实验7 连续系统的复频域分析

Matlab中工具箱中的函数 中工具箱中的函数bode（）、 （）、Nyquuist（）、 中工具箱中的函数 （）、 （）、 Nichols（）等都可绘出频率响应曲线。 （）等都可绘出频率响应曲线 （）等都可绘出频率响应曲线。 其调用格式： 其调用格式： bode（num，den）绘制连续系统传递函数形式表示的波德图 (对数坐标图)—系统开环对数幅频、相频特性图 ； Nyquuist（ num，den ）绘制连续系统传递函数形式表示的 （ 奈氏图（极坐标图） ——是利用控制系统开环幅、相频率特 性判断其闭环系统的稳定性。 ； nichols（num，den）绘制连续系统传递函数形式表示的 nichols图。 nichols图是将对数幅频特性和相频特性两张图在角频率为参变 量的情况下合成为一张图。 ；
Transfer function: %传递函数 s^2 + 4 s + 8 -----------------------s^3 + 11 s^2 + 11 s + 10
（2）状态空间模型 ）
2．复域数学模型--传递函数 ．复域数学模型 传递函数 传递函数： 传递函数： 有一连续单输入、 有一连续单输入、单输出单位反馈系统
4．系统模型之间的变换 ． 线性时不变系统（LTI）的模型包括传递函数模型、零极 点增益模型和状态空间模型，在某些场合下需要用到某种模 型，而在另一些场合下可能需要另外一种模型，这就需要模 型的转换。它们之间的转换可用以下的函数进行转换。 c2d, c2dt 将连续时间模型转换成离散时间模型 c2dm 将连续状态空间模型转换成离散状态空间模型 d2c 将离散时间模型转换成连续时间模型 d2cm 按指定方式将离散时间模型转换成连续时间模型 ss2tf 将状态空间模型转换成传递函数模型 ss2zp 将状态空间模型转换成零极点增益模型 tf2ss 将传递函数模型转换成状态空间模型 tf2zp 将传递函数模型转换成零极点增益模型 zp2ss 将零极点增益模型转换成状态空间模型 zp2tf 将零极点增益模型转换成传递函数模型
根轨迹分析法 所谓根轨迹是系统的某个特定参数，通常是回 路增益K从0变化到无穷大时，描绘闭环系统的 特征方程的根在S平面的所有可能位置的图形。 （根轨迹—系统开环传递函数的某一参数( k ) 从0 ∞ 时，闭环极点在s 平面上的轨迹 。） 根轨迹法用图解的方法来表示特征方程的根与 系统的某个参数（通常是回路增益K）之间的 全部数值关系。
根轨迹图绘制的基本考虑是：假设单变量系 统的开环传递函数为G（s），且设控制器增 益为K，整个控制系统是由单位负反馈构成的 闭环系统，则求出闭环系统的数学模型为 Gc（s）=KG（s）/（1+KG（s）） 闭环系统的特征根方程为：1+KG（s）=0 ， 对K的不同取值，可以绘制出每个特征根变化 的曲线，这样的曲线称为系统的根轨迹。

特征多项式=1+G（S） （ ） 特征多项式 用零极点增益形式表示的开环传递函数 用零极点增益形式表示的
( s − z1 )( s − z2 )⋯( s − zm ) G (s) = k ( s − p1 )( s − p2 )⋯( s − pn )
中函数zpk（）可用来建立传递函数零、 （）可用来建立传递函数零 在Matlab中函数 中函数 （）可用来建立传递函数零、 增益模型，其调用格式为： （ ） 极、增益模型，其调用格式为：G（S）=zpk（z， （ ， p，k）。 ， ）。
例1.某一微分方程描述系统的传递函数，其微分方 某一微分方程描述系统的传递函数， 某一微分方程描述系统的传递函数 程描述如下： 程描述如下：
y
( 3)
+ 11y
( 2)
+ 11y
(1)
+ 10 y = u
( 2)
+ 4u
(1)
+ 8u
试用MATLAB建立其传递函数模型。 建立其传递函数模型。 试用 建立其传递函数模型 解： num=[1,4,8] %分子多项式系数行向量 den=[1,11,11,10] %分母多项式系数行向量 G=tf(num,den) %建立传递函数模型 get(G) %显示tf对象的特性 运行结果： num = 1 4 8 den = 1 11 11 10
若系统零极点增益形式开环传递函数 ：
( s − z1 )( s − z2 )⋯ ( s − zm ) G ( s) H (s) = k ( s − p1 )( s − p2 ) ⋯ ( s − pn )
闭环传递函数
G ( s) H ( s) φ ( s) = 1 + G ( s) H ( s)
则闭环传递函数的极点就是闭环特征方程： 1 + G(s)H(s) = 0 的根满足 ：
零极点增益形式闭环传递函数 零极点增益形式
( s − z1 )( s − z 2 ) ⋯( s − z m ) G ( s) φ ( s) = =k 1 + G ( s) ( s − p1 )( s − p 2 ) ⋯( s − p n ) + ( s − z1 )( s − z 2 ) ⋯( s − z m )
G ( jw ) = G ( S )
s = jw
闭环频率特性
φ ( jw ) = φ ( S )
s = jw
由于G（jw）是复数，可以用A（w）来表示G（jw）的模， 称为幅频特性，用φ（w）来表示G（jw）的幅角称为相频特 性。 则频率特性可表达为：
G ( jw ) = A ( w ) e
jφ ( ω )
已知某系统的传递函数， 例2. 已知某系统的传递函数，求其分子分母 多项式并绘制其零极点图。 多项式并绘制其零极点图。 解： num=[1,4,8] %传递函数分子多项式系数行向量 den=[1,11,11,10] %传递函数分母多项式系数行向量 G=tf(num,den) %建立传递函数模型 [z,p,k]=tf2zp(num,den) %提取传递函数的零极点和增益 pzmap(G) %绘制其零极点图 grid on %打开绘图网格
3． roots（）函数 功能：求多项式的根 调用格式： r=roots（C）：其中C为多项式的系数向量（从高 次到低次），r为根向量。因此可用直接求根来判断 系统稳定性。 4．rlocus函数 功能：求系统的根轨迹 调用格式：rlocus（sys）绘制系统的根轨迹； rlocus（sys，K）绘制增益为K的闭环极点； rlocus（sys1，sys2，…）在同一复平面绘制多个系 统的根轨迹，为区分各个系统的不同根轨迹，可用 不同的颜色来显示，如rlocus（sys1，‘r’，sys2， ‘y’…）；
经典的拉普拉斯变换分析方法即先从时域变 换到复频域，在复频域经过处理后再利用拉 普拉斯反变换从复频域变换到时域，完成对 时间问题的求解，涉及的函数有laplace函数 和ilaplace函数等。
三．本次实验涉及的MATLAB函数 本次实验涉及的 函数 1． laplace函数 功能：用符号推理求解拉氏变换。 调用格式：L= laplace（F） F为函数，默认 为变量t的函数，返回L为s的函数时，要用 syms 命令定义符号变量t。 2．ilaplace函数 功能：用符号推理求解反拉氏变换。 调用格式：L= ilaplace（F） F为函数，默认 为变量t的函数，返回L为s的函数时，要用 syms 命令定义符号变量t。
( s − z 1 )( s − z 2 ) ⋯ ( s − z m ) G (s)H (s) = k = −1 ( s − p 1 )( s − p 2 ) ⋯ ( s − p n )
的点时，此方程称为根轨迹方程。 所以： 满足根轨迹方程的点 —— 都在根轨迹上 根轨迹上的点 —— 都满足根轨迹方程，都是闭环特征 根(闭环极点)。 根轨迹与系统性能指标的定性关系 1．稳定性——所有闭环零极点必须位于s 平面上的虚 轴之左； 2．快速性——闭环极点离虚轴越远越好； 3．振荡性——闭环极点离实轴越近越好； 4．闭环零点尽量靠近闭环极点，最好靠近离虚轴最近 的闭环极点以形成偶极子。
实验七 连续系统的复频域分析
一.实验目的与任务 实验目的与任务 （1）了解连续系统的复频域分析的基本实现 ） 方法； 方法； （2）掌握相关函数调用格式及其作用。 ）掌握相关函数调用格式及其作用。
二．实验原理 系统仿真方法: 根据模型的种类不同分为： 数学仿真－用计算机软件摸拟各种实际系统 的数学模型（软件仿真）。 物理仿真－用实物模型来摸拟各种实际系统 （硬件仿真）。 数学--物理仿真—两种的结合
(1)
消去中间变量 i (t),
d 2u0 (t ) d u0 (t ) LC + RC + u0 (t ) = ui (t ) （3） dt dt
式（3）是只有输入输出变量的二阶常微分方程。 在初始条件为0的情况下,两边求拉氏变换,得其 传递函数形式的数学模型。 U 0 (s) 1 G (s) = = 2 U i ( s ) LCs + RCs + 1 在Matlab中已知微分方程可用函数 中已知微分方程可用函数 tf（num,den）来建立传递函数模型。 （ ）来建立传递函数模型。
运行结果：
num = 1 4 8 den = 1 11 11 10 Transfer function: s^2 + 4 s + 8 -----------------------s^3 + 11 s^2 + 11 s + 10 z= -2.0000 + 2.0000i -2.0000 - 2.0000i p= -10.0000 -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i 零极点图 k =1
R(S)
G(s)
C(S)
用多项式形式表示的开环传递函数
b1 s m + b 2 s m − 1 + ⋯ + b m + 1 num ( s ) G (s) = = den ( s ) a 1 s n + a 2 s n −1 + ⋯ + a n + 1