直线和圆的方程知识及典型例题

数学基础知识与典型例题

直线和圆的方程

直线的斜率:倾斜角不是的正切叫这条直线的斜率tanα.

注：①每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率

(1,4)A -的__________例9. 已知二直线8:1

+y mx l 和

，若21l l ⊥，m =_____，n =____.

例30.已知方程x 2+y 2-2(m +3)x +2(1-4m 2)y +16m 4+9=0表示一个圆， ⑴求实数m 取值范围；⑵求圆的半径r 取值范围；⑶求圆心轨迹方程

数学基础知识与典型例题(第七章直线和圆的方程)答案

例 1.A 例 2.B 例 3.C 例 4. 1

()2

-、0,3 例5. 02=--y x 例 6.B 例7.C

例8. 2x ＋3y ＋10＝0 例9. 0,8, 例10. 135290x y +-= 例11. 解:⑴∵ k BC =5,∴ BC 边上的高AD 所在直线斜率k=5

1- ∴ AD 所在直线方程y +1=5

1-(x -2) 即x +5y +3=0

⑵∵ AB 中点为（3，1），k AB =2,∴ AB 中垂线方程为x +2y -5=0 ⑶设∠A 平分线为AE ，斜率为k ，

则直线AC 到AE 的角等于AE 到AB 的角。

∵ k AC =-1，k AB =2,∴ 12112k k

k k

+-=

-+, ∴ k 2+6k -1=0,∴ k =-3-10（舍），k =-3+10 ∴ AE 所在直线方程为(10-3)x -y -210+5=0

评注：在求角A 平分线时，必须结合图形对斜率k 进行取舍。一般地涉及到角平分线这类问题时，都要对两解进行取舍。也可用轨迹思想求AE 所在直线方程，设P(x ，y )

为直线AE 上任一点，则P 到AB 、AC 距离相等，=，化简即可。还可注意到，AB 与AC 关于AE 对称。

例12. 解题思路分析：

直线l 是过点P 的旋转直线，因此是选其斜率k 作为参数，还是选择点Q （还是M ）作为参数是本题关键。通过比较可以发现，选k 作为参数，运算量稍大，因此选用点参数。 解:设Q （x 0，4x 0），M （m ，0） ∵ Q ，P ，M 共线∴P PM k k =Q

∴ 00444

66x x m

-=--解之得：0051x m x =-

∵ x 0>0，m >0∴ x 0-1>0

∴ 20000101

||4221

OMQ x S OM x mx x ∆===-

令x 0-1=t ，则t >0,210(1)1

10(2)t S t t t

+=

=++≥40 当且仅当t =1，x 0=11时，等号成立,此时Q （11，44），直线l ：x +y -10=0 评注：

例13.B 例14.42-例15.1

4

例16. 种蔬菜20亩,棉花30亩,水稻不种,总产值最高27万元.

例17.解：设初中x 个班，高中y 个班，则2030(1)

28581200x y x y +⎧⎨+⎩≤≤≤⑵

设年利润为s ，

则y x y x y x s 22.16.15.22.1215.04006.060+=⨯-⨯-⨯+⨯= 作出（1）、（2）表示的平面区域， 如图，过点A 时，S 有最大值， 由⎩

⎨⎧=+=+1200582830y x y x 解得A （18，12）.

易知当直线1.2x +2y=s

即学校可规划初中18个班，高中12个班, 6

.45122182.1max =⨯+⨯=∴s （万元）.

可获最大年利润为45.6万元.

评 线性规划是直线方程的简单应用，是新增添的教学内容，是新大纲重视知识应用的体现，根据考纲要求，了解线性不等式表示的平面区域，了解线性规划的意义并会简单应用，解决此类问题，关键是读懂内容，根据要求，求出线性约束条件和目标函数，直线性约束条件下作出可行域，然后求线性目标函数在可行域中的最优解，归纳如下步骤：①根据实际问题的约束条件列出不等式，②作出可行域，写出目标函数，③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解．但在解答时，格式要规范，作图要精确，特别是最优解的求法，作时还是比较困难的．是函数方程思想的应用.

例18.A 例19.D 例20. x 2+

)1(142

±≠=x y 例21. (x 9

4)34()3422=-+-y 例22. 解：以12O O 的中点O 为原点，12O O 所

在直线为x 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，则 1(20)O -，，2(20)O ，.由已知2PM PN =， 得222PM PN =.因为两圆半径均为1，

所以22

1212(1)PO PO -=-.设()P x y ，，

则2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-， 即22(6)33x y -+=.(或221230x y x +-+=)

例23.D 例24.C 例25.C 例26.B

例27. x 2+(y -1)2=1 例28. x +y =0或x +7y -6=0

例29. 解：x 2+y 2－6x －8y =0即(x －3)2+(y －4)2=25， 设所求直线为y ＝kx 。

∵圆半径为5，圆心M （3，4）到该直线距离为3，

∴ 2

31

d k ==+， ∴22924169(1)k k k -+=+，∴7

24

k =。

∴所求直线为y x 24

7

=或0=x 。

例30.⑴m 满足[-2(m +3)]2+[2(1-4m 2)]2-4(16m 4+9)>0，

即7m 2-6m -1<0,∴1

17

m -<<

⑵半径r 22316

7617()77

m m m -++=--+ ∵ 117m -<<,∴ 3

7

m =时，max 47r =,

∴ 0

77

⑶设圆心P （x ，y ），则2

3

41

x m y m =+⎧⎨=-⎩ 消去m 得：y =4(x -3)2-1,又1

17

m -<<

∴ 2047

x <<

∴ 所求轨迹方程为(x -3)2=41

(y +1)（2047

x <<）