高数D期中考试卷及评分标准
高数期中考试题目及答案
高数期中考试题目及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个选项是函数f(x)=x^2的导数？A. 2xB. x^2C. 2x^2D. x答案：A2. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是多少？A. 0B. 1C. πD. ∞答案：B3. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = xD. f(x) = |x|答案：B4. 积分∫(0 to 1) x^2 dx的值是多少？A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A5. 以下哪个选项是函数f(x)=e^x的原函数？A. e^x + CB. e^xC. 1/e^xD. ln(e^x)答案：A6. 函数f(x)=x^3-3x+2在哪个区间内是增函数？A. (-∞, 1)B. (1, +∞)C. (-∞, -1)D. (-1, 1)答案：B7. 以下哪个选项是函数f(x)=ln(x)的导数？A. 1/xB. xC. ln(x)D. 1答案：A8. 求不定积分∫x^2 dx的结果是什么？A. x^3 + CB. 2x^2 + CC. x^3/3 + CD. 2x^3 + C答案：C9. 以下哪个函数是周期函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = sin(x)C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)答案：B10. 以下哪个选项是函数f(x)=x^3的二阶导数？A. 3x^2B. 3xC. 3D. 6x答案：C二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3的一阶导数是_________。
答案：3x^22. 函数f(x)=x^2+2x+1的极小值点是_________。
答案：-13. 函数f(x)=x^2在区间[-1, 1]上的定积分是_________。
答案：2/34. 函数f(x)=sin(x)的原函数是_________。
答案：-cos(x) + C5. 函数f(x)=e^x的二阶导数是_________。
2008-2009年第一学期 《高等数学D》期中试卷分析
2008-2009年第一学期《高等数学D》期中试卷分析一、试卷使用对象说明本试卷使用人为求真学院生化系一年级学生，使用教材为同济大学编本科少学时版高等数学。
该专业教学计划中设定高等数学课程为每周三课时，属于湖州师范学院《高等数学》精品课程的分层教学中的D层次。
二、试卷内容说明试卷使用时间为第一学期第十一周，按高等数学分层教学进度要求，已完成授课内容为函数、极限、一元函数微分学。
三、试卷结构本试卷共分三部分，分别为求极限、求微分与导数和综合题。
极限部分共4小题，总分值12分，微分与导数部分共7小题，总分值56分，综合题共4小题，总分值32分。
试卷题型以计算题为主，主要考查学生极限、导数的求解与计算能力，综合题主要考查学生对概念的掌握是否透彻，解体思路是否清晰。
四、试卷特点按高等数学D层次的考核要求命题，考试覆盖知识面较全面，题型简单，多为典型题目，考虑到期中考试要使学生对接下来的学习充满信心，不能过于打击学习的积极性，题量控制在15题，难易程度控制在中档难度。
五、学生成绩分析本次试卷平均分为71分，90分以上4人，80－89分9人，70－79分13人，60－69分10人，60分以下6人。
最高分96分，最低分35分。
从分数段的人数分布看，基本符合正态分布，考试成绩与学生平时的学习态度和学习情况基本吻合，较真实的反应了学生对知识的掌握情况。
六、题目考点分析与丢分说明（1）极限部分：本部分丢分较多的为第一题和第四题。
第一题为第二个重要极限的考核，丢分主要原因是学生选择了较为难掌握的幂指函数极限的计算方法，选择两边取对数的方法进行化简再计算，在化简过程中出现错误，导致丢分。
第二题考查的分子有理化计算极限的方法，由于学生在高中已接触过，没有集中丢分的现象。
第三题考查洛比达法则的使用，把未定式“0 ”化简为“0”型的，本题大部分学生了解题意，计算准确。
个别学生直接得0，为不了解未定式的缘故，主要是上课听讲状态不好的学生。
山东省 2023~2024学年第一学期期中高二数学试题[含答案]
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42
2 y
22
4
，化
为 (x 2)2 ( y 1)2 1，故选 A.
考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程.
【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直
接法，设出动点的坐标
x,
y
，根据题意列出关于
x,
y
的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲
y 1 mx 2m R
5. 在平面直角坐标系中，动圆
与直线
相切，则面积最
大的圆的标准方程为（ ）
x 12 y 12 4
A.
x 12 y 12 5
B.
x 12 y 12 6
C. 【答案】B
x 12 y 12 8
D.
【解析】
【分析】据题意分析可知直线经过定点 P ；圆的圆心到直线距离的最大时，圆的半径最大，即可得到面积
当直线 x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直时， a 1 不一定成立，所以“ a 1 ”是“直线
x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直”的非必要条件.
所以“ a 1 ”是“直线 x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直”的充分非必要条件.
2023~2024 学年第一学期期中高二数学试题
（选择性必修一检测） 2023.11
说明：本试卷满分 150 分，分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷为 第 1 页至第 3 页，第 II 卷为第 3 页至第 4 页.试题答案请用 2B 铅笔或 0.5mm 签字笔填涂到 答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间 120 分钟.
高数下期中考试题及答案
高数下期中考试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 以下哪个函数是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = x^4 \)D. \( f(x) = x^5 \)答案：B2. 极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\) 的值是多少？A. 0B. 1C. πD. 2答案：B3. 函数 \( f(x) = e^x \) 的导数是？A. \( e^x \)B. \( e^{-x} \)C. \( \ln x \)D. \( \frac{1}{e^x} \)答案：A4. 以下哪个积分是发散的？A. \(\int_0^1 \frac{1}{x} dx\)B. \(\int_0^1 e^{-x} dx\)C. \(\int_0^1 x^2 dx\)D. \(\int_0^1 \sin x dx\)5. 以下哪个级数是收敛的？A. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\)B. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\)C. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}\)D. \(\sum_{n=1}^{\infty} n\)答案：A6. 以下哪个是二阶偏导数？A. \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\)B. \(\frac{\partial f}{\partial x}\)C. \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\)D. \(\frac{\partial f}{\partial y}\)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 的拐点是 \( x =\_\_\_\_\_\_\_\)。
高数期中试题及解答
⾼数期中试题及解答武汉⼤学电信学院2009－2010学年第⼆学期⾼等数学期中考试试卷1．（6分）求过点(2,1,3)M 且与直线11321x y z+-==-垂直相交的直线⽅程。
2．（6分）给出平⾯lx my nz p ++=与⼆次曲⾯2221Ax By Cz ++=相切的条件并说明理由。
3．（12分）设函数arctan ,)(0,0),(,)0,(,)(0,0),y x y f x y x y ì??1??=í??=，问在原点(0,0)处：（1）偏导数是否存在？（2）偏导数是否连续？（3）是否可微？均说明理由。
4．（6分）设()z xy xF u =+，其中F 为可微函数，且yu x=，试证明：z zxy z xy x y抖+=+抖。
5．（6分）设⽅程(,)z xy f xz yz +=确定可微函数(,)z z x y =，求zx。
6．（9分）设函数(,)u x y 满⾜0xx yy u u -=且(,2)u x x x =，2(,2)x u x x x =，求(,2)xx u x x ，(,2)xy u x x ，(,2)yy u x x 。
7．（8分）已知点(1,0,1)P -与(3,1,2)Q ，在平⾯212x y z -+=上求⼀点M ，使得PM MQ +最⼩。
8．（6分）设D 是矩形域：0xp＃，0y p ＃，计算⼆重积分max{,}sin sin d d Dx y x y x y 蝌。
=+++蝌?，其中W 是由平⾯1x y z ++=与三个坐标⾯所围成的空间区域。
10．（6分）设空间区域222:1x y z W ++?，0z 3，求2()x z dxdydz W+蝌?。
11．（6分）计算dDI x y =蝌，其中D 是由曲线4236x y xy 骣÷?+=?÷桫在第⼀象限中所围成的区域。
12．（6分）设(,)f x y 为连续函数,且(,)(,)f x y f y x =，证明：1100(,)(1,1)x x dx f x y dy dx f x y dy =--蝌蝌。
高三第一学期期中质量监测 数学参考答案及评分建议
2023一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1~4 D C A C 5~8 C B B D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9． ACD 10． BC 11． ABD 12． BC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 2 14． 5315． 5π112， 答案不唯一，一般形式 π5π1212k ， 16. 1e ；ln 202，四、解答题：本题共6小题，共70分。
17．（10分）【解】（1）因为22n n n S a ①，所以2n ≥时，11122n n n S a ②，①-②得112222n n n n n a a a ，即11222n n n a a n ，≥， …… 2分 所以1112222n n n n a a n ，≥． 在①式中，令1n ，得12a ，所以数列2n n a是以1为首项12为公差的等差数列． …… 4分 所以111(1)222n nan n ， 所以1(1)2n n a n ． …… 6分 （2）由121311(2)(1)2(1)2(2)2n n n n n b n n n n， …… 8分 所以123n b b b b0011211111132324242522111111(1)2(2)2(2)2n n n n n n． 因为110(2)2n n ，所以1231n b b b b ，得证． ……10分18．（12分）【解】sin cos A b A a c ，由正弦定理，sin sin cos sin sin B A B A C A ，sin sin cos sin()sin B A B A A B A ， …… 2分sin cos sin sin B A B A A ．因为sin 0A cos 1B B ， …… 4分 即1sin 62B ． 因为 0B ，，所以666B ，， 所以66B ，即3B ． …… 6分（2）因为点D 在AC 边上，满足3AC AD ，所以2133BD BA BC， …… 7分所以22222141433999BD BA BC BA BC BA BC ，因为32AB BD ，，3ABC ，所以241414939992BC BC ，即260BC BC，解得6BC ，即6a ． …… 9分 在ABC △中，由余弦定理，得22236236cos 633AC ，即AC ，所以DC ． ……11分 在BCD △中，由余弦定理，得222261cos 2262CBD． ……12分19．（12分）【解】（1）当0a 时，32()31f x x x ，所以2()363(2)f x x x x x ，令()0f x ，得0x 或2x ． …… 1分 列表如下：所以()f x 在2x 处取极大值，即12x ，且1()5f x ． …… 3分由13()()5f x f x ，所以3233315x x ，即3233340x x ，所以233(1)(2)0x x ．因为13x x ，所以31x ， …… 5分 所以1323x x ． …… 6分（2）由2()36f x x x a ，因为12x x ，分别是()f x 的极大值点和极小值点，所以12x x ，是方程()0f x 的两个不相等的实根，且36120a ，即3a ， 所以12122.3x x a x x,…… 8分 因为323212111222()()(31)(31)f x f x x x ax x x ax22121212121212()()33()2()2x x x x x x x x x x a x x22(2)(2)33(2)2(2)26233a a a a，因为12()()5f x f x ≤，所以625a ≤，解得12a ≥．综上，132a ≤． ……12分20．（12分）【解】（1）（方法一）连结AO．因为AB AD，O为BD中点， 所以AO BD．因为平面ABD 平面BCD，平面ABD 平面BCD BD AO，平面ABD所以AO 平面BCD．因为CD 平面BCD，所以AO CD．过点O作OE CD，交CD于点E，连结AE．……2分因为AO OE，平面AOE，AO OE O，所以CD 平面AOE，因为AE AOE，所以CD AE，所以AEO是二面角A CD B的平面角．……4分因为2AB AD BC BD CD，所以直角AOE△中，OE ，1AO ，AE所以sin AEO，即二面角A CD B……6分（方法二）连结AO．因为AB AD，O为BD中点，所以AO BD．因为平面ABD 平面BCD，平面ABD 平面BCD BD AO，平面ABD所以AO 平面BCD．因为BC BD，O为BD中点，所以CO BD，所以OC OD OA,,两两互相垂直．……2分以OC OD OA，，为一组基底建立如图所示空间直角坐标系O xyz．因为2AB AD BC BD CD，所以00)(010)(010)(001)C D B A ，，，，，，，，，，，所以(001)10)01)OA DC AC ，，，，,，所以(001)OA，，为平面BCD 的一个法向量． 设平面ACD 的的法向量()x y z ，，n ，所以00DC AC,,n n即00.y z ,令1x ，得平面ACD的一个法向量(1 n ． …… 4分所以cos OA OA OA，n n n 所以二面角A CD B…… 6分 （2）取AD 中点M ，CD 中点N ． 因为O 为BD 中点，所以OM AB ，因为OM 平面ABC ，AB 平面ABC ， 所以OM 平面ABC ， 同理ON 平面ABC ．因为OM 平面OMN ，ON 平面OMN ，OM ON O ， 所以平面OMN 平面ABC ．因为E 为平面ACD 内动点(包含边界)，且OE 平面ABC ，所以E 在线段MN 上． …… 8分由11110002222N M NM ，，，，，，，，所以10012NE NM ，，，，，则122OE ON NE ，，． 设OE 与平面ACD 所成角为 ，则sin cos OE，n当34时，sin所以OE 与平面ACD ……12分 21．（12分）【解】（1）由双曲线C 的左焦点为(40)F ，，设:4l x my ，01m ， 联立方程组2248x my x y ，，消x 得22(1)880m y my ． 设11()A x y ，，22()B x y ，，所以1212228811m y y y y m m ，． 因为3AF FB，所以123y y ， …… 2分即1222821m y y y m ，2241m y m ， 所以222224833(11m y m m ， 解得2117m ，…… 4分所以l 的方程为4)y x ． …… 5分（2）由直线1:2(4)AP y k x ，得1(222)Q k ，， 所以2121222222222y k y k k x my，又11111224PA y y k k x my， 所以12112122222y y k k k my my1212112(2)(2)(22)(2)y my my y k my my211111222422(2)my y my mk y my my． …… 8分因为1112mk y y ，1212y y my y ， ……10分 所以121212121212()2()2(2)2m y y y y k k my my y y y（定值）． ……12分22. （12分）【解】（1）设()f x 的极值点为0x ，()(1)e x f x x p ，则000(1)e 0()e 1x x x p x p ，， …… 2分 解得001x p ，，经检验，1p 时满足题意． …… 3分 所以()(1)e x f x x ，()e x f x x ，当0x 时，()0f x ，当0x 时，()0f x ，所以()f x 的单调减区间为(0) ，，单调增区间为(0) ，． …… 5分（2）不妨设a b ，因为()()(1)e 0a f a f b a ，由（1）知，01a b ，()(0)1f x f ≥． …… 6分 设函数()e 1ln(1)x g x x ，1x ，则(1)e 11()e 011xx x g x x x≤，所以()g x 在(1) ，上单调递减，所以()(0)0g a g ，即ln(1)1e a a ，所以 ln(1)ln(1)1e (1)e a a a a ，即(ln(1))()()f a f a f b ．又ln(1)00a b ，，所以ln(1)a b ，即e 1b a ． ……10分由()()f a f b ，得e e 111a bb a，又1b ，所以e 1a b ．所以e +e 2a b a b ，即e e 2a b a b ，得证． ……12分 说明：()g x 的生成过程．已得0a b ，要证e e 2aba b ，可以考虑e 1e 1aba b ，，显然不成立． 再考虑e 1e 1.b aa b，由于e 1ln(1)()(ln(1))b a b a f b f a ()(ln(1))(1)e ln(1)1(1)e 1ln(1)0a a f a f a a a a a ， 所以构造函数()e 1ln(1)x g x x ，很巧，()0g x ≤，……．。
2023-2023山东烟台高二第二学期期中考试数学试题 答案 评分细则
2023－2023山东烟台高二第二学期期中考试数学试题答案评分细则一、选择题（共30题，每题2分，共60分）选择题是本次数学期中考试的第一部分，共有30道题目，每题2分，共计60分。
考生需要根据题干选择正确的答案，并将答案填涂在答题卡上。
二、填空题（共10题，每题4分，共40分）填空题是本次数学期中考试的第二部分，共有10道题目，每题4分，共计40分。
考生需要根据题目要求填写正确的答案，并将答案填写在答题卡上。
三、解答题（共3道大题，每题20分，共60分）解答题是本次数学期中考试的第三部分，共有3道大题，每题20分，共计60分。
考生需要根据题目要求进行解答，写出详细的过程，并将答案写在答题纸上。
四、分数配分表类型题目数量每题分数总分选择题30260填空题10440解答题32060总分为：60 + 40 + 60 = 160五、评分细则选择题评分细则选择题共计60分，每题2分。
答题卡上答案正确的，得2分；答案错误的，得0分。
如果恰好有两个选项都是正确的，但没有选项是零分的，将按0分计算；如果恰好有两个选项都是错误的，但没有选项得满分的，将按满分计算。
填空题评分细则填空题共计40分，每题4分。
每道题的得分标准如下： - 若答案正确且步骤齐全，得4分； - 若答案正确但步骤不齐全，得2分； - 若答案错误但步骤齐全，得1分； - 若答案错误且步骤不齐全或无法判断，得0分。
解答题评分细则解答题共计60分，每题20分。
每道题的得分标准如下：- 若答案正确且步骤齐全，得20分； - 若答案正确但步骤不齐全，得15-18分； - 若答案错误但步骤齐全，得10-14分； - 若答案错误且步骤不齐全但展示有学术价值，得5-9分； - 若答案错误且步骤不齐全且展示无学术价值，得0-4分。
六、总结本次山东烟台高二第二学期期中考试数学试题分为选择题、填空题和解答题三个部分，共计160分。
考生需要根据不同题型的要求，选择正确的答案、填写正确的答案或进行解答，并根据评分细则来计算自己的得分。
厦门理工学院 大一上 高等数学 期中试卷 评分标准
厦门理工学院大一上高等数学期中试卷评分标准----5803250c-6eac-11ec-90ba-7cb59b590d7d厦门理工学院大一上高等数学期中试卷评分标准标准答案和评分标准课程名称教研室命题负责人高等数学（一）欧启通，中高等数学教研部考试时间适用专业班级教研室主任120分钟2022翟少辉一、填空题（每题3分，共24分），请把答案写在下面表格中对应的位置。
1．y?lgxx?arcsin的定义域为[-3,0)?(2,3]．x?232．limn(n??11?......?)?1．n2？？氮气？N3.根据函数在某一点上的连续可微关系，我们可以知道函数??x2?2x,x?0?f(x)??2x,0?x?1的不可导点是x?1．? 1.十、1.x4。
认识林？十、0f（x0？3？x）？F（x0）=18，那么F？（x0）？-6． ?x5.曲线y?cosx在x??3处的法线方程为2x?3y?3?2??0．236.准备好了吗？xsinx？（x？0），然后是y？()? 1．2?dy1?x?ln1?t27.设函数?，则一阶导数=dxt？？Yarctant8。
把你放在一边？然后是YX（n）？ex（x？n）。
二、选择题：（每题2分，共20分），请把答案写在下面表格中对应的位置。
1.功能y？Ln（x？X2？1）是[]（a）偶函数b）奇函数（c）非奇非偶函数（d）既是奇函数又是偶函数十、X02。
如果f（x）是在点x0的一个邻域中定义的，并且limf（x）存在，那么以下结论中的正确结论是[]（a）如果f（x）？0，那么x?x0limf(x)?0(ｂ)若f(x)?0,则limf(x)?0；十、x01(ｃ)若f(x0)?0,则limf(x)?0(ｄ)若f(x)?0,则limf(x)?0十、x0x？x03。
如果序列{xn}，{yn}满足limxnyn=0，则以下断言是正确的：[]n??1?（a）若xn发散，则yn发散（b）若???为无穷小，则yn必为无穷小? xn？（c）如果xn是有界的，yn必须是无穷小（d）如果xn是无界的，yn必须是有界的4.点x?0是f(x)?sinx?sin1的x[]（a）可移动不连续（b）无限不连续（c）振荡不连续（d）跳跃不连续5。
2019-2020年度第一学期高三期中考理科数学标准答案与评分细则
湛江市第六中学2019-2020年度第一学期高三期中数学试卷理科数学参考答案及评分细则一、选择题：13.21-14. 71- 15. 2 16. 35π 17.【解答】解：（1）3cos2sin()102A A π+-+=． cos2cos 10A A ∴-+=，可得：22coscos 0A A -=，解得：1cos 2A =，或cos 0A =， ABC ∆为锐角三角形，1cos 2A ∴=，∴可得：3A π=． （2）113sin 3322ABC S bc A bc ∆===，可得：12bc =，又3b =，可得：4c =，在ABC ∆中，由余弦定理可知，22212cos 1692342512132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=-=， a ∴=ABC ∆中，由正弦定理可知：sin sin a cA C=，可得：4sin sin c A C a ===18.（本小题满分12分）（1）证明：因为PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，所以PC DE ⊥.…………1分 由2,CE CD DE ===得CDE ∆为等腰直角三角形，故CD DE ⊥．………………2分 又PCCD C =，且PC ⊂面PCD ，CD ⊂面PCD ，……3分（注：此步骤中写出任意一个可得1分；全部不写，本得分点不给分） 故DE ⊥平面PCD ．……………4分PEDCBA（2）解：如图所示，过点D 作DF 垂直CE 于F ， 易知1DF FC FE ===，又1EB =，故2FB =．由2ACB π∠=，得//DF AC ，23DF FB AC BC ==， 故3322AC DF ==．………………………………5分以点C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向， 建立如图空间直角坐标系C xyz -， ……………………………………6分(0,0,0)C ，(0,0,3)P ，3(,0,0)2A ，(0,2,0)E ，(1,1,0)D ，1(1,1,0),(1,1,3),(,1,0)2ED DP DA =-=--=- ……………………………………7分设平面PAD 的法向量为()1111,,n x y z =，则10n DP ⋅=，即1111130102x y z x y --+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，……………………………………8分令12x =，则111,1y z ==，故可取1(2,1,1)n =．…………9分（注：与1n 共线的非零向量都可给分） 由（1）可知DE ⊥平面PCD ，故平面PCD 的法向量2n 可取为ED ，即2=(1,1,0)n -.………10分则121212cos ,62||n n n n n n ⋅===，……11分（注：根据法向量方向不同结果可正可负，都可给分） 又二面角A PD C --为锐二面角， 所以二面角A PD C --………12分（注：无此步骤，本得分点不能给分） 19解：（1）若按“项目一”投资，设获利1X 万元，则1X 的分布列为：)万元(2001503)300(535001=⨯+⨯-+⨯=EX . ………………………2分若按“项目二”投资，设获利2X 万元，则2X 的分布列为)万元(20092)150(973002=⨯-+⨯=EX ………………………4分 又140000151)2000(31)200300(53)200500(2221=⨯-+⨯--+⨯-=DX………………………5分3500092)200150(97)200300(222=⨯--+⨯-=DX ………………………6分 所以21EX EX =，21DX DX >，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目二更稳妥． 综上所述，建议该投资公司选择项目二投资． ………………………8分 （2）假设n 年后总资产可以翻一番，依题意：2001000(1)20001000n+=，即1.22n =，………10分 两边取对数得：lg 20.30103.80532lg 2lg3120.30100.47711n ==≈+-⨯+-．所以大约4年后，即在2020年底总资产可以翻一番． ………………………11分 答：建议该投资公司选择项目二投资；大约在2020年底，总资产可以翻一番．…………………12分 20．（本小题满分12分）21【解答】解：（1）由题意可知，0x >，2221()1a x x af x x x x -+-'=--=，.），2），减区间为（2,0的增区间为（)(综上所述，）单调递减；，2在（)(,2,时0）x （）单调递增；2,0在（)(,20时，0）x （;2x 或1,0）（时，令2a 当’’‘∞+∞+><<<>=-==-=x f x f x f x f x f x x f（2）原式等价于(1)21x a xlnx x ->+-，即存在1x >，使211xlnx x a x +->-成立．设21()1xlnx x g x x +-=-，1x >，则22()(1)x lnx g x x --'=-，⋯（9分）设()2h x x lnx =--， 则11()10x h x x x-'=-=>，()h x ∴在(1,)+∞上单调递增． 又h （3）332130ln ln =--=-<，h （4）4422220ln ln =--=->， 根据零点存在性定理，可知()h x 在(1,)+∞上有唯一零点，设该零点为0x ，则0(3,4)x ∈，且000()20h x x lnx =--=，即002x lnx -=，∴0000021()11min x lnx x g x x x +-==+⋯-（11分）由题意可知01a x >+，又0(3,4)x ∈，a Z ∈， a ∴的最小值为5．⋯（12分）22．（本小题满分10分）解：（1）消去参数可得1C 的普通方程为30x y +-=，…………1分由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，………………………………2分又因为222,cos x y x ρρθ=+=，…………3分（注：此步骤中写出任意一个可得1分）所以2C 的直角坐标方程为2240x y x +-=．……………………4分（2）解法1：2C 标准方程为22(2)4x y -+=，表示圆心为2(2,0)C ，半径2r =的圆．………5分2C 到直线30x y +-=的距离22d =，………………………………………………6分故AB ==……………………………………………………………7分 原点O 到直线30x y +-=的距离d =，…………………………………………8分所以1122OAB S AB d ===△ …………………………………9分综上，OAB △的面积为2……………………………………10分 解法2：联立方程组223(2)4y x x y =-+⎧⎨-+=⎩得221090x x -+=，…………………5分 ∴121295,2x x x x +==，……………………………………………………………6分∴12|||AB x x =-==……………7分 原点O 到直线30x y +-=的距离d =，……………………………………8分所以11222OAB S AB d ===△．…………………………………9分综上，OAB △ ……………………………………10分 23．（本小题满分10分）解：（1）解法1：当1a =时，不等式()3f x ≥可化简为13x x ++≥．………1分 当1x <-时，13x x ---≥，解得2x ≤-，所以2x ≤-；………………………2分 当10x -≤<时，13,13x x +-≥≥，无解；………………………………………3分 当0x ≥时，13x x ++≥，解得1x ≥，所以1x ≥．………………………………4分综上，不等式()3f x ≥的解集为(,2][1,)-∞-+∞．………5分（注：解集必须是集合或区间形式）解法2：当1a =时，21(1)()11(10)21(0)x x f x x x x x x --<-⎧⎪=++=-≤<⎨⎪+≤⎩………1分 当1x <-时，213x --≥，解得2x ≤-，所以2x ≤-； ………………2分 当10x -≤<时，13≥，无解； …………………………………………3分 当0x ≥时，213x +≥，解得1x ≥，所以1x ≥． ……………………4分 综上，不等式()3f x ≥的解集为(,2][1,)-∞-+∞． ………………5分（2）解法1：当1x ≥时，不等式()2f x x ≥+可化简为11ax a -+≥．……………6分 令()(1)1g x a x =-+，则()g x 的图像为过定点(1,1)斜率为a 的一族直线， ………7分 数形结合可知，当0a ≥时，11ax a -+≥在[)1,+∞上恒成立………………………9分 所以，所求a 的取值范围为[0,)+∞．………10分（注：最终结果可以是集合、区间或不等式） 解法2：当1x ≥时，不等式()2f x x ≥+可化简为11ax a -+≥．……………6分 由不等式的性质得11ax a -+≤-或11ax a -+≥，即(1)2a x -≤-或(1)0a x -≥．……………………………………………………7分 当x ≥1时，a R ∀∈，不等式(1)2a x -≤-不恒成立；…………………………8分为使不等式(1)0a x -≥恒成立，则0a ≥．………………………9分综上，所求a 的取值范围为[0,)+∞．……………………………………………10分。
文科高数(D)期中试卷答案(终结版)
1 9 x 。 4 4
5）函数图像如下所示。
令t ln e, 则 原式 lim t
t 1 1 1t
e
ln t lim t 1 1 t
e
1 lim t t 1 1
e 1
1 e
2.（1）解：
由x 0且cos( ) 0，得 x 2 x 0且x ，k 2k 1 所以间断点为x 0和x 2 ，k 2k 1 2 < ， 2n 1
3.计算下列函数的导数
1 y 1 x2 1 2x2 1 x2
dy dx
2 y x
a2 x2
x a2 x2
dy x2 a2 a2 x2 dx a 2 x 2 (a 2 x 2 ) a 2 x 2 解： a2 2x2 a2 x2 a2 (a 2 x 2 ) a 2 x 2
2010 年文科高等数学（D）期中考试答案
一、 判断（理由只要言之有理即可） 1． 错误。前半句正确，但后半句错误，反例：an=(-1)n 2． 错误。因为 f(0-)=f(0+)=0=f(0)，所以 f(x)在 x=0 处连续 3． 正确。这是零点存在定理的表述 4． 错误。反例： f(x)=x2 是偶函数， 但导数 f ’(x)=2x 是奇函数； g(x)=x3 是奇函数， 但导数 g ’(x)=3x2 是偶函数
0, 0 0, 0
因此，对 x 0 ，有 f x 0 。得证。
x 52 ，其定义域为 D x | x 1, x R ，垂直渐近线是 x 1 。 4 x 1
8 dy x 3x 5 d 2 y 2） ， 2 2 dx dx x 13 4x 1
新高考高三上学期期中考试数学试题（附参考答案及评分标准）
新⾼考⾼三上学期期中考试数学试题（附参考答案及评分标准）⾼三数学试题第4页（共5页）⾼三数学试题第5页（共5页）1 C⾼三上学期期中考试（三⾓函数、平⾯向量、数列）数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分，将第Ⅰ卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束,将答题卡交回. 考试时间120分钟，满分150分.注意事项：1．答卷前，考⽣务必将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2．第Ⅰ卷每⼩题选出答案后，⽤2B 铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊；如需改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其它答案标号. 答案不能答在试题卷上.3．第Ⅱ卷答案必须写在答题卡各题⽬指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使⽤涂改液、胶带纸、修正带. 不按以上要求作答的答案⽆效.第Ⅰ卷（选择题共52分）⼀、选择题：(本⼤题共10⼩题，每⼩题4分，共40分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的)1. 已知向量(1,3),(,1)a b m =-=，若向量,a b 夹⾓为3π，则m = A ．3B C ．0D ． 2. 如图所⽰，在正⽅形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则BF =A ．B ．2141AB AD -+C ．12AB AD +D ．3142AB AD +3. 在平⾯直⾓坐标系中，⾓α的始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点34(,)55P ，则sin 2α= A.2425 B ．65 C. 35-D 4. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有⾦箠，长六尺，斩本⼀尺，重五⽄，斩末⼀尺，重⼆⽄，箠重⼏何？”意思是：“现有⼀根⾦杖，长6尺，⼀头粗，⼀头细，在最粗的⼀端截下1尺，重5⽄；在最细的⼀端截下1尺，重2⽄；问⾦杖重多少⽄？” (设该⾦杖由粗到细是均匀变化的)A ．21B ．18C ．15D ．12 5. 已知4sin cos ,(,)342ππθθθ+=∈，则sin cosθθ-= AB ．C ．13D ．13-6. 在ABC △中，60A =?∠，1AB =，2AC =．若3BD DC =，,AE AC AB R λλ=-∈，且1AD AE ?=，则λ的值为 A ．213 B ．1 C ．311 D ．8137. 对于任意向量,a b ，下列关系中恒成⽴的是A ．||||||a b a b ?B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()()||||a b a b a b -+=-D ．22()(||||)a b a b +=+A ．32 B ．94- C ．52- D ．3- 9. 22cos ()sin ()44x x ππ++-=A ．1B ．1sin 2x -C ．1cos2x -D ．1-10. 已知,αβ为锐⾓，4tan 3α=，cos()5αβ+=-，则tan β=⾼三数学试题第4页（共5页）⾼三数学试题第5页（共5页）2 A ．2BC ．23D ．79⼆、多项选择题：本⼤题共3⼩题，每⼩题4分，共12分。
2013-2014高等数学（下）期中考试题解答与评分标准
诚信保证诚信保证本人知晓我校考场规则和违纪处分条例的有关规定，保证遵守考场规则，诚实做人。
规则，诚实做人。
本人签字：本人签字：本人签字：编号：编号：西北工业大学考试试题（卷）2013-2014学年第二学期期中考试学年第二学期期中考试开课学院开课学院 理学院理学院 课程课程 高等数学(下) 学时学时 102 考试日期考试日期 2014年5月6日 考试时间考试时间 2 小时小时 考试形式（闭）（A ）卷）卷班 级 学 号 姓 名题 号一 二三 四 五 六 总 分得 分一、填空题（4×8=32分） 1、()y x f ,在()00,y x 点连续、偏导数都存在、可微三者之间的关系是：连续与偏导数都存在无因果关系；连续不一定可微，但可微一定连续； 偏导数都存在不一定可微，但可微一定偏导数都存在。
2、设()y x f ,具有二阶连续偏导数，()2,2y y x f z -=，则=¶¶¶y x z 2121122f y f ¢¢+¢¢- 。
3、已知5cos =+-x yz xe zy ，则=dzdy xex y xe x z dx xe x y e x yz zy zy zy zy -----+---cos cos cos sin 。
4、函数()()zy x z y x f +=2,,在()2,1,1点处方向导数的最大值为点处方向导数的最大值为 3ln 92032+ 。
5、交换积分次序()()=+òòòò-x x dx y x f dx dy y x f dx 202110,,2()dx y x f dyyy òò-210,。
6、介于平面0=z 与3=++z y x 之间的曲面122=+y x 的面积为p 6 。
7、()()=-+-3323z z y xy x grad div z yz x 664-+ 。
期中数学试题参考答案及评分标准.doc
期中数学试题参考答案及评分标准一、二、8．（4+x ）(4-x)； 9．-2； 10．0、1、2； 11．7； 12．≠1，0;13.2010; 14. m=3; 15. ①②③ 三、16．解：⎪⎩⎪⎨⎧->+≤--②①13214)2(3x x x x ①的解集为x ≥1②的解集为x ＜4在数轴上表示为 ……（6分）因此，原不等式的解集为1≤x ＜4…………………………………（7分）17．解：方程两边都乘以x-7得，x-8+x=8(x-7)……………………………（3分） 解得x =8……………………………（5分）检验：代入x-7≠0……………………………（6分）∴原分式方程的根为x =8……………………………（7分） 18.解：2)2142(2+÷---x xx x x =2])2)(2(2)2)(2(2[+÷-++--+x xx x x x x x …………………………………（3分）=xx x x x x 2)2)(2(22+⨯-+--…………………………………（5分）=x1…………………………………（7分） 把1-=x 代入上式得原式=x 1111-=-=…………………………………（9分）19．解：设乙队每天安装x 台空调,则甲队每天安装(x+2)台空调（1分）xx 60266=+………………………………（4分） 解得x=20………………………………（6分） 经检验，x=6是原方程的根，甲队每天安装x+2=20+2=22(台) ………………………………（8分）答：甲队每天安装22台空调,乙队每天安装20台空调…………………………（9分）20、解：设慢车的速度为xkm/h ，则快车的速度为1.5km/h （1分）15.1180180=-x x ·························（4分）解得：x=60 ·························（8分）经检验x=60是原方程的根 ·························（9分） 答：慢车的速度是60km/h ·························（10分）21、解：上述解法有错误。
高数期中考试及答案详解
高等数学期中试题一、填空题（每题3分，共15分）1、262sin0lim(1)x x x →+= ;2、设21y x ，则dy ；3、0000(2)()()2,lim h f x h f x f x h→+-'== ;4、曲线⎩⎨⎧=+=321t y t x 在2=t 处的切线方程为 ; 5、当0x →时，21cos 2x kx -，k = 。
二、选择题（每题3分，共15分）1、21()1x f x x 在1x 处为 （ ） A 无穷间断点； B 第一类可去间断点 ；C 第一类跳跃间断点 ；D 震荡间断点。
2、()1xf x x ，则(4)(0)f =（ ）A 4!-；B 4!；C 5!- ；D 5! 。
3、若()()f x f x =--，在()0,+∞内()()'0,''0f x f x >>，则在(),0-∞内（ ）.A ()()'0,''0f x f x <<；B ()()'0,''0f x f x <>；C ()()'0,''0f x f x ><；D ()()'0,''0f x f x >>.4.设3()(1)f x x x x =--，()f x 不可导点的个数为（ ）A 0；B 1；C 2 ；D 3 。
5.设()()()F x g x x ϕ=，()x ϕ在x a =处连续，但又不可导，又()'g a 存在，则()0g a =是()F x 在x a =处可导的（ ）条件.A 充要；B 充分非必要；C 必要非充分；D 非充分非必要三、求下列极限（20分）1．)tan 11(lim 20x x x x -→ ； 2. 2tan )1(lim 21x x x π-→；3.x x x x 10)cos sin 2(lim +→； 4．)2112111(lim n n +++++++∞→四、求下列导数或微分（20分）1．,2222x x x x y +++=求：y '2．)(,)(ln )(x f e x f y x f ⋅=二阶可导，求：dy dx3．33cos sin x t y t⎧=⎨=⎩求：224d ydx x π= 4．设)(x y y =是由方程arctan y x =所确定的函数，求：dy dx 。
数学-答案及评分标准
2022—2023学年第二学期高一年级期中考试数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．．） 1． 若i 为虚数单位，则(1i 2-)12的值为BA ．1B ．－1C ．iD ．－i2． 已知a 、b 是不共线的向量，且AB ＝3a ＋4b ，BC ＝－2a －6b ，CD ＝2a －4b ，则DA ．A 、B 、D 三点共线 B ．A 、B 、C 三点共线 C ．B 、C 、D 三点共线D ．A 、C 、D 三点共线3． 已知a ＝(2，－1)，b ＝(－1，0)，若(a －t b )⊥(a ＋b )，则实数t 的值为DA ．5B ．2C ．－1D ．－34． 设复数z 满足|z －i|＋|z ＋i|＝2，其中i 为虚数单位，则|z |的最大值为AA ．1B ．2C ．2D ．35． 海面上有相距10nmile 的A ，B 两个小岛，从A 岛望C 岛和B 岛成60︒的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B ，C 间的距离为D A ．nmile 310B ．nmile 3610 C ．nmile 25 D ．nmile 656． 已知tan(α＋β)、tan(α－β)是关于x 的方程x 2＋mx －4＝0的两根，且tan α＝23，则m 的值为A A ．－12B ．－103C ．4D ．957． 为了军事国防需要，现准备发射一颗通信卫星．通信卫星在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球赤道所在平面．将地球看作是一个球(球心为O ，半径为r km)，地球上一点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面，在点A 处放置一个仰角为θ的地面接收天线(仰角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角)，若点A 的纬度为北纬30°，tan θ＝3－27，则该通信卫星的轨道高度(轨道高度是指卫星到地球表面的距离)为C A ．2rB ．3rC ．6rD ．7r8． 已知△ABC 中，AC ＝2，sin A ＝tan B ，A ∈(0，3π]，则边AB 的最小值为B A ．2B ．3C ．2＋3D ．52二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，少选得2分，错选或不选得0分．请把答案填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．．） 9． 设函数x x x f 2sin cos 2)(2+=，则下列结论正确的是ADA ．)(x f 的最小正周期是πB ．4π=x 是)(x f 的一个对称轴C ．)(x f 的最小值是2-D ．若)(x f 在],[b a 上单调递减，则a b -最大值是2π10．如图，若△ABC 的外接圆为⊙O ，D 为AB 的中点，则下列说法一定成立的是BCDA ．若⊙O 的半径为定值，则AO ·AB 为定值 B ．若CA 、CB 的长度为定值，则CO ·AB 为定值C ．CA ·OD ＝CB ·ODD ．OA ·OB ＝OC 2－12AB 2 11．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 、BD 的交点，直线A 1C 交平面C 1BD 于点M ，则下列结论正确的是AC A ．C 1、O 、A 、M 四点共面 B ．直线C 1O 与直线A 1C 为异面直线 C ．直线A 1A 与直线OM 相交D ．D 1、D 、O 、M 四点共面12．在锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 所对的边，且tan B 是关于x 的方程sin C ·x 2＋2(1－cos C )x －sin C ＝0的一个根，则ACDA ．－1tan B是方程的另一个根 B ．tan2B ·tan2C＝2C ．角B 的取值范围为(8π，6π)D ．22()c a b -的取值范围为(3，2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．） 13．写出同时满足条件①：“(1＋i)·z ∈R ”、条件②：“|z |＞3”的一个复数z ＝________．4－4i （答案不唯一） 14．若sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)＝________． 4315．空间有6个点，其中任意三点不共线，且有五个点共面，则这6个点最多可以确定________个平面． 1116．在△ABC 中，若BC ＝32AB ，BD ＝2DC ，AB ·AD ＝2，则AD ·BC ＝________． 3四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．(本小题满分10分)关于复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R ，i 为虚数单位)，有下列四个命题：①a ＝2；②b ③z ·z ＝4；④z ＋z ＝|z |；且上述四个命题中只有一个是假命题． (1)请问假命题是哪一个，并求出复数z ；(2)设复数z 1、z 2满足|z 1|＝|z 2|＝|z |，|z 1＋z 2|＝2，求|z 1－z 2|．解：(1)由③得，(a ＋b i)(a －b i)＝4，即a 2＋b 2＝4；由④得，2a ；因此①②③、①②④、①③④均有矛盾，所以假命题为①，即②③④皆成立，所以a 2＝1，即a＝±1，所以z ＝±1；…5分(2)由(1)得，|z 1|＝|z 2|＝|z |＝2；设复数z 1、z 2在复平面内分别对应向量OA 、OB ，则|OA |＝|OB|＝2，|OA＋OB|＝2，所以OA2＋2OA·OB＋OB2＝4，即2OA·OB＝－4；又|OA－OB|2＝OA2－2OA·OB＋OB2＝12，则|OA－OB|＝23，即|z1－z2|＝23．…10分18．(本小题满分12分)如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB＝CD，E、F分别为BC、AD的中点．(1)若AB⊥CD，求EF与AB所成的角的大小；(2)若AB＝CD＝2，且异面直线AB与CD所成角的大小为60°，求线段EF的长．解：(1)取BD的中点G，连接EG、FG；因为E、F分别为BC、AD的中点，所以EG∥CD，GF∥AB，且EG＝12CD，GF＝12AB；又AB＝CD，所以EG＝GF；因为AB⊥CD，所以EG⊥GF；在△EGF中，EG＝GF，EG⊥GF，所以△EGF为等腰直角三角形，得∠EFG＝45°；因为GF∥AB，所以EF与AB所成的角即为∠EFG，即EF与AB 所成的角的大小为45°；…4分(2)因为AB＝CD＝2，所以EG＝GF＝1；因为AB与CD所成角的大小为60°，所以∠EGF＝60°或120°；…6分在△EGF中，当∠EGF＝60°时，此三角形为等边三角形，故EF＝1；…9分在△EGF中，当∠EGF＝120°时，由余弦定理得，EF2＝EG2＋GF2－2EG·GF·cos120°＝3，故EF＝3．…12分19．(本小题满分12分)在△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且3a2＋b2＝c2．(1)式子tan B－tan A－2tan A·tan2B的值为是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；(2)若C＝120°，求cos A的值．解：(1)在△ABC中，由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2ab·cos C，又因为3a2＋b2＝c2，所以2a2＝－2ab·cos C，即2a＝－2b·cos C，又由正弦定理得，2sin A＝－2sin B·cos C，又A＝π－B－C，则2sin(B＋C)＝－2sin B·cos C，即2sin B·cos C＋2cos B·sin C＝－2sin B·cos C，即4sin B·cos C＝－2cos B·sin C，即tan C＝－2tan B；所以tan B－tan A－2tan A·tan2B＝tan B－tan A＋tan A·tan B·tan C＝tan B－tan A＋tan A＋tan B＋tan C＝2tan B＋tan C＝0，故为定值0；…6分(2)同(1)，由3a2＋b2＝c2及余弦定理可得，2a＝－2b·cos C，又C＝120°，所以b＝2a，c；由余弦定理可得，cos A＝2222b c abc+-＝1475．…12分20．(本小题满分12分)在△ABC中，已知1cos2cos cosBA B+⋅＝4sinsinBA．(1)求tantanAB的值；(2)求1tan A＋1tan B＋1tan C的最小值．解：(1)在△ABC中，因为1cos2cos cosBA B+⋅＝4sinsinBA，所以22coscos cosBA B⋅＝4sinsinBA，即2coscosBA＝4sin sin BA ，即tantanAB＝2；…4分(2)在△ABC中，tan A＝2tan B，A、B均为锐角；因为C＝π－A－B，所以tan C＝tan(π－A－B)＝－tan(A＋B)＝－tan tan1tan tanA BA B+-⋅＝－23tan12tanBB-；故1tan A＋1tan B＋1 tan C ＝12tan B＋1tan B－212tan3tanBB-＝274tan6tanBB+＝76tan B＋2tan3B≥，当且仅当tan B时取等号；所以1tan A＋1tan B＋1tan C．…12分21．(本小题满分12分)已知锐角△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a (tan A ＋tan C )＝2b ·tan A ． (1)求C 的大小； (2)若△ABC 的面积为32，求a 的取值范围． 解：(1)在锐角△ABC 中，因为a (tan A ＋tan C )＝2b ·tan A ，所以a (sin cos A A ＋sin cos C C )＝2b ·sin cos AA，即a (sin cos cos sin cos cos A C A C A C ⋅+⋅⋅)＝2b ·sin cos A A ，即a ·sin()cos cos A C A C+⋅＝2b ·sin cos AA ，又B ＝π－A －C ，所以a ·sin cos cos B A C ⋅＝2b ·sin cos A A ，又由正弦定理得，sin sin cos A BC⋅＝2sin A ·sin B ，又sin A 、sin B ≠0，所以cos C ＝12，又C ∈(0，π)，则C ＝3π；…4分 (2)在锐角△ABC 中，因为C ＝3π，S △ABC ＝12ab ·sin C ＝32，所以ab ＝2，即b ＝2a；因为a (tan A ＋tan C )＝2b ·tan A ，所以tan A ＝2234a a -；因为△ABC 为锐角三角形，且C ＝3π，所以6π＜A ＜2π，即tan A ＞33；由2234a a -＞33得，1＜a ＜2．…12分22．(本小题满分12分)我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图(1)，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP 始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC ，且AB ＝AC ，从而保证伞圈D 能够沿着伞柄滑动．伞完全收拢时，伞圈D 滑到D'的位置，且A 、B 、D'三点共线，AD'＝40cm ，B 为AD'的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D 沿着伞柄向下滑动的距离为24cm ． (1)当伞完全张开时，求∠BAC 的余弦值；(2)如图(2)，当∠BAC ＝3π时，在线段AB 、AC 上分别取点M 、N ，使得AN ＝4AM ＝4t ，0＜t ＜5，连接MN 交AD 于点G ，若△AMN 的面积为△ABC 面积的425，求AG ·MN的值．解：(1)当伞完全张开时，AD ＝40－24＝16cm ；当伞完全收拢时，因为B 为AD'的中点，所以AB ＝BD'＝12AD'＝20cm ，即AB ＝BD ＝20cm ；在△ABD 中，由余弦定理得，cos ∠BAD ＝2222AB AD BD AB AD +-⋅＝25；所以cos ∠BAC ＝cos2∠BAD ＝2cos 2∠BAD －1＝－1725；…4分(2)在△ABC 中，因为AB ＝AC ＝20，∠BAC ＝60°，所以△ABC 是边长为20的等边三角形；因为AN ＝4AM ＝4t ，0＜t ＜5，△AMN 的面积为△ABC 面积的425，所以由S △AMN＝425S △ABC 得，12·t ·4t ·sin60°＝425·12·202·sin60°，即t ＝4，所以AM ＝15AB ，AN ＝45AC ；设AD 、BC 交于点E ，设AG ＝λAE ，所以AG ＝λ·12(AB ＋AC )＝2λ·5·AM ＋2λ·54·AN ，又M 、G 、N 共线，则2λ·5＋2λ·54＝1，即λ＝825，即AG ＝425(AB ＋AC )；所以AG ·MN ＝425(AB ＋AC )·(45AC －15AB )＝2885．…12分。
《 高等数学》(下)期中考试题及评分标准.
《 高等数学》（下）期中考试题及评分标准一、填空题（每小题4分，共28分，写出各题的简答过程，并把答案填在各题的横线上，仅写简答过程不填答案或只填答案不写简答过程均不给分）。
.____________x )1,1,1(1y )xy arcsin()1y (x z .1轴的倾角是处的切线对上点曲线⎩⎨⎧=-+=4:π解 .41a r c t a n ,1)]xy arcsin(0x [dx d )1,x (f x π==θ=⋅+=故,e z .2xy=设.__________dz )2,1(=则)dy dx 2(e :2+-解.e x1e y z,e 2)xy (e xz 2)2,1(xy )2,1(2)2,1(2xy)2,1(=⋅=∂∂-=-=∂∂._________,4z 31y x t z ,t y ,t x .332则切点的坐标是的切线平行于平面已知曲线=++===)1,1,1(:--解.1z ,1y ,1x 1t 0t t 21n T },31,1,1{n },t 3,t 2,1{T 22-==-=⇒-=⇒=++=⋅==.____________2z )y x (214z .422于所围成的立体的体积等与面曲面=+-=π4:解ππθπ402)8(2)212()21212(]2)(214[42202022222=-=-=--=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰r r rdr r d dxdy y x dxdy y x V xyxy D D则平面所围成的闭区域与是上半球面设,x oy )0z (1z y x .5222≥=++Ω.______zdxdydz =⎰⎰⎰Ω4:π解.44r 2s i n 2dr sin r cos r d d zdxdydz 1042022010220π=⋅ϕπ=ϕ⋅ϕϕθ=πππΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰则曲线积分的交线与平面是球面设,0z y x R z y x .62222=++=++Γ._________z y x ds222=++⎰Γ π2:解 .2R 2R 1R ds π=π⋅==∴⎰Γ原式._________)x (f ,x oy dy )x (f dx ye .7x =-+则分平面上是某函数的全微在设 )y (e :x ϕ+-解.)y (e )x (f e )x (f )x (f x Q ,e y P x x x ϕ+-=⇒='⇒'-=∂∂=∂∂二、选择题（每小题4分，共28分。
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（ D ） y dy 0 ．
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1．若 lim
x2 ax b 1 ，则 a x x 2
x a
，b
．
2．设函数 f ( x ) 在 x a 处连续且 lim 3．设 y xe x cos x ，则 y (10 )
福建农林大学《高等数学（D） 》期中考试卷
一、选择题（选择正确答案的字母填入括号，每小题 3 分，共 15 分） 1．当 x 0 时，是 x 的三阶无穷小量的函数是（ ） ． (A) x 2 (e x 1) ；
2
（B）1 cos x 2 ；
（C） x sin x ； ） ． (C) f (0) 3 ；
x y ． 2
2. 设 f x 在闭区间 0,1 上连续，开区间 0,1 内可导，且 f (0) 0 . 试证：在 0,1 内至少存在一点 ， 使
2 f ( ) f ( ) ． 1
2
福建农林大学《高等数学（D） 》期中考试卷 参考解答与评分标准
一、 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1 x 1 x
（2 分）
3
f ( x ) f ( 0) ax lim a， x 0 x x e 则当 f _ (0) f (0) ，即 a 时， f ( x ) 在 x 0 处的可导。 2 f (0) lim
x0
（2 分） （2 分）
五、应用题（每题 10 分） 解 令 y 0 ，解得 x 0 和 x
（2 分）
2. 证明 设函数 F ( x ) (1 x ) 2 f ( x) ， 则 F ( x) 在闭区间 0, 1 上满足罗尔定理的条件， 那么，由罗尔定理得，至少存在一点 0, 1 使得
(2 分) (2 分)
F ( ) 0 ，即得 (1 ) 2 f ( ) 2(1 ) f ( ) 0 ，
1
sin x x 2．求极限 lim ． x 0 x
3．求函数 y f ( x )
e 1 e 1
1 x
1 x
sin( x 1) sin
1 的间断点，并指出间断点的类型． cos 3 t ,
3 y sin t
1 sin x x x cos x sin x x sin x 2x
（7 分）
lim lim ln 2 sin x x 2． 解 lim e x0 lim e x x e x 0 sin x x x 0 x0 x 3．解 因为函数仅在 x 0 和 x 1 处无定义，且因为
将 x 1 ， y 1 ， y 1 代入上两式得 y x 1 4 ． 四、讨论题（本题 9 分）
1 解 因为 f (0 ) lim f ( x) lim (1 x ) x e 0 ， f (0 ) lim f ( x ) lim ( ax b) b ， f (0) b ， x 0 x 0 x 0 x0
x
f ( x) 3 ，则 f (a ) xa
． ．
4． 设函数 f ( x ) 可微，则函数 y
x2
1 x f sin 的微分 dy x
．
5．曲线 y e
的拐点坐标为
．
三、计算题（每小题 7 分，共 35 分）
1 x ． 1．求极限 lim x 0 (1 cos x) ln(1 sin x) 2 tan x x 2 sin
（2 分） （2 分） （2 分） （1 分）
将 x 1, y 1 代入得 y 1 ，所以所求切线方程为 y 1 1 ( x 1) ，即 y x ； 一阶导数关系式两边再关于 x 求导得
2 y xy
y 1
1 12 y 2 ( y ) 2 4 y 3 y 2 x
dy 3 sin t cos t tan t ， dx 3 cos 2 t sin t d2y sec 2 t 1 sec 4 t csc t 2 2 dx 3 cos t sin t 3
y xy 2 4 y 3 y x
2
5．解 原方程两边同时关于 x 求导得
1．C；2．D；3．A；4．B；5．B． 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1． a 1, b 3 ； 2．3； 3． ( x 10)e 4． dy x x
x
cos x ；
2 1 1 ln x 1 1 1 2 f sin cos dx ； 5． 2 2 , e ． x x x x
五、应用题（本题 10 分） 一弓箭手在原点射出的箭的轨迹方程为 y kx
k3 2 2 x ，其中 x 是箭离原点的水平距离， y 是相应 300
的高度（ x 轴为地平线，距离单位为 m ） ，正数 k 是轨迹曲线在原点处的切线的斜率，问 k 为何值时， 箭的水平射程最大，最大值是多少？ 六、证明题（每小题 8 分，共 16 分） 1. 求证：当 x y 0 时， x ln x y ln y ( x y ) ln
e0 1 ．
（7 分） （2 分）
x 0
lim f ( x ) 1 sin 2 1 ， lim f ( x ) 1 sin 2 1 ；lim f ( x)
x 0
x 1
e 1 ； e 1
（3 分） （2 分） （4 分） （3 分）
所以， x 0 是第一类间断点中的跳跃间断点，而 x 1 是第一类间断点中的可去间断点． 4． 解
所以，当 b 0 时， f (0 ) f (0 ) f ( 0) ，即 f ( x ) 在 x 0 处的连续。 在 f ( x ) 在 x 0 处连续的前提条件下，即当 b 0 时，又因
（3 分）
x ln(1 x) f ( x ) f (0) (1 x) e e 1 x f (0) lim lim lim (1 x ) ， 2 x 0 x 0 x 0 x x 2 x
又 0, 1 ，1 0 ，所以有
(2 分)
2 f ( ) f ( ) ． 1
(2 分)
4
） ．
( A)
1 ； 2
( B)
3 ； 2
(C )
) ．
1 ； 2
( D)
3 ． 2
4．函数 f ( x) x ln(1 x) 的极值点个数为( (A) 0； (B) 1；
(C) 2；
(D) 3． ） ．
5．设函数 f ( x ) 二阶可导，且 f ( x) 0 ， f ( x) 0 ，则当 x 0 时，有（ （ A ） dy y 0 ； （ B ） y dy 0 ； （ C ） dy y 0 ；
(D) ln(1 3x 2 ) ．
2．设 f ( x) x sin x cos x ，则在 x 0 处有（ (A) f (0) 1 ； (B) f (0) 2 ；
(D) f ( x ) 不可导．
3．设 y sin
arccos x 1 ，则 y 等于（ 2 2
所确定的函数的二阶导数
d2y ． dx 2
5．设函数 y y ( x ) 由方程 xy 2 ln x y 4 所确定，求曲线 y y ( x ) 在点 (1, 1) 处的切线方程，并求函数
y y ( x ) 在点 (1, 1) 二阶导数．
四、讨论题（本题 9 分）
1 (1 x ) x e, x 0, 设 f ( x) ，试讨论该函数在 x 0 处的连续性与可导性。 x0 ax b,
x y x y x y f 2 f 1 f 2 0， 2 2 2 x y 其中 y 2 2 x 。 2 f 1
故有 f ( x) f ( y ) 2 f
（2 分）
（2 分）
x y x y 即 x ln x y ln y ( x y ) ln 。 ， 2 2
x y 。 2
因为 f ( x) ln x 1 ， f ( x)
1 0 ，即 f ( x ) x ln x 在其定义域 (0, ) 内可导且导数单调增加， x
（2 分）
所以由拉格朗日中值定理可得，当 x y 0 时，
x y x y x y f ( x) f ( y ) 2 f f ( x) f f f ( y ) 2 2 2
2 tan x x 2 sin
1
三、计算题（每小题 7 分，共 35 分）
1．解
1 1 1 2 x x 2 sin 2 x sin x lim x lim x 1． lim x 0 (1 cos x) ln(1 sin x) x 0 (1 cos x) x x 0 1 cos x
300k 300k ，即箭的水平射程为： x( k ) 3 ， 3 k 2 k 2
（3 分）
令 x ( k )
300(k 3 2) 300k 3k 2 300(2 2k 2 ) 0 ，得唯一驻点 k 1 ， ( k 3 2) 2 ( k 3 2) 2
（3 分）
又根据本问题的实际意义可知箭的水平射程函数有最大值而无最小值，所以该唯一驻点即为最大值 点，即 k 1 时，箭的水平射程最大，且最大值为 x(1) 100(m) ． 六、证明题（每小题 8 分，共 16 分） 1. 证明 设 f ( x ) x ln x ，则原命题可表为：求证 当 x y 0 时， f ( x) f ( y ) 2 f （4 分）