3 层合板的刚度与强度

h 2

(k )
(3-3)
将式(2-9)代入式(3-3)，并考虑式(3-2)，可求出面内力和 面内应变的关系。
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3.1.2 面内力与面内应变的关系
求得：
Nx Ny N xy A11 A 21 A 61 A12 A 22 A 62
h 2

(k ) x
dz
13
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3.1.2 面内力与面内应变的关系
同理，可求出Ny和Nxy，即：
Nx N
y
N xy
dz h 2 x h 2 (k ) y dz h 2 h 2 (k ) xy dz h 2
16 26
Ex
0
A11 m A 21 A 22
m
0

0
Ey
0
A 22 m A12
0

G xy
0
x
0


0 y

A11
( A12 )
2
A 66

(3-9a)
式中 此时
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(1
)
1
A11 A 22
(3-10a)
§3.1 对称层合板的面内刚度
3.1.1 层合板的表示方法
层合板是由两层或者两层以上按不同方向 配置的单层板层合形成的整体。
1 2
o
x
h/2
上表面
y z
o
k
(x,y) 中面
中面
下表面
h/2
n
z
中面是距离层合板上下表面相等的面。 按照各单层板相对于中面的排列位置，层合板可 分为对称层合板、非对称层合板和夹心层合板3大类。
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3.1.1 层合板的表示方法
h/2
上 n/2 上 (n/2)-1
o
上2 上1 下1 下2
( z ) ( z )
o 中面
Q ij ( z ) Q ij ( z )
(3-1)
h/2 z
下 (n/2)-1 下 n/2
对称层合板是指层合板中面两侧对应处的各单层 材料相同、铺层角相等的层合板。 目前，复合材料板一般都设计为对称层合板。
§3.1 对称层合板的面内刚度 §3.2 对称层合板的弯曲刚度 §3.3 一般层合板的刚度 §3.4 层合板的强度
3.1.1 层合板的表示方法 3.1.2 面内力与面内应变的关系 3.1.3 对称层合板的面内工程弹性常数 3.1.4 面内刚度系数的计算 3.1.5 几种典型对称层合板的面内刚度 3.1.6 对称层合板面内刚度的转换

0 y 0
0 x , xy
Ey 1 Ey
0 0
G xy
0
y , xy
0
G xy 1 G xy
0
0
xy , y
Ey
0
N x N y N xy

(3-12)
在已知层合板载荷条件时，由上式求面内应变较 为方便。在进行层合板设计时，使用工程弹性常数也 较为方便。
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3.1.1 层合板的表示方法
x
-h/2
0º3
-h/2
z
y
90º2 -45º 45º3 45º3 -45º 90º2 0º3
-45º 0º 45º 90º θ
h/2 z
h/2 z
立体图示
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平面图示
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o Nxy y Ny Nx x
z
(k )
) 定义任意一个单层k的应力为 此单层的厚度为dz 则k单层x方向的面内力为 N x( k ) x( k ) dz 将每一个单层的面内力叠加，得到厚度为h的层合板在 x方向的面内力为： (
(k ) x
,
y
,
(k )
xy
Nx
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h 2
0
x

(3-9)
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3.1.3 对称层合板的面内工程弹性常数
面内拉压弹性模量
同理，仅受y方向单向 拉伸(压缩)时，
N
y
Ey
0 0 y
1 a 22 a 12 a 22 a 62 a 22

xy , x xy , y x , xy y , xy 0
0 0 0 0
(3-11a)
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3.1.3 对称层合板的面内工程弹性常数
根据式(3-9)~(3-11)，将式(3-8)写成矩阵形式：
1 0 Ex 0 x 0 0 x y 0 0 E x xy 0 xy , x 0 Ex
面内泊松耦合系数

0 , N x N xy 0 ,


面内拉剪耦合系数 xy , y
0

(3-10)
同理，仅受xy方向剪 切应力时，
N xy 0 , N x N
y
面内剪切弹性模量 G xy
0
0

1 a 66 a 16 a 66 a 26 a 66


a 16 N x a 26 N y a 66 N xy

(3-7)
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(3-8)
16
3.1.2 面内力与面内应变的关系
上一页中：
A ij a ij

为正则化面内刚度系数 为正则化面内柔度系数


N x , N y , N xy
为正则化面内力，实质上就是对称层合 板的平均应力，简称层合板应力，量纲 为应力量纲(Pa或N/m2)。
当对称层合板为单向层合板时，正则化面 内刚(柔)度系数变为单层的模(柔)量分量。
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17
Coffee Break
10
3.1.1 层合板的表示方法
本章的任务：
采用宏观力学研究方法分析各向异性、分层均匀、 连续的层合板在线弹性、小形变情况的刚度和强度。 这种理论叫做经典层合理论。
层合板的刚度用层合板刚度系数、柔度系数和工 程弹性常数3种形式给出。刚度系数为层合板内力-应变 关系的系数，柔度系数为层合板应变-内力关系的系数。
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11
3.1.2 面内力与面内应变的关系
层合板面内刚度的基 本假设：
1)
o Nxy Ny Nx x
层合板只承受面内力 作用，只引起面内形 y 变，不引起弯曲形变；
z
2) 3)
层合板为薄板，即板的厚度远远小于长度和宽度； 层合板各单层粘接牢固，具有相同的变形。层合板 厚度方向上坐标为z的任一点的应变都等于中面的 应变。
A12 A 22 A 62
A16 A 26 A 66
1
aij称为层合板的面内柔度系数
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3.1.2 面内力与面内应变的关系
为了使层合板的面内刚度能直接和单层的模量相比较， 将层合板的面内刚度系数作正则化处理，将式(3-4)两端 同时除以h：
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3.1.3 对称层合板的面内工程弹性常数
N 当对称板仅受x方向单向拉伸(压缩)时， 式(3-8)变为：
x
0, N
y
N xy 0 ,

x
0(x)
a 11 N x , y


0(x)
a 21 N x ,

A ij A ij h Nx Nx h

a ij a ij h
y

N
y
N
h
N xy N xy h

(3-6)
式(3-4)和(3-5)可分别变形为：
Nx Ny N xy A11 A 21 A 61
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3.1.1 层合板的表示方法
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3.1.1 层合板的表示方法
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A12 A 22 A 62


0 A16 x 0 A 26 y 0 A 66 xy

0 x 0 y 0 xy
a 11 a 21 a 61
a 12 a 22 a 62
0
0 y 0 xy
x
a 21 a 61
11
12
a 22 a 62
a 26 N y a 66 N xy
16
x

(3-5)
a 11 a 21 a 61
a 12 a 22 a 62
a 16 A11 a 26 A 21 a 66 A 61


0(x) xy
a 61 N x


定义： 面内拉压弹性模量 面内泊松耦合系数 面内拉剪耦合系数
Ex
0
Nx
来自百度文库
x
0(x)

1 a 11 a 21 a 11 a 61 a 11


0 x

y x
0(x) 0(x) 0(x) xy 0(x)
xy , x
折线坐标图
6
3.1.1 层合板的表示方法
层合板的简明标记方法：
1) 2) 3)
偶数层对称层合板：对称铺层只写出一半， 括号外加写下标“s”表示对称。 奇数层对称层合板：在对称中面上的铺层用 顶标“－”表示。 非对称层合板，必须在标记中标明全部铺层 组的铺设顺序。例如：[05/902/45/90/03]。这 种层合板标记，仅表明由底面向上至顶面的 铺设顺序，而不能相反。
瞄准沉寂的世界
噪声问题与人们的日常生活紧密相关。减小噪声的途 径有：①尽量吸收空气振动的能量；②通过反射振动来隔 音；③消除机械振动这一噪声源。通过以上几种方法，采 用纤维复合材料、多孔材料，或将两者进行组合的材料进 行适当的设计，可以达到减噪的目的。 吸音的基本原理是利用材料的黏性使振动衰减，或利 用材料的内部摩擦来吸收能量。为了针对不同频率的声波 进行吸音设计，且满足强度条件和加工制作的便利性，同 时具有耐热和防火功能，则考虑复合结构是最有效的办法。 如表面采用有孔材料、多孔材料、带涂料的薄膜等，背部 采用多空材料等。
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3.1.4 面内刚度系数的计算
将式(2-16)代入(3-4a)，并考虑式(3-6)，得正则化面内刚 度系数的计算式：
A11 U 1( Q ) (Q ) A 22 U 1 A U ( Q ) 12 4 (Q ) A 66 U 5 A 0 16 A 26 0 V2 A 1 V2 A V 2 A (Q ) U2 V2 A V 4 A (Q ) U 3 V4 A

面内剪拉耦合系数 x , xy 面内剪拉耦合系数 y , xy
0
0,

(3-11)
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3.1.3 对称层合板的面内工程弹性常数
当层合板具有正交各向异性的性能，且参考轴也正好 与正交各向异性的主方向重合时，A A 0， 则(3-9)~(3-11)可表示为如下形式：
x ( z ) x , y ( z ) y , xy ( z ) xy
0 0 0
(3-2)
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3.1.2 面内力与面内应变的关系
图中的Nx, Ny, Nxy 为面内 力，即层合板内单位宽度 上的内力。单位为帕米 (Pa · m)或牛顿/米(N/m)。
0 A16 x 0 A 26 y 0 A 66 xy
(3-4)
式中 A
ij
h 2
h 2
Q ij dz ( i , j 1, 2 , 6 )
(k )
且有Aij=Aji
(3-4a)
Aij称为层合板的面内刚度系数 将式(3-4)作逆变换，得到面内应变与面内力的关系： a a a N 式中