无穷级数习题课一
无穷级数习题课
(2) ∵ an = ∫ 4 tan n xdx
0
π
tan x = t
t ∫0 1 + t 2 dt <
1
n
1 ∫0 t dt = n + 1
1 n
an 1 1 ∴ λ < λ < λ +1 n n ( n + 1) n
由λ +1 > 1，所以级数收敛。
⎧1 + x2 arctan x , x ≠ 0 ⎪ ,将 f ( x ) 3 设 f ( x) = ⎨ x ⎪1, x=0 ⎩ ∞ ( −1)n 展开成x的幂级数，并求 ∑ 的和。 2 n =1 1 − 4n
一、习题赏析 二、试题分析
1 ⎧ 0≤ x≤ ⎪ x, ⎪ 2 1 设 f ( x) = ⎨ ⎪2 − 2 x, 1 < x < 1 ⎪ ⎩ 2 ∞ a0 S( x) = + ∑ an cos nπ x ,( −∞ < x < +∞ ) 2 n =1 其中an = 2 ∫ f ( x )cos nπ xdx ,( n = 0,1, 2,
解1：将f ( x )以2π 为周期进行周期延拓， 1 π a0 = ∫ f ( x )dx
π
−π
=
1
π
[ ∫ ( x + 2π )dx + ∫ xdx ]
−π 0 0
0
π
y
2π
1 1 2 1 2 = [( x + 2π x ) + x ] 2 0 π 2 −π −2π = 2π
ห้องสมุดไป่ตู้
π
π
−π O
π
2π
x
x ∈ [−1,1].
无穷级数习题课含解答
无穷级数习题课1.判别级数的敛散性:（1）（2）（3）（4）（5）()211ln1nn n¥=+å()41tan1nn p¥=+å363663666-+-++×××+-++×××++×××21sinlnnnnp¥=æö+ç÷èøå()211lnnnn n¥=--å解：（1）为正项级数，当时， ，根据比较审敛准则，与有相同敛散性，根据积分审敛准则，与反常积分有相同敛散性， 而发散，故发散.()211ln 1n n n ¥=+ån ®¥()2111~2ln ln 1n u n n n n =+()211ln 1n n n ¥=+å21ln n n n ¥=å21ln n n n¥=å21ln dx x x +¥ò21ln dx x x +¥ò()211ln 1n n n ¥=+å（2）为正项级数，当时，，而收敛，根据比较审敛准则，收敛.()41tan 1n n p¥=+ån ®¥()422421tan1tan~21n u n n n n npp p =+-=++211n n ¥=å()41tan1n n p¥=+å（3）为正项级数， 令，其中，易证单调递增且，故收敛;令，由，两边取极限得，，（舍去）;，，根据达朗贝尔比值审敛法，该级数收敛.363663666-+-++×××+-++×××++×××3n n u a =-666n a =++×××+{}n a 3n a <{}n a lim n n a a ®¥=16n n a a -=+6a a =+Þ260a a --=3a =2a =-111113311333n n n n n n n a a u u a a a +++++-+=×=-++1111lim lim 136n n n nn u u a +®¥®¥+==<+（4）看成交错级数，单调递减趋于0，根据Leibniz 定理，该级数收敛； 其绝对值级数发散（这是因为当时，，而且），故级数条件收敛. ()2211sin 1sin ln ln n n n n n n p ¥¥==æö+=-ç÷èøåå1sin ln n ìüíýîþ21sin ln n n ¥=ån ®¥11sin ~ln ln n n 1lim ln n n n®¥×=+¥(5)为交错级数，其绝对值级数为，当时，， 所以，该级数绝对收敛.()211ln nn n n¥=--å211ln n n n ¥=-ån ®¥2211~ln n n n-2. 设，且，证明级数条件收敛. ()01,2,n u n ¹= lim 1n nn u ®¥=()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå证明：设级数的部分和为，则 ，因为，所以，于是 ，即级数收敛；其绝对值级数为，因为， 所以级数发散，故原级数条件收敛.()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøån s ()()211223111111111111n n n n n n n s u u u u u u u u ---+æöæöæöæö=+-+++-++-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø()111111n n u u -+=+-lim1n nn u ®¥=()()1111111lim 1lim 101n n n n n n n u u n --®¥®¥+++-=-×=+()1111111lim lim 1n n n n n s u u u -®¥®¥+éù=+-=êúëû()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå1111n n n u u ¥=++å11111lim lim 21n n n n n n n n nn u u u u n ®¥®¥+++×+=+×=+1111n n n u u ¥=++å3. 填空(1) _____(2) 设幂级数在处收敛, 则级数__收敛__.(收敛还是发散)(3) 设幂级数在处条件收敛，则幂级数在处（ 绝对收敛 ），在处（ 发散 ）； (4)设,, ,则________;________.11(1)2n n n -¥=-=å130(1)nn n a x ¥=-å12x =-0(1)n n n a ¥=-å1()nn x a n ¥=-å2x =-1()2nn n x a ¥=+åln 2x =-x p =11,02()1,12x f x x x ì£<ïï=íï ££ïî1()sin nn s x bn xp ¥==å102()sin n b f x n xdx p =ò3()2s =34-5()2s =344. 求幂级数的收敛域2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 解：令，原级数变为变量t的幂级数.因为，所以收敛半径.又时级数发散，时级数收敛， 故收敛域为;再由，解得, 原函数项级数的收敛域为.122xt x +=-21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå ()11sin21limlim 11sin2n n n nn a a n+®¥®¥+==1R =1t=21sin 2n n ¥=å1t=-()211sin 2nn n ¥=-å21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå [)1,1-12112x x +-££-133x -£<2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 13,3éö-÷êëø5.求下列级数的和函数（1） （2）221212n n n n x ¥-=-å()()()201123!nn n n x n ¥=-++å解：（1）.令，，所以收敛半径. 当时，级数发散，所以幂级数的收敛域为.设级数的和函数为，对幂级数逐项积分得，， 对上式两边求导得， .221212n n n n x ¥-=-å212n n n a -=11lim 2n n n a a +®¥=1212R ==2x =±()2,2D =-()s x ()212200112122n xx n n n n n n x s x dx x dx -¥¥-==-==ååòò222212xx x x ==--()2,2x Î-()()2222222x x s x x x ¢+æö==ç÷-èø-()2,2x Î-（2）. 易求该幂级数的收敛域为；设级数的和函数为，，， 两边取积分，逐项求积分得， ()()()201123!nnn n x n ¥=-++å(),-¥+¥()s x ()()()()201123!nn n n s x xn ¥=-+=+å()()()()2101123!nn n n xs x x n ¥+=-+=+å()()()()()()21220000111123!223!nnxx n n n n n xs x dx x dx x n n ¥¥++==-+-==++ååòò当时，，求导得 ， 当时，由所给级数知.因此. 0x ¹()()()()230111sin 223!2nxn n xs x dx x x x x n x¥+=-==-+åò()2sin 1sin cos 22x x x x xxs x x x ¢--æö==ç÷èø()3sin cos 2x x x s x x -=0x =()106s =()3sin cos ,021,06x x xx xs x x -ì¹ïï=íï=ïî6.求级数的和.()22112n n n ¥=-å解：考虑幂级数，收敛区间，设和函数为， 则当且时,，. ()2211nn x n ¥=-å()1,1-()s x 11x -<<0x ¹()()222211121211nnnn n n x x s x x n n n ¥¥¥=====--+-ååå112212121n n n n x x x n x n -+¥¥===--+åå11220121212n n n n x x x x x n x n -+¥¥==æö=---ç÷-+èøåå()11ln 12224x x x x æö=--++ç÷èø()2211311153ln ln 2242288412nn s n ¥=æö==++=-ç÷-èøå()()211ln 1ln 1222x x x x x x éù=-------êúëû7.设，试将展开成的幂级数.()111ln arctan 412x f x x x x +=+--()f x x 解：，取0到x 的定积分，幂级数逐项求积分， .()241111111114141211f x x x x x¢=++-=-+-+-44011n n n n x x ¥¥===-=åå()11x -<<()()()4410111041xx nn n n f x f f x dx x dx x n ¥¥+==¢=+==+ååòò1x <8.设在上收敛，试证：当时，级数必定收敛. ()0nn n f x a x ¥==å[]0,1010a a ==11n f n ¥=æöç÷èøå证明: 由已知在上收敛，所以，从而有界. 即存在，使得 ，所以，；级数收敛，根据比较审敛准则，级数绝对收敛.()0n n n f x a x ¥==å[]0,1lim 0n n a ®¥={}n a 0M>n a M£()1,2,n = 0123232323111111f a a a a a a n n n n n n æö=++++=++ç÷èø()2231111111n M M M n n n n næö£++==ç÷-èø- ()2n ³()211n n n ¥=-å11n f n ¥=æöç÷èøå9.已知为周期是的周期函数，（1）展开为傅立叶级数； （2）证明；（3）求积分的值.[)2(),0,2f x x x p =Î2p ()f x ()1221112n n np -¥=-=å()10ln 1x dx x +ò解：（1）在处间断，其它点处都连续.所以由Dirichlet 收敛定理，时，级数收敛于，所以当时，有，亦即：.()f x ()20,1,2,x k k p ==±± ()()22220011183a f x dx f x dx x dx pppp pp pp-====òòò222022014cos ,14sin ,1,2,n n a x nxdx n b x nxdx n npp p p p ====-=òò ()()221414cos sin 20,1,2,3n f x nx nx x k k nn p p p ¥=æö=+-¹=±±ç÷èøå ()22214114cos sin ,0,23n x nx nx x nn p p p ¥=æö=+-Îç÷èøå()20,1,2,x k k p ==±± ()()2002022f f p p ++-=()20,1,2,x k k p ==±± 222141423n np p ¥=+=å22116n n p ¥==å（2）是连续点，所以即：;x p =()f x 2221414cos ,3n n np p p ¥==+å()221112nn n p¥=-=-å()1221112n n n p-¥=-Þ=å（3）积分是正常积分，不是瑕点， 对，令，.()10ln 1x dx x +ò0x=()1,1t "Î-()()()()111112000111ln 1111n n n tt tn n nn n n x dx x dx x dx tx n nn---¥¥¥--===+---===åååòòò1t -®()10ln 1x dx x +ò()01ln 1lim t t x dx x -®+=ò()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()1221112n n np -¥=-==å10.证明下列展开式在上成立：（1）；（2）.并证明. []0,p ()221cos 26n nxx x n pp ¥=-=-å()()()31sin 21821n n xx x n p p¥=--=-å()()133113221n n n p -¥=-=-å证明：将函数展开为余弦级数和正弦级数.（1） 对作偶延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的余弦级数处处收敛于.,()()f x x x p =-[]0,x p Î()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022a f x dx x x dx ppp p p==-òò23202233x x pp p p æö=-=ç÷èø, ,所以在上，.()()022cos cos n a f x nxdx x x nxdx ppp p p==-òò()()()()200022sin 2sin 2cos x x nx x nxdx x d nx n n pppp p p ppéù=---=-êúëûòò()2211nn éù=--+ëû()()202112cos 11cos 26n n n n a f x a nx nx n p ¥¥==éù=+=--+ëûåå221cos 26n nxnp ¥==-å[]0,x p Î[]0,p ()221cos 26n nxx x n p p ¥=-=-å(2)对作奇延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的正弦级数处处收敛于. , ()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022sin sin n b f x nxdx x x nxdx p pp p p ==-òò()()()()200022cos 2cos 2sin x x nx x nxdx x d nx n n p p p p p p p p éù=----=-êúëûòò()3411n n p éù=--ëû, 所以在上，. 令，有. ()()3114sin 11sin n n n n f x b nx nx n p ¥¥==éù==--ëûåå()()31sin 21821n n x n p ¥=-=-å[]0,x p Î[]0,p ()()()31sin 21821n n xx x n p p ¥=--=-å2x p =()()23181sin 214221n n n p p p ¥==--åÞ()()133113221n n n p -¥=-=-å。
辽宁工业大学高数习题课11-1
an ≥ 0
正项级数
二,判别常数项级数收敛的解题方法
的敛散性, 判别常数项级数∑an的敛散性,应先考察是否有
n=1
liman = 0 成立.若不成立,则可判定级数发散; 成立.若不成立,则可判定级数发散;
n→∞
若成立,则需作进一步的判别. 若成立,则需作进一步的判别.
此时可将常数项级数分为两大类,即正项级数与任意项级数. 此时可将常数项级数分为两大类,即正项级数与任意项级数. 对于正项级数,可优先考虑应用比值法或根值法. 对于正项级数,可优先考虑应用比值法或根值法.若此 二方法失效,则可利用比较法(或定义)作进一步判别; 二方法失效,则可利用比较法(或定义)作进一步判别; 对于任意项级数, 是否收敛. 对于任意项级数,一般应先考虑正项级数 ∑ an 是否收敛. 若收敛,则可判定原级数收敛,且为绝对收敛; 若收敛,则可判定原级数收敛,且为绝对收敛;
n=1
∞
问题是熟练掌握一批已知正项级数的敛散性(如几何级数, 问题是熟练掌握一批已知正项级数的敛散性(如几何级数,
p 级数等),然后根据 an 的特点,进行有针对性的放缩. 级数等), ),然后根据 的特点,进行有针对性的放缩.
a nn! 的收敛性. 【例6】判别级数 ∑ nn 的收敛性. 】 n =1
un+1 ∵ = un e >1 1 n (1 + ) n
∴ un+1 > un lim un ≠ 0
n →∞
所以,原级数发散. 所以,原级数发散. 的因子时, 注:在级数一般项 un 中,若含有形如 nk , an , n!, nn 的因子时, 适于使用比值审敛法. 适于使用比值审敛法.
1 的敛散性. 【例7】判断级数∑ [ln(n + 1)]n 的敛散性 】 n =1
高数 第六章
1 2 1 3 n 1 x ln(1 + x ) = x x + x L + ( 1) +L 2 3 n x ∈ (1,1]
(1 + x)α = 1 +αx +
n
α(α 1)
2!
x +L+
2
α(α 1)L(α n + 1)
n!
xn +L
x ∈(1,1)
二、典型例题
例1
判断级数敛散性: (1)
∑
n=1
∞
n
1 n+ n
1n (n + ) n
1 n
;
1 n
解
n nn n , un = = 1 n 1 n (1 + 2 ) (n + ) n n
1 1 n 1 n2 n Q lim(1 + 2 ) = lim[(1 + 2 ) ] = e 0 = 1; n→ ∞ n→ ∞ n n 1 1 1 n x lim n = lim x = exp{lim ln x } n→ ∞ x →∞ x →∞ x
6、幂级数
(1) 定义
的级数称为幂级数 幂级数. a n ( x x 0 ) n 的级数称为幂级数 ∑
n= 0 ∞
形如
当x0 = 0时,
an xn ∑
n=0
∞
为幂级数系数. 其中a n 为幂级数系数
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 称为幂级数的收敛半径 定义: 正数 称为幂级数的收敛半径 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间. 收敛区间
n→∞
收 , 其 数 敛 且 和s ≤ u1 ,其 项n 的 对 rn ≤ un+1. 余 r 绝 值
无穷级数习题课
无穷级数
习 题 课
主要内容 典型例题
一、主要内容
un为常数
∑un
取 x = x0
n=1
∞
un为函数 un (x)
常数项级数 一 般 项 级 数
级数与数 相互转化
函数项级数
正 项 级 数
在收敛 条件下
交 错 级 数
收 敛 半 径 R
幂级数 泰勒展开式
Rn ( x ) → 0
泰勒级数
函 数
数
数或函数
1 = exp{lim } = e 0 = 1; x →∞ x
∴ lim un = 1 ≠ 0, n→ ∞
根据级数收敛的必要条件，原级数发散． 根据级数收敛的必要条件，原级数发散．
nπ ∞ ncos 3; (2) ∑ 2n < n, un = 2n 2n
2
n 令 vn = n , 2
∞
( −1 ≤ x ≤ 1)
测 验 题
一 、 选择题: 选择题 : 下列级数中, 收敛的是( 1 、 下列级数中 , 收敛的是 ( ). ∞ ∞ 1 1 (A) ∑ ； (B) ∑ ； n =1 n n=1 n n ∞ ∞ 1 (C) ∑ 3 2 ； (D) ∑ ( − 1) n . n n =1 n =1 下列级数中, 收敛的是( 2 、 下列级数中 , 收敛的是 ( ). ∞ ∞ 5 n −1 4 n −1 (A) ∑ ( ) ； (B) ∑ ( ) ； n=1 4 n=1 5 ∞ ∞ 5 4 n −1 5 n −1 (C) ∑ ( − 1 ) ( ) ； ( D) ∑ ( + ) n − 1 . 4 5 n =1 n =1 4
(A) R1 + R2 ； (B) R1 ⋅ R2 ； (C)max{R1 , R2 }； (D)min{R1 , R2 } . 8、当 k > 0 时,级数 ∑ ( −1) n
无穷级数习题课(1)
故由比较审敛法的极限形式，原级数收敛。
5
解法2：由比值审敛法
6n1
lim an1 a n
n
lim
n
7n1 5n1 6n
6(7n 5n )
lim
n
7n1
5n1
7n 5n
lim
n
6(1 ( 5)n ) 7
1 ( 5)n1
6 7
1
7
故由比值审敛法知原级数收敛。
6
1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的开关按键来实现功 能的一种设计方式。
e e x x
x x
e0
1
n
x
x
lim
n
an
1
0
由级数收敛的必要条件，原级数发散。
4
【例3】判别级数
n1
6n 7n 5n
的收敛性。
解法1：此级数为正项级数，
an
6n 7n 5n
6n
lim 7n 5n lim 1 1
n ( 6 )n
n 1 ( 5)n
7
7
而级数 ( 6 )n 为等比级数收敛， n1 7
n1
2
三、典型例题
【例1】判别级数 n1
2n 3n
1
的收敛性，并求级数的和。
解：
由于
an
2n 3n
1
3n 3n
n1 3n
n 3n1
n1 3n
，由定义
2 23 3 4
Sn
(1
) 3
( 3
32
)
( 32
33
)
n ( 3n1
n1 3n )
无穷级数习题课及答案
第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1．()∑∞=+-+112n n n ；2．()∑∞=+12221n n n判断下列正项级数的敛散性1．∑∞=1100!n nn 2．()∑∞=++1332n n n n ；3．∑∞=14!n n n ； 求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛1．()∑∞=---11121n n n n ；2．Λ+-+-0001.1001.101.11.1； 3．Λ++-+++-144133********； 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间1．∑∞=13n nn x n；2．∑∞=1!n nx n ；3．()∑∞=-1121n nnx n；4．∑∞=+-112121n n n x；5．∑∞=123n nn x n求下列级数的和函数1．∑∞=-11n n nx；2．121121+∞=+∑n n n x ；将下列函数展开成0x x -的幂的级数1．x 2cos ，00=x ；2．()()x x ++1ln 1，00=x ；3．x1，30=x ； (B)用定义判断下列级数的敛散性()()∑∞=++043131n n n 判断下列正项级数的敛散性1．∑∞=+1n )1(1n n ；2．1131++∑∞=n n n ；3．∑∞=13n n n ；判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛1．()∑∞=-⋅-11311n n n n ；2．()∑∞=--1n1211n n ； 求下列幂级数的收敛半径、收敛区间1．()∑∞=-121n nnn x ；求下列幂级数的收敛区间、和函数与级数和 求∑∞=--11)1(n n x n 的收敛区间与和函数，并由此求数项级数∑∞=-112n n n 的和；将下列函数展开成0x x -的幂的级数1．()13212+-=x x x f ，00=x ；2．()21x x f =，10=x。
无穷级数习题课
∞ 2 ∞a 收敛， （4）若 ∑an 收敛，则 ∑ n ） 绝对收敛） （绝对收敛） n n= 1 n= 1 ∞ ∞ ∞ 收敛， n发散， （5）若 ∑an 收敛， ∑b 发散，则 ∑(an ±b ) （发散） ） 发散） n n= 1 n= 1 n= 1
an 收敛且a ≠1时 若正项级数 ∑an收敛且an≠1时，则级数 ∑ 收敛） 1−an （收敛） n= 1 n= 1
n=1 n=1
判别下列级数的敛散性: 例2 .判别下列级数的敛散性 判别下列级数的敛散性
讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: 例3.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性 π ∞ sin n+1 (2) ∑ −1 n+1 n+1 ; ( )
n= 1
π
n+1 (3) ∑ −1 ln ( ) ; n n= 1
(− )n+ 1 1 1 n + ∞ (− ) 1 1 + ] ， un+1 = lim n+1 n+1 ∑[ lim 又如 n n n→ un n→ ∞ ∞ (− )n 1 1 n= 1 + n n − n (− )n n 1 + 同 (− )n n 乘 1 n+1 = − ，但该级数发散。 lim n+1 1 但该级数发散。 n n→ ∞ (− ) 1 1+ n
n= 1 ∞
n= 1+an 1
∞
（6）若 ∑an、∑b 都发散，则 ∑(an ±b ) ） n n都发散， n= 1 n= n= （可能发散也可能收敛） 1 可能发散也可能收敛） 1
∞ 1 1n 可能收敛也可能发散） （7）若 0 ≤ an < ，则 ∑(− ) an （可能收敛也可能发散） ） n n= 1 1 ∞ an = , ∑(−1 nan 收敛， ) 收敛， 例如 2n n= 1
第一次知识题课无穷级数高数
n n k1 3k
k
例5 (1)设偶函数f (x)在x=0的某邻域二阶导数连
续，且
f (0)=1，证明级数
[ f ( 1 ) 1]绝对收敛。
n1
n
证明 因为偶函数f (x)在x=0的某邻域有连续的二阶
导数， 故f (0) 0，
且f ( 1 ) f (0) f (0) 1 f (0) ( 1 )2 o( 1 )
(4) (1 cos )
n1
n
ln n
(5)
3
n n1 2
(6)
n1
n cos2 2n
n
3
;
1 cos
lim
n 1,收敛
n
2
2n2
取vn
1 ,收敛 4
n3
un
ncos2 n
3 2n
n 2n
,收敛
an
(7)
(a 0, s 0).
ns
n1
a
lim n
n
un
lim ( n n
n)s
a
从而
当 a 1 时, 原级数收敛；
当a 1 时, 原级数发散；
当 a 1 时,
原
级
数
为
n1
1 ns
,
p
级
数
，
故
当s 1时，收敛：当s 1时，发散。
(8)
un
/ n sin x dx,
0 x1
un 是否收敛？
n1
解：n≥2时，
0 un
/ n sin x dx
0 x1
1
un n ln n (n 1) ln(n 1) un1 (n 1),
无穷级数习题课一
解: 已知四面体的体积等于以向量 A1 A2 , A1 A3 , A1 A4
为棱的平行六面体体积的 故
A4 A3 A1 A2
[ A1 A2 A1 A3 A1 A4 ]
1 6
x2 x1 y2 y1 z 2 z1 x3 x1 y3 y1 z3 z1 x4 x1 y4 y1 z 4 z1
1
L
y
（2）对称式方程：x x 0 y y 0 z z 0
m n p
x
o
2
其中 s (m, n, p) 为直线的方向向量，M 0 ( x 0 , y0 , z 0 )
ax a y az bx b y bz cx c y cz
3. 性质
(1) 三个非零向量 a , b , c 共面的充要条件是
a b c 0
(2) 轮换对称性 :
[ a b c ] [ b c a ] [ c a b]
(可用三阶行列式推出)
a
b
c
例1. 已知一四面体的顶点
4 ) , 求该四面体体积 .
k az bx
（3）运算律： ① 反交换律： a b b a
② 分配律： (a b ) c a c b c
( a ) b a ( b ) (a b ) ③ 结合律：
（4）性质：a a 0 , a // b a b 0
（3）运算律： ① 交换律： a b b a
② 分配律：(a b ) c a c b c ③ 结合律：( a ) b a ( b ) (a b )
（4）向量的夹角： cos(a , b )
a a a ; （5）性质：
无穷级数(习题及解答).doc
第十一章无穷级数§级数的概念、性质一、单项选择题1. 若级数an 1 q n收敛 ( a为常数 )，则q 满足条件是( )．(A) q 1 ；(B) q 1 ；(C) q 1 ；(D) q 1 ．答 (D) ．2.下列结论正确的是 ()．(A) 若 lim u n 0 ，则u n收敛； (B) 若 lim( u n 1 u n ) 0 ，则u n 收敛；n n 1 n n 1(C) 若u n 收敛，则 lim u n 0 ； (D) 若u n 发散，则 lim u n 0. 答 (C) ．n 1 n n 1 n3. 若级数u n 与v n 分别收敛于 S1 , S2，则下述结论中不成立的是( )．n 1 n 1(A) (u n v n ) S1 S2；(B) ku n kS1；n 1 n 1(C) kv n kS2；(D) u n S1 ．答 (D) .n 1 n 1v n S24. 若级数u n 收敛，其和 S 0 ，则下述结论成立的是( )．n 1(A) ( u n S) 收敛；(B) 1收敛；n 1 n 1 u n(C) u n 1 收敛；(D) u n 收敛 . 答 (C) .n 1 n 15. 若级数a n 收敛，其和 S 0 ，则级数( a n a n 1 a n 2 ) 收敛于( )．n 1 n 1(A) S a1 ；(B) S a2； (C) S a1 a2；(D) S a2 a1．答 (B) .6. 若级数a n发散，b n收敛则( )．n 1 n 1(A)(a n b n ) 发散；(B)(a n b n ) 可能发散，也可能收敛；n 1 n 1(C)a n b n发散；(D)( a n2 b n2 ) 发散. 答 (A) .n 1 n 1二、填空题1. 设 a1 ，则( a)n.答： 1.n 01 a2. 级数 (ln 3)n 的和为．答：22n1 .n 0ln 33. 级数( n 2 2 n1 n) ，其和是．答： 12 .n 04.数项级数1的和为 . 答： 1.n 1 (2n1)(2n 1)25*. 级数2n 1 的和为.答： 3.n 02n 三、简答题1． 判定下列级数的敛散性(1)8 82 83L( 1) 8n 答： 收敛 .9 29 39 n L9解：1 1 1 L1 答： 发散 .(2)6 9 L33n解：1 1 1L1L答： 发散 .(3)333 n3 3解：3 32 33 L3n L答： 发散 .(4)2223 2n2解：1 1 1 1 1 11 1 L 答： 收敛 .(5)3223223 33L3n2 2n解：§正项级数收敛判别法、 P — 级数一、单项选择题1. 级数u n 与v n 满足 0 u n v n , (n 1,2,L ) ，则 ()．n 1n 1(A) 若v n 发散 ,则 u n 发散； (B) 若u n 收敛 ,则 v n 收敛；n 1n 1n 1n 1(C) 若u n 收敛 ,则v n 发散； (D) 若u n 发散，则v n 发散 .答 (D) .n 1n 1n 1n12. 若 0a n 1, ( n 1,2, L ) ，则下列级数中肯定收敛的是()．n (A)a n ；(B)( a n 1 a n ) ；n1n1(C)a n2；(D)a n ．答 (C) .n 1n 13. 设级数 (1)2n nn!与 (2)3n n n! ，则 ( )．n 1nn 1 n(A) 级数 (1)、 (2)都收敛；(B) 级数 (1) 、 (2)都发散；(C) 级数 (1)收敛，级数 (2)发散；(D) 级数 (1)发散，级数 (2)收敛．答 (C) .4. 设级数 (1)1 与 (2) 10n , 则 ( ).n 1n nn 1 n!(A) 级数 (1)、 (2)都收敛；(B) 级数 (1) 、 (2)都发散；(C) 级数 (1)收敛 ,级数 (2)发散；(D) 级数 (1)发散 ,级数 (2)收敛．答 (D) .5. 下列级数中收敛的是 ()．(A)n1 ； (B)sin1；n 1 n( n 2) n 1n(C)( 1)nn ； (D)1． 答 (A) .n 13n 1n 1 2n 11 216*. 若级数，则级数().n 1 n 2 6 n 1 (2n1)22222(A);(B);(C);(D).答 (B) .4812167. 设 u n 与 v n 均为正项级数 ,若 lim u n1，则下列结论成立的是().n 1n 1nv n(A)u n 收敛 ,v n 发散；(B)u n 发散 ,v n 收敛；n 1n1n 1n 1(C)u n 与v n 都收敛 ,或 u n 与 v n 都发散 .(D) 不能判别 .答 (C) .n 1n1n 1n 18. 设正项级数u n 收敛，则 ().n 1(A) 极限 limun 11；(B)极限 limu n 1 1；nu nnu n(C) 极限 lim n u n1；(D) 无法判定 .答 (A)n9. 用比值法或根值法判定级数u n 发散，则u n ().n 1n 1(A) 可能发散； (B) 一定发散；(C) 可能收敛；(D) 不能判定 .答 (B)二、填空题1. 正项级数u n 收敛的充分必要条件是部分和 S n.答：有上界 .n 12. 设级数2n 1收敛，则 的范围是.n 1n3. 级数u n 的部分和 S n2n ，则 u n.n 1n 14. 级数2n1是收敛还是发散.n 02n3 答：．22答：.n( n 1)答：收敛 . 5. 若级数1收敛，则 p 的范围是.答： p 0 . n 1n p sinn6. 级数3n n! 是收敛还是发散.答：发散 .n 1n n三、简答题1. 用比较法判定下列级数的敛散性：(1)1 n ；答：发散 . (2)1 ；答： 收敛 .n 1 1 n 2n 1 (n 1)(n 2)(3)sin n ；答：收敛 . (4)1 n (a 0) .答 a 1 收敛 ; a 1 发散 .a n 12 n 112. 用比值法判定下列级数的敛散性：(1)3n ； 答：发散 .(2)n 2 ；答： 收敛 .n 1 n 2nn 1 3n解：(3)2n nn!；答： 收敛 .(4)n tan n 1．答： 收敛 .n 1 nn 12解：3. 用根值法判定下列级数的敛散性： (1)n 1解：(3)n1nn1；答： 收敛 .(2) ；答：收敛 .2n 1 n 1[ln( n 1)]n解：2n 1n； 答：收敛 .3n 1解：b n(4) 其中 a n a, (n ) ， a n , b, a 均为正数．a nn 1答：当 b a 时收敛，当 b a 时发散，当 b a 时不能判断．§一般项级数收敛判别法一、单项选择题1. 级数u n 与v n 满足u n v n , ( n 1,2, L ) ,则 ( )．n 1 n 1(A) 若v n 收敛 ,则u n 发散；(B) 若u n 发散 ,则v n 发散；n 1 n 1 n 1 n 1(C)若u n 收敛 ,则v n 发散；(D) 若v n 收敛 ,则u n 未必收敛．答(D) .2.下列结论正确的是 ()．(A)u n收敛，必条件收敛；(B)u n 收敛，必绝对收敛；n 1 n 1(C)u n 发散，则u n 必条件收敛；n 1 n 1(D)u n 收敛，则u n 收敛．答 (D) .n 1 n 12.下列级数中，绝对收敛的是 ()．(A) ( 1)n n; (B) ( 1)n 1 1 ；n 1 3n 1 n 1 n2(C) ( 1)n 1 1 ；(D) ( 1)n 1 1．答 (B) .n 1 ln( n 1) n 1 n3. 下列级数中，条件收敛的是 ( )．nn 2(A) ( 1)n 1 ；(B) ( 1)n 1 ；n 12n3 1 n 1 3(C) ( 1)n 1 1 ；(D) ( 1)n 1 1 ．答 (A) .n 1n2 n 1 n 2n4. 设为常数，则级数sin n 1( ).n2 nn 1(A) 绝对收敛；(B) 条件收敛；(C) 发散；(D) 敛散性与的取值有关．答 (C) .5. 设a n cos n ln(1 1 ) (n 1,2,3, ) ，则级数( ).n(A) a n 与a n2 都收敛 . (B) a n与a n2 都发散 .n 1 n 1 n 1 n 1(C) a n 收敛，a n2发散. (D) a n发散，a n2 收敛 . 答 (C) .n 1 n 1 n 1 n 16.设0 a n 1(n 1,2,3, ) ,则下列级数中肯定收敛的是(). n(A) a n . (B) ( 1) n a n.(C) an . (D) a n2 ln n . 答 (D) .n 1 n 1 n 2ln n n 27.下列命题中正确的是( ).(A) 若u n2与v n2都收敛,则(u n v n)2收敛 .n 1 n 1 n 1(B) 若u n v n收敛,则u n2与v n2都收敛.n 1 n 1 n 1(C) u n 发散 ,则u n 1若正项级数.n 1 n(D) 若u n v n (n 1,2,3, ) ,且u n 发散 ,则v n 发散 . 答 (A) .n 1 n 1二、填空题1. 级数( 1)n 1的取值范围是．答：1.绝对收敛，则n 1 n2. 级数1 sin n条件收敛， 则 的取值范围是 ．答： 01.n 1 n 23. 级数a n 2收敛，则( 1)nan是条件收敛还是绝对收敛．n 0n 0n答：绝对 收敛 .三、简答题1. 判定下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛(1)( 1)n 11； n 1n解：(2)( 1)n 1 n；n 13n1解：sin n(3)n 1( n 1)2；解：(4)( 1)n 11；n 13 2n解：(5)( 1)n 11 ；n 1ln( n 1)解：(6)n 1 2n2( 1)n 1n!答： 条件收敛 .答： 绝对收敛 .答： 绝对收敛 .答： 绝对收敛 .答： 条件收敛 .答： 发散 .解：§幂级数收敛判别法一、单项选择题1. 幂级数x n 的收敛区间是 ( )．n 1 n(A) [ 1, 1] ；(B) ( 1, 1) ；(C) [ 1, 1) ； (D) ( 1, 1] ．答 (C) .2. 幂级数( 1)n (x 1)n 的收敛区间是 ( )．n 1n 2n(A) [ 2 , 2] ；(B) ( 2 , 2) ；(C) [ 2, 2) ； (D) ( 2, 2] ．答 (D) .3. 幂级数x 2 n的收敛半径是 ( ).1 n2 3nn(A) R 3 ；(B) R 3 ；(C) R 1(D)1答 (B) . ；R ．3 3（ A）(C)（ B）(D)4. 若级数C n ( x 2)n在x 4 处是收敛的，则此级数在x 1 处 ( ).n 1(A) 发散； (B) 条件收敛；(C) 绝对收敛；(D) 收敛性不能确定．答 (C) .5. 若级数C n ( x 2)n在x 4 处是收敛的，则此级数在x 1 处( ).n 1(A) 发散；(B) 条件收敛；(C) 绝对收敛；(D) 收敛性不能确定．答 (D) . 6．若幂级数a n (x 1)n在x 1处条件收敛，则级数a n( ).n 0 n 0(A) 条件收敛；(B) 绝对收敛；(C) 发散；(D) 敛散性不能确定. 答(B) .二、填空题1. 幂级数xn的收敛域是．答： [ 1,1]. n 1n22. 幂级数2n 3n n的收敛域是．答：1 1n n2 x3,. n 1 33. 幂级数( 1)n 1 x2 n 1的收敛半径 R ，和函数是．(2 n 1)!n 1答： R , sin x.4. 幂级数( 1)n x 2n，和函数是．(2 n)!的收敛半径 Rn 0答： R , cosx.5. 设a n x n的收敛半径为R，则a n x2 n的收敛半径为．答： R.n 0 n 06. 设幂级数a n x n 的收敛半径为 4 ，则a n x2n 1的收敛半径为．答： 2.n 0 n 07. 幂级数( 1)n 1 (2 x 3)n 的收敛域是. 答： (1, 2].n 0 2n 18. 幂级数a n ( x 1)2 n在处x 2 条件收敛，则其收敛域为.答：[ 0,2] .n 0一、简答题1.求下列幂级数的收敛域．(1) nx n；答： ( 1,1). (2) ( 1)n 1 x n ；答： [ 1,1].n 1 n 1n2(3) x n ；答： [ 3, 3) ．(4) 2n x n；答： 1 , 1．n 1 n 3nn 1 n2 1 2 2(5) ( x 5)n ;答：[4, 6). (6) ( 1)n x2n 1 ．答： [ 1,1].n 1 n n 1 2n 12.用逐项求导或逐项积分，求下列幂级数的和函数．(1)nx n 1；答： S(x) 1 2 , x ( 1,1) ．n 1 (1 x)解：(2)x2n 1 1 1 x．2n．答： S(x)ln1, x ( 1,1)n 1 1 2 x解：3*. 求级数1的和．答： 2ln 2. n 1 n 2n解：§函数展开成幂级数一、单项选择题1. 函数f ( x) e x2 展开成 x 的幂级数是( )．(A) 1 x 2 x4 x6L ； (B) 1 x 2x4 x6；2! 3! 2!L3!(C) 1 x x2 x3L ； (D) 1 xx2 x3．答 (B) . 2! 3! 2!L3!2. 如果f ( x)的麦克劳林展开式为a n x2 n，则 a n是( )．n 0(A) f ( n) (0) ；(B) f (2 n ) (0) ；(C) f (2 n ) (0) ；(D) f ( n ) (0) ．答 (A) .n! n! (2 n)! (2 n)!3. 如果f ( x)在x x0的泰勒级数为a n ( x x0 ) n，则 a n是( )．n 0(A) f ( n) ( x0 ) ；(B) f (2 n ) ( x ) f (2 n ) ( x ) f ( n ) ( x )0； (C)n!0； (D) 0 ．答 (C) .n! n!4. 函数 f ( x)sin 2x 展开成 x 的幂级数是 ( )． (A)xx 3 x 5 x 7 ； (B) 1 22 x 2 24 x 4 26 x 6；3! 5! L 2! 4! L7! 6!(C) 2 x 23 x 325 x 527 x 7 L ； (D) 1x 2x 4x 6L ．答 (C) .3!5!7!4! 6!二、填空题1. 函数 f ( x) a x的麦克劳林展开式为x 12. 函数 f ( x) 3 2 的麦克劳林展开式为3. n 1x 2n 1幂级数( 1)(2n 的和函数是n 11)!4. 1 的麦克劳林级数为函数 f ( x)1 x5. 1的麦克劳林级数为函数 f ( x)1 x6. 函数 f ( x) ln(1 x) 的麦克劳林级数为7. 函数 f ( x) e x在 x 1 处的泰勒级数． 答：(ln n a) x n .n 0n!n． 答： 3ln 3 x n.n 02 n!．答： sin x .．答：n 0 x n .．答：( 1)n x n .n 0．答：(n 1x n1).n 1n． 答：e( x 1)n .n 0n!8. 函数 f ( x)1 在 x 1处的泰勒级数．答：( 1)n ( x 1)n .x 1n 02n 19. 函数 f ( x) 1 展开成 x 3 的幂级数为 ．答：( 1)n (x3)n .xn 03n 110. 函数 f ( x)21n22 n 1 x 2n.cos x 展开成 x 的幂级数为． 答：( 1)(2n)!2 n 011. 级数( 1)n 的和等于.答： cos1.n 0 (2n)!三、简答题1. 将下列函数展开成 x 的幂级数，并求展开式成立的区间．(1) f ( x) ln( a x), ( a 0) ；解：答： ln(an 1x nn. x) ln a( 1)n an 1(2) f ( x) sin2 x ；解：答： sin2 x ( 1)n 1 (2 x) 2 n , ( , ).n 1 2(2n)!(3) f ( x) (1 x)ln(1 x) ；解：答： (1 x)ln(1( 1)n 1 x nx) x , ( 1, 1].n 2 n( n 1)(4*) f ( x) x ；1 x2 解：x ( 1)n 2(2 n)! x 2 n 1答：x , [ 1, 1].1 x2 n 1 ( n!) 2 2(5). f ( x) x ．2xx2 3解：x 1 1 ( 1)n 1 x n 2(2n)! x 2 n 1答：, ( 1, 1).x 2 2 x 3 4 n 1 3n ( n!) 2 22. 将函数 f ( x) cos x 展开成 x的幂级数．3解：2 n2 n 1 n答： cosx1 ( 1)n 1 x 33 x 3, ( ,).2 n 0(2n)!(2n 1)! 3*. 将函数 f ( x) ln(3 x x 2 ) 在 x 1 展开成幂级数．解：答： ln(3 xx 2 ) ln 2( 1)n 11 ( x 1)n , (0, 2].n 02n n4*. 将函数 f (x)1展开成 x 4 的幂级数 .2 3xx 2解：答：1 11n3x 2n 0 2n 13n 1 ( x 4) , ( 6, 2).x 2§2 为周期的傅里叶级数一、单项选择题1. 函数系 1, cosx ,sin x ,cos 2x ,sin 2x, L ,cos nx ,sin nx,L ( ).(A) 在区间 [ , ] 上正交； (B) 在区间 [ , ] 上不正交；(C) 在区间 [0, ] 上正交； (D) 以上结论都不对．答 (A) .2. 函数系 1, sin x , sin 2x, L , sin nx ,L().(A) 在区间 [0,] 上正交；(B) 在区间 [0, ] 上不正交；(C) 不是周期函数；(D) 以上结论都不对．答 (B) .3. 下列结论不正确的是 ()．(A) cosnx cosmxdx 0, ( n m) ； (B) sin nxsin mxdx 0, (n m) ； (C)cosnx sin mxdx 0 ；(D)cosnx cosnxdx0 ． 答 (D) .4. f ( x) 是以 2 为周期的函数，当 f ( x) 是奇函数时，其傅里叶系数为 ()．(A) a n 0, b n 1 f ( x)sin nxdx ； (B) a n 0, b n 1 f ( x)cos nxdx ；0 0(C) a n 0, b n 20, b n2sin nxdx ．答 (C) .f ( x)sin nxdx ； (D) a n0 05. f ( x) 是以 2 为周期的函数，当 f ( x) 是偶函数时，其傅里叶系数为( )．(A) b n 0, a n 1 f ( x)sin nxd x ； (B) b n 0, a n 2 f ( x)cos nxdx ；0 0(C) b n 0, a n 10, a n2cosnxdx ．答 (B) .f (x)cos nxdx ； (D) b n0 0二、填空题1. f ( x) 是以 2 为周期的函数， f ( x) 傅里叶级数为．答：a0 (a n cosnx b n sin nx). 其中2 n 1a n1f ( x)cos nxdx , n 0,1,2,L , b n1f ( x)sin nxdx , n 1,2,L .2. f ( x) 是以 2 为周期的偶函数， f ( x) 傅里叶级数为．答： a0 a n cosnx. 其中 a n 2 f ( x)cos nxdx , n 0,1,2, L .2 n 1 03. f ( x) 是以 2 为周期的奇函数， f ( x) 傅里叶级数为．答：b n sin nx.2f ( x)sin nxdx , n 1,2, L . 其中 b nn 1 04. 在 f ( x) x,( x ) 的傅里叶级数中，5. 在 f ( x) x 1,( x ) 的傅里叶级数中，6. 在 f ( x) x 1,( x ) 的傅里叶级数中，sin x 的系数为．答：2. sin 2x 的系数为．答： 1. cos2 x 的系数为．答：0.三、简答题1.下列函数 f ( x) 的周期为 2 ，试将其展开为傅里叶级数．(1) f ( x) 3x21, (x) ；解：答： f ( x) 2 1 12 ( 1)2 n cosnx , ( , ).n 1 nbx , x 0 (2) f ( x) 0 x ；ax ,解：答： f (x)(a b) [1 ( 1)n]( ba)cosnx ( 1)n 1 ( a b) sin nx ,4n 1n 2nx (2 k 1) .2. 将函数 f (x)xx) 展开为傅里叶级数．2sin (3解：答： f (x)18 3( 1)n 1n sin nx, ( , ).n 19n 213. 将函数 f ( x)x ,(x) 展开成傅里叶级数．cos2解：答： f (x)2 4 ( 1)n 11 cosnx, [ , ].n 14n 214. 将函数 f (x)x x) 展开成正弦级数．, (02解：答： f (x)sin nx , (0, ]. n 1n 5. 将函数 f ( x) 2x 2 , (0 x) 展开成正弦级数和余弦级数．解：41)n2 22答： f (x)( nsin nx, [0, ).n 1n 3n 3f ( x) 228 ( 1)n cosnx , [0,].3n 1n 2§ 一般周期函数的傅里叶级数一、单项选择题1. 下列结论不正确的是 ( )．ln x m x(A) coscos dx 0, ( n m) ；ll l(B)lxsinm xd x 0, ( nm) ；sin nlll(C) ln x sinm xd x 0 ； (D) lx sin n xdx 0答 (D) . cos sin n．l l l ll l2. f ( x) 是以 2l 为周期的函数，则 f (x) 的傅里叶级数为 ( )． (A) a 0a n cosn xb n n x ； (B) a 0a n cosnx b n n x ；n 1l l 2n 1l l(C) b n n x ；(D) a 0 a n cos nx ． 答 (B) .n 1l 2 n 1 l 3. f ( x) 是以 2l 为周期的函数，当 f (x) 是偶函数时，其傅里叶级数为 ( )． (A) a 0a n cosnx ；(B) a 0a n cosnx ；2n 1ln 1l(C)b n sinn x；(D) a 0a n sin nx ． 答 (A) .n 1l2 n 1 l4. f ( x) 是以 2l 为周期的函数，当f (x) 是奇函数时，其傅里叶级数为 ( )．(A) b 0b n sinnx ；(B) b 0b n cosnx2 n1ln 1l(C)b n sinn x；(D)b n cosnx ．答 (C) .n 1ln 1l二、填空题1. f ( x) 是以 2为周期的函数 , f ( x) 的傅里叶级数为.答：aa n cos nx b n sinnx .2n 122其中 an 11f ( x)cosnxdx,n 0,1,2, , bn1 1f (x)sin nxdx , n 1,2, L .2 12L2 122. f ( x) 是以 2l 为周期的偶函数 ,f ( x) 的傅里叶级数为.答：aa n cosnx. 其中 a n2 2 n 1lllnf ( x)cos xdx , n 0,1,2, L .3. f ( x) 是以 2l 为周期的奇函数， f (x) 的傅里叶级数为 .答：b n sinn x . 其中 b n2 0 f (x)sin nxdx , n 1,2, L .n 1 l l l4. 设 f ( x) 是以 3 为周期的函数，1 x , 1 x 0 f ( x) , 0x．又设 f ( x) 的傅里叶x 2 级数的和函数为 S( x) ，则 S(0)， S(3)．答： S(0)S(3) 1 .25. 设 f ( x) 是以 3 为周期的函数， 2 ,1x 0f ( x)0 x，则 f (x) 的傅里叶级数x 3 ,1在 x 1 处收敛于．答： 3.2x ,1 0 x6. 设f ( x)是以2为周期的函数， f ( x)2，又设 S( x) 是 f ( x) 的正0,1x 12弦级数的和函数，则7．S4答： S 71 .4 4三、简答题1. 设周期函数在一个周期内的表达式为f (x) 1 x21x 1 ，试将其展开2 2为傅里叶级数．解：答：11 1 ( 1)n 1x) ( , ).f ( x) 2 cos(2n12 n 122. 设周期函数在一个周期内的表达式为 f ( x) 2x 1, 3 x 0，试将其展开1 , 0 x 3 为傅里叶级数．解：答：1 62 [1 ( n n n 1 6 nf (x)n 1 n 2 1) ]cos x ( 1) sinx , x 3(2 k 1).2 3 n 33*. 将函数f ( x) x2 , (0 x 2) 分别展开成正弦级数和余弦级数．解：答： 28 ( 1)n 1 2 n nx n n3 2 [( 1) 1] sin 2 x, 0 x 2.n 1x 24 16 ( 1)n n0 x 2. 32n2 cos x,n 1 2。
10.6_无穷级数习题课
幂级数
收
三角级数
敛
半 泰勒展开式 傅氏展开式
径
R
Rn ( x) 0 满足狄 氏条件
泰勒级数 傅氏级数
数或函数
函数
无穷级数习题课
1、常数项级数
定义
un u1 u2 u3 un
n1
n
级数的部分和 sn u1 u2 un ui
i 1
16
无穷级数习题课
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.
幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.
定理 2 如果幂级数 an x n 的所有系数an 0,
设
lim an1 n an
n0
(或
lim n
n
an
)
(1) 则当 0 时,R 1 ; (2) 当 0时,R ;
(3) 当 时,R 0 .
无穷级数习题课
(3)幂级数的运算
a.代数运算性质:
设 an xn和 bn xn的收敛半径各为R1和R2 ,
n0
n0
R minR1, R2
加减法
an xn bn xn cn xn .
n0
n0
n0
x R, R
2!
n!
x (1,1)
无穷级数习题课
(5) 应用 a.近似计算 b.欧拉公式
eix cos x i sin x,
sin t eit eit , 2i
e it e it
cos t
,
2
无穷级数习题课
8、傅里叶级数
(1) 三角函数系 三角函数系
(完整版)无穷级数习题及答案.doc
第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1． n 2n 1； ．1；3． 11 。
2n 1 2n 2n2n 13 n5 nn 1判断下列正项级数的敛散性．n! ；5． n e； 6．n 1；7． 2n 3；8． n 4 ；n 1 e n1 2nn 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n nn nn1 n9．；10．3n n 12n。
n 11求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛．1n 1n 1 ； 12．1n1； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001；112 nln nn 1n 214．122 2 3 1 4 1 ；21 32 4 2求下列幂级数的收敛半径和收敛区间．3n x n；16．1 n x n ； 17．n! xn； ．1 n；n n n 1 2n n n 1 n n 1n 119．1 2n 1； 20． n 2n；1 2 n 1xn 1 3 n xn求下列级数的和函数21． n 1 nxn 1； 22． n 1 21n 1 x2n 1；将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数23． shx e xe x ， x 00 ；24． cos 2 x ， x 00 ；225． 1 x ln 1 x ， x 00 ； 26． 1， x 0 3 ；x将下列函数在区间, 上展开为付里叶级数27． A xcos x，x。
28． f x 2t ， x22x , 3x t 029．将函数 f x, 0 t 3 展开成付里叶级数。
xx, 0 xl2分别展开成正弦级数和余弦级数。
30．将函数 f xllx , x l2(B)用定义判断下列级数的敛散性1．1；2．1； 3．n 2 2 n 2n 03n 1 3n4n 1n n 1 n2n 1判断下列正项级数的敛散性2n n!2n2n3n na n． ； 5．；6． ，( a 0 )；4n3n 12n nn 1nn1n 11nb7．，其中 a na ( n)， a n ， b ， a 均为正数；n 1a n11x8．n，( a 0)；9． n 42x ；1 n 1 0 1 x n 1 1判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛n 12 n 2n 1ln 2110．1；11．n 1；12．1n 1 nn!12 n 13n 2 3nn 1n 1nn 1求下列幂级数的收敛半径和收敛域．nx 2 n；14．x n ，( a 0 ,b 0 )； 1312n!n 1 anb nn 115．n12 n 1； 16． 3n2 nn；12 n4 n x 5x 1 n 1n 1n求下列级数的和函数17． nx 2n ；18．2n 1x 2 n ； 19． n 2 x n ；n 1n 1n ! n 120．求证： ln 21；n ；； 2将下列函数展开成 xx 0 的幂的级数21．f x21，x 0 0 ；22．f x12 ，x 01；23． x ，x 0 0 ； 2x3x 1x1 x 224．证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项；25．写出函数 f x1 x 2k ， x2k 1 , 2k1 ， k 0, 1, 2,的2付里叶级数，并讨论收敛情况。
第10章无穷级数-习题课
第10章 无穷级数习题课内容提要1.基本概念设有序列: ,,,,21n u u u ,称表达式=∑∞=1n nu++++n u u u 21为无穷级数,简称级数.当 ,,,,21n u u u 为数列时,称其为常数项级数或数项级数.当)(x u u n n =( ,2,1=n )是某个区间I 上的函数时,称其为I 上的函数项级数, 例如∑∞=0n nn x a 和∑∞=++10)sin cos (n n n nx b nx a A 等.(1) 数项级数敛散性概念称==∑=nk k n u s 1n u u u +++ 21 ( ,2,1=n ) 为∑∞=1n n u 的前n 项部分和,若部分和数列}{n s 收敛(设s s n n =∞→lim ),则称∑∞=1n n u 收敛,并称s 为其和,可记为s u n n =∑∞=1;否则称∑∞=1n n u 发散,发散的级数没有和.(2) 级数收敛的必要条件若∑∞=1n n u 收敛,则必有0lim =∞→n n u ;反之不真.(3) 级数的基本性质当0≠λ时,∑∑∞=∞==11)(n n n n u u λλ与∑∞=1n n u 敛散性相同;对于N ∈∀N ,∑∞+=1N n nu与∑∞=1n n u 敛散性相同.(4) 收敛级数的性质设s u n n =∑∞=1,σ=∑∞=1n n v ,,λμ∀∈R ,有+∑∞=)(1n n u λ=∑∞=)(1n n v μμσλμλ+=+∑∞=s v un n n1)(;（线性性质）∑∞=+++++11)(1k n n n k k ku u u收敛,且s u u u k n n n k k k =+++∑∞=++11)(1 .(加括号性质)(5)∑∞=+-11)(n n nv v收敛（只要n v 极限存在即可）, 当且仅当数列}{n v 收敛.（区别数列与级数的概念！）(6) 几何级数与-p 级数的敛散性∑∞=-11n n aq收敛的充要条件是1<q ,且收敛时∑∞=-11n n aq q a -=1;∑∞=11n p n 收敛的充要条件是1>p ,特别地,调和级数∑∞=11n n是发散的.2.正项级数的审敛法(1) 基本定理:∑∞=1n n u (0≥n u )收敛⇔}{n s 有上界.(2) 比较法: 设有正项级数∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v ,若N ∈>∃N ,0λ,使得当N n >时有n n v u λ≤成立,则1由∑∞=1n n v 收敛可得∑∞=1n n u 收敛; 2由∑∞=1n n u 发散可得∑∞=1n n v 发散.比较法的极限形式: 设有正项级数∑∞=1n n u ,1,n n v ∞=∑若l v u nnn =∞→lim(有限数或∞+),则 1当+∞<<l 0时,∑∞=1n nu与∑∞=1n n v 的敛散性相同;2当0=l 时,由∑∞=1n n v 收敛可得∑∞=1n n u 收敛;3当+∞=l 时,由∑∞=1n n v 发散可得∑∞=1n n u 发散.注: 运用比较法的关键在于: 1 事先估计待审级数的敛散性（当∞→n 时,若()1n u o n =,则1n n u ∞=∑一般是收敛的,否则可能发散）; 2 找到敛散性已知的级数作为比的较基准级数(通常是几何级数或-p 级数). (3) 比值法与根值法若ρ=+∞→nn n u u 1lim 或ρ=∞→n n n u lim (有限数或∞+),则1当1<ρ时∑∞=1n n u 收敛; 2当1>ρ时∑∞=1n n u 发散; 3当1=ρ时,∑∞=1n n u 可能收敛,也可能发散.(4) 积分审敛法设)(x f 在[, )N +∞上连续、非负且单调递减,记)(n f u n =(n ∈+Z ),则∑∞=1n nu收敛的充要条件是广义积分 ()d Nf x x +∞⎰收敛.3.任意项级数的审敛法(1)绝对收敛定理: 若任意项级数∑∞=1n n u 绝对收敛(即∑∞=1n n u 收敛),则∑∞=1n n u 必收敛,反之不真;但若由比值法与根值法判定∑∞=1n n u 发散,则∑∞=1n n u 也发散.(2)交错级数的Leibniz 准则:若交错级数∑∞=--11)1(n n n b (0≥n b )满足条件①0lim =∞→n n b 及②}{n b 单调递减,则∑∞=--11)1(n n n b 收敛,且111)1(b b n n n ≤-∑∞=-.4.幂级数的收敛域D 与和函数)(x S 的求法(1)关键在于求∑∞=0n nn x a (∑∞=-00)(n n n x x a )的收敛半径R当其“不缺无限多项”时,使用公式:若ρ=+∞→nn n a a 1lim或ρ=∞→n n n a lim ,则ρ1=R ; 当其“缺少无限多项”时,要依照R 的定义使用比值法或根值法求得,有时可做变量代换化为“不缺项”的级数而使用公式. (2)收敛域D ⋃-=) ,(R R {收敛的端点} (D ⋃+-=) ,(00R x R x {收敛的端点}).(3)求和函数)(x S 的方法 根据下列幂级数的和函数<1>x x x x x n n n +=+-+-=-∑∞=111)1(320 , )1 ,1(-∈x ;<2>)1ln(32)1(3211x x x x n x n n n +=-+-=-∑∞=- ,]1 ,1(-∈x ;<3>x n n x x x n x e !3!21!320=++++=∑∞= ,) ,(∞+-∞∈x ; 通过逐项积分、逐项求导、加减、变量代换及恒等变形等求出)(x S . 5.将函数展为幂级数—Taylor 级数(1)若在0x 的某邻域)(0x U 内无限次可微函数)(x f 在点0x 处能展成幂级数,则所展级数是惟一的,即必为Taylor 级数(00=x 时,称为Maclaurin 级数) ∑∞=-=000)()(!)()(n n n x x n x fx f . (2)在)(0x U 内无限次可微函数)(x f 在点0x 处能展成幂级数的充要条件是∈∀x )(0x U 有0)(lim =∞→x R n n ,其中)(x R n 是)(x f 在点0x 的n 阶Taylor 公式中的余项. (3)利用直接展开法可得到下列常用的展开式<1> ++++==∑∞=!3!21!e 320x x x n x n n x,) ,(∞+-∞∈x ; <2> -+-=+-=∑∞=+!5!3)!12()1(sin 53012x x x n x x n n n,) ,(∞+-∞∈x ;<3> +-+-=-=∑∞=!6!4!21)!2()1(cos 64202x x x n x x n n n,) ,(∞+-∞∈x ; <4> +-++=+--=+∑∞=20!2)1(1!)1()1()1(x x x n n x n n ααααααα,收敛半径 1=R .(4)一般采用间接展开法求)(x f 在点0x 的Taylor 展开式. 6.将函数展为Fourier 级数(1)Dirichlet 收敛定理:若)(x f 在] ,[l l -(或]2 ,0[l )上满足条件:①连续或只有有限多个第一类间断点,②至多只有有限多个极值点,则)(x f 的以l 2为周期的Fourier 级数在),(+∞-∞上处处收敛,且在] ,[l l -(或]2 ,0[l )上()01ππcos sin ()2n n n a n x n x a b S x l l ∞=++=∑2)0()0(++-=x f x f , 其中Fourier 系数 π1()cos d ln l n x a f x x l l-=⎰ ( ,2,1,0=n ), π1()sin d ln l n x b f x x l l-=⎰ ( ,2,1=n ); 特别地,当x 为)(x f 的连续点时,)()(x f x S =,(0)(0)(),2f l f l S l -++-±=(00)(20)(0)(2)2f f l S S l ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭. (2)正弦级数与余弦级数当)(x f 为] ,[l l -上的奇函数时,其Fourier 级数为1πsin n n n x b l ∞=∑,称为正弦级数,其中 0π2()sin d ln n x b f x x l l=⎰ ( ,2,1=n ); 当)(x f 为] ,[l l -上的偶函数时,其Fourier 级数为01πcos 2n n a n x a l∞=+∑,称为余弦级数,其中 0π2()cos d ln n x a f x x l l=⎰ ( ,2,1,0=n ).(3)对于定义在半区间] ,0[l 上且满足Dirichlet 条件的函数)(x f ，或作奇式延拓,展为以l 2为周期的正弦级数;或作偶式延拓,展为以l 2为周期的余弦级数.7.利用函数项级数求数项级数的和一般利用幂级数,有时也利用函数的Fourier 展开式求数项级数的和. (1)利用幂级数求数项级数∑∞=0n n u 的和,通常按以下步骤进行:(a) 找一个(容易求出和函数的)幂级数∑∞=0n n n x a ,使得n nn u x a =0;(b) 求∑∞=0n n n x a 的收敛域D (应使D x ∈0,否则要另找幂级数);(c) 求出∑∞=0n n n x a 的函数)(x S ;(d) ∑∞=0n n u )(0x S =(2) 利用函数)(x f 的Fourier 展开式求数项级数∑∞=0n n u 的和的问题,一般总是附在求)(x f 的Fourier 级数之后,由收敛定理而得. 例如，在例5.3的展开式21π41cos(21), [π, π]2π(21)n x n x x n ∞==--∈--∑中，令0x =即得()212221π1111,83521n n σ∞==+++=-∑＝ 2222221π1111,242246n nσ∞==+++=∑＝ 222221π11111,6234n nσ∞==++++=∑＝ ()123222211π1111.12234n n n σ-∞-==-+-+=∑＝ （附：易知2221212212312πππ,.44324612σσσσσσσσσσσσ+==∴===+==-=，，）利用这个结果，可得定积分123234211222000ln(1)πd 1d .23412234x x x x x x x x x x x +⎡⎤⎡⎤=-+-+=-+-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰课堂练习(1-5题选自复习题10)1.填空题 (1) 设幂级数∑∞=0n nnx a的收敛半径3=R ,则∑∞=+-11)1(n n nx na的收敛区间为(2, 4 ) -.解:因为∑∞=-11n n n tna 的收敛半径3=R ,所以∑∞=+11n n n t na 的收敛半径3=R , 从而∑∞=+-11)1(n n nx na的收敛半径3=R ,故其收敛区间为)4 ,2(-. (2)函数)1,0()(≠>=a a a x f x的Maclaurin 级数为0(ln ) ! n nn a x n ∞=∑.解: ∑∑∞=∞=====00ln !)(ln !)ln (e)(n n nn n ax x x n a n a x a x f ,),(+∞-∞∈x .直接求解也不繁！ (3)∑∞=+-121)1(n n n x n 的和函数为3(1)(1 )x x x -+. 解: 收敛域为)1 ,1(-. xx S =)(∑∞=-+-1121)1(n n n xn ∑'∞=+-=11)()1(n n n nx x()11(1)1n n n xx x x x x x ∞+=''⎡⎤'⎡⎤'⎛⎫⎢⎥=-=⎢⎥ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑ 2(1)x x x '⎡⎤==⎢⎥+⎣⎦3)1()1(x x x +-,)1 ,1(-∈x . (4)∑∞=+02!)1(n n n 的和为5e .解: 考虑幂级数nn x n n ∑∞=+02!)1(,其收敛域为) ,(∞+-∞.=)(x S n n x n n ∑∞=+02!)1(][10!1'∑+∞=+=n n x n n ][0!1'∑∞=+=n n x n n x ])([0!''∑∞==n nn x x x x x x x x x e )13(])e ([2++=''=,) ,(∞+-∞∈x . 故∑∞=+02!)1(n n n e 5)1(==S .(5)(补充)已知2)1(11=-∑∞=-n n n a ,5112=∑∞=-n n a ,则18 n n a ∞==∑.解:只需求出∑∞=12n n a .事实上∑∞=12n na325)1(])1([111121112=-=--=--=∑∑∑∞=-∞=-∞=--n n n n n n n n n a a a a ,所以∑∞=1n n a +=∑∞=-112n n a ∑∞=12n na835=+.(6)(补充)设∑∞=0n n n x a 在点2-=x 处条件收敛,则其收敛半径 2 R =.解:因为∑∞=0n nn x a 在点2-=x 处收敛,故由Abel 定理知,当2<x 时,∑∞=0n n nx a绝对收敛;又因为0||nn n a x ∞=∑在点2-=x 处发散,故当2>x 时,∑∞=0n n nx a发散(否则∑∞=0n n nx a在2-=x 处收敛);所以2=R .(7)(补充)设)(x S 是⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤=121,22210 ,)(x x x x x f 的以2为周期的傅里叶级数01()~cos π2n n a f x a n x ∞=+∑的和函数,则()35 2 4 s -=.解:()()()()()1110012253112222224f f s s s -+++-=-====.2.选择题(1)设正项级数∑∞=1n n a 收敛,常数()π0, 2k ∈,则∑∞=-12)tan ()1(n n n a n k n(A) 发散. (B)条件收敛. (C)绝对收敛. (D)敛散性与k 有关.答( C )解:因为当n 充分大时,tan 0k n>,于是22(1)(tan )tan lim lim1n n n n n k kn a n n k a n→∞→∞-==<+∞， 又因为正项级数∑∞=1n n a 收敛,从而正项级数21n n a ∞=∑必收敛,故原级数绝对收敛.(2) 若∑∞=1n n a 收敛,则下列级数中必定收敛的级数是(A)∑∞=-1)1(n n nn a . (B)∑∞=12n n a . (C)∑∞=--1212)(n n n a a . (D)∑∞=++11)(n n n a a .答( D ) 解:∑∞=1n na收敛,∑∞=+11n n a 必收敛,所以∑∞=++11)(n n n a a 必收敛.反例: (A)∑∞=-2ln 1)1(n nn 收敛,但∑∞=2ln 1n nn 发散;(B)∑∞=-11)1(n nn收敛,但∑∞=11n n 发散;(C)1(1)n n ∞-=-∑收敛,但1n ∞=∑1n ∞==∑发散.注：若正项级数1n n a ∞=∑收敛，则（A ）、（B ）、（C ）、（D ）都是收敛！(3) 幂级数∑∞=-12)!12(n n n x 的和函数)(x S 为(A)2e e x x --. (B)x x ch . (C)2e e x x -+. (D)x x sh . 答( D )解: 22111()()(21)!(21)!n n n n x x s x x xf x n n ∞∞-=====--∑∑设,) ,(∞+-∞∈x . 因为∑∑∞=∞=-=-='02122)!2()!22()(n nn n n x n x x f ,于是有 0()()e !kx k x f x f x k ∞='+==∑及0()()(1)e !k k x k x f x f x k ∞-='-=-=∑， 解得=)(x f e e sh 2x xx --=，所以x x x xf x S sh )()(==. (4)若nn n x n n 20)!32()1()1(∑∞=++-的和函数为)(x S ,则)0(S 等于 (A)0. (B)61. (C)21. (D)31.答( B )解: 因为)(x S n n n x n n 20)!32()1()1(∑∞=++-=nn n x n n 21)!32()1()1(!31∑∞=++-+=, 所以61)0(=S .(5)(补充题)级数∑∞=--11)1(n pn n 的敛散情况是 (A) 当1>p 时绝对收敛,当10≤<p 时条件收敛. (B) 当10<<p 时绝对收敛,当1≥p 时条件收敛. (C) 当10≤<p 时发散,当1>p 时收敛. (D) 0>∀p 均绝对收敛.答( A )6.(补充题) 若∑∞=1n n a 收敛，则级数(A)1n n a ∞=∑收敛. (B)1(1)n n n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a ∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. 答( D )解：若∑∞=1n n a 收敛，则11n n a ∞+=∑收敛，故11111122n n n n n n n a a a a ∞∞∞++===+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑∑∑收敛.反例：1n n -∞=收敛，但(A)n ∞=发散；(B)1n ∞=;(C)1n ∞=发散.3.将)(x f 展为x 的幂级数(3)3)1(1)(x x x f -+=;解: 33311()(1)(1)(1)x xf x x x x +==+---, 而()230211111()(1),(1, 1)2122(1)n n n n x n n x x x x ∞∞-==''''===-∈---∑∑;直接使用(1)x α+的展开式也行！)1 ,1(,)1(21)1(213-∈-=-∑∞=-x x n n x x n n ;()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=-+∴∑∑∞=∞=--221231121)1(1n n n n x n n x n n x x ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=∑∑∞=∞=--321211221n n n n x n n x n n ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=∑∑∞=∞=--221111221n n n n x n n nx n ()∑∑∞=∞=--==111212221n n n n x n x n , ()1 ,1-∈x . 4.求幂级数的和函数:(2)n n x n ∑∞=-2211;解: 此级数的收敛域为]1 ,1[-,令=)(x s ∑∑∑∞=∞=∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=-2222112111n n n nn n n x n x x n ,]1 ,1[-∈x . 因为 ∑∑∞=∞=--=-22111n n n n n x x n x x x x x n x x x n n x n n d d 1022021⎰∑⎰∑⎪⎭⎫ ⎝⎛='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞=-∞=- )1l n (d 110x x x xx x--=-=⎰, )1 ,1[-∈x ;]2)1ln([11112221x x x x n x x n x n n n n ----=+=+∑∑∞=∞=+ 21)1ln(1x x x ----=, )1 ,0()0 ,1[⋃-∈x ;故()()][211ln 11ln 21122x x x x x n x n n++-+--=-∑∞=,)1 ,0()0 ,1[⋃-∈x ;当0=x 时,n n x n ∑∞=-22110=; 当1=x 时,()2221111lim 2111NN n n n n n ∞→∞===--+-∑∑)11114151314121311(lim 21+--+-+-+-+-=∞→N N N43)11211(lim 21=+-+=∞→N N ;所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⋃-∈--++= 1 0)1 ,0()0 ,1[ ,43 ,0),1ln(2142)(2x xx x x x x x s . 5.将下列各周期函数展为傅里叶级数，若函数在一个周期的表达式为： (2)()x x x f -=2, 22<<-x .解: ()x f 在()2,2-内满足狄氏条件,且2=l ,于是()3831d d 210220 322 2 20===-=⎰⎰-x x x x x x a ,()222220ππ1cos d cos d 222n n x n a x x x x x x -=-=⎰⎰22200πs i n π22s i n d ππ222n x x n x x x n n =-⎰ 2200πcos π412cos d πππ222n x x n x x n n n ⎡⎤-⎢⎥-=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰2216(1)πn n =-, ( ,2,1=n ); ()()2 222 0ππ14sin d sin d 1222πnn n x n x b x x x x x n -=-=-=-⎰⎰,( ,2,1=n );()()22116ππ44~1cos sin 32π2πnn n x n x f x n n ∞=⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦∑⎩⎨⎧±=+-∈-=24 ,4)24 ,24(,2k x k k x x x , Z ∈k .6.设0,n a n >∈+Z ,试证∑∞=+++121)1()1)(1(n nna a a a 收敛.证: ∑∞=+++121)1()1)(1(n n n a a a a ∑∞=++++=2111)1()1(1n nn a a a a a ∑∞=--+++-++++=2111111][)1)(1()1(1)1()1(11n n n n a a a a a a a , 记)1)(1()1(111n n n a a a b +++=- ,则}{n b 单调减且有界,故收敛,从而∑∞=+++121)1()1)(1(n n n a a a a ∑∞=--++=2111][1n n n b b a a 收敛. 7.设⎰=4d tan πx x a n n ,n ∈+Z .(1) 求∑∞=++12n n n n a a 的值; (2) 证明:0>∀λ,∑∞=1n nn a λ收敛. 解: (1) n a a n n 2++⎰++=40 2d ]tan [tan 1πx x x n n n ⎰=4 02d sec tan 1πx x x n n)1(1tan )1(1041+=+=+n n x n n n π(n ∈+Z ),所以∑∞=++12n n n n a a ∑∞==+=11)1(1n n n . (2)因为π 40tan d nn a x x ≤=⎰11d d 110 10 2+=<+=⎰⎰n t t t t t n n (n ∈+Z ) , 于是)1(10+<≤n n n a n λλλ+<11n (0>∀λ).而0,λ∀>∑∞=+111n n λ收敛,所以0>∀λ,∑∞=1n nna λ收敛. 8.讨论级数∑∞=--21)1(n nn n的敛散性(包括绝对收敛性).解:这是交错级数.因为01lim=-∞→n n n ,且⎩⎭单调递减(令1)(-=x x x f ,则当2≥x时,0)1(2)1()(2<-+-='x x x x f ),故∑∞=--21)1(n nn n收敛. 但n n n n n n1~11)1(-=--,而∑∞=21n n 发散,于是∑∞=--21)1(n n n n 发散, 所以原级数条件收敛.9.求级数∑∞=+1)!1(n n n 的和. 解:显然∑∞=+1)!1(n n n 收敛.考虑幂级数∑∞=++=11)!1()(n n n nx x S ,) ,(∞+-∞∈x . 因为x n n n n x n x x n xx S e )!1()!1()(111=-=-='∑∑∞=-∞=,故 =+∑∞=1)!1(n n n 1d e d )( )0()1(1 0 1 0 =='+=⎰⎰x x x x S S S x .也可以令111111()[][(1)](1)!(1)!n n x n n n x s x x e x n x n x +∞∞-=====--++∑∑，， 10.设2221ln)(xx x f ++=,求)1()(-n f , ,2,1=n . 解: ])1(1ln[221ln )(22++-=++=x xx x f ∑∞=+-=12)1()1(k kkk x ,0] ,2[-∈x .因为=n a !)1()(n f n -,所以⎪⎩⎪⎨⎧=--==- 2,)!2()1(12,0)1()(k n k k k n fk n ( ,2,1=k ). 11.(正项级数的对数审敛法)设0>n a ,且q n a nn =∞→ln 1ln lim (有限数或∞+),则(1)当1>q 时∑∞=1n n a 收敛;(2)当1<q 时∑∞=1n n a 发散.证: (1)当1>q 时,必R ∈∃p ,s.t.1>>p q .因为q n a nn =∞→ln 1ln lim p >,故N ∃∈+Z ,s.t.N n >∀,有p na n>ln 1ln ,于是p n n n p a ln ln 1ln =>,即p n n a 1<(N n >∀),而1>p 时∑∞=11n p n 收敛,所以∑∞=1n n a 收敛.(2)当1<q 时,必R ∈∃p ,s.t.1<<p q .因为q na nn =∞→ln 1ln lim p <,故N ∃∈+Z ,s.t.N n >∀,有p na n<ln 1ln ,于是p n n n p a ln ln 1ln =>,即p n n a 1>(N n >∀),而1<p 时∑∞=11n p n 发散,所以∑∞=1n n a 发散.12.设0,0>>n n b a ,且n n n n b b a a 11++≤ ( ,2,1=n ).试证:若∑∞=1n n b 收敛,则∑∞=1n n a 也收敛. 证: 由nn n n b b a a 11++≤ ( ,2,1=n )可得 1111b ab a b a n n n n ≤≤≤++ ,于是nn b b a a 11≤( ,2,1=n ). 又因为∑∞=1n n b 收敛,故由比较法知∑∞=1n n a 也收敛.13.若正项数列{}n a 单调减少，且级数11(1)n n n a ∞-=-∑发散，则111n n n a a ∞+=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛.证：因为正项数列{}n a 单调减少，故有极限lim 0n n a l →∞=≥，且,.n n a l +∀∈≥Z由交错级数11(1)n n n a ∞-=-∑发散，而{}n a 单调减，可知0,l ≠即0.l >于是11101,n n n n n n n a a a a a a a l +++--≤-=≤因为()11n n n a a ∞+=-∑收敛，所以111n n n a a ∞+=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛. 14.证明：(0, π),x ∀∈有π111sin sin 3sin 5sin(21).35214x x x n x n ++++-+=- 证： 因为π()4f x =在(0,π]上满足Dirichlet 条件，故可将展为以2π为周期的正弦级数()π01111(1)π21()~sin sin d sin sin π42k k k k k f x b kx kx x kx kx k ∞∞∞===⎛⎫--== ⎪⎝⎭∑∑∑⎰ 1sin(21)π, (0,π).214n n x x n ∞=-==∈-∑15.求下列极限：(1) ()21111lim 1;3nk k n k n k →∞=+∑ (2) ()111139273lim 2482.nn n →∞⎡⎤⋅⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦解：(1)()()22111111lim 11,33n k k k kn k k k k ∞→∞==+=+∑∑而()e 11lim 11,33kk k k→∞=+=<从而正项级数()211113k kk k ∞=+∑收敛，设其和为s ，故()()()22111111111lim 1lim lim 1.3003nnk k k k n n n k k s n k n n k →∞→∞→∞==⎛⎫+=+=⋅= ⎪⎝⎭∑∑ (2) ()13111123927392733lim 2482lim 2222nnn n n n →∞→∞⎡⎤⎡⎤⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦212333lim 2nnn +++→∞=2112lim 333322.nn n n n n ∞→∞=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭∑==由()121133(),3,333(3)13n n n n n n x n x x s x x x x x x ∞∞-=='⎛⎫''⎛⎫ ⎪=====< ⎪ ⎪--⎝⎭- ⎪⎝⎭∑∑得 13(1),43n n n s ∞===∑故()1111133392743lim 248222nnn nn n ∞=→∞∑⎡⎤⋅⋅⋅⋅===⎢⎥⎣⎦。
无穷级数习题课
第九章
无穷级数
一、数项级数的审敛法 二、求幂级数收敛域的方法 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数展开法
习题课
对于函数项级数 求和 展开 当 当 *当 时为数项级数; 时为数项级数; 时为幂级数; 时为幂级数; (在收敛域内进行) 在收敛域内进行)
一、数项级数的审敛法 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 正项级数审敛法 必要条件 lim un = 0
求
∑ (n + 1) x
n =0
∞
∞
n
的和函数.
n+2 = 1, R = 1, n +1 ∞
n =0
解： ∵ 当x = 1,
n =0
ρ = lim
n →∞
当 x = −1， ∑ (n + 1) 发散， ∑ (n + 1)( −1)n 发散.
∞ n
Байду номын сангаас
∴ 收敛域为（-1，1）.
设 s ( x) =
∑ (n + 1)x , ∞ x x ( n + 1) x n dx ∫0 s( x )dx = ∑ ∫ 0 n =0
∴
∞ 2n − 1 x 2 n − 2 1 x dx = ∑ n x 2 n−1 n ∫0 2 n =1 2 n =1 2 x 1 ∞ x2 1 x = ∑ ( )n = ⋅ 2 2 = , x x n =1 2 x 2 − x2 1− 2 ∞
常用展开 式的和： 式的和：
∞ x3 x5 x 2 n+1 x − + − ⋯ = ∑ (−1)n = sin x (−∞ < x < +∞) 3! 5! (2n + 1)! n=0
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7
7
而级数 ( 6 )n 为等比级数收敛， n1 7
故由比较审敛法的极限形式，原级数收敛。
解法2：由比值审敛法
6n1
lim an1 a n
n
lim
n
7n1 5n1 6n
6(7n 5n )
lim
n
7n1
5n1
7n 5n
lim
n
6(1 ( 5)n ) 7
1 ( 5)n1
6 7
1
7
故由比值审敛法知原级数收敛。
a n n
Q
un1 un
e (1 1 )n
1
n
un1
un
lim
n
un
0
所以，原级数发散。
1
【例6】判断级数
n1
[ln( n
1)]n
的敛散性.
解：此级数为正项级数， un
n1
1 [ln( n
1)]n
1
1
Q
lim
n
n
un
lim n n
[ln(n 1)]n
lim n ln(n 1)
找正项收敛
级数 bn n1
找正项发散
级数 cn n1
an (1)n un No
Yes
an为交错级数
n1
用其它方 法证明
1
Yes 1
an发散
n1
an收敛
n1
an bn
an收敛
n1
an cn
an发散
n1
莱布尼兹判别法
且 un un1 ,
lim
n
un
0
an 条件收敛
n1
an绝对收敛
的收敛性。
解：令
un
ann! nn
an1(n 1)!
Q lim un1 lim
u n n
n
(n 1)n1 ann! nn
lim
n
a
n
n
n 1
a lim n (1 1 )n
a e
n
由比值审敛法，当 a e 时，原级数收敛；
当 a e 时，原级数发散。
当 a e 时，lim an1 1比值审敛法失效，注意到
n1
三、典型例题
【例1】判别级数 n1
2n 3n
1
的收敛性，并求级数的和。
解：
由于
an
2n 3n
1
3n 3n
n1 3n
n 3n1
n1 3n
，由定义
Sn
(1
2)(2 33
33 32 ) ( 32
4 33 ) L
n ( 3n1
n1 3n )
1
n1 3n
n1
S
lim
n
Sn
lim(1
n
3n
【例4】判别级数
n1
n
cos2 2n
n
3
的收敛性。
解：此级数为正项级数，
ncos2 n
an
3 2n
n 2n
令
vn
n 2n
Q
lim
n
vn1 vn
lim
n
n 1 2n 2n1 n
lim
n
n1 2n
1 2
1
n1
n 2n
收敛，故由比较审敛法，原级数收敛。
ann!
【例5】判别级数 n1
nn
第十一章 无穷级数习题课 (一)
常数项级数
解题方法流程图
判断 an 的敛散性 n1
a为n 正项级数
n1
No Yes
lim
n
an
0
Yes
an 0
No
an为任意项级数
n1
比值法
根值法
比较法
| an |
n1
No
Yes
| an 收| 敛
n1
lim an1 a n
n
lim
n
n
an
No
1
No
(1)n n ln n
为交错级数,
由莱布尼玆定理
1
Q
lim
n
n
1 ln
Hale Waihona Puke nlimn
1
n ln
n
0
n
令 f ( x) x ln x ( x 0)
ln n
ln x
1
lim lim lim 0
n n
x x
x x
f ( x) 1 1 0 ( x 1) x
1
所以 f ( x)在 (1, )上单增，即
)1
所以原级数收敛，且和为1。
【例2】判别级数
n1
n 1
nn (n 1 )n
的收敛性。
n
1
1
解： 因为
an
nn (n
nn 1 )n
n
nn
(1
1 n2
)n
而
lim(1
n
1 n2
)n
lim[(1
n
1 n2
1
)n2 ]n
e0 1
1
lim nn
1
lim x x
1 ln x
lim e x
01
故由根值审敛法，原级数收敛。
【例7】判断级数 n1
(1)n n ln n
收敛？如果收敛，是条件收敛
还是绝对收敛？
解：此级数为交错级数，因为 1 1
n ln n n
,而
1 发散,
n1 n
由比较审敛法知
(1)n
1 发散
n1 n ln n n1 n ln n
原级数非绝对收敛.
因为 n1
lim 1 ln x
lim 1
e e x x
x x
e0
1
n
x
x
lim
n
an
1
0
由级数收敛的必要条件，原级数发散。
【例3】判别级数
n1
6n 7n 5n
的收敛性。
解法1：此级数为正项级数，
an
6n 7n 5n
6n
Q lim 7n 5n lim 1 1
n ( 6 )n
n 1 ( 5)n
单减 ，
x ln x
1
故当 n 1 时，n ln n 单减，
un
1 n ln n
(n
1 1) ln(n
1)
un1
(n 1)
所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛。