高考数学数列综合题 [人教版]

, a1n
,
a2n
, a3n
, a4n
, ann
(Ⅲ)求 Sn a11 a22 a33 ann 的值.
【分析及解】(Ⅰ) a44 a43 a43 a42 ,
a44
2a43
a42
1 4
.
则 q 2 a44 1 , q 1 .
a24 4
2
(Ⅱ) a24 a14q, a14 2 .
（Ⅲ）证明： n 1 a1 a2 ... an n (n N*).
2 3 a2 a3
an1 2
【分析及解】
（I） an1 2an 1(n N*), an1 1 2(an 1),
an 1 是以 a1 1 2 为首项，2 为公比的等比数列.
an 1 2n. 即 an 2n 1(n N*).
1 an a
.证明数列 {bn } 是等差
数列；
（Ⅲ）求
lim a
n
n
.
【分析及解】（Ⅰ）用数学归纳法.
当 n 1时，由 a1 2a 得 a1 a 2a a a 0,a1 a ， 即 n 1时，结论成立.
n
项和
Tn.
【分析及解】（Ⅰ）当 n 1时, a1 S1 2; 当n 2时, an Sn Sn1 2n2 2(n 1)2 4n 2,
故 {an}的 通 项公 式为 an 4n 2,即{an}是a1 2,公差d 4 的
等差数列.
设 {bn } 的公比为
q,
则 b2
a2
a1
3Tn 1 2(41 42 43 4n1 ) (2n 1)4n
1 [(6n 5)4n 5] 3
Tn
1 [(6n 9
5)4n
5].
【例 3】如图, n2 个( n 4) 正数排成 n 行
n 列方阵,其中每一行的数成等差数列, 每
一列的数成等比数列,并且所有公比 都相
等,
23
24
两式相减得
n
1 2n
n
1
1 2n
n
1 2n1
1 2
Sn
1 2
1 22
1 23
1 24
1 2n
n
1 2n1
,
Sn
1
n 1. 2n
【例 4】数列{an}满足下列关系式：a1 2a;(a 0, a 是常数），
an
2a
a2 an1
;
（Ⅰ）用数学归纳法证明： an a ；
（Ⅱ）若数列{bn}满足关系式 bn
（II）证法 1. 4 4 b11 b2 1 4bn 1 (an 1)bn (n N* ),
4 2 . (b1b2 bn )n
nbn
2[(b1 b2 ... bn ) n] nbn ,
①
2[(b1 b2 ... bn bn1) (n 1)] (n 1)bn1.
②
②－①，得 2(bn1 1) (n 1)bn1 nbn ,
数列综合题
一．等差数列与等比数列的综合
【例 1】（2006 年福建卷）
已知数列an 满足 a1 1, an1 2an 1(n N*).
（I）求数列an 的通项公式；
（II）若数列{bn}滿足 4b1 4 1 b2 1 4bn 1 (an 1)bn (n N* ), 证 明：数列{bn}是等差数列；
1)
1]d.
这就是说，当 n k 1时，等式也成立。
根据（1）和（2），可知 bn 2 (n 1)d 对任何 n N* 都成立。
bn1 bn d,bn 是等差数列。
（III）
ak ak 1
2k 1 2k1 1
2k 2(2k
1 1)
1,k 2
1, 2,..., n,
2
a1 a2 ... an n .
令 n 1,得 b1 2.
设 b2 2 d(d R), 下面用数学归纳法证明 bn 2 (n 1)d.
（1）当 n 1, 2 时，等式成立。
（2）假设当 n k(k 2) 时， bk 2 (k 1)d, 那么
bk 1
k
k 1
bk
k
2 1
k
k [2 1
(k
1)d]
k
2 1
2 [(k
a2 a3
an1 2
ak 2k 1 1 1 ak1 2k1 1 2 2(2k1 1)
1 2
3.2k
1 2k
2
1 2
1 3
.
1 2k
,k
1, 2,..., n,
a1 a2 a2 a3
an an1
n 2
1 3
1 2
1 22
1 2n
n 2
1 3
1
1 2n
n 2
1 3
,
n 1 a1 a2 an n (n N*).
2 3 a2 a3
an1 2
【例 2】(2005 年·湖北卷·文 19)
设数列 {an} 的前 n 项和为 Sn=2n2， {bn} 为等比数列，且
a1 b1,b2 (a2 a1) b1. （Ⅰ）求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式；
（Ⅱ）设 cn
an bn
，求数列 {cn } 的前
即 (n 1)bn1 nbn 2 0,
③
nbn2 (n源自文库1)bn1 2 0.
④
③－④，得 nbn2 2nbn1 nbn 0,
即 bn2 2bn1 bn 0, bn2 bn1 bn1 bn (n N* ),
bn 是等差数列。
证法 2.同证法 1，得
(n 1)bn1 nbn 2 0
a43 a13q 3 ,
3 a13 2 .
则 d1
a14
a13
1 2
.
1 a11 a13 2d1 2 .
a1k
1 2
(k
1) 1 2
1k. 2
(Ⅲ)
akk
a1k qk1
k
1 2
k
,
Sn
1
1 2
2
1 22
3
1 23
4
1 24
1 2
Sn
1 1 2 1 3 1
22
b1qd
b1, d
4,q
1. 4
故 bn
b1qn1
2
1 4n1
，即{bn}的通项公式为 bn
2 4n1
.
（Ⅱ） c n
an bn
4n 2 2
(2n 1)4n1 ,
4 n1
Tn c1 c2 cn 1 3 41 5 42
(2n 1)4n1,
4Tn 1 4 3 42 5 43 (2n 3)4n1 (2n 1)4n 两式相减得
.
设 a24
1, a42
1 8
,
a43
3 16
.
(Ⅰ) 求公比 q 的值;
(Ⅱ) 求 a1k (1 k n) 的值;
a11, a12 , a13, a14 ,
a21
,
a22
,
a23
,
a24
,
a31
,
a32
,
a33
,
a34
,
a41, a42 , a43, a44 ,
an1, an2 , an3, an4 ,