实验7 连续系统的复频域分析

(1)
消去中间变量 i (t),
d 2u0 (t ) d u0 (t ) LC + RC + u0 (t ) = ui (t ) （3） dt dt
式（3）是只有输入输出变量的二阶常微分方程。 在初始条件为0的情况下,两边求拉氏变换,得其 传递函数形式的数学模型。 U 0 (s) 1 G (s) = = 2 U i ( s ) LCs + RCs + 1 在Matlab中已知微分方程可用函数 中已知微分方程可用函数 tf（num,den）来建立传递函数模型。 （ ）来建立传递函数模型。
系统的数学模型
微分方程 时域模型 状态空间表达式 传递函数 系统的数学模型 复域模型 结构图 频域模型 频率特性图
系统仿真分析与设计方法：时域法和频域法。 系统仿真分析与设计方法：时域法和频域法。 时域法： 时域法：是以状态方程为基础对系统进行分 析设计。系统特性分析包括：李亚谱诺夫 （Lyapunov）稳定性分析，能控能观性分析 等。 频域法： 频域法：主要是借助于传递函数，通过劳斯 （Routh）定理、奈氏图（Nyquist）、伯德 图（Bode）、尼克尔斯图（Nichols）、根轨 迹等概念和方法分析系统的各种特性。如稳 定性、动态特性、稳态误差等。
经典的拉普拉斯变换分析方法即先从时域变 换到复频域，在复频域经过处理后再利用拉 普拉斯反变换从复频域变换到时域，完成对 时间问题的求解，涉及的函数有laplace函数 和ilaplace函数等。
三．本次实验涉及的MATLAB函数 本次实验涉及的 函数 1． laplace函数 功能：用符号推理求解拉氏变换。 调用格式：L= laplace（F） F为函数，默认 为变量t的函数，返回L为s的函数时，要用 syms 命令定义符号变量t。 2．ilaplace函数 功能：用符号推理求解反拉氏变换。 调用格式：L= ilaplace（F） F为函数，默认 为变量t的函数，返回L为s的函数时，要用 syms 命令定义符号变量t。
3．频域中的数学模型--频率特性 ．频域中的数学模型 频率特性 分析和设计控制系统的另一种非常实用和重 要的方法是频率响应法， 要的方法是频率响应法，频率响应法中用到 的数学模型就是频率特性。 的数学模型就是频率特性。频率特性可直接 由传递函数得到，频率特性G 由传递函数得到，频率特性 （jw）与传递 函数G 之间的关系可表示为： 函数 （s）之间的关系可表示为： 开环频率特性
3． roots（）函数 功能：求多项式的根 调用格式： r=roots（C）：其中C为多项式的系数向量（从高 次到低次），r为根向量。因此可用直接求根来判断 系统稳定性。 4．rlocus函数 功能：求系统的根轨迹 调用格式：rlocus（sys）绘制系统的根轨迹； rlocus（sys，K）绘制增益为K的闭环极点； rlocus（sys1，sys2，…）在同一复平面绘制多个系 统的根轨迹，为区分各个系统的不同根轨迹，可用 不同的颜色来显示，如rlocus（sys1，‘r’，sys2， ‘y’…）；
若系统零极点增益形式开环传递函数 ：
( s − z1 )( s − z2 )⋯ ( s − zm ) G ( s) H (s) = k ( s − p1 )( s − p2 ) ⋯ ( s − pn )
闭环传递函数
G ( s) H ( s) φ ( s) = 1 + G ( s) H ( s)
则闭环传递函数的极点就是闭环特征方程： 1 + G(s)H(s) = 0 的根满足 ：
( s − z 1 )( s − z 2 ) ⋯ ( s − z m ) G (s)H (s) = k = −1 ( s − p 1 )( s − p 2 ) ⋯ ( s − p n )
的点时，此方程称为根轨迹方程。 所以： 满足根轨迹方程的点 —— 都在根轨迹上 根轨迹上的点 —— 都满足根轨迹方程，都是闭环特征 根(闭环极点)。 根轨迹与系统性能指标的定性关系 1．稳定性——所有闭环零极点必须位于s 平面上的虚 轴之左； 2．快速性——闭环极点离虚轴越远越好； 3．振荡性——闭环极点离实轴越近越好； 4．闭环零点尽量靠近闭环极点，最好靠近离虚轴最近 的闭环极点以形成偶极子。
实验七 连续系统的复频域分析
一.实验目的与任务 实验目的与任务 （1）了解连续系统的复频域分析的基本实现 ） 方法； 方法； （2）掌握相关函数调用格式及其作用。 ）掌握相关函数调用格式及其作用。
二．实验原理 系统仿真方法: 根据模型的种类不同分为： 数学仿真－用计算机软件摸拟各种实际系统 的数学模型（软件仿真）。 物理仿真－用实物模型来摸拟各种实际系统 （硬件仿真）。 数学--物理仿真—两种的结合
零极点增益形式闭环传递函数 零极点增益形式
( s − z1 )( s − z 2 ) ⋯( s − z m ) G ( s) φ ( s) = =k 1 + G ( s) ( s − p1 )( s − p 2 ) ⋯( s − p n ) + ( s − z1 )( s − z 2 ) ⋯( s − z m )
已知某系统的传递函数， 例2. 已知某系统的传递函数，求其分子分母 多项式并绘制其零极点图。 多项式并绘制其零极点图。 解： num=[1,4,8] %传递函数分子多项式系数行向量 den=[1,11,11,10] %传递函数分母多项式系数行向量 G=tf(num,den) %建立传递函数模型 [z,p,k]=tf2zp(num,den) %提取传递函数的零极点和增益 pzmap(G) %绘制其零极点图 grid on %打开绘图网格
R(S)
G(s)
C(S)
用多项式形式表示的开环传递函数
b1 s m + b 2 s m − 1 + ⋯ + b m + 1 num ( s ) G (s) = = den ( s ) a 1 s n + a 2 s n −1 + ⋯ + a n + 1
中函数tf（）可用来建立传递函数模型， 在Matlab中函数 （）可用来建立传递函数模型， 中函数 （）可用来建立传递函数模型 其调用格式为： （ ） （ 其调用格式为：G（S）=tf（num，den）。 ， ）。
例1.某一微分方程描述系统的传递函数，其微分方 某一微分方程描述系统的传递函数， 某一微分方程描述系统的传递函数 程描述如下： 程描述如下：
y
( 3)
+ 11y
( 2)
+ 11y
(1)
+ 10 y = u
( 2)
+ 4u
(1)
+ 8u
试用MATLAB建立其传递函数模型。 建立其传递函数模型。 试用 建立其传递函数模型 解： num=[1,4,8] %分子多项式系数行向量 den=[1,11,11,10] %分母多项式系数行向量 G=tf(num,den) %建立传递函数模型 get(G) %显示tf对象的特性 运行结果： num = 1 4 8 den = 1 11 11 10
根轨迹分析法 所谓根轨迹是系统的某个特定参数，通常是回 路增益K从0变化到无穷大时，描绘闭环系统的 特征方程的根在S平面的所有可能位置的图形。 （根轨迹—系统开环传递函数的某一参数( k ) 从0 ∞ 时，闭环极点在s 平面上的轨迹 。） 根轨迹法用图解的方法来表示特征方程的根与 系统的某个参数（通常是回路增益K）之间的 全部数值关系。
Matlab中工具箱中的函数 中工具箱中的函数bode（）、 （）、Nyquuist（）、 中工具箱中的函数 （）、 （）、 Nichols（）等都可绘出频率响应曲线。 （）等都可绘出频率响应曲线 （）等都可绘出频率响应曲线。 其调用格式： 其调用格式： bode（num，den）绘制连续系统传递函数形式表示的波德图 (对数坐标图)—系统开环对数幅频、相频特性图 ； Nyquuist（ num，den ）绘制连续系统传递函数形式表示的 （ 奈氏图（极坐标图） ——是利用控制系统开环幅、相频率特 性判断其闭环系统的稳定性。 ； nichols（num，den）绘制连续系统传递函数形式表示的 nichols图。 nichols图是将对数幅频特性和相频特性两张图在角频率为参变 量的情况下合成为一张图。 ；
G ( jw ) = G ( S )
s = jw
闭环频率特性
φ ( jw ) = φ ( S )
s = jw
由于G（jw）是复数，可以用A（w）来表示G（jw）的模， 称为幅频特性，用φ（w）来表示G（jw）的幅角称为相频特 性。 则频率特性可表达为：
G ( jw ) = A ( w ) e
jφ ( ω )
根轨迹图绘制的基本考虑是：假设单变量系 统的开环传递函数为G（s），且设控制器增 益为K，整个控制系统是由单位负反馈构成的 闭环系统，则求出闭环系统的数学模型为 Gc（s）=KG（s）/（1+KG（s）） 闭环系统的特征根方程为：1+KG（s）=0 ， 对K的不同取值，可以绘制出每个特征根变化 的曲线，这样的曲线称为系统的根轨迹。
4．系统模型之间的变换 ． 线性时不变系统（LTI）的模型包括传递函数模型、零极 点增益模型和状态空间模型，在某些场合下需要用到某种模 型，而在另一些场合下可能需要另外一种模型，这就需要模 型的转换。它们之间的转换可用以下的函数进行转换。 c2d, c2dt 将连续时间模型转换成离散时间模型 c2dm 将连续状态空间模型转换成离散状态空间模型 d2c 将离散时间模型转换成连续时间模型 d2cm 按指定方式将离散时间模型转换成连续时间模型 ss2tf 将状态空间模型转换成传递函数模型 ss2zp 将状态空间模型转换成零极点增益模型 tf2ss 将传递函数模型转换成状态空间模型 tf2zp 将传递函数模型转换成零极点增益模型 zp2ss 将零极点增益模型转换成状态空间模型 zp2tf 将零极点增益模型转换成传递函数模型
运行结果：
num = 1 4 8 den = 1 11 11 10 Transfer function: s^2 + 4 s + 8 -----------------------s^3 + 11 s^2 + 11 s + 10 z= -2.0000 + 2.0000i -2.0000 - 2.0000i p= -10.0000 -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i 零极点图 k =1
1.时域数学模型 时域数学模型 （1）时域中的数学模型 微分方程 ）时域中的数学模型--微分方程 单输入、单输出R、 、 电路 例： 单输入、单输出 、L、C电路
R L i (t) C
ui (t)
uo (t)
微分方程: 微分方程
di (t ) L + Ri (t ) + u 0 (t ) = u i (t ) dt du 0 (t ) i (t ) = C ( 2) dt
百度文库
特征多项式=1+G（S） （ ） 特征多项式 用零极点增益形式表示的开环传递函数 用零极点增益形式表示的
( s − z1 )( s − z2 )⋯( s − zm ) G (s) = k ( s − p1 )( s − p2 )⋯( s − pn )
中函数zpk（）可用来建立传递函数零、 （）可用来建立传递函数零 在Matlab中函数 中函数 （）可用来建立传递函数零、 增益模型，其调用格式为： （ ） 极、增益模型，其调用格式为：G（S）=zpk（z， （ ， p，k）。 ， ）。
1 ．rlocus（）求系统根轨迹的函数； 调用格式： rlocus（sys）绘制系统的根轨迹； rlocus（sys，K）绘制增益为K的闭环极点； rlocus（sys1，sys2，…）在同一复平面绘 制多个系统的根轨迹，为区分各个系统的不 同根轨迹，可用不同的颜色来显示，如 rlocus（sys1，‘r’，sys2，‘y’…）； 2．rlocfind（sys）为计算给定一组根轨迹 增益的函数
Transfer function: %传递函数 s^2 + 4 s + 8 -----------------------s^3 + 11 s^2 + 11 s + 10
（2）状态空间模型 ）
2．复域数学模型--传递函数 ．复域数学模型 传递函数 传递函数： 传递函数： 有一连续单输入、 有一连续单输入、单输出单位反馈系统
用多项式形式表示的闭环传递函数 用多项式形式表示的
b1 s m + b 2 s m −1 + ⋯ + b m + 1 G (s) φ (s) = = 1 + G (s) b1 s m + b 2 s m −1 + ⋯ + b m + 1 + a 1 s n + a 2 s n −1 + ⋯ + a n + 1