得到的范围．本题主要考查了椭圆的定义，考查了余弦定理和基本不等式的应用，是中档题．21.答案：解：由条件可知，函数在上有意义，，，令可得，，，时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，由，可得，当时，，当时，，因为，所以，又函数在上单调递减且，所以在上有最小值，由可知时，存在两个极值点为，，故，是的根，所以，且，因为，同理，，，，又，由知，，设，，令，，则，所以在上单调递增，，即，令则从而．解析：先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的单调性，进而可求最值；由极值存在的条件及方程的根与系数关系，把不等式的左面式子进行变形后构造函数，结合导数研究新函数的范围可证．本题主要考查了导数与函数性质的综合应用，还考查了考生的逻辑推理与运算的能力，属于中档题．22.答案：解：曲线：为参数，转换为直角坐标方程为．将代入得到．直线：为参数，，转换为极坐标方程为．将代入得到，由于，解得，故此时，所以点A的极坐标为由于圆：，转换为直角坐标方程为．所以圆心坐标为设，，将代入，得到，所以，．由于，．所以．解析：直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．利用三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：当时，即解不等式，当时，原不等式等价为，所以，则原不等式的解集为；当时，原不等式等价为，解得，综上可得原不等式的解集为；，显然等号可取，由，故原问题等价为关于a的不等式在有解，又因为，当且仅当取得等号，即，即m的范围是．解析：由绝对值的定义，讨论，，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；运用绝对值不等式的性质可得的最小值，由题意可得m大于这个最小值，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法，以及不等式有解的条件，考查分类讨论思想和转化思想，以及运算能力、推理能力，属于中档题．。

2020届广东省深圳市高三二模数学(文)试题(含解析)

2020年深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科）本试卷共6页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜5}，B ＝{1，3，5}，则A ∩B =（） A. {1，3} B. {1，3，5}C. {1，2，3，4}D. {0，1，2，3，4，5}2.设z 21(1)ii +=-,则|z |＝（） A.12B.2C. 1D.3.已知ln 22a =，22log b e=，22e c =，则（） A. a ＜b ＜c B. b ＜c ＜a C. c ＜b ＜a D. b ＜a ＜c4.设x ，y 满足约束条件130x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z ＝2x ﹣y 最大值为（）A. ﹣3B. 1C. 2D. 35.已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，有下列四个命题：①若//m α，//n α，则//m n ；②若n α⊥，m β⊥，//m n ，则//αβ；③若αβ⊥，//m α，n β⊥，则//m n ；④若//αβ，m α⊂，m n ⊥，则n β⊥. 其中，正确的命题个数是（） A. 3B. 2C. 1D. 06.已知双曲线()2222:10, 0a yx C a b b =>>-的焦点分别为()15,0F -，()25,0F ，P 为C 上一点，12PF PF ⊥，123tan 4PF F ∠=，则C 的方程为（） A. 22124y x -=B. 22124x y -=C. 221916x y -=D. 221169x y -=7.执行如图的程序框图，如果输入的k ＝0.4，则输出的n ＝（）A. 5B. 4C. 3D. 28.函数f （x ）＝x 2﹣2x +1的图象与函数g （x ）＝3cos πx 的图象所有交点的横坐标之和等于（） A. 2B. 4C. 6D. 89.已知正方体六个面的中心可构成一个正八面体,现从正方体内部任取一个点,则该点落在这个正八面体内部的概率为（） A.12B.13C.16D.11210.函数f （x ）()142xxsinx -=的部分图象大致为（）A. B.C. D.11.下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图.其阴离子排列如图2所示,图2中圆的半径均为1,且相邻的圆都相切,A ,B ,C ,D 是其中四个圆的圆心,则AB u u u r •CD =u u ur （）A. 32B. 28C. 26D. 2412.在三棱锥P ﹣ABC 中，平面PBC ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BC ＝PC ＝2，若AC ＝PB ，则三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值为（） A .23B.39C.16327D.323二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.2020年初,湖北成为全国新冠疫情最严重的省份,面临医务人员不足,医疗物资紧缺等诸多困难,全国人民心系湖北,志愿者纷纷驰援.若某医疗团队从甲,乙,丙,丁4名医生志愿者中,随机选取2名医生赴湖北支援,则甲被选中的概率为_____.14.在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为2224b c a +-，sin sin 2A C b C c +=，则角C ＝_____.15.《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设n 个月后共有老鼠n a 只，则n a =_____.16.已知A 、F 分别是椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的下顶点和左焦点，过A 且倾斜角为60︒的直线l 分别交x 轴和椭圆C 于M ，N 两点，且N 点的纵坐标为35b ，若FMN V 的周长为6，则FAN V 的面积为_____.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知各项都为正数的等比数列{}n a ，232a =，3458a a a =. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2log n n b a =，123n n T b b b b =++++L ，求n T .18.为了比较两种治疗某病毒的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如图1等高条形图.（1）根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由；（2）为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间（单位：天），统计并绘制了如图2茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；（3）标准差s 除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度，如果出现了治疗时间在（x -3s ，x +3s ）之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合（2）中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？参考公式：s (222121[()())n x x x x x x n⎤=⋅-+-++-⎦L ，参考数据：2340≈48.19.如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，AA 12=AB ，M ，N 分别为AB ，AA 1的中点.（1）求证：平面B 1NC ⊥平面CMN ；（2）若AB ＝2，求点N 到平面B 1MC 的距离.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知定点()1,0F ，点A 在x 轴的非正半轴上运动，点B 在y 轴上运动，满足0AB BF ⋅=u u u r u u u r，A 关于点B 的对称点为M ，设点M 的轨迹为曲线C.（1）求C 的方程；（2）已知点()3,2G -，动直线()3x t t =>与C 相交于P ，Q 两点，求过G ，P ，Q 三点的圆在直线2y =-上截得的弦长的最小值.21.已知函数f （x ）xxe e=-3,g （x ）＝alnx ﹣2x （a ∈R ）.（1）讨论g （x ）单调性；（2）是否存在实数a ,使不等式f （x ）≥g （x ）恒成立？如果存在,求出a 的值；如果不存在,请说明理由.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 选修4－4：坐标系与参数方程22.椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A ，B ，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M 处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点M 的轨迹C 是一个椭圆，其中|MA |＝2，|MB |＝1，如图，以两条导槽的交点为原点O ，横槽所在直线为x 轴，建立直角坐标系.（1）将以射线Bx 为始边，射线BM 为终边的角xBM 记为φ（0≤φ＜2π），用ϕ表示点M 的坐标，并求出C 的普通方程；（2）已知过C 的左焦点F ，且倾斜角为α（0≤α2π＜）的直线l 1与C 交于D ，E 两点，过点F 且垂直于l 1的直线l 2与C 交于G ，H 两点.当1FE ，|GH |，1FD依次成等差数列时，求直线l 2的普通方程.选修4－5：不等式选讲23.已知a ，b ，c 为正实数，且满足a +b +c ＝1.证明：（1）|a 12-|+|b +c ﹣1|12≥；（2）（a 3+b 3+c 3）（222111a b c++）≥3.2020年深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科）本试卷共6页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜5}，B ＝{1，3，5}，则A ∩B =（） A. {1，3} B. {1，3，5}C. {1，2，3，4}D. {0，1，2，3，4，5}【答案】A 【解析】【分析】直接进行交集的运算即可.【详解】∵A ＝{x |﹣1＜x ＜5}，B ＝{1，3，5}，∴A ∩B ＝{1，3}. 故选：A.【点睛】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题. 2.设z 21(1)ii +=-,则|z |＝（）A.12B.2C. 1D.【答案】B 【解析】【分析】把已知等式变形,再由商的模等于模的商求解即可. 【详解】解：∵z 211(1)2i ii i++==--,∴|z |＝|12ii+-|122i i +==-. 故选：B.【点睛】本题考查复数模的求法,考查数学转化思想方法,是基础题. 3.已知ln 22a =，22log b e=，22e c =，则（） A. a ＜b ＜c B. b ＜c ＜a C. c ＜b ＜a D. b ＜a ＜c【答案】D 【解析】【分析】容易得出22ln 2201log 0212e e<><<，，，从而可得出a ，b ，c 的大小关系.【详解】∵ln 20ln 12e <=<=，222log log 10e<=，20221e =＞，∴b ＜a ＜c .故选：D.【点睛】本题考查了对数函数和指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题.4.设x ，y 满足约束条件130x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z ＝2x ﹣y 的最大值为（）A. ﹣3B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z ＝2x ﹣y 表示直线在y 轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最小值即可.【详解】不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z ＝2x ﹣y 过点A 时，目标函数z ＝2x ﹣y 的纵截距最小，此时z 取得最大值，由13x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得A （2，1）时，在y 轴上截距最小，此时z 取得最大值3.故选：D.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，画出图像是解题的关键. 5.已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，有下列四个命题： ①若//m α，//n α，则//m n ；②若n α⊥，m β⊥，//m n ，则//αβ；③若αβ⊥，//m α，n β⊥，则//m n ；④若//αβ，m α⊂，m n ⊥，则n β⊥. 其中，正确的命题个数是（） A. 3 B. 2C. 1D. 0【答案】C 【解析】【分析】根据空间中点、线、面的位置关系逐一判断即可.【详解】若//m α，//n α，则m 与n 可以平行、相交、异面，故①错误；若n α⊥，m β⊥，//m n ，则//αβ，故②正确；若αβ⊥，//m α，n β⊥，则m 与n 可以平行、相交、异面，故③错误；若//αβ，m α⊂，m n ⊥，则n 与β可以平行、相交或n β⊂，故④错误所以正确的命题个数是1 故选：C【点睛】本题考查的是空间中点、线、面的位置关系，属于基础题.6.已知双曲线()2222:10, 0a y x C a b b =>>-的焦点分别为()15,0F -，()25,0F ，P 为C 上一点，12PF PF ⊥，123tan 4PF F ∠=，则C 的方程为（） A. 22124y x -=B. 22124x y -=C. 221916x y -=D. 221169x y -=【答案】A 【解析】【分析】由12PF PF ⊥，123tan 4PF F ∠=，1210F F =可得18PF =，26PF =，然后根据双曲线的定义求出a ，然后再根据222b c a =-求出b 即可．【详解】如图，因为12PF PF ⊥，123tan 4PF F ∠=，1210F F = 所以可得18PF =，26PF =根据双曲线的定义可得1222a PF PF -==，即1a = 所以22225124b c a =-=-=所以C 的方程为22124y x -=故选：A【点睛】本题主要考查的是双曲线定义的应用，较简单．7.执行如图的程序框图，如果输入的k ＝0.4，则输出的n ＝（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出相应变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【详解】模拟程序的运行，可得k＝0.4，S＝0，n＝1S11 133 ==⨯，不满足条件S＞0.4，执行循环体，n＝2，S11113352=+=⨯⨯（1111335-+-）25=，不满足条件S＞0.4，执行循环体，n＝3，S11111335572=++=⨯⨯⨯（11111133557-+-+-）37=，此时，满足条件S＞0.4，退出循环，输出n的值为3.故选：C.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.8.函数f（x）＝x2﹣2x+1的图象与函数g（x）＝3cosπx的图象所有交点的横坐标之和等于（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】直接利用三角函数的图象和性质的应用和二次函数性质的应用在同一坐标系内画出函数的图象，进一步利用对称性的应用求出结果.【详解】函数f （x ）＝x 2﹣2x +1的图象与函数g （x ）＝3cos πx 的图象在同一坐标系内的位置和交点坐标为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），由于f （x ）＝（x ﹣1）2，的对称轴为x ＝1，函数的图象与x 轴相切，函数g （x ）的图象的最小正周期为T 22ππ==，函数的图象关于y 轴对称，如图所示：所以1412x x +=，2312x x +=，则：x 1+x 2+x 3+x 4＝4，故选：B.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数的图象和性质的应用，二次函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.9.已知正方体的六个面的中心可构成一个正八面体,现从正方体内部任取一个点,则该点落在这个正八面体内部的概率为（） A.12B.13C.16D.112【答案】C 【解析】【分析】设正方体的棱长是1,构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成,一个正四棱锥的高等于正方体棱长的一半12,正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是22,求出正四棱锥的体积,得到正八面体的体积,得到比值.【详解】解：设正方体的棱长是1,构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成, 以上面一个正四棱锥为例,它的高等于正方体棱长的一半12,正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是22,∴这个正四棱锥的体积是12211 3212⨯⨯⨯=；∴构成的八面体的体积是211 126⨯=；∴八面体的体积是V1,正方体体积是V2,V1：V2＝1：6故从正方体内部任取一个点,则该点落在这个正八面体内部的概率为：16；故选：C【点睛】本题考查组合几何体的体积,面积,考查棱锥,正方体的体积以及立体类的几何概型问题.属于基础题.10.函数f（x）()142xxsinx-=的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，结合选项中函数图象的对称性，先排除不符合题意的，然后结合特殊点函数值的正负即可判断.【详解】因为f（﹣x）()()()() 144114222------==-==x x xx x xsin x sinx sinxf（x），所以f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，排除选项A，C，又f（2）()2214215sin224-==-sin，因为22ππ<<，所以sin20>，所以f（2）＜0，排除选项D.故选：B.【点睛】本题主要考查函数图象与性质及其应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.11.下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图.其阴离子排列如图2所示,图2中圆的半径均为1,且相邻的圆都相切,A,B,C,D是其中四个圆的圆心,则ABu u u r•CD=u u u r（）A. 32B. 28C. 26D. 24【答案】C【解析】【分析】建立以,a br r为一组基底的基向量,其中1a b==rr且,a br r的夹角为60°,根据平面向量的基本定理可知,向量ABu u u r和CDuuu r均可以用a brr，表示,再结合平面向量数量积运算法则即可得解.【详解】解：如图所示,建立以,a br r为一组基底的基向量,其中1a b==rr且,a br r的夹角为60°,∴24AB a b=+u u u r rr,42CD a b=+u u u r rr,∴()()22124428820882011262AB CD a b a b a b a b =+⋅+=++⋅=++⨯⨯⨯⋅=u u u r u u u r r r r rr r r r .故选：C.【点睛】本题考查平面向量的混合运算,观察图形特征,建立基向量是解题的关键,考查学生的分析能力和运算能力,属于中档题.12.在三棱锥P ﹣ABC 中，平面PBC ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BC ＝PC ＝2，若AC ＝PB ，则三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值为（）A.3B.9C.27D.【答案】D 【解析】【分析】取PB 中点M ，连结CM ，得到AC ⊥平面PBC ，设点A 到平面PBC 的距离为h ＝AC ＝2x ，则CM ⊥PB ，求出V A ﹣PBC 23x =，设t =，（0＜t ＜2），从而V A ﹣PBC 3823t t -=，（0＜t ＜2），利用导数求出三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值.【详解】解：如图，取PB 中点M ，连结CM ，∵平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，AC ⊂平面ABC ，AC ⊥BC ， ∴AC ⊥平面PBC ，设点A 到平面PBC 的距离为h ＝AC ＝2x ，∵PC ＝BC ＝2，PB ＝2x ，（0＜x ＜2），M 为PB 的中点，∴CM ⊥PB ，CM解得122PBC S x =⨯=V所以V A ﹣PBC (123x =⨯⨯=，设t =，（0＜t ＜2），则x 2＝4﹣t 2， ∴V A ﹣PBC ()23248233t t t t--==，（0＜t ＜2），关于t 求导，得()2863t V t -'=，所以函数在2(0,3)3单调递增，在2(3,)3+∞单调递减.所以当t23=时，（V A﹣PBC）max323=.故选：D.【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查利用导数研究函数的最值，考查直线平面位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.2020年初,湖北成为全国新冠疫情最严重的省份,面临医务人员不足,医疗物资紧缺等诸多困难,全国人民心系湖北,志愿者纷纷驰援.若某医疗团队从甲,乙,丙,丁4名医生志愿者中,随机选取2名医生赴湖北支援,则甲被选中的概率为_____.【答案】1 2【解析】【分析】根据基本事件总数,与甲被选中包含的基本事件求解概率即可.【详解】解：某医疗团队从甲,乙,丙,丁4名医生志愿者中,随机选取2名医生赴湖北支援, 基本事件有（甲,乙）,（甲,丙）,（甲,丁）,（乙,丙）,（乙,丁）,（丙,丁）共6个.甲被选中包含的基本事件有（甲,乙）,（甲,丙）,（甲,丁）共3个,∴甲被选中的概率为p31 62 ==.故答案为：1 2 .【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为2224b c a+-，sin sin2A Cb C c+=，则角C＝_____.【答案】512π 【解析】【分析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简可求A ，然后结合二倍角公式化简可求B ，再结合三角形的内角和定理即可求解.【详解】解：由题意2224b c a S +-=，又222cos 2b c a A bc +-=，所以11sin 2cos 24bc A bc A =⨯即tan 1A =，因为A 为三角形内角，故A 4π=，又sin sinsin cos 2222A B C B b C c c c π+⎛⎫==-= ⎪⎝⎭由正弦定理可得，sin sin sin cos 2BB C C =，因为sin 0C ≠，所以sin cos2sin cos 222B B B B ==，因为cos02B≠，所以1sin22B =，又022B π<<612B π∴=，即3B π=，53412C ππππ∴=--=. 故答案为：512π. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式，二倍角公式在求解三角形中的应用，属于中档题.15.《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设n 个月后共有老鼠n a 只，则n a =_____. 【答案】27n ⨯ 【解析】【分析】根据1个月后的老鼠为原来雌雄两只老鼠和新出生的小鼠有(16)227+⨯=⨯只，类似的方法得到2个月后有22(16)727+⨯=⨯只，3个月后有327⨯只，根据以上分析进行归纳推理即可得n 个月后老鼠的只数n a . 【详解】由题意可得1个月后的老鼠的只数1(16)227a =+⨯=⨯,2个月后老鼠的只数222(16)727a =+⨯=⨯, 3个月后老鼠的只数2332(16)727a =+⨯=⨯…， n 个月后老鼠的只数27nn a =⨯.故答案为：27n ⨯.【点睛】本题考查利用不完全归纳法求数列的通项公式，考查运算求解能力.16.已知A 、F 分别是椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的下顶点和左焦点，过A 且倾斜角为60︒的直线l 分别交x 轴和椭圆C 于M ，N 两点，且N 点的纵坐标为35b ，若FMN V 的周长为6，则FAN V 的面积为_____.【解析】【分析】画出图形，由条件可得出b a =b =，然后可得出M 为椭圆的右焦点，然后由椭圆的定义可得226ac +=，从而可算出,,a b c 的值，然后利用()1325FAN S FM b b ⎡⎤=⋅⋅--⎢⎥⎣⎦V 算出答案即可.【详解】如图所示，由题意得，()0,A b -，(),0F c -，直线MN 的方程为3y x b =-，把35y b =代入椭圆方程解得45x a =，∴4355N a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∵N 在直线MN 上，∴34355b a b =-，解得32b a =. 又222a b c =+，∴222)3b c =+，解得3b c =，令3y x b =-=0，则3M ⎫⎪⎭，即(),0M c ，∴M 为椭圆的右焦点，∴2FM c =，由椭圆的定义可知，2NF NM a +=， ∵FMN V 的周长为6，∴226a c +=， ∵3b a =2a c =，∴1,2,3c a b == ∴()13883255FAN S FM b b c b ⎡⎤=⋅⋅--=⋅=⎢⎥⎣⎦V 83【点睛】本题考查椭圆的定义与性质，熟练掌握椭圆中的基本关系式是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知各项都为正数的等比数列{}n a ，232a =，3458a a a =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2log n n b a =，123n n T b b b b =++++L ，求n T . 【答案】(1)922nn a -=；(2)22814832,4n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+>⎩，【解析】【分析】(1)本题可设等比数列{}n a 的公比为q ，由题设条件列出q 与首项1a 的方程组，解出q 和1a ，即可求得通项公式；(2)先由(1)中求得的n a 求出n b ，再求n b ，最后通过等差数列前n 项和公式即可求得n T . 【详解】(1)设各项都为正数的等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，因为232a =，3458a a a =，所以213333454132()8a a q a a a a a q ==⎧⎨===⎩，解得712a =，14q =，所以()922nn n a N -*=∈，(2)由(1)知，2922log log 292n n nb a n -===-，故9214294n n n b n n -≤≤⎧=⎨-⎩，，＞，当14n ≤≤时，279282n nT n n n +-=?-；当4n >时，()()2129753148322n n T n n n ++=++++?=-+，故22814832,4n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+>⎩，. 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式、等比中项的性质、等差数列的前n 项和公式、对数运算等知识点，等差数列的前n 项和公式为12n na n S a +=⨯，考查计算能力，体现了基础性与综合性，是中档题. 18.为了比较两种治疗某病毒的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如图1等高条形图.（1）根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由；（2）为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间（单位：天），统计并绘制了如图2茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；（3）标准差s 除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度，如果出现了治疗时间在（x -3s ，x +3s ）之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合（2）中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？参考公式：s (222121[()())n x x x x x x n ⎤=⋅-+-++-⎦L 2340≈48.【答案】（1）甲药的治愈率更高；（2）甲药的疗效更好，理由见解析；（3）应该对该患者进行进一步检查【解析】【分析】（1）结合条形等高图即可直接判断；（2）从茎叶图的集中趋势，中位数，平均值方面分析即可判断；（3）分别求出x ，s ，然后代入公式即可求解，作出判断即可.【详解】（1）甲药的治愈率更高;（2）甲药的疗效更好，理由一：从茎叶图可以看出，有910的叶集中在茎0，1上，而服用乙药患者的治疗时间有35的叶集中在茎1，2上，还有110的叶集中在茎3上，所以甲药的疗效更好. 理由二：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗的时间的中位数为10天，而服用乙药患者的治疗时间的中位数为12.5天，所以甲药的疗效更好.理由三：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗的时间的平均值为10天，而服用乙药患者的治疗时间的平均值为15天，所以甲药的疗效更好.（3）由（2）中茎叶图可知，服用甲药患者的治疗时间的平均值和方差分别为456810101112122210x +++++++++==10， s 36251640014414423.410+++++++++==≈4.8，则x -3s ≈﹣4.4，3x s +≈24.3，而26＞24.4，应该对该患者进行进一步检查.【点评】本题主要考查了利用等高条形图，茎叶图，平均值，方差等知识，体现了数据分析，数学核心素养.19.如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，AA 12=AB ，M ，N 分别为AB ，AA 1的中点.（1）求证：平面B 1NC ⊥平面CMN ；（2）若AB ＝2，求点N 到平面B 1MC 的距离.【答案】（1）见解析；（22【解析】【分析】（1）推导出AA 1⊥平面ABCD ，AA 1⊥CM ，CM ⊥AB ，从而CM ⊥平面ABB 1A 1，进而CM ⊥B 1N ，推导出△A 1B 1N ∽△ANM ，从而∠A 1B 1N ＝∠ANM ，∠A 1NB 1＝∠AMN ，进而B 1N ⊥MN ，B 1N ⊥平面CMN ，由此能证明平面B 1NC ⊥平面CMN .（2）求出点B 1到平面CMN 的距离为h 16=N 到平面B 1CM 的距离为h 2，由111213B CMN N B CM B CM V V S h --==⨯⨯V ，能求出点N 到平面B 1MC 的距离. 【详解】（1）证明：∵直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，∴AA 1⊥平面ABCD ，∵CM ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CM ，∵底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，M 是AB 的中点，∴CM ⊥AB ，∵AA 1∩AB ＝A ，AA 1⊂平面ABB 1A 1，AB ⊂平面ABB 1A 1，∴CM ⊥平面ABB 1A 1，∵B 1N ⊂平面ABB 1A 1，∴CM ⊥B 1N ，∵M 是AB 中点，N 为AA 1中点，AA1=，∴11112A B AB AN AA ==111212AA A N AM AB ==， ∵∠B 1A 1N ＝∠NAM ＝90°，∴△A 1B 1N ∽△ANM ，∴∠A 1B 1N ＝∠ANM ，∠A 1NB 1＝∠AMN ，∴∠A 1NB 1+∠ANM ＝90°，∴B 1N ⊥MN ，∵MN ∩CM ＝M ，∴B 1N ⊥平面CMN ，∵B 1N ⊂平面B 1NC ，∴平面B 1NC ⊥平面CMN .（2）∵在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，AA1=，AB ＝2，M ，N 分别为AB ，AA 1的中点. ∴MN ==B 1M ==3，B 1C == B 1N == ∵底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°， ∴CM =CN = 由（1）知B 1N ⊥平面CMN ，设点B 1到平面CMN 的距离为h 1，h1=∵CN 2＝MN 2+CM 2，∴1322CMN S ==V ，∴1113B CMN CMN V S h -=⨯⨯=V ∵B 1M ＝3，1BC CN ==，∴1132B CM S ==V ，设N 到平面B 1CM 的距离为h 2，∵111213B CMN N B CM B CM V V S h --==⨯⨯V ， ∴213363h ⨯⨯=，解得h 22=.∴点N 到平面B 1MC 的距离为2.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知定点()1,0F ，点A 在x 轴的非正半轴上运动，点B 在y 轴上运动，满足0AB BF ⋅=u u u r u u u r ，A 关于点B 的对称点为M ，设点M 的轨迹为曲线C.（1）求C 的方程；（2）已知点()3,2G -，动直线()3x t t =>与C 相交于P ，Q 两点，求过G ，P ，Q 三点的圆在直线2y =-上截得的弦长的最小值.【答案】（1）24y x =；（2）442+.【解析】【分析】（1）根据点A 在x 轴的非正半轴上运动，点B 在y 轴上运动，设()()(),0,0,,,A a B b M x y ，再由 ()1,0F ，0AB BF ⋅=u u u r u u u r ，得到a ，b 的关系式，然后由A 关于点B 的对称点为M ，得到0,22x a y b +==，利用代入法化简求解.（2）由抛物线与直线()3x t t =>相交，设((,,,P t t Q t t -，根据,P Q 关于x 轴对称，得到过G ，P ，Q 三点的圆的圆心在x 轴上，设圆心为(),0E m ，由EG EP =，运用两点间的距离公式求得圆的方程，令2y =-，得到圆E 在直线2y =-上截得的弦长，再结合基本不等式求最小值.【详解】（1）因为点A 在x 轴的非正半轴上运动，点B 在y 轴上运动，所以设()()(),0,0,,,A a B b M x y ，因为 ()1,0F ，0AB BF ⋅=u u u r u u u r ，所以()()2,1,0-⋅-=--=*a b b a b ，因为A 关于点B 的对称点为M ，所以0,22x a y b +==，即 ,2y a x b =-=，代入*式得24y x =，所以曲线C 的方程是24y x =.（2）由（1）知抛物线的方程为24y x =，直线()3x t t =>与抛物线方程联立解得，y =±设((,,,P t Q t -，因为,P Q 关于x 轴对称，所以过G ，P ，Q 三点的圆的圆心在x 轴上，设圆心为(),0E m ，所以EG EP == 解得241326t t m t +-=-，所以圆E 的方程为()()22234x m y m -+=-+，令2y =-，的1223,3x m x =-=，所以圆E 在直线2y =-上截得的弦长为221241325233633t t t t x x m t t +--+-=--=-=--，因为()2230,25140t t t t ->-+=-+>，所以2122583433t t x x t t t -+-==-++--，44≥=+当且仅当833t t -=-，即3t =+时，取等号，所以当3t =+时，圆E 在直线2y =-上截得的弦长的最小值为4+. 【点睛】本题主要考查抛物线轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系，弦长问题以及基本不等式的应用，还考查了逻辑推理、运算求解的能力，属于难题.21.已知函数f （x ）xxe e=-3,g （x ）＝alnx ﹣2x （a ∈R ）. （1）讨论g （x ）的单调性；（2）是否存在实数a ,使不等式f （x ）≥g （x ）恒成立？如果存在,求出a 的值；如果不存在,请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）存在,4a =【解析】【分析】（1）先对函数求导,然后结合导数与单调性关系对a 进行分类讨论即可求解；（2）要使不等式f （x ）≥g （x ）恒成立即xe x ﹣aelnx +2ex ﹣3e ≥0,构造函数u （x ）＝xe x ﹣aelnx +2ex ﹣3e ,结合函数的性质及导数即可求解.【详解】解：（1）()'2a x g x x-=,x ＞0, （i ）当a ≤0时,g ′（x ）＜0,函数在（0,+∞）上单调递减,（ii ）当a ＞0时,令()'0g x >得102x a <<，令()'0g x <，得12x a >，所以函数g （x ）在（0,12a ）上单调递增,在（12a +∞，）上单调递减, （2）要使不等式f （x ）≥g （x ）恒成立即32xxe alnx x e-≥-恒成立, 即xe x ﹣aelnx +2ex ﹣3e ≥0,令u （x ）＝xe x ﹣aelnx +2ex ﹣3e ,则u （1）＝0,要使得原不等式成立,则u （x ）在x ＝1处取得极小值,因为()()'12x x xe ex ae u x x++-=, 所以u ′（1）＝0可得a ＝4,检验a ＝4时,u ′（x ）()124x x x e ex ex ++-=,设v （x ）＝x （x +1）e x +2ex ﹣4e ,且v （1）＝0,显然v （x ）在（0,+∞）上单调递增,当x ∈（0,1）时,v （x ）＜0,即u ′（x ）＜0,u （x ）单调递减,当x ∈（1,+∞）时,v （x ）＞0,即u ′（x ）＞0,u （x ）单调递增,故u （x ）的最小值u （1）＝0,满足题意,综上，a ＝4.【点睛】本题主要考查了导数在研究函数中的应用,用导数研究函数的单调性及不等式的恒成立为载体,综合考查分类讨论及转化思想的应用.属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 选修4－4：坐标系与参数方程22.椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A ，B ，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M 处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点M 的轨迹C 是一个椭圆，其中|MA |＝2，|MB |＝1，如图，以两条导槽的交点为原点O ，横槽所在直线为x 轴，建立直角坐标系.（1）将以射线Bx 为始边，射线BM 为终边的角xBM 记为φ（0≤φ＜2π），用ϕ表示点M 的坐标，并求出C 的普通方程；（2）已知过C 的左焦点F ，且倾斜角为α（0≤α2π＜）的直线l 1与C 交于D ，E 两点，过点F 且垂直于l 1的直线l 2与C 交于G ，H 两点.当1FE ，|GH |，1FD依次成等差数列时，求直线l 2的普通方程. 【答案】（1）()2,M cos sin ϕϕ，2214x y +=；（2）230x ++= 【解析】。

广东省广州、深圳市学调联盟2019-2020学年高三下学期第二次调研数学(文)试题

广东省广州、深圳市学调联盟2019-2020学年高三下学期第二次调研数学（文)试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合{}{}24,x 2A x x B x x =<=<-，则A B =U （）A ．{}22x x -<<B ．{}2x x <C ．{}1x x >-D ．{}2x x >-2．设复数z 的共轭复数是z ，且1z =，又复数z 对应的点为Z ，(1,0)A -与(0,1)B 为定点，则函数()(1)()f z z z i =+-取最大值时在复平面上以Z ，A ，B 三点为顶点的图形是（） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形3．已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象过两点(0,(,0)24A B π，()f x 在(0,)4π内有且只有两个极值点，且极大值点小于极小值点，则()f x =（）A ．()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()3sin 54f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．()sin 74f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()3sin 94f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭4．在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且∠BAC=3π，2ACB π∠≠，BC=1，P 为BC 中点．过点P 作PQ ⊥BC 交AC 所在直线于Q ，则AQ uuu r 在BC uuu r方向上投影的最大值是（）A ．13B ．12C D ．235．若深圳人民医院有 5名医护人员，其中有男性 2名，女性 3名．现要抽调两人前往湖北进行支援，则抽调的两人刚好为一男一女的概率为（） A ．16B ．25C ．35D ．236．若n S 是数列{}n a 的前n 项和，若22n S n =，则{}n a 是（） A ．等比数列，但不是等差数列B ．等差数列，但不是等比数列C ．等差数列，而且也是等比数列D ．既非等比数列，也非等差数列7．已知函数()y f x =的定义域为R ，当0x <时()1f x >，且对任意的实数,x y R ∈，等式()()()f x f y f x y =+成立，若数列{}n a 满足()()1111n n f a f n N a *+⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭，且()10a f =，则下列结论成立的是（） A ．()()20162018f a f a > B ．()()20172020f a f a > C ．()()20182019f a f a >D ．()()20162019f a f a >8．执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )A ．201921-B ．201922-C ．202022-D ．202021-9．已知F 为双曲线22221x y a b-=的右焦点，过F 做C 的渐近线的垂线FD ，垂足为D ，且满足12FD OF =（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A B ．2C ．3D10．如图，斜ABC V 满足tan tan 4A B +=+，1AB =，{}max ,AB BC AC <，其中{}max ,a b 表示a ，b 中较大的数（a b =时定义{}max ,a b a b ==）．线段AC 的中垂线上有一点D ，过点D 作DE BC ⊥于点E ，满足AB BE CE +=，则点D 到ABC V 外接圆上一点的距离最大值为（）A ．4B ．3C ．2D ．111．记不等式组2020360x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，表示的平面区域为D .下面给出的四个命题：1:(,),0P x y D x y ∀∈+…；2:(,),210P V x y D x y ∈-+„ ；31:(,),41y P Z x y D x +∈--„ ；242:(,),2P x y D x y ∃∈+…其中真命题的是： A ．12PPB ．23,P PC ．24,P PD ．34,P P12．已知函数()321162f x x bx cx =++的导函数()'f x 是偶函数，若方程()'ln 0f x x -=在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(其中e 为自然对数的底)上有两个不相等的实数根，则实数c 的取值范围是（） A ．2111,2e 2⎡⎤---⎢⎥⎣⎦ B ．2111,2e 2⎡⎫---⎪⎢⎣⎭ C ．2111e ,22⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．2111e ,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦13．对于实数x ，[x]表示不超过x 的最大整数，已知正数列{a n }满足S n =12（a n n1a +），n ∈N*，其中S n 为数列{a n }的前n 项的和，则[12121111S S S ++⋯+]=______． 14．方程1sin 2sin 33tan 2xx x=+在区间 []0,2π上的解为_______________． 15．已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆221:195x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ．直线l ：()()()2121m y m x y m R -+-=+∈交椭圆于P ，Q 两点，直线1A P 和直线2A Q 相交于椭圆外一点R ，则点R 的轨迹方程为_______________．16．在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球，晃动此正方体，则小球可以经过的空间的体积为__________．17．已知{}n a 是等差数列， {}n b 是各项均为正数的等比数列，且111b a ==，34b a =， 12334b b b a a ++=+.（Ⅰ）求数列{}n a ， {}n b 的通项公式；（Ⅱ）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .18．如图，在多面体ABCDFE 中，AB CD EF P P ，四边形ABCD 和四边形ABEF 是两个全等的等腰梯形.（1）求证：四边形CDFE 为矩形；（2）若平面ABEF ⊥平面ABCD ，2AB =，6CD =，AD =求多面体ABCDFE的体积.19．某省的一个气象站观测点在连续4天里记录的AQI 指数M 与当天的空气水平可见度y （单位：cm ）的情况如下表：该省某市2019年12月份AQI 指数M 的频数分布表如下：（1）设100Mx =，若x 与y 之间具有线性关系，试根据上述数据求出y 关于x 的线性回归方程；（2）王先生在该市开了一家洗车店，洗车店每天的平均收入与AQI 指数的相关关系如下表：估计王先生的洗车店2019年12月份每天的平均收入．附参考公式：y bx a =+$$$，其中$1221,ni ii nii x y nx yb ay bx xnx==-==--∑∑$$ 20．已知直线1x y +=过椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，且交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点是21,33M ⎛⎫⎪⎝⎭，（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线l 与线段AB 相交（不含端点）且交椭圆于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值.21．已知函数2()1ln (1)()f x x x a x a R =----∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若对(0,)x ∀∈+∞，()0f x ≥，求实数a 的取值范围.22．在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcosθ＝4，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cosθ+2sinθ，以极点为坐标原点O ，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，射线l'：y ＝kx （x≥0，0＜k ＜1）与曲线C 交于O ，M 两点．（Ⅰ）写出直线l 的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程；（Ⅱ）若射线l ′与直线l 交于点N ，求||||OM ON 的取值范围．23．已知3a ≥，函数F （x ）=min{2|x−1|，x 2−2ax+4a−2}，其中min{p ，q}={,.p p q q p q ，，≤>（Ⅰ）求使得等式F（x）=x2−2ax+4a−2成立的x的取值范围；（Ⅱ）（ⅰ）求F（x）的最小值m（a）；（ⅱ）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）.参考答案1．B 【解析】【分析】解不等式可得集合,A B ，根据并集的概念即可得结果. 【详解】由{}{}2422A x x x x =<=-<<，{}{}21B x x x x x =<-=<，则{}2A B x x ⋃=< 故选B. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及集合并集的运算，属于基础题. 2．D 【解析】【分析】假设cos sin z i θθ=+，根据模长公式构造关于()f z 的函数，从而可确定当()f z 取最大值时，θ的取值，从而求得z ；利用两点间距离公式表示出所构成三角形的三边长，从而可确定三角形形状. 【详解】1z =Q ∴可设cos sin z i θθ=+()()()()1cos 1sin cos sin z z i i i i θθθθ∴+-=++--22cos sin cos cos cos sin sin cos sin sin i i i i i θθθθθθθθθθ=--+--+++()()cos sin 1cos sin 1i θθθθ=++-++()f z ∴==当sin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()f z 取最大值即当2,42k k Z ππθπ+=+∈，即2,4k k Z πθπ=+∈时，()f z 取最大值此时z =+，z = 22210222ZA ⎛⎛⎫∴=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2221222ZB ⎛⎛∴=+-=- ⎝⎭⎝⎭ ()()22210012AB =--+-= ZA ZB ∴=，且222ZA ZB AB +≠∴该图形为等腰三角形本题正确选项：D 【点睛】本题考查复数模长的应用和求解、复数的几何意义.关键在于能够根据z 的模长将z 假设为cos sin z i θθ=+，从而可利用三角函数的知识确定()f z 的最大值，根据复数几何意义可确定z 对应的点的坐标，进而可求得三角形的各个边长. 3．C 【解析】【分析】由()f x 在(0,)4π内有且只有两个极值点可得610ω<≤，再由sin 2ϕ=，0ϕπ<<，得到4πϕ=或34πϕ=，分别对ϕ进行讨论即可. 【详解】()f x 在(0,)4π内有且只有两个极值点，则35444T T π<≤，610ω<≤，又sin 2ϕ=，0ϕπ<<，所以4πϕ=或34πϕ=；当4πϕ=时，sin()044ππω+=，解得*14,k k N ω=-+∈，若7ω=时，()sin 74f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在(0,)4π内极大值点为28π，极小值点为528π，满足题意；当34πϕ=时，3sin()044ππω+=，解得*34,k k N ω=-+∈，若9ω=时，()3sin 94f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在(0,)4π内极小值点为12π，极大值点为736π，不符合题意. 故选：C 【点睛】本题主要考查正弦型函数的图象与性质，考查学生的逻辑推理能力，数形结合思想，是一道中档题. 4．C 【解析】【分析】先建系，由三点共圆得点A的轨迹方程为22163x y ⎛+-= ⎝⎭，则213x ≤，则0x ≤<，再由AQ uuu r 在BC uuu r方向上投影的几何意义可得解．【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则B （-12，0），C （12，0），P （0，0），由BAC 3π∠=可知，ABC 三点在一个定圆上，且弦BC 所对的圆周角为3π，所以圆心角为23π.圆心在BC 的中垂线即y 轴上，且圆心到直线BC的距离为126tan 3BCπ=，即圆心为=所以点A 的轨迹方程为：22163x y ⎛+-= ⎝⎭，则213x ≤ ，则0x ≤< ，由AQ uuu r 在BC uuu r 方向上投影的几何意义可得：AQ uuu r 在BC uuu r方向上投影为|DP|=|x|，则AQ uuu r 在BC uuu r 方向上投影的最大值是故选C ．【点睛】本题考查了轨迹问题及平面向量数量积的运算，属中档题． 5．C 【解析】【分析】采用列举法，将从5人中抽调2人的基本事件总数求出，再找到抽调的两人刚好为一男一女所包含的基本事件个数，结合古典概型的概率计算公式即可得到答案. 【详解】记两名男性为,A B ，三名女性为,,a b c ，则从5人中抽调2人有{,}A B ，{,}A a ，{,}A b ，{,}A c ，{,}B a ，{,}B b ，{,}B c ，{,}a b ，{,}a c ，{,}b c 共10种不同结果，抽调的两人刚好为一男一女有{,}A a ，{,}A b ，{,}A c ，{,}B a ，{,}B b ，{,}B c 共6种不同结果，由古典概型的概率计算公式可得所求事件的概率为63105=. 故选：C 【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，注意要做到不重不漏，是一道容易题. 6．B 【解析】【分析】当1n =时，11a S =；当2n ≥时，1n n n a S S -=-. 【详解】当1n =时，21111a S ===;当2n ≥时，221(1)21 n n n a S S n n n --=--=-=又1n =时，1211a =-=，满足通项公式，所以此数列为等差数列. 故选B. 【点睛】本题考查根据数列前n 项和求数列通项，注意检验2n ≥时的公式对1n =是否适用. 7．A 【解析】【分析】通过赋值可求得()01f =且当0x >时，()01f x <<；利用单调性的定义可判断出函数单调递减；根据()()1111011n n n n f a f f a f a a ++⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭可得111n n a a +=-+；利用递推关系式可知数列{}n a 是以3为周期的周期数列，进而可得各个自变量的具体取值，根据函数单调性判断出结果. 【详解】由()()()f x f y f x y =+，令0x =，1y =-，则()()()011f f f -=-0x <Q 时，()1f x > ()11f ∴-> ()01f ∴= 11a ∴=当0x >时，令y x =-，则()()()01f x f x f -==，即()()1f x f x =-又()1f x -> ∴当0x >时，()01f x << 令21x x >，则210x x ->()()()1212f x f x x f x ∴-=，即()()()()22110,1f x f x x f x =-∈ ()f x ∴在R 上单调递减又()()11111011n n n n f a f f a f a a ++⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭111n na a +∴=-+ 令1n =，212a =-；令2n =，32a =-；令3n =，41a = ∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列201632a a ∴==-，201711a a ==，2018212a a ==-，201932a a ==-，202011a a ==()f x Q 在R 上单调递减 ()()1212f f f ⎛⎫∴->-> ⎪⎝⎭()()20162018f a f a ∴>，()()20172020f a f a =，()()20182019f a f a <，()()20162019f a f a =本题正确选项：A 【点睛】本题考查抽象函数性质的应用、根据递推关系式确定数列的周期问题.关键是能够通过赋值法求得特殊值，利用单调性的定义求得函数单调性并得到递推关系式，通过递推关系式得到数列的周期性，难度较大. 8．C 【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解．【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值，由于()2019232019202021222222212S -=+++⋯+==--．故选：C ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 9．A 【解析】【分析】根据题中条件求出双曲线基本量的比例关系，然后即可求出离心率的值. 【详解】由题知12FD OF =，又因为焦点到双曲线渐近线的距离为b FD =，所以()222221124422FD OF b c b c b c c a c =⇒=⇒=⇒=⇒-=，整理得2222243433c c a e e a =⇒==⇒=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求解，属于基础题. 10．C 【解析】【分析】由{}max ,AB BC AC <，知C 为锐角，设,BC AC 的中垂线交于O ，过D 作OT 的垂线，垂足为M，由tan tan 4A B +=+tan C ≥，26C ππ>≥，再由AB BE CE +=得到1||2TE =，所以1||2sin DO C=，再利用几何意义即可得点D 到ABC V 外接圆上一点的距离最大.【详解】由{}max ,AB BC AC <，知C 为锐角，设,BC AC 的中垂线交于O ，过D 作OT 的垂线，垂足为M，因为tan tan 4A B +=+tan tan tan tan()tan tan 1A BC A B A B +=-+=-2()12≥==-tan tan 2A B ==+即712A B π==时，等号成立，所以26C ππ>≥，又AB BE CE +=，||||TB TC =，所以1||||||||TB TE TC TE +-=+，即1||2TE =，又易得DOM C ∠=∠，所以||1||sin 2sin DM DO C C ==，由正弦定理可得2sin AB R C=，12sin R C =，故点D 到ABC V 外接圆上一点的距离最大为11||2sin sin 6DO R C π+=≤=. 故选：C【点睛】本题考查动点到圆上一点距离的最值问题，涉及到正弦定理与三角恒等变换，考查学生逻辑推理与数学运算能力，是一道中档题. 11．C 【解析】【分析】由约束条件作出可行域，利用目标函数的几何意义求解z=x+y ，z 1＝2x ﹣y ，z 211y x +=-，z 3＝x 2+y 2，的范围，判断命题的真假即可．【详解】实数x ，y 满足202360x y y x x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪-+≥⎩，由约束条件作出可行域为D ，如图阴影部分，A （﹣2，0），B （0，2），C （﹣1，3），z=x+y 经过可行域的点A 及直线BC 时分别取得最值，可得：z ∈[﹣2，2]，所以1P 错误；z 1＝2x ﹣y 经过可行域的B 、C 时分别取得最值，可得：z 1∈[﹣5，﹣2]，所以2P 正确；z 211y x +=-，它的几何意义是可行域内的点与（1，﹣1）连线的斜率，可得：DA 的斜率是最大值为：13-；BD 的斜率取得最小值为：3-；z 2∈[3-，13-]；所以3P 错误；z 3＝x 2+y 2，它的几何意义是可行域内的点与（0，0）连线的距离的平方，最小值为原点到直线y=x+2的距离的平方：22=，最大值为OC 的平方：（﹣1﹣0）2+（3﹣0）2＝10，z 3∈[2，10]．所以4P 正确；故选：C ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 12．B 【解析】【分析】由导函数为偶函数，得出0b =，由()ln 0f x x '-=，得出21ln 2c x x =-，将问题转化为当直线y c =与函数()21ln 2g x x x =-在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图像有两个交点时，求实数c 的取值范围，然后作出函数()y g x =在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象，利用数形结合思想求出实数c 的取值范围．【详解】()321162f x x bx cx =++Q ，()212f x x bx c '∴=++，导函数()y f x '=的对称轴为直线x b =-，由于该函数为偶函数，则00b b -=⇒=，()212f x x c '∴=+，令()ln 0f x x '-=，即21ln 02x c x +-=，得21ln 2c x x =-. 问题转化为当直线y c =与函数()21ln 2g x x x =-在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图像有两个交点时，求实数c 的取值范围．()211x g x x x x-'=-=，令()0g x '=，得1x =，列表如下：所以，函数()y g x =在1x =处取得极大值，亦即最大值，()()max 112g x g ==-，又21112g e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()212eg e =-，显然，()1g e g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，如下图所示：结合图象可知，当()11g c g e ⎛⎫≤< ⎪⎝⎭时，即当211122c e --≤<-时，直线y c =与函数()y g x =在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点，因此，实数c 的取值范围是2111,22e ⎡⎫---⎪⎢⎣⎭．故选B ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，本题的关键在于利用参变量分离的方法，将问题转化为直线y c =与函数()y g x =的图象的交点个数，在画函数的图象中，需要用到导数研究函数的单调性、极值以及端点值，通过这些来确定函数图象，考查数形结合思想，属于中等题． 13．20 【解析】【分析】先由数列,n n a S 的关系求出n S ，再利用放缩法和裂项相消求得前n 项和S 的值，可得答案. 【详解】由题可知0n S >，当1n >时，1111[()]2n n n n n S S S S S --=-+-化简可得2211n n S S --=，当22111,1n S a ===所以数列2{}n S 是以首项和公差都是1的等差数列，即2n n S n S =∴=又1n >时，22nS =<<=记12121111S S S S =++L一方面1]1)20S >=>L另一方面11)]11)21S <+++=+=L 所以2021S << 即[]20S = 故答案为20 【点睛】本题考查了新定义、数列通项与求和、不等式知识点，构造新的等差数列2{}n S 以及用放缩法求数列的和是解答本题的关键，注意常见的裂项相消法求和的模型，属于难题. 14．6π或56π. 【解析】【分析】2,2x k k Z ππ≠+∈，即,24k x k Z ππ≠+∈，原方程等价于23sin 1cos222sin x x x =+=-，再解方程即可. 【详解】由题意，2,2x k k Z ππ≠+∈，即,24k x k Z ππ≠+∈，原方程等价于23sin 1cos222sin x x x =+=-，解得1sin 2x =或sin 2x =-（舍），故6x π=或56x π=. 故答案为：6π或56π. 【点睛】本题考查解三角函数方程，涉及到二倍角公式，考查学生的等价转化思想，注意要先求x 的有意义的范围. 15．9x = 【解析】【分析】由已知，可得直线l 恒过(1,0)，由题意知，直线PQ 斜率不为0，设PQ 的方程为1x ty =+，112212(,),(,)(0,0)P x y Q x y y y ><，(,)R x y ，联立椭圆方程，解得12,y y ，再由由1,,A P R三点共线可得1133y y x x =++，由2,,A Q R 三点共线可得2233y y x x =--，两式相除可得12223(3)3(3)x y x x y x --=++，再将12,y y 代入化简即可. 【详解】因为()()()2121m y m x y m R -+-=+∈，所以(22)10m y x x y --+--=，由22010y x x y --=⎧⎨--=⎩得1x y =⎧⎨=⎩，故直线l 恒过(1,0)，由题意知，直线PQ 斜率不为0，设 PQ 的方程为1x ty =+，112212(,),(,)(0,0)P x y Q x y y y ><，(,)R x y ，联立椭圆方程，得22(59)10400t y ty ++-=，则>0∆，1212224010,,5959ty y y y t t --=+=++，()12124y y y y t+=，由1,,A P R 三点共线可得1133y yx x =++，由2,,A Q R 三点共线可得2233y y x x =--，两式相除可得121222213(3)(2)3(3)(4)x y x y ty x y x y ty ---===+++12121224ty y y ty y y -+ ()()121122421424y y t y t y y t y t +⋅-==+⋅+，解得9x =，所以点R 在定直线9x =上，故点R 的轨迹方程为9x =. 故答案为：9x = 【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系中的定值问题，考查学生的逻辑推理与数学运算能力，是一道中档题. 16．22323π+ 【解析】依题意所求体积为3224224(11)212(8)32433V πππ=--⨯⨯⨯--=+． 17．（Ⅰ）n a n =， 12n n b -=;（Ⅱ）()121n n T n =-⋅+.【解析】试题分析：（1）根据条件列出关于公差与公比的方程组,解方程组可得1d =，2q =，再代入等差与等比数列通项公式,（2）利用错位相减法求和,注意相减时项的符号变化，中间部分利用等比数列求和时注意项数，最后要除以1q -试题解析：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ， {}n b 的公比为q ，依题意得2213{125d q q q d+=++=+ 解得1d =， 2q =，所以()11n a n n =+-=， 11122n n n b --=⨯= （Ⅱ）由（Ⅰ）知12n n n n c a b n -==⋅，则011222n T =⋅+⋅+ 21322n n -⋅+⋅L ①2n T = 121222⋅+⋅+L ()1122n n n n -+-⋅+⋅ ② ①-②得： 012121212n T -=⋅+⋅+⋅ 1122n n n -++⋅-⋅L()112212nnn ⋅-=-⋅- ()121nn =-⋅-所以()121n n T n =-⋅+.点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 18．（1）见证明；（2）283【解析】【分析】（1）根据全等的等腰梯形和已知条件得到EF CD =且CD EF P ，由此证得四边形CDFE 为平行四边形. 分别取DF ，CE 的中点M ，N ，连接MN ，通过证明,,,A B N M 四点共面，且,DF AM DF BN ⊥⊥，且,AM BN 相交，由此证得DF ⊥平面ABNM ，从而证得DF EF ^,由此证得四边形CDFE 为矩形.（2）连结AC ，CF ，作AH CD ⊥，垂足为H ，则AH AB ⊥.先证明CD ∥平面ABEF ，然后证明AH ⊥平面ABEF ，由此求得点C 到平面ABEF 的距离、点F 到平面ABCD 的距离，分别求得F ACD V -和C ABEF V -的体积，由此求得多面体ABCDFE 的体积. 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 和四边形ABEF 是两个全等的等腰梯形， ∴EF CD =且CD EF P ，∴四边形CDFE 为平行四边形. 分别取DF ，CE 的中点M ，N .∵AD AF =，M 为DF 的中点，∴AM DF ⊥，同理BN CE ⊥，∴DF BN ⊥. ∵M 为DF 的中点，N 为CE 的中点，∵MN EF CD AB P P P ，且MN EF CD ==. ∴A ，B ，N ，M 四点共面，且四边形ABNM 是以AB ，MN 为底的梯形. ∵DF AM ⊥，DF BN ⊥，且AM ，BN 是平面ABNM 内的相交线，∴DF ⊥平面ABNM .∵MN ⊂平面ABNM ，∴DF MN ⊥，又MN EF ∥，∴EF DF ⊥. ∴四边形CDFE 为矩形.（2）解：连结AC ，CF ，作AH CD ⊥，垂足为H ，则AH AB ⊥. ∵2AB =，6CD =，∴2DH =.在Rt AHD ∆中，2AH ==.∵CD AB P ，CD ⊄平面ABEF ，AB Ì平面ABEF ，∴CD ∥平面ABEF .∵平面ABEF ⊥平面ABCD ，AH AB ⊥，平面ABEF I 平面ABCD AB =，AH ⊂平面ABCD ，∴AH ⊥平面ABEF ，∴点C 到平面ABEF 的距离为2，同理，点F 到平面ABCD 的距离为2，则162ACD S AH CD ∆=⨯=，16243F ACD V -=⨯⨯=；1()282ABEF S AB EF =+⨯=梯形，1168233C ABEF V -=⨯⨯=.故多面体ABCDFE 的体积为1628433+=.【点睛】本小题主要考查证明一个四边形为矩形的方法，考查四点共面的证明，考查线面平行的证明，考查面面垂直的性质定理，考查分割法求几何体的体积，考查空间想象能力和逻辑推理能力，综合性较强，属于中档题. 19．（1）$2141204y x =-+；（2）2400元【解析】【分析】（1）分别计算出,x y ，41i ii x y =∑，421ii x=∑，再利用公式计算即可；（2）由平均数的计算公式计算即可得到答案. 【详解】（1）1(9731)54x =+++=，1(0.5 3.5 6.59.5)54y =+++=， 4190.57 3.53 6.519.558i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，42222219731140i i x ==+++=∑，所以258455211404520b-⨯⨯==--⨯$，$21415()5204a =--⨯=，所以$2141204y x =-+；（2）由题可知该月30天中有3天每天亏损2000元，有6天每天亏损1000元，有12天每天收入2000元，有6天每天收入6000元，有3天每天收入8000元，故估计王先生的洗车店2019年12月份每天的平均收入为1((2000)3(1000)62000126000680003)240030-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=元.【点睛】本题考查线性回归方程的应用，涉及到估算平均数，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.20．（1）2212x y +=（2）3【解析】【分析】（1）由直线1x y +=可得椭圆右焦点的坐标为(1,0),由中点M 可得121242,33x x y y +=+=,且由斜率公式可得21211y y x x -=--,由点,A B 在椭圆上,则2222112222221,1x y x y a b a b+=+=,二者作差,进而代入整理可得222a b =,即可求解；（2）设直线:l y kx =,点,A B 到直线l 的距离为12,d d ,则四边形的面积为()1212111222S CD d CD d CD d d =⋅+⋅=+,将y kx =代入椭圆方程,再利用弦长公式求得CD ,利用点到直线距离求得12,d d ,根据直线l 与线段AB （不含端点）相交,可得()4101033k k ⎛⎫⨯-+<⎪⎝⎭,即14k >-,进而整理换元,由二次函数性质求解最值即可.【详解】（1）直线1x y +=与x 轴交于点(1,0),所以椭圆右焦点的坐标为(1,0),故1c =, 因为线段AB 的中点是21,33M ⎛⎫⎪⎝⎭, 设()()1122,,,A x y B x y ,则121242,33x x y y +=+=,且21211y y x x -=--, 又2222112222221,1x y x y a b a b +=+=,作差可得22222121220x x y y a b --+=, 则()()()()21212121220x x x x y y y y a b-+-++=,得222a b = 又222,1a b c c =+=, 所以222,1a b ==,因此椭圆的方程为2212x y +=.（2）由（1）联立22121x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解得01x y =⎧⎨=⎩或4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, 不妨令()410,1,,33A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,易知直线l 的斜率存在,设直线:l y kx =,代入2212x y +=,得()22212k x +=,解得x =或,设()()3344,,,C D x y y x ,则34x x +=-=,则34C x D -=,因为()410,1,,33A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线y kx =的距离分别是12d d =, 由于直线l 与线段AB （不含端点）相交,所以()4101033k k ⎛⎫⨯-+< ⎪⎝⎭,即14k >-,所以()124441k k d d +++==, 四边形ACBD 的面积()1212111222S CD d CD d CD d d =⋅+⋅=+=, 令1k t +=,34t >,则2221243k t t +=-+,所以S ==当123t =,即12k =时,min 3S =因此四边形ACBD面积的最大值为3.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程,考查椭圆中的四边形面积问题,考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查运算能力.21．（1）见解析（2）(,0]-∞ 【解析】【分析】（1）先求得函数的定义域，然后对函数求导，对a 分成1110,0,,222a a a a ≤<<=>四种情况，讨论函数的单调性.（2）根据（1）中所求函数的单调区间，对1110,0,,222a a a a ≤<<=>四种情况分别研究函数的函数值，结合()0f x ≥来求得a 的取值范围. 【详解】解：（1）由题意知，()f x 的定义域为(0,)+∞，由()2()1ln 21f x x x a x x =----+2(21)(1)ln ax a x a x =-++-+-，得1'()2(21)f x ax a x =-++-22(21)1(21)(1)ax a x ax x x x-++--=-=-. ①当0a ≤时，令'()0f x >，可得1x >，'()0f x <，得01x <<，故函数()f x 的增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1)； ②当102a <<时，112a >，令'()0f x >，可得112x a<<，'()0f x <，得01x <<或12x a >，故()f x 的增区间为11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为(0,1)、1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； ③当12a =时，2(1)'()0x f x x-=-…，故函数()f x 的减区间为(0,)+∞；④当12a >时，1012a <<，令'()0f x >，可得112x a <<，'()0f x <，得102x a <<，或1x >，故()f x 的增区间为1,12a ⎛⎫⎪⎝⎭，减区间为10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,)+∞.综上所述：当0a ≤时，()f x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数；当102a <<时，()f x在(0,1)，1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数，在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数；当12a =时，()f x 在(0,)+∞为减函数；当12a >时，()f x 在10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,)+∞上为减函数，在1,12a ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数. （2）由（1）可知：①当0a ≤时，min ()(1)0f x f ==，此时()0f x ≥； ②当102a <<时，(1)0f =，当1,a x a +⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，有ln 0x >，1ax a >+，可得2()1(1)(1)(1)0f x x a x x a ax <---=-+-<，不符合题意；③当12a =时，(1)0f =，由函数()f x 的单调性可知，当(1,)x ∈+∞时()0f x <，不符合题意； ④当12a >时，(1)0f =，由函数()f x 的单调性可知，当1,12x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x <，不符合题意.综上可知，所求实数a 的取值范围为(,0]-∞. 【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数研究函数值恒大于零的问题，考查分类讨论的数学思想方法，综合性较强，属于难题. 22．（Ⅰ）直线l 的直角坐标方程4x =，曲线C的参数方程111 ,241x y ϕϕ⎧⎛=+⎪ ⎨ =+⎪⎝⎦⎩；（Ⅱ）. 【解析】【分析】（Ⅰ）由直线l 的极坐标方程能求出直线l 的直角坐标方程；由曲线C 的极坐标方程，求出曲线C 的直角坐标方程，由此能求出曲线C 的参数方程．（Ⅱ）用极径表示线段的长度，从而把比值问题转化为极坐标中极径的比值问题，再转化为以极角为变量的三角函数求范围问题.根据角的范围求即可. 【详解】解：（Ⅰ）∵直线l 的极坐标方程为ρcos ＝4， ∴直线l 的直角坐标方程为x ＝4， ∵曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cosθ+2sinθ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2﹣2x ﹣2y ＝0，即（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2． ∴曲线C 的参数方程为，（α为参数）．（Ⅱ）设M （ρ1，β），N （ρ2，β），则ρ1＝2cosβ+2sinβ，，∴＝＝＝＝＝++，∴， ∴的取值范围是（]．【点睛】本题考查直线的直角坐标方程、曲线的参数方程、两线段的比值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．23．（Ⅰ）[]2,2a ．（Ⅱ）（ⅰ）()20,32{42,2a m a a a a ≤≤=-+->．（ⅱ）()348,34{2,4a a a a -≤<M =≥．【解析】试题分析：（Ⅰ）分别对1x ≤和1x >两种情况讨论()F x ，进而可得使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-的最小值，再根据()F x 的定义可得()F x 的最小值()m a ；（Ⅱ）分别对02x ≤≤和26x ≤≤两种情况讨论()F x 的最大值，进而可得()F x 在区间[]0,6上的最大值()M a ．试题解析：（Ⅰ）由于3a ≥，故当1x ≤时，()()()22242212120x ax a x x a x -+---=+-->，当1x >时，()()()22422122x ax a x x x a -+---=--．所以，使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围为[]2,2a ．（Ⅱ）（ⅰ）设函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-，则()()min 10f x f ==，()()2min 42g x g a a a ==-+-，所以，由()F x 的定义知()()(){}min 1,m a f g a =，即()20,32{42,2a m a a a a ≤≤+=-+->+（ⅱ）当02x ≤≤时，()()()(){}()max 0,222F x f x f f F ≤≤==，当26x ≤≤时，()()()(){}{}()(){}max 2,6max 2,348max 2,6F x g x g g a F F ≤≤=-=．所以，()348,34{2,4a a M a a -≤<=≥．【考点】函数的单调性与最值，分段函数，不等式．【思路点睛】（Ⅰ）根据x 的取值范围化简()F x ，即可得使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数()f x 和()g x 的最小值，再根据()F x 的定义可得()m a ；（Ⅱ）根据x 的取值范围求出()F x 的最大值，进而可得()M a ．。

2020年深圳市普通高中高三年级第二次调研考试文科数学试题(含答案)

所以
A1B1 AN
=
AB 1 2 AA1
=
2，
A1 N AM
=
1 2
AA1
1 AB
=
2
2，
因为 B1A1N = NAM = 90 ，所以 A1B1N ∽ ANM ，
所以 A1B1N = ANM ， A1NB1 = AMN ，
所以 A1NB1 + ANM = 90 ，所以 B1N ⊥ MN ，因为 MN CM = M ， MN 平面 CMN ， CM 平面 CMN ，
………………10 分
所以 SB1CM
=
1 2
33= 3 3 ， 2
设点 N 到平面 B1CM 的距离为 h 2 ，
因为 VB1 −CMN
= VN −B1CM
1 = 3 SB1CM
h2 ，
………………11 分
所以
1 3
33 2
h2
=
6， 2
因此 h2 = 2 ．
………………12 分
方法二：因为直四棱柱 ABCD − A1B1C1D1 ， AB = 2 ， M 为 AB 中点， N 为 AA1 中点
由（1）知 B1N ⊥ 平面 CMN ，设点 B1 到平面 CMN 的距离为 h1 ，则 h1 = 6 ，………9 分
因为 CN 2
=
MN 2
+ CM 2 ，所以 SCMN
=
1 2
3
3=3， 2
因此 VB1 −CMN
=
1 3 SCMN
h1
=
6． 2
因为 B1M = 3 ， B1C = 2 3 ， CM = 3 ，
5
5
a2
所以 e =

2020届广东省深圳市普通高中高三毕业班下学期第二次线上统一测试数学(文)试题(解析版)

绝密★启用前广东省深圳市普通高中2020届高三毕业班下学期第二次线上统一测试数学(文)试题(解析版)本试卷共6页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}12A x x =-<<，(){}lg 1B x y x ==-，则()R A B =（）A. [)1 2-，B. [)2 +∞，C. (]1,1-D. [)1 -+∞，【答案】C【解析】【分析】由10x ->求出集合B ，然后求出其补集B R ，最后求交集.【详解】由10x ->得1x >，即{}1B x x =>，所以{}1BR x x =≤，又因为{}12A x x =-<<则{}()11R A B x x ⋂=-<≤.故选：C.【点睛】本题考查了求对数型函数的定义域,集合的补集、交集运算,属于基础题.2.棣莫弗公式()cos sin cos sin nx i x nx i nx +=+（i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的,根据棣莫弗公式可知,复数6cos sin 55i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于（）A . 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】由题意666cos sin cos sin 5555i i ππππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,根据复数的几何意义结合6cos 05π<、6sin 05π<即可得解. 【详解】由题意666cos sin cos sin 5555i i ππππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭, ∴该复数在复平面内所对应的点为66cos ,sin 55ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 6cos 05π<,6sin 05π<,∴该复数在在复平面内所对应的点位于第三象限. 故选：C.【点睛】本题考查了新概念在复数中的应用,考查了复数的几何意义和三角函数的符号确定,属于基础题.3.已知点()3,1和()4,6-在直线320x y a -+=的两侧,则实数a 的取值范围是（）A. 724a -<<B. 7a =或24a =C. 7a <或24a >D. 247a -<<【答案】A【解析】【分析】由点与直线的位置关系,转化为不等式求解即可得解.。

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