计算电磁学习题集

计算电磁学习题集1.麦克斯韦方程是根据那些电磁现象的实验定律创建的？概述这些实验的过程和意义（画出实验的原理示意图）。

2.试由矢量场的旋度和散度积分式推导出矢量场的旋度和散度微分式。

3.麦克斯韦方程组的四个微分方程之间虽有具有一定的关系（根据亥姆霍兹定理，矢量场同时要由其旋度和散度才能唯一确定）。

可在四个微分方程和电流连续性方程中，只有三个方程是独立的。

试证明由麦克斯韦方程组的两个散度方程和电流连续性方程可以推导出两个旋度方程。

4.试推证导电媒质中欧姆定律的微分形式EJσ=。

5.虚拟了磁荷和磁流的观念后，对应于导电媒质中欧姆定律的微分形式E J σ=，有导磁媒质中欧姆定律的微分形式H J mm σ=，其中m σ称为磁导率。

试推导m σ的量纲表达。

6.对于时谐电磁场的电场表达式：)t )cos((2)t )cos((2t),(y x ϕωϕω+++=r E e r E e r E y y x x )t )cos((2z ϕω++r E e z z 试画示意图阐述这样表达的合理性。

7.利用傅里叶变换，由麦克斯韦方程的瞬时形式（时域）推导其复数形式（频域）。

8.试从微观上分别阐述媒质在电磁场中极化和磁化的过程（画示意图），解释极化强度和磁化强度的物理涵义。

9.对于高频系统和微波系统来说，电流的时谐表示一般为：)sin(r k J J 0⋅−=t ω。

试结合电流连续性方程t -∂∂=⋅∇t),(t),(r r ρJ ，论证：高频系统和微波系统中到处都进行着充、放电的过程。

10.在非均匀介质中，ε和µ是坐标位置的函数。

试对于无源区导出：（1）只含E 和H 的麦克斯韦方程；（2）E 和H 的波动方程。

11.推导在导电媒质中的波动方程和矢量位方程。

12.利用麦克斯韦积分方程推导两种媒质边界上的边界条件：s ρ=−⋅)(21n D D e ms ρ=−⋅)(21n B B e msJ E E e 21n −=−×)(s21n JH H e =−×)(13.在各向异性媒质中，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=→→0,0,2j,1,0j,01,0εε，当：（1）x E e E 0=；（2）y E e E 0=；（3）z E e E 0=；（4）)y x E e (e E0+=；（5）)2y z E e e (E 0+=；（6）)z y x E e e (e E 0−+=；求D 。

14.线极化的均匀平面波投射到以下结构的媒质中：H D γj ε+=E HB µγ+−=E j 1式中ε，µ，γ均为常数，试分析其传播特性（分别在时域和频域中）。

15.对于无源区，齐次的矢量波动方程在时域为（齐次的矢量达朗伯方程）：022=∂∂−∇t H H εµ2；022=∂∂−∇tE E εµ2频域为（齐次的矢量亥姆霍兹方程）：02=+∇H H k 2；02=+∇E E k 2，（λπ2=k ）试分别写出齐次的矢量达朗伯方程和齐次的矢量亥姆霍兹方程的一般解（通解）形式。

并就电磁波在无限空间和有限空间传播与存在的连续谱和分立谱问题进行讨论。

16.当矢量位为（1）z z A e A =，0=mA ；（2）0=A ，mz m z A e A =；时，分别推导由矢量位计算电磁场各直角坐标和圆柱坐标分量的关系式，并且讨论其电磁场特点。

17.如何从系统的角度认识电磁场中源和场的关系？18.概括一下电磁场中的算符都有那些特点。

19.简述通过辅助位函数求解下面关于电场和磁场的非齐次矢量亥姆霍兹方程的过程：m mj k ρω∇+×∇−=+∇μ1J J H H 22；ρεω∇+×∇+=+∇1mj k J J E E 22，（λπ2=k ）。

对于时域中的非齐次矢量达朗伯方程：m mt t ρεεµ∇+×∇−∂∂=∂∂−∇μ1J J 22H H 2；ρεµεµ∇+×∇+∂∂=∂∂−∇1mt t J J 22E E 2，（λπ2=k ）。

如何通过辅助位函数求解呢？试推导并且论述其过程。

20.为什么理想导电体和理想导磁体内部为零场？分别就静电场、静磁场和交变电磁场三种情况进行阐述。

21.电磁场中的标量格林函数满足亥姆霍兹方程：),(),(),(''2'2r r r r g k r r g δ−=+∇对于无界空间，标量格林函数是关于源点'r球对称的，标量格林函数对应的亥姆霍兹方程可以变化为：)()()(122R R g k dRR dg R dR d R δ−=+其中'r r R −=。

其通解为：R e C R g jkR −=1)(，试将通解代入上式求出π411=C 。

注意到一般边值问题的特解是将通解代入到边界条件中得到的，此问题的另外一个边界在无限远。

能不能利用索莫菲辐射条件求出1C ？22.传输主模的矩形波导终端开路，并接在开口的无限大理想导电面上，求其辐射场。

23.传输主模的圆形波导终端开路，并接在开口的无限大理想导电面上，求其辐射场。

24.0>z 的空间区域无源，0=z 的界面上为：（1）电壁，紧贴电壁的磁流元为0E m sy e J−=；（2）磁壁，紧贴磁壁的电流元为00/Z E s x e J −=；0Z 为波阻抗。

证明对于以上两种情况，0>z 的空间区域的场相同。

25.向z 方向传播的均匀平面波，jkzeE E −−=0x e 在=z 面上的等效源为E m s y e J −=；00/Z E s x e J −=，证明此等效源在0<z 区域产生的场为零。

26.均匀平面波：)sin cos (0ααy x jk i eE E +=z e 斜投射到位于yz 平面的a a ×的导电版上，求后向散射波。

27.试证明恒等式：（1）)(412R Rπδ=∇；（2）RR 11'−∇=∇。

28.在无限大理想导电面上方h 处，有一强度为Idl 的水平电流元。

试根据感应原理推导出无限大理想导电表面感应的磁流源分布。

并且根据电磁场的叠加原理求出上半空间的辐射电磁场表达式；与镜像法得到的结果进行对比。

29.对于TEM 波（横电磁波），标量电位函数满足拉普拉斯方程：02=∇φT，即在横街面上具有静电场的行为特征，试证明之。

30.概括一下，时域有限差分法有哪些特点？31.写出下列六个标量马克斯韦方程的Ｙ氏ＦＤＴＤ方程。

)(1x yz x E zH y H t E σε−∂∂−∂∂=∂∂)(1y z x yE x H z H t E σε−∂∂−∂∂=∂∂)(1x xy z E yH x H t E σε−∂∂−∂∂=∂∂)(1y E z E t H zy x ∂∂−∂∂=∂∂µ(1zE x E t H xz y∂∂−∂∂=∂∂µ(1xE y E t H yx z ∂∂−∂∂=∂∂µ32.试阐述，在对电磁场的计算机数值计算与仿真中，解的准确度和哪些因素有关？33.在时域有限差分法稳定性的研究中，定义误差放大系数nn g εε1+=，其中nε和1+n ε分别为时步第n 步和第1+n 步的计算误差。

差分方程的稳定性要求1≤g 。

可在许多文献里，在时域有限差分法稳定性的推论中，往往应用的是11≤+n n AA ，而不是11≤+n n εε，其中n A 和1+n A 分别为时步第n 步和第1+n 步的计算值。

对此你有何见解？试结合误差分析理论和有关时域有限差分法稳定性的研究文献（主要是Taflove 等人的研究工作）进行讨论。

34.什么是时域有限差分法的数值色散？如何消除或减小数值色散？35.试论述根据单向波方程推导出一维吸收边界条件时为什么用了前向差商近似而不是用精确度更高的中心差商近似。

36.如果散射体不在自由空间中，而是在折射率为m 的煤质中，试论证根据单向波方程推导出一维（向左传播）吸收边界条件时为：)1()0(nmn ϕϕ=+37.什么是根据单向波方程推导出的近似吸收边界条件？38.什么是完美匹配层吸收边界条件（PML ）？39.什么是超吸收边界条件？什么是色散吸收边界条件？40.什么是亚网格技术？41.在时域有限差分法的电磁场数值计算中，将场区做如下图划分有什么好处？42.试用试探函数：205cos203cos 20cos )(321~xa x a x a x πππφ++=求解微分方程：1)(1.0)(''=+−x x ϕϕ，100≤≤x 边界条件为)0(0)0('ϕϕ==。

分别应用（1）配置法；（2）子域法；（3）Galerkin 法；（4）最小二乘法确定展开系数。

43.设边值问题0''=++x ϕϕ，10<<x 边界条件为)1(0)0(ϕϕ==。

分别应用（1）配置法，选择2/1,4/1=x 为配置点；（2）子域法；（3）Galerkin 法；（4）最小二乘法。

确定近似解函数))(1()(21~x a a x x x +−=φ的系数。

44.设边值问题01)1(2''=+++y x y ，11<<−x )1(0)1(y y ==−分别应用（1）各种加权余量法；（2）Rayleigh-Ritz 法确定近似解函数：)1()1(22221~x x a x a y −+−=的展开系数。

45.设本征值问题0''=+y y λ，10<<x )1(0)0(y y ==试在配置点4/3,2/1,4/1=x 上确定头三个本征值。

46.设本征值问题0)()(''=+−x x λφφ，100<<x )10(0)0(φφ==试用试探函数：)10()(~−=x x x φ确定问题的基本本征值。

47.试推导:（1）泛函取决于)(x y 和)(x z 两个函数的情况，变分问题：的欧勒方程是：（2）泛函取决于)(x y 及其高阶导数的情况，例如变分问题：的欧勒方程是：（3）泛函取决于多元函数的),(y x u 情况，变分问题：的欧勒方程是：0),,,,(=∫∫dxdy u u u y x F y x δ0=∂∂∂∂−∂∂∂∂−∂∂y x u F y u F x u F 0),,,,(''=∫dx z y z y x F ba δ0'=∂∂−∂∂yF dx d y F 0'=∂∂−∂∂zF dx d z F 0),,,,(''''''=∫dx y y y y x F ba δ0'''33''22'=∂∂−∂∂+∂∂−∂∂yF dx d y F dx d y F dx d y F。