高数D期中考试卷及评分标准

300k 300k ，即箭的水平射程为： x( k ) 3 ， 3 k 2 k 2
（3源自文库分）
令 x ( k )
300(k 3 2) 300k 3k 2 300(2 2k 2 ) 0 ，得唯一驻点 k 1 ， ( k 3 2) 2 ( k 3 2) 2
又 0, 1 ，1 0 ，所以有
(2 分)
2 f ( ) f ( ) ． 1
(2 分)
4
（ D ） y dy 0 ．
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1．若 lim
x2 ax b 1 ，则 a x x 2
x a
，b
．
2．设函数 f ( x ) 在 x a 处连续且 lim 3．设 y xe x cos x ，则 y (10 )
(D) ln(1 3x 2 ) ．
2．设 f ( x) x sin x cos x ，则在 x 0 处有（ (A) f (0) 1 ； (B) f (0) 2 ；


(D) f ( x ) 不可导．
3．设 y sin
arccos x 1 ，则 y 等于（ 2 2
e0 1 ．
（7 分） （2 分）
x 0
lim f ( x ) 1 sin 2 1 ， lim f ( x ) 1 sin 2 1 ；lim f ( x)
x 0
x 1
e 1 ； e 1
（3 分） （2 分） （4 分） （3 分）
所以， x 0 是第一类间断点中的跳跃间断点，而 x 1 是第一类间断点中的可去间断点． 4． 解
福建农林大学《高等数学（D） 》期中考试卷
一、选择题（选择正确答案的字母填入括号，每小题 3 分，共 15 分） 1．当 x 0 时，是 x 的三阶无穷小量的函数是（ ） ． (A) x 2 (e x 1) ；
2
（B）1 cos x 2 ；
（C） x sin x ； ） ． (C) f (0) 3 ；
（2 分） （2 分） （2 分） （1 分）
将 x 1, y 1 代入得 y 1 ，所以所求切线方程为 y 1 1 ( x 1) ，即 y x ； 一阶导数关系式两边再关于 x 求导得
2 y xy
y 1
1 12 y 2 ( y ) 2 4 y 3 y 2 x
（2 分）
2. 证明 设函数 F ( x ) (1 x ) 2 f ( x) ， 则 F ( x) 在闭区间 0, 1 上满足罗尔定理的条件， 那么，由罗尔定理得，至少存在一点 0, 1 使得
(2 分) (2 分)
F ( ) 0 ，即得 (1 ) 2 f ( ) 2(1 ) f ( ) 0 ，
1 x 1 x
（2 分）
3
f ( x ) f ( 0) ax lim a， x 0 x x e 则当 f _ (0) f (0) ，即 a 时， f ( x ) 在 x 0 处的可导。 2 f (0) lim
x0
（2 分） （2 分）
五、应用题（每题 10 分） 解 令 y 0 ，解得 x 0 和 x
） ．
( A)
1 ； 2
( B)
3 ； 2
(C )
) ．
1 ； 2
( D)
3 ． 2
4．函数 f ( x) x ln(1 x) 的极值点个数为( (A) 0； (B) 1；
(C) 2；
(D) 3． ） ．
5．设函数 f ( x ) 二阶可导，且 f ( x) 0 ， f ( x) 0 ，则当 x 0 时，有（ （ A ） dy y 0 ； （ B ） y dy 0 ； （ C ） dy y 0 ；
（3 分）
又根据本问题的实际意义可知箭的水平射程函数有最大值而无最小值，所以该唯一驻点即为最大值 点，即 k 1 时，箭的水平射程最大，且最大值为 x(1) 100(m) ． 六、证明题（每小题 8 分，共 16 分） 1. 证明 设 f ( x ) x ln x ，则原命题可表为：求证 当 x y 0 时， f ( x) f ( y ) 2 f （4 分）
x y x y x y f 2 f 1 f 2 0， 2 2 2 x y 其中 y 2 2 x 。 2 f 1
故有 f ( x) f ( y ) 2 f
（2 分）
（2 分）
x y x y 即 x ln x y ln y ( x y ) ln 。 ， 2 2
1．C；2．D；3．A；4．B；5．B． 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1． a 1, b 3 ； 2．3； 3． ( x 10)e 4． dy x x
x
cos x ；

2 1 1 ln x 1 1 1 2 f sin cos dx ； 5． 2 2 , e ． x x x x
2 tan x x 2 sin
1
三、计算题（每小题 7 分，共 35 分）
1．解
1 1 1 2 x x 2 sin 2 x sin x lim x lim x 1． lim x 0 (1 cos x) ln(1 sin x) x 0 (1 cos x) x x 0 1 cos x
所确定的函数的二阶导数
d2y ． dx 2
5．设函数 y y ( x ) 由方程 xy 2 ln x y 4 所确定，求曲线 y y ( x ) 在点 (1, 1) 处的切线方程，并求函数
y y ( x ) 在点 (1, 1) 二阶导数．
四、讨论题（本题 9 分）
1 (1 x ) x e, x 0, 设 f ( x) ，试讨论该函数在 x 0 处的连续性与可导性。 x0 ax b,
dy 3 sin t cos t tan t ， dx 3 cos 2 t sin t d2y sec 2 t 1 sec 4 t csc t 2 2 dx 3 cos t sin t 3
y xy 2 4 y 3 y x
2
5．解 原方程两边同时关于 x 求导得
所以，当 b 0 时， f (0 ) f (0 ) f ( 0) ，即 f ( x ) 在 x 0 处的连续。 在 f ( x ) 在 x 0 处连续的前提条件下，即当 b 0 时，又因
（3 分）
x ln(1 x) f ( x ) f (0) (1 x) e e 1 x f (0) lim lim lim (1 x ) ， 2 x 0 x 0 x 0 x x 2 x
五、应用题（本题 10 分） 一弓箭手在原点射出的箭的轨迹方程为 y kx
k3 2 2 x ，其中 x 是箭离原点的水平距离， y 是相应 300
的高度（ x 轴为地平线，距离单位为 m ） ，正数 k 是轨迹曲线在原点处的切线的斜率，问 k 为何值时， 箭的水平射程最大，最大值是多少？ 六、证明题（每小题 8 分，共 16 分） 1. 求证：当 x y 0 时， x ln x y ln y ( x y ) ln
x y 。 2
因为 f ( x) ln x 1 ， f ( x)
1 0 ，即 f ( x ) x ln x 在其定义域 (0, ) 内可导且导数单调增加， x
（2 分）
所以由拉格朗日中值定理可得，当 x y 0 时，
x y x y x y f ( x) f ( y ) 2 f f ( x) f f f ( y ) 2 2 2
1
sin x x 2．求极限 lim ． x 0 x
3．求函数 y f ( x )
e 1 e 1
1 x
1 x
sin( x 1) sin
1 的间断点，并指出间断点的类型． x 1
1
4．求由参数方程
x cos 3 t ,
3 y sin t
x
f ( x) 3 ，则 f (a ) xa
． ．
4． 设函数 f ( x ) 可微，则函数 y
x2
1 x f sin 的微分 dy x
．
5．曲线 y e
的拐点坐标为
．
三、计算题（每小题 7 分，共 35 分）
1 x ． 1．求极限 lim x 0 (1 cos x) ln(1 sin x) 2 tan x x 2 sin
1 sin x x x cos x sin x x sin x 2x
（7 分）
lim lim ln 2 sin x x 2． 解 lim e x0 lim e x x e x 0 sin x x x 0 x0 x 3．解 因为函数仅在 x 0 和 x 1 处无定义，且因为
将 x 1 ， y 1 ， y 1 代入上两式得 y x 1 4 ． 四、讨论题（本题 9 分）
1 解 因为 f (0 ) lim f ( x) lim (1 x ) x e 0 ， f (0 ) lim f ( x ) lim ( ax b) b ， f (0) b ， x 0 x 0 x 0 x0
x y ． 2
2. 设 f x 在闭区间 0,1 上连续，开区间 0,1 内可导，且 f (0) 0 . 试证：在 0,1 内至少存在一点 ， 使
2 f ( ) f ( ) ． 1
2
福建农林大学《高等数学（D） 》期中考试卷 参考解答与评分标准
一、 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）