简单的逻辑联结词
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
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解析 (1)全称命题的否定为特称命题,
∴命题的否定是:∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n0. 1 (2)对于 p:当 x=-1 时,x+x =-2,∴p 为假命题.取 x0∈(0,1),
解析 (1)错误.命题p∨q中,p,q有一真则真.
(2)错误.p∧q是真命题,则p,q都是真命题. (3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(选修2-1P27A组T3改编)命题p:∃x0∈R,x0>1的否定是( A.綈p:∀x∈R,x≤1 C.綈p:∀x∈R,x<1 B.綈p:∃x∈R,x≤1 D.綈p:∃x∈R,x<1
p(x0)成立.
【训练 2】 命题 p:存在
π x∈0, ,使 2
sin x+cos x> 2;命题 q:“∃x0∈(0,
+∞),ln x0=x0-1”的否定是“∀x∈(0,+∞),ln x≠x-1”,则四个命题: (綈 p)∨(綈 q),p∧q,(綈 p)∧q,p∨(綈 q)中,正确命题的个数为( A.1
1 (2)当 x∈[0,3]时,f(x)min=f(0)=0,当 x∈[1,2]时,g(x)min=g(2)= -m,由 f(x)min 4 1 1 ≥g(x)min,得 0≥4-m,所以 m≥4.
答案 (1)C
1 (2)4,+∞
规律方法 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤:
知识讲解_简单的逻辑联结词_基础
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1简单的逻辑联结词【学习目标】1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义;2. 会用逻辑联结词“或”、“且”、“非”联结两个命题或改写某些数学命题,并判断命题的真假.【要点梳理】要点一、逻辑联结词“且”一般地,用逻辑联结词“且”把命题p 和q 联结起来得到一个新命题,记作:p q ∧,读作:“p 且q ”。
规定:当p ,q 两命题有一个命题是假命题时,p q ∧是假命题; 当p ,q 两命题都是真命题时,p q ∧是真命题。
要点诠释:p q ∧的真假判定的理解:(1)与物理中的电路类比我们可以从串联电路理解联结词“且”的含义。
若开关p ,q 的闭合与断开分别对应命题p ,q 的真与假,则整个电路的接通与断开分别对应命题p ∧q 的真与假。
(2)与集合中的交集类比交集{|}A B x x A x B =∈∈I 且中的“且”与逻辑联结词的“且”含义一样,理解时可参考交集的概念。
要点二、逻辑联结词“或”一般地,用逻辑联结词“或”把命题p 和q 联结起来得到一个新命题,记作:p q ∨,读作:“p 或q ”。
规定:当p ,q 两命题有一个命题是真命题时,p q ∨是真命题; 当p ,q 两命题都是假命题时,p q ∨是假命题。
要点诠释:p q ∨的真假判定的理解:(1)与物理中的电路类比我们可以从并联电路理解联结词“或”的含义。
若开关p ,q 的闭合与断开对应命题的真与假,则整个电路的接通与断开分别对应命题的p ∨q 的真与假。
(2)与集合中的并集类比并集{|}A B x x A x B =∈∈U 或中的“或”与逻辑联结词的“或”含义一样,理解时可参考并集的概念。
(3)“或”有三层含义,以“p 或q ”为例: ①p 成立且q 不成立; ②p 不成立但q 成立; ③p 成立且q 也成立。
要点三、逻辑联结词“非”一般地,对一个命题p 全盘否定得到一个新命题,记作:p ⌝,读作:“非p 或p 的否定”。
考点03 逻辑联结词及数学归纳法(解析版)
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考点48 逻辑联结词及数学归纳法一.简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词. (2)命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断二.量词2.全称量词和存在量词(1)全称量词:“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词,用符号“∀”表示. (2)存在量词:“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词,用符号“∃”表示.3.全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定三.数学归纳法1.由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法,通常叫做归纳法. 2.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时,其步骤如下: (1)归纳奠基:证明取第一个自然数n 0时命题成立;(2)归纳递推:假设n =k (k ∈N *,k ≥n 0)时命题成立,证明当n =k +1时,命题成立; (3)由(1)(2)得出结论.知识理解考向一 命题的否定【例1】(2021·四川成都市·高三二模(理))命题“0x ∀>,210x x ++>”的否定为( )A .00x ∃≤,20010x x ++≤ B .0x ∀≤,210x x ++≤ C .00x ∃>,20010x x ++≤D .0x ∀>,210x x ++≤【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题“0x ∀>,210x x ++>”的否定是:00x ∃>,20010x x ++≤.故选:C .【举一反三】1.(2021·全国高三月考(理))命题“0x R ∃∈,002ln 0x x +≤”的否定是( ) A .x R ∀∈,2ln 0x x+≥ B .x R ∀∈,2ln 0x x+> C .0x R ∃∈,002ln 0x x +≥ D .0002,0x R lnx x ∃∈+> 【答案】B【解析】命题“0x R ∃∈,002ln 0x x +≤”为特称命题,该命题的否定为“x R ∀∈,2ln 0x x+>”. 故选:B.2.(2021·湖南岳阳市)命题“()1,x ∀∈+∞,21x e x ≥+”的否定是( ) A .()1,x ∃∈+∞,21x e x ≥+ B .()1,x ∀∈+∞,21x e x <+ C .()1,x ∃∈+∞,21x e x <+ D .()1,x ∀∈+∞,21x e x ≥+【答案】C【解析】命题“()1,x ∀∈+∞,21x e x ≥+”为全称命题,该命题的否定为“()1,x ∃∈+∞,21x e x <+”. 故选:C.考向分析3.(2021·泰州市第二中学)巳知命题p :0x ∃>,10x e x --≤,则命题p 的否定为( ) A .0x ∀≤,10x e x --> B .0x ∀>,10x e x --> C .0x ∃>,10x e x --≥ D .0x ∃≤,10x e x -->【答案】B【解析】命题p :0x ∃>,10x e x --≤,则命题p 的否定为0x ∀>,10x e x -->. 故选:B考向二 逻辑连接词求参数【例2】(2021·全国高三专题练习)若命题“200[1,2],2x x a ∃∈--+”是假命题,则实数a 的范围是( ) A .2a > B .2a C .2a >- D .2a -【答案】A【解析】若命题“200[1,2],2x x a ∃∈--+”是假命题,则命题“2[1,2],2x x a ∀∈--+<”是真命题, 当0x =时,()2max22x -+=,所以2a >.故选:A. 【举一反三】1.(2021·天水市第一中学高三月考(理))已知命题():1,3p x ∃∈-,220x a --≤.若p 为假命题,则a 的取值范围为( ) A .(),2-∞- B .(),1-∞-C .(),7-∞D .(),0-∞【答案】A 【解析】p 为假命题,∴():1,3p x ⌝∀∈-,220x a -->为真命题,故22a x <-恒成立,22y x =-在()1,3x ∈-的最小值为2-,∴2a <-. 故选:A.2.(2020·北京人大附中高三月考)若命题“x R ∃∈,使得2210ax x ++<成立”为假命题,则实数a 的取值范围是( ) A .[1,+∞) B .[0,+∞)C .(-∞,1)D .(-∞,0]【答案】A 【解析】命题“x R ∃∈,使得2210ax x ++<成立”为假命题, 则它的否定命题: “x R ∀∈,2210ax x ++≥”为真命题所以0440a a >⎧⎨∆=-≤⎩ 解得1a ≥,所以实数a 的取值范围是[1,)+∞ 故选:A.3.(2020·江西高三期中(文))存在[1,1]x ∈-,使得230x mx m +-≥,则m 的最大值为( ) A .1 B .14C .12D .-1【答案】C【解析】由不等式230x mx m +-≥,可化为23x m x≤-,设()[]2,1,13x f x x x=∈--,则()()()2226(6)33x x x x f x x x ---'==--,当[1,0)x ∈-时,()0f x '<,()f x 单调递减; 当(0,1]x ∈时,()0f x '>,()f x 单调递增,又由()11(1),142f f -==,所以函数()f x 的最大值为()112f =, 要使得存在[1,1]x ∈-,使得230x mx m +-≥,则12m ≤,则m 的最大值为12. 故选:C.考向三 数学归纳法【例3-1】(2020·全国高三专题练习(理))用数学归纳法证明不等式“1+12+13+…+121n -<n (n ∴N *,n ≥2)”时,由n =k (k ≥2)时不等式成立,推证n =k +1时,左边应增加的项数是( ) A .2k -1 B .2k -1 C .2k D .2k +1【答案】C【解析】n k =时,左边=1111 (2321)k ++++-,而n =k +1时,左边=11111111 (232122121)k k k k +++++++++-+-,增加了1111 (22121)k k k +++++-,共(2k +1-1)-(2k -1)=2k 项, 故选:C.【例3-2】.(2020·全国高三专题练习)设等比数列{}n a 满足113,34n n a a a n +==-. (1)计算23,a a ,猜想{}n a 的通项公式并加以证明; (2)求数列{}2nn a 的前n 项和n S .【答案】(1)25a =,37a =,21n a n =+,证明见解析;(2)1(21)22n n S n +=-+. 【解析】(1)由题意,等比数列{}n a 满足113,34n n a a a n +==-, 可得21345a a =-= ,323427a a =-⨯=,,猜想{}n a 的通项公式为21n a n =+,证明如下:(数学归纳法)当1,2,3n =时,显然成立; ∴ 假设n k =时,即21k a k =+成立;其中*(N )k ∈, 由134k k a a k +=-3(21)4k k =+-2(1)1k =++ ∴故假设成立,综上(1)(2),数列{}n a 的通项公式21n a n =+*()n N ∈.(2)令2(21)2n nn n b a n ==+,则前项和1212...3252...(21)2n n n S b b b n =+++=⨯+⨯+++ ∴由∴两边同乘以2得:23123252...(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯++-++ ∴由∴-∴的322112(12)3222...2(21)26(21)212n n n n n S n n -++--=⨯+⨯++-+=+-+-, 化简得1(21)22n n S n +=-+. 【举一反三】1.(2020·全国高三专题练习(理))用数学归纳法证明等式123(21)(1)(21)n n n +++++=++时,从n k=到1n k =+等式左边需增添的项是( ) A .22k + B .[]2(1)1k ++ C .[(22)(23)]k k +++ D .[][](1)12(1)1k k ++++ 【答案】C【解析】当n k =时,左边123(21)k =+++++,共21k +个连续自然数相加,当1n k =+时,左边123(21)(22)(23)k k k =+++++++++,所以从n k =到1n k =+,等式左边需增添的项是[(22)(23)]k k +++. 故选:C.2.(2021·全国高三专题练习)设集合T n ={1,2,3,…,n }(其中n ≥3,n ∴N *),将T n 的所有3元子集(含有3个元素的子集)中的最小元素的和记为S n . (1)求S 3,S 4,S 5的值; (2)试求S n 的表达式.【答案】(1)S 3=1,S 4=5,S 5=15;(2)41n C + .【解析】(1)当n =3时,T 3={1,2,3},3元子集有:{1,2,3},∴S 3=1;当n =4时,T 4={1,2,3,4},3元子集有:{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},∴S 4=1×3+2=5;当n =5时,T 5={1,2,3,4,5},3元子集有:{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5},222543212315S C C C ∴=⨯+⨯+⨯=.(2)由S 3=1,S 4=5,S 5=15,S 6=35…归纳猜想出41n n S C +=(n ≥3).下面用数学归纳法证明猜想:∴当n =3时,S 3=1=44C ,结论成立;∴假设n =k (k ≥3,k ∴N *)时,结论成立,即S k =41k C +,则当n =k +1时,T k +1={1,2,3,4,…,k ,k +1},()()1111111232123...21k k k k k S S C C C k C k C +---⎡⎤=+++++-+-⎣⎦()()()(){}411111122112...21k k k C k C k C k k C k k C +--=+-+-++--+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()(){}4111111111211231...23...1k k k C k C C C C C C k C +--⎡⎤=++++-++++-⎣⎦ ()422311k k k k C kC kC C ++⎡⎤=+--⎣⎦ ()4341111k k k C C C ++++=+=∴当n =k +1时,结论成立. 综上:由∴∴可得()413n n S C n +=≥.1.(2021·涡阳县育萃高级中学)已知命题:p x R ∀∈,2104x x -+,则p ⌝( ) A .21,04x x x ∃∈-+R B .21,04x x x ∃∈-+>R C .21,04x x x ∀∈-+>R D .21,04x x x ∀∈-+<R 【答案】B【解析】命题p 为全称命题,根据全称命题的否定为特称命题,可得:p ⌝: 21,04x x x ∃∈-+>R 故选:B2.(2021·漠河市高级中学高三月考(文))下列说法正确的是( ) A .若p q ∨为真命题,则p q ∧为真命题B .命题“若cos cos x y ≠,则x y ≠”的否命题是“若cos cos x y =,则x y ≠”C .“0x <”是“20x x ->”的充要条件强化练习D .若p :x ∀∈R ,2320x x --<,则p ⌝:0x ∃∈R ,200320x x --.【答案】D【解析】对于A 选项,若p q ∨为真命题,可能p 真q 假,则p q ∧为假,故A 选项错误.对于B 选项,命题“若cos cos x y ≠,则x y ≠”的否命题是“若cos cos x y =,则x y =”,故B 选项错误. 对于C 选项,当2x =时,20x x ->,所以“0x <”不是“20x x ->”的充要条件,C 选项错误. 根据全称量词命题的否定的知识可知,D 选项正确. 故选:D3.(2021·全国高三专题练习)下列关于命题的说法中正确的是( )∴对于命题P :x R ∃∈,使得210x x ++<,则:P x R ⌝∀∈,均有210x x ++≥ ∴“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件∴命题“若2320x x -+=,则1x =”的逆否命题是“若1x ≠,则2320x x -+≠” ∴若p q ∧为假命题,则p 、q 均为假命题 A .∴∴∴ B .∴∴∴ C .∴∴∴∴ D .∴∴【答案】A【解析】∴对于命题:p x R ∃∈,使得210x x ++<,则:p x R ⌝∀∈均有210x x ++,故∴正确;∴由“1x =”可推得“2320x x -+=”,反之由“2320x x -+=”可能推出2x =,则“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件,故∴正确;∴命题“若2320x x -+=,则1x =”的逆否命题是“若1x ≠,则2320x x -+≠”,故∴正确; ∴若p q ∧为假命题,则p ,q 至少有一个为假命题,故∴错误. 则正确的命题的有∴∴∴. 故选:A4.(2021·河南高三其他模拟(文))命题:p “0,2sin 0x x x ∀≥-≥”的否定为( )A .0,2sin 0x x x ∀≥-<B .0,2sin 0x x x ∀<-<C .0000,2sin 0xx x ∃≥-< D .0000,2sin 0xx x ∃<-<【答案】C【解析】命题:p “0,2sin 0xx x ∀≥-≥”是全称命题,又全称命题的否定是特称命题,故“0x ∀≥,2sin 0x x -≥”的否定是“0000,2sin 0xx x ∃≥-<”.故选:C.5.(2021·山东菏泽市·高三一模)命题“2,0∈≥∀x R x ”的否定是( )A .2,0x R x ∃∈≥B .2,0x R x ∀∈<C .2,0x R x ∃∈<D .2,0x R x ∃∈≤【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题,所以命题:x R ∀∈,20x ≥的否定是:x R ∃∈,20x <.故选:C6.(2021·四川成都市·石室中学高三月考(理))设命题:0p x ∀≤x =-,则p ⌝为( ) A .0x ∀≤x ≠- B .00x ∃≤0x =- C .0x ∀>x =- D .00x ∃≤0x ≠-【答案】D【解析】命题p 为全称命题,该命题的否定为0:0p x ⌝∃≤0x ≠-. 故选:D.7.(2020·湖北武汉市·华中师大一附中高三期中)“0m >”是“x R ∃∈,2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意,命题“x R ∃∈,2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题” 可得命题“x R ∀∈,2(1)2(1)30m x m x -+-+>是真命题” 当10m -=时,即1m =时,不等式30>恒成立;当10m -≠时,即1m ≠时,则满足()()210214130m m m ->⎧⎪⎨⎡⎤---⨯<⎪⎣⎦⎩,解得14m <<,综上可得,实数14m ≤<,即命题“x R ∃∈,2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”时,实数m 的取值范围是[1,4),又由“0m >”是“14m ≤<”的必要不充分条件,所以“0m >”是“x R ∃∈,2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”的必要不充分条件, 故选:B.8.(2021·全国高三专题练习)若命题“∀[]1,4x ∈时,240x x m --≠”是假命题,则m 的取值范围( ) A .[4,3]-- B .()-∞,-4 C .[4,)-+∞ D .[4,0]-【答案】D【解析】若命题“[1x ∀∈,4]时,240x x m --≠”是假命题, 则命题“[1x ∃∈,4]时,240x x m --=”是真命题, 则24m x x =-,设22()4(2)4f x x x x =-=--, 当14x 时,4()0f x -,则40m -. 故选:D .9.(2020·江苏海门市·高三月考)命题“[]21220x x a ∀∈-≤,,”为真命题的一个充分不必要条件是( )A .2a ≤B .2a ≥C .4a ≤D .4a ≥【答案】D【解析】“[]21220x x a ∀∈-≤,,”为真命题,可得2a ≥,因为[)[)4,2,+∞⊂+∞ , 故选:D .10.(2021·全国高三专题练习)已知命题“02x ∃>,20040ax ax --<”是假命题,则a 的取值范围是( )A .[)2,+∞B .()2,+∞C .(],2-∞D .(),2-∞【答案】A【解析】因为命题“02x ∃>,20040ax ax --<”是假命题,所以240ax ax --≥对2x >恒成立, 所以()242a x x x≥>-恒成立.因为2x >, 所以22x x ->,则242x x<-, 故2a ≥. 故选:A11.(2020·全国高三专题练习)用数学归纳法证明“(1)(2)()213(21)nn n n n n ++⋅⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-”,从“k到1k +”左端需增乘的代数式为( ) A .21k + B .2(21)k +C .211k k ++ D .231k k ++ 【答案】B【解析】当n k =时,等式的左边(1)(2)()k k k k =++⋅⋅⋅⋅⋅+,当1n k =+时,等式的左边(11)(12)()(1)(2)k k k k k k k k =++++⋅⋅⋅⋅⋅+++++, 所以当从“k 到1k +”左端增乘的代数式为(1)(2)2(21)1k k k k k k ++++=++.故选:B.12.(多选)(2021·恩施市第一中学)下列命题正确的有( ) A .命题“x R ∀∈,20x ≥”的否定是“x R ∃∈,20x <”. B .函数()cos f x x =向右平移2π个单位得到函数解析式为()sin g x x =. C .函数()21f x x =-的零点为()1,0-,()1,0.D .1弧度角表示:在任意圆中,等于半径长的弦所对的圆心角. 【答案】AB【解析】对A ,根据全称命题的否定性质,A 为正确的; 对B ,()cos f x x =向右平移2π个单位得到函数()cos()sin 2g x x x π=-=;对C ,函数零点是数而不是点,故C 错误;对D ,1弧度角表示为在任意圆中,等于半径长的弧所对的圆心角,故D 错误; 故选:AB.13.(多选)(2021·全国高三专题练习)下列命题中正确的是( ) A .(0,)x ∃∈+∞,23x x >B .(0,1)x ∃∈,23log log x x <C .(0,)x ∀∈+∞,121()log 2xx >D .1(0,)3x ∀∈,131()log 2xx < 【答案】BD【解析】对于选项A :当0x >时,22133xx x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭,所以23x x <恒成立,故选项A 不正确;对于选项B :当(0,1)x ∈时,23log lg lg 3lg 31log lg 2lg lg 2x x x x =⨯=>,且3log 0x <,所以23log log x x <,故选项B 正确;对于选项C :当12x =时,1211()()222x ==,11221log log 12x ==,则121log ()2x x >,故选项C 不正确; 对于选项D :当13x =时,131log 13=,由对数函数和指数函数的性质可知,当1(0,)3x ∈时,131()1log 2x x <<,故选项D 正确; 故选:BD14.(多选)(2021·全国高三专题练习)若01,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦,使得200210x x λ-+<成立是假命题,则实数λ可能取值是( ) A .32B.C .3 D .92【答案】AB【解析】由条件可知1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,2210x x λ-+≥是真命题, 即22112x x x xλ+≤=+,即min 112,,22x x x λ⎛⎫⎡⎤≤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,设()112,22f x x x x ⎡⎤=+≥=∈⎢⎥⎣⎦等号成立的条件是112,222x x x ⎡⎤=⇒=∈⎢⎥⎣⎦,所以()f x的最小值是即λ≤AB. 故选:AB15.(2021·江西高三其他模拟(文))已知命题“存在x ∈R ,使220ax x -+≤”是假命题,则实数a 的取值范围是___________. 【答案】18a >【解析】因为命题“存在x ∈R ,使220ax x -+≤”是假命题, 所以命题“R x ∀∈,使得220ax x -+>”是真命题,当0a =时,得2x <,故命题“R x ∀∈,使得220ax x -+>”是假命题,不合题意;当0a ≠时,得0180a a >⎧⎨∆=-<⎩,解得18a >.故答案为:18a >16.(2021·全国高三专题练习)若“存在x ∴[﹣1,1],3210x x a ⋅++>成立”为真命题,则a 的取值范围是___.【答案】9(,)2-+∞【解析】存在x ∴[﹣1,1],3210xxa ⋅++>成立,即213x xa +-<在[1,1]x ∈-上有解, 设2121()333x xx xf x +⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,[1,1]x ∈-, 易得y =f (x )在[﹣1,1]为减函数, 所以()[(1),(1)]f x f f ∈-,即213()3332f x +≤≤+,即91()2f x ≤≤, 即92a -<,所以92a >-, 故答案为:9(,)2-+∞.17.(2020·江西高三其他模拟(文))若命题:p x R ∃∈,210x mx -+<为假命题,则m 的取值范围是______. 【答案】[]22-,【解析】命题:p x R ∃∈,210x mx -+<为假命题,p ∴⌝:x R ∀∈,210x mx -+≥为真命题,则240m ∆=-≤,解得22m -≤≤,即m 的取值范围是[]22-,. 故答案为:[]22-,. 18.(2020·北京密云区·高三期中)若“01x ∃>,使得11x a x +<-.”为假命题,则实数a 的最大值为___________. 【答案】3【解析】由“∴x 0>1,使得11x a x +<-.”为假命题,可知,“11,1x x a x ∀>+≥-”为真命题, 11a x x ∴≤+-恒成立,由11111311x x x x +=-++≥=--,当且仅当2x =时取等号, 即a 的最大值为3. 故答案为:3.19.(2021·湖南永州市·高三二模)若对[]1,2x ∀∈,都有20ax x -≤,则实数a 的取值范围是___________. 【答案】1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】解:因为[]1,2x ∀∈,都有20ax x -≤,所以[]1,2x ∀∈,都有1a x≤,令()1g x x =,[]1,2x ∈,因为()1g x x=,在[]1,2x ∈上单调递减,所以()()min 122g x g ==,所以12a ≤,即实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦;故答案为:1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦20.(2020·全国高三月考(文))已知命题():0,p x ∀∈+∞,2230x mx -+>,命题:q m a <;若p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围为______.【答案】()+∞【解析】设命题():0,p x ∀∈+∞,2230x mx -+>成立对应的m 的范围为集合A ,{}|B m m a =<若()0,x ∀∈+∞,223x mx +>,则32x m x +>,所以min 32m x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭而32x x +≥32x x =,即x =时等号成立,所以min32x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭m <{|A m m =<,因为p 是q 的充分不必要条件,所以A B,所以a > 即实数a的取值范围为()+∞.故选答案为:()+∞21.(2020·凌海市第二高级中学高三月考)命题“2,1x R x t ∀∈>+”为真命题,则实数t 的取值范围是__________. 【答案】(),1-∞- 【解析】命题“2,1x R x t ∀∈>+”为真命题,且20x ≥,10t ∴+<,则1t <-,故实数t 的取值范围是(),1-∞-.故答案为:(),1-∞-.22.(2020·上海徐汇区·高三一模)用数学归纳法证明()2511222n n N -*++++∈能被31整除时,从k 到1k +添加的项数共有__________________项(填多少项即可). 【答案】5【解析】当n k =时,原式为:251122...2k -++++,当1n k =+时,原式为251551525354122...222222k k k k k k -+++++++++++++, 比较后可知多了55152535422222k k k k k ++++++++,共5项. 故答案为:523.(2020·浙江高三其他模拟)用数学归纳法证明:111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++,第一步应验证的等式是__________;从“n k =”到“1n k =+”左边需增加的等式是_________.【答案】11122-=()()1121121k k -+-+ 【解析】当1n =时,应当验证的第一个式子是11122-=,从“n k =”到“1n k =+”左边需增加的式子是()()1121121k k -+-+24.(2021·全国高三专题练习)设数列{}n a 满足11a =,12(23)n n a a n +=--. (1)计算2a ,3a .猜想{}n a 的通项公式并利用数学归纳法加以证明; (2)记2n nn b a =⋅,求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】(1)23a =,35a =,21n a n =-;证明见解析;(2)1(23)26n n S n +=-⨯+.【解析】(1)由题意可得2121213a a =+=+=,3221615a a =-=-=, 由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以1为首项,2为公差的等差数列, 即21n a n =-, 证明如下:当1n =时,12111a =⨯-=成立; 假设n k =时,21k a k =-成立.那么1n k =+时,12(23)2(21)(23)212(1)1k k a a k k k k k +=--=---=+=+-也成立. 则对任意的*n ∈N ,都有21n a n =-成立;(2)因为(21)2n n b n =-.∴23123252(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯,∴ 23412123252(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯++-⨯,∴∴-∴得:2341222222222(21)2n n n S n +-=+⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()211122122(21)26(23)212n n n n n -++⨯-=+--⨯=---⨯-.∴1(23)26n n S n +=-⨯+.25.(2020·全国高三专题练习)已知数列{}n a 满足:11a =,点()()*1,n n a a n +∈N 在直线21y x =+上.(1)求2a ,3a ,4a 的值,并猜想数列{}n a 的通项公式; (2)用数学归纳法证明(1)中你的猜想.【答案】(1)2343,7,15a a a ===,21n n a =-;(2)证明见解析.【解析】(1)因为点()()*1,n n a a n N +∈在直线21y x =+上所以121n n a a +=+, 因为11a =,故22113a =⨯+=,32317a =⨯+=, 427115a =⨯+=,由上述结果,猜想:21nn a =-.(2)1︒,当1n =时,1211a =-=成立,2︒,假设当()1,n k k k N =≥∈时,21kk a =-成立,那么,当1n k =+时,()1121221121kk k k a a ++=+=-+=-成立,由1︒,2︒可得21nn a =-.26.(2020·黑龙江哈尔滨市·高三月考(理))已知数列{}n a 满足1a m =,2n a ≠,11210n n n a a a ++-⋅-=. (1)求2a ,3a ,4a ;(2)猜想{}n a 的通项公式,并用数学归纳法加以证明. 【答案】(1)212a m =-,3232m a m -=-,43243ma m-=-;(2)()()()121n n n m a n n m ---=--;证明见解析.【解析】1)因为11210n n n a a a ++-⋅-=,2n a ≠,所以112n na a +=-,又因为1a m = 211122a a m ==--,3212232m a a m -==--,43132243ma a m-==-- (2)()()()121n n n ma n n m---=--证明:1n =时,()1011ma m --==,结论成立 假设n k =时,结论成立,即()()()121k k k ma k k m---=--当1n k =+时:()()()()()()()()()11111122211221211k kk k m a k k m k k m k k m a k km k k m k k m+--====-------+--+------ 结论成立.综上,数列通项为()()()121n n n m a n n m---=-- 27(2020·云南师大附中高三月考(理))设数列{}n a 满足11a =,23a =,当()11112n n n n n a a a n a a -+-+=+++.(1)计算3a ,4a ,猜想{}n a 的通项公式,并加以证明. (2)求证:()()()2221244474111n a a a +++<+++. 【答案】(1)35a =,47a =,21n a n =-,证明见解析;(2)证明见解析. 【解析】(1)解:由11a =,23a =, 所以()123121225a a a a a +=++=+,()234231327a a a a a +=++=+. 猜想:21n a n =-,证明:当2n =时,由11a =,23a =,故成立;假设n k =(2k ≥)时成立,即21k a k =-, 所以()()1111221211k k k k k a a a k k k a a -+-+=++=+=+-+,即当1n k =+时成立,综上所述,21n a n =-. (2)证明:由(1)知,()22411n n a =+, 所以()()()22212444111n a a a ++++++22222211111111221311n n =+++<++++--- ()()1111132411n n =++++⨯⨯-+111111111111232435211n n n n ⎛⎫=+-+-+-++-+- ⎪--+⎝⎭11117112214n n ⎛⎫=++--< ⎪+⎝⎭,证毕.。
简单的逻辑联结词
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简单的逻辑联结词逻辑联结词:“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.(1)不含逻辑联结词的命题叫简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题.(2)复合命题的构成形式: ①p 或q ;②p 且q ;③非p (即命题p 的否定).(3)复合命题的真假判断(利用真值表):当p 、q 同时为假时,“p 或q ”为假,其它情况时为真,可简称为“一真必真”; 当p 、q 同时为真时,“p 且q ”为真,其它情况时为假,可简称为“一假必假”。
“非p ”与p 的真假相反.注意:对命题的否定只是否定命题的结论;否命题,既否定题设,又否定结论。
例如命题:“若0>a ,则02>a ”的否命题是_1.若命题p: 0是偶数,命题q: 2是3的约数.则下列命题中为真的是( )A.p 且qB.p 或qC.非pD.非p 且非q2.若命题“p 或q ”为真,“非p ”为真,则 ( )A .p 真q 真B .p 假q 真C .p 真q 假D .p 假q 假 3.若“p q ∨”为真命题,则下列命题一定为假命题的是(A )p (B )q ⌝ (C )p q ∧ (D )p q ⌝⌝∧4.已知命题p :所有有理数都是实数,命题:q 正数的对数都是负数,则下列命题中是真命题的是A .()q p ∨⌝ B.q p ∧ C .()()q p ⌝∨⌝ D .()()q p ⌝∧⌝5.在下列结论中,正确的是 ( ) ①""q p ∧为真是""q p ∨为真的充分不必要条件②""q p ∧为假是""q p ∨为真的充分不必要条件③""q p ∨为真是""p ⌝为假的必要不充分条件④""p ⌝为真是""q p ∧为假的必要不充分条件A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④6.已知命题:p 对任意x R ∈,总有20x >;:"1"q x >是"2"x >的充分不必要条件则下列命题为真命题的是A.p q ∧B.p q ⌝∧⌝C.p q ⌝∧D.p q ∧⌝7.若命题“()p q ⌝∨”为真命题,则A.p ,q 均为假命题B.p ,q 中至多有一个为真命题C.p ,q 均为真命题D.p ,q 中至少有一个为真命题8.若命题“p q ∧”为假,且“p ⌝”为假,则A .“q p ∨”为假B q 假C .q 真D .不能判断q 的真假9.设命题p :函数cos 2y x =的最小正周期是2π 命题q :函数sin y x =的图象关于y 轴对称,则下列判断正确的是( )A .q p ∨为真B . q p ∧为假C .P 为真D .q ⌝为假10.已知命题p ::若x +y ≠3,则x ≠1或y ≠2;命题q :若b 2=ac ,则a,b,c 成等比数列,下列选项中为真命题的是 ( )A . pB . qC . p ∧qD .(⌝p )∨q 11.设命题p :函数2y sin x =的最小正周期为2π;命题q :函数122x xy =-是奇函数。
3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
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考点三简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理1.简单的逻辑联结词(1) 逻辑联结词:“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联接词.(2) 用联结词“且”联结命题p和命题q,记作p∧q,读作“p且q”.(3) 用联结词“或”联结命题p和命题q,记作p∨q,读作“p或q”.(4) 一个命题p的否定记作¬p,读作“非p”或“p的否定”.2.复合命题及其真假判断(1) 复合命题:由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题.(2) 复合命题p∧q,p∨q,非p以及其真假判断:简记为:p∧q中p、q有假则假,同真则真;p∨q有真为真,同假则假;p与¬p必定是一真一假.3. 全称量词与存在量词(1) 全称量词与全称命题短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词,并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题.全称命题“对M中任意一个x,都有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.(2) 存在量词与存在性命题短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词,并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题,叫做存在性命题.存在性命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M,p(x),读作“存在一个x属于M,使p(x)成立”.4. 含有一个量词的命题的否定 "x ∈M ,p (x )典例剖析题型一 含有一个量词的命题的否定例1 命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( )A .任意一个有理数,它的平方是有理数B .任意一个无理数,它的平方不是有理数C .存在一个有理数,它的平方是有理数D .存在一个无理数,它的平方不是有理数变式训练 设x ∈Z ,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集.若命题p :任意x ∈A,2x ∈B ,则( )A .Øp :任意x ∈A,2x ∉B B .Øp :任意x ∉A,2x ∉BC .Øp :存在x ∉A,2x ∈BD .Øp :存在x ∈A,2x ∉B题型二 复合命题真假判断例2 下列命题中的假命题是( )A .存在x ∈R ,sin x =52B .存在x ∈R ,log 2x =1C .任意x ∈R ,(12)x >0 D .任意x ∈R ,x 2≥0 变式训练 已知命题p :对任意x ∈R ,总有2x >0;q :“x >1”是“x >2”的充分不必要条件.则下列命题为真命题的是( )A .p ∧qB .Øp ∧ØqC .Øp ∧qD .p ∧Øq题型三 由命题真假求参数范围例3 命题“存在x ∈R,2x 2-3ax +9<0”为假命题,则实数a 的取值范围为________. 变式训练 已知命题p :“任意x ∈[1,2],x 2-a ≥0”,命题q :“存在x ∈R ,使x 2+2ax +2-a =0”,若命题“p 且q ”是真命题,则实数a 的取值范围是________.当堂练习1. 命题“对任意x ∈R ,都有20x ≥”的否定为( )A .对任意x ∈R ,使得20x <B .不存在x ∈R ,使得20x <C .存在0x ∈R ,都有200x ≥D .存在0x ∈R ,都有200x <2.若p,q是两个简单命题,且“p或q”是假命题,则必有()A.p真q真B.p真q假C.p假q假D.p假q真3.已知命题p:所有有理数都是实数;命题q:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是()A.¬p或q B.p且q C.¬p且¬q D.¬p或¬q4.已知p:2+2=5,q:3>2,则下列判断正确的是()A.“p或q”为假,“¬q”为假B.“p或q”为真,“¬q”为假C.“p且q”为假,“¬p”为假D.“p且q”为真,“p或q”为假5.已知命题p:若x>y,则-x<-y,命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(¬q);④(¬p)∨q中,真命题是.课后作业一、选择题1.命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是()A.不存在x∈R,x3-x2+1≤0 B.存在x∈R,x3-x2+1≤0C.存在x∈R,x3-x2+1>0 D.对任意的x∈R,x3-x2+1>02.下列命题中正确的是()A.若p∨q为真命题,则p∧q为真命题B.“x=5”是“x2-4x-5=0”的充分不必要条件C.命题“若x<-1,则x2-2x-3>0”的否定为:“若x≥-1,则x2-2x-3≤0”D.已知命题p:∃x∈R,x2+x-1<0,则¬p:∃x∈R,x2+x-1≥03.已知命题p:对任意x∈R,总有2x>0;q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件.则下列命题为真命题的是()A.p∧q B.¬p∧¬q C.¬p∧q D.p∧¬q4.已知命题p:∃x0∈R,x20+2x0+2≤0,则¬p为()A.∃x0∈R,x20+2x0+2>0 B.∃x0∈R,x20+2x0+2<0C.∀x∈R,x2+2x+2≤0 D.∀x∈R,x2+2x+2>05.对于下述两个命题p:对角线互相垂直的四边形是菱形;q:对角线互相平分的四边形是菱形.则命题“p∨q”、“p∧q”、“¬p”中真命题的个数为()A.0 B.1 C.2 D.36.下列命题中的假命题是()A. ∀x∈R,2x-1>0B. ∀x∈N*,(x-1)2>0C. ∃x∈R,lg x<1D. ∃x∈R,tan x=2 7.若命题“∃x0∈R,使得x20+mx0+2m-3<0”为假命题,则实数m的取值范围是()A.[2,6] B.[-6,-2] C.(2,6) D.(-6,-2)8.已知命题p:∀x∈R,2x2-2x+1≤0,命题q:∃x∈R,使sin x+cos x=2,则下列判断:①p且q是真命题;②p或q是真命题;③q是假命题;④非p是真命题其中正确的是()A.①④B.②③C.③④D.②④二、填空题9.命题“$x∈R,|x|≤0”的否定是“________________”.10.若命题“∃x∈R使x2+2x+m≤0”是假命题,则m的取值范围是_____________.11.命题:“对任意k>0,方程x2+x-k=0有实根”的否定是________.12.命题“任意两个等边三角形都相似”的否定为___________________.13.若命题“∀x∈R,ax2-ax-2≤0”是真命题,则实数a的取值范围是________.。
简单的逻辑联结词(共19张PPT)
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符号“∧”与“∩”开口都是向下
例1 将下列命题用“且”联结成新命题,并判断它们的真
假。 (1) p :平行四边形的对角线互相平分,
q :平行四边形的对角线相等; 解: p ∧q : 平行四边形的对角线互相平分且相等。 假命题
假
命题p∨q:函数 y x3是奇函数或在定义域内是减函数。 真
5:命题p: 相似三角形的面积相等;
假
命题q: 相似三角形的周长相等;
假
命题p∨q:相似三角形的面积相等或周长相等。
假
6:命题p:三边对应成比例的两个三角形相似;
真
命题q:三角对应相等的两个三角形相似;
真
命题p∨q:三边对应成比例或三角对应相等的两个三 角形相似 真
解:(1)p:2=2 ;q:2<2 ∵ p是真命题,∴p∨q是真命题.
(2)p:集合A是A∩B的子集;q:集合A是A∪B的子集 ∵q是真命题, ∴p∨q是真命题.
(3)p:周长相等的两个三角形全等; q:面积相等的两个三角形全等.
∵命题p、q都是假命题, ∴ p∨q是假命题.
判断复合命题真假的步骤:
注:逻辑联结词“且”与日常用语中的“并且”、 “及”、“和”相当;在日常用语中常用“且”连接两 个语句。表明前后两者同时兼有,同时满足 .
例1 将下列命题用“且”联结成新命题 (1) p :平行四边形的对角线互相平分,
q :平行四边形的对角线相等; 解: p ∧q : 平行四边形的对角线互相平分且相等。
⑴把复合命题写成两个简单命题,并确定复合命 题的构成形式;
⑵判断简单命题的真假;
⑶利用真假表判断复合命题的真假。
1.3简单的逻辑联结词
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命题q:指数函数f ( x ) (5 2m) 是增函数.若“p q”为真,求 实数m的取值范围.
x
m 1
新知拓展
已知p:方程x mx 1 0有两个不等
2
负实根;q:方程4 x 4(m 2) 1 0
2
无实根,若p q为真,p q为假,求 m的取值范围.
q 真 假 真 假
p ∧q 真 真 假 真 假 真 假
一 假 则 假
当p、q都是真命题时,p∧q为真命题;
当p、q中有一个是假命题时,p∧q为假命题.
例题讲解
例1 将下列命题用“且”联结成新命题, 并判断它们的真假: (1)p:平行四边形的对角线互相平分, q:平行四边形的对角线相等; (2)p:菱形的对角线互相垂直, q:菱形的对角线互相平分; (3)p:35是15的倍数,q:35是7的倍数.
m 3或1 m 2
探究(一):逻辑联结词“非” 思考1:下列各组语句是命题吗?它们之间 有什么关系?并判明真假. 真 (1)35能被5整除, 35不能被5整除; 假 (2)函数y=lgx是偶函数, 假 函数y=lgx不是偶函数; 真 (3)|a|≥0, 真 | a| < 0 ; 假 (4)方程x2-4=0无实根, 假 2 方程x -4=0有实根. 真
既不充分也不必要
课堂练习 2 2. 方程 ax bx c 0(a 0) 有实数根是 ac 0 的_________ 必要不充分 条件.
x y 4 x 2 必要不充分 3. 是 的_________条件. xy 4 y 2
课堂练习
1 0, 4.已知 p : x 3x 2 0 , q : 2 x x6
例题讲解
高中数学新人教A版选修2-1课件:第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词
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【思考】视察三个命题:①2是4的约数;②2是6的约数;③2是8的
约数且是10的约数,它们之间有什么关用“且”联结得到的新命题,“且”与集合
运算中交集的定义A∩B={x|x∈A且x∈B}中“且”的意义相同,表示
“并且”,“同时”的意思.“且”作为逻辑联结词,与生活用语中“既……,
定有x>1成立,故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,故q为假命题,则
p∧q、 p为假命题, q为真命题,( p)∧( q)、( p)∧q为假命
题,p∧( q)为真命题,故选D.
答案D
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一含逻辑联结词的命题的构成
例1 指出下列命题的构成情势,以及构成它的简单命题:
(3)对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作 p,读作“非p”
或“p的否定”.
名师点拨1.对于逻辑联结词“且”“或”“非”,可以分别结合集合中
的“交集”“并集”“补集”来进行理解.
2.一个命题的否定与命题的否命题不同,命题的否定只是将命题
的结论进行否定,而否命题则是将命题的条件和结论都进行否定.
形对应角相等.
(4)这个命题是p∧q情势,其中p:垂直于弦的直径平分这条弦,q:垂
直于弦的直径平分这条弦所对的两段弧.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究二含逻辑联结词的命题的真假判断
例2 分别指出由下列简单命题所构成的“p∧q”“p∨q”“ p”情势
的命题的真假.
(1)p:2是奇数,q:2是合数;
际意义判断命题的结构.
解(1)这个命题是p∨q情势,其中p:1是质数,q:1是合数.
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
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简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础知识1.简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词.①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来,得到复合命题“p且q”,记作p∧q;②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来,得到复合命题“p或q”,记作p∨q;③对命题p的结论进行否定,得到复合命题“非p”,记作非p.❷❶“且”的数学含义是几个条件同时满足,“且”在集合中的解释为“交集”;“或”的数学含义是至少满足一个条件,“或”在集合中的解释为“并集”;“非”的含义是否定,“非p”只否定p的结论,“非”在集合中的解释为“补集”.❷“命题的否定”与“否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论,而否命题既否定其条件,也否定其结论.(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的,即一真一假,而否命题与原命题的真假无必然联系.(2)命题真值表:p q p∧q p∨q非p真真真真假假真假真真真假假真假假假假假真命题真假的判断口诀p∨q→见真即真,p∧q→见假即假,p与非p→真假相反.2.全称量词与存在量词量词名称常见量词表示符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等∃3.全称命题与特称命题命题名称命题结构命题简记全称命题对M中任意一个x,有p(x)成立∀x∈M,p(x)特称命题存在M中的一个x0,使p(x0)成立∃x0∈M,p(x0) 4.全称命题与特称命题的否定命题命题的否定∀x∈M,p(x)∃x0∈M,非p(x0)∃x0∈M,p(x0)∀x∈M,非p(x)二、常用结论含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p,q至少一个真⇔(非p)∧(非q)假.(2)p∨q假⇔p,q均假⇔(非p)∧(非q)真.(3)p∧q真⇔p,q均真⇔(非p)∨(非q)假.(4)p∧q假⇔p,q至少一个假⇔(非p)∨(非q)真.考点一判断含有逻辑联结词命题的真假[典例](1)(2017·山东高考)已知命题p:∀x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2.下列命题为真命题的是()A.p∧q B.p∧非qC.非p∧q D.非p∧非q(2)(2019·安徽安庆模拟)设命题p:∃x0∈(0,+∞),x0+1x0>3;命题q:∀x∈(2,+∞),x2>2x,则下列命题为真的是()A.p∧(非q)B.(非p)∧qC.p∧q D.(非p)∨q[解析](1)当x>0时,x+1>1,因此ln(x+1)>0,即p为真命题;取a=1,b=-2,这时满足a>b,显然a2>b2不成立,因此q为假命题.由复合命题的真假性,知B为真命题.(2)对于命题p,当x0=4时,x0+1x0=174>3,故命题p为真命题;对于命题q,当x=4时,24=42=16,即∃x0∈(2,+∞),使得2x0=x20成立,故命题q为假命题,所以p∧(非q)为真命题,故选A.[答案](1)B(2)A[题组训练]1.(2019·惠州调研)已知命题p,q,则“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选B充分性:若非p为假命题,则p为真命题,由于不知道q的真假性,所以推不出p∧q是真命题.必要性:p∧q是真命题,则p,q均为真命题,则非p为假命题.所以“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件.2.已知命题p:“若x2-x>0,则x>1”;命题q:“若x,y∈R,x2+y2=0,则xy=0”.下列命题是真命题的是()A.p∨(非q)B.p∨qC.p∧q D.(非p)∧(非q)解析:选B若x2-x>0,则x>1或x<0,故p是假命题;若x,y∈R,x2+y2=0,则x =0,y=0,xy=0,故q是真命题.则p∨q是真命题.考点二全称命题与特称命题[典例](1)命题∀x∈R,e x-x-1≥0的否定是()A.∀x∈R,e x-x-1≤0B.∀x∈R,e x-x-1≥0C.∃x0∈R,e x0-x0-1≤0D.∃x0∈R,e x0-x0-1<0(2)对命题∃x0>0,x20>2x0,下列说法正确的是()A.真命题,其否定是∃x0≤0,x20≤2x0B.假命题,其否定是∀x>0,x2≤2xC.真命题,其否定是∀x>0,x2≤2xD.真命题,其否定是∀x≤0,x2≤2x[解析](1)改全称量词为存在量词,把不等式中的大于或等于改为小于.故选D.(2)已知命题是真命题,如32=9>8=23,其否定是∀x>0,x2≤2x.故选C.[答案](1)D(2)C[题组训练]1.命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≤x2”的否定形式是()A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n>x2B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n>x2C.∃x0∈R,∃n∈N*,使得n>x20D.∃x0∈R,∀n∈N*,使得n>x20解析:选D∀改写为∃,∃改写为∀,n≤x2的否定是n>x2,则该命题的否定形式为“∃x0∈R,∀n∈N*,使得n>x20”.2.已知命题p:∃n∈R,使得f(x)=nxn2+2n是幂函数,且在(0,+∞)上单调递增;命题q:“∃x0∈R,x20+2>3x0”的否定是“∀x∈R,x2+2<3x”.则下列命题为真命题的是()A.p∧q B.(非p)∧qC.p∧(非q)D.(非p)∧(非q)解析:选C当n=1时,f(x)=x3为幂函数,且在(0,+∞)上单调递增,故p是真命题,则非p是假命题;“∃x0∈R,x20+2>3x0”的否定是“∀x∈R,x2+2≤3x”,故q是假命题,非q是真命题.所以p∧q,(非p)∧q,(非p)∧(非q)均为假命题,p∧(非q)为真命题,选C.考点三根据命题的真假求参数的取值范围[典例]已知p:存在x0∈R,mx20+1≤0,q:任意x∈R,x2+mx+1>0.若p或q为假命题,求实数m的取值范围.[解]依题意知p,q均为假命题,当p是假命题时,则mx2+1>0恒成立,则有m≥0;当q是真命题时,则Δ=m2-4<0,-2<m<2.因此由p,q均为假命题得{m≥0,m≤-2或m≥2,即m≥2.所以实数m的取值范围为[2,+∞).[变透练清]1.(变条件)若本例将条件“p或q为假命题”变为“p且q为真命题”,其他条件不变,则实数m的取值范围为________.解析:依题意,当p是真命题时,有m<0;当q是真命题时,有-2<m<2,<0,2<m<2,可得-2<m<0.所以m的取值范围为(-2,0).答案:(-2,0)2.(变条件)若本例将条件“p或q为假命题”变为“p且q为假,p或q为真”,其他条件不变,则实数m的取值范围为________.解析:若p且q为假,p或q为真,则p,q一真一假.当p真q<0,≥2或m≤-2,所以m≤-2;当p假q≥0,2<m<2,所以0≤m<2.所以m的取值范围为(-∞,-2]∪[0,2).答案:(-∞,-2]∪[0,2)3.(变条件)若本例将条件q变为:存在x0∈R,x20+mx0+1<0,其他条件不变,则实数m 的取值范围为________.解析:依题意,当q是真命题时,Δ=m2-4>0,所以m>2或m<-2.≥0,2≤m≤2,得0≤m≤2,所以m的取值范围为[0,2].答案:[0,2][课时跟踪检测]1.(2019·西安摸底)命题“∀x>0,xx-1>0”的否定是()A.∃x0≥0,x0x0-1≤0B.∃x0>0,0≤x0≤1C.∀x>0,xx-1≤0D.∀x<0,0≤x≤1解析:选B∵xx-1>0,∴x<0或x>1,∴xx-1>0的否定是0≤x≤1,∴命题的否定是“∃x0>0,0≤x0≤1”.2.下列命题中,假命题的是()A.∀x∈R,21-x>0B.∃a0∈R,y=xa0的图象关于y轴对称C.函数y=x a的图象经过第四象限D.直线x+y+1=0与圆x2+y2=12相切解析:选C对于A,由指数函数的性质可知为真命题;对于B,当a=2时,其图象关于y轴对称;对于C,当x>0时,y>0恒成立,从而图象不过第四象限,故为假命题;对于D,因为圆心(0,0)到直线x+y+1=0的距离等于12,等于圆的半径,命题成立.3.(2019·陕西质检)已知命题p:对任意的x∈R,总有2x>0;q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是()A.p∧q B.(非p)∧(非q)C.(非p)∧q D.p∧(非q)解析:选D由指数函数的性质知命题p为真命题.易知x>1是x>2的必要不充分条件,所以命题q为假命题.由复合命题真值表可知p∧(非q)为真命题.4.(2018·湘东五校联考)下列说法中正确的是()A.“a>1,b>1”是“ab>1”成立的充分条件B.命题p:∀x∈R,2x>0,则非p:∃x0∈R,2x0<0C.命题“若a>b>0,则1a <1b”的逆命题是真命题D.“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要条件解析:选A对于选项A,由a>1,b>1,易得ab>1,故A正确.对于选项B,全称命题的否定是特称命题,所以命题p:∀x∈R,2x>0的否定是非p:∃x0∈R,2x0≤0,故B错误.对于选项C,其逆命题:若1a<1b,则a>b>0,可举反例,如a=-1,b=1,显然是假命题,故C错误.对于选项D,由“a>b”并不能推出“a2>b2”,如a=1,b=-1,故D错误.故选A.5.(2019·唐山五校联考)已知命题p:“a>b”是“2a>2b”的充要条件;命题q:∃x0∈R,|x0+1|≤x0,则()A.(非p)∨q为真命题B.p∧(非q)为假命题C.p∧q为真命题D.p∨q为真命题解析:选D由题意可知命题p为真命题.因为|x+1|≤x的解集为空集,所以命题q 为假命题,所以p∨q为真命题.6.下列说法错误的是()A.命题“若x2-5x+6=0,则x=2”的逆否命题是“若x≠2,则x2-5x+6≠0”B.若命题p:存在x0∈R,x20+x0+1<0,则非p:对任意x∈R,x2+x+1≥0C.若x,y∈R,则“x=y”是“xy”的充要条件D.已知命题p和q,若“p或q”为假命题,则命题p与q中必一真一假解析:选D由原命题与逆否命题的关系,知A正确;由特称命题的否定知B正确;由xy⇔4xy≥(x+y)2⇔4xy≥x2+y2+2xy⇔(x-y)2≤0⇔x=y,知C正确;对于D,命题“p或q”为假命题,则命题p与q均为假命题,所以D不正确.7.(2019·长沙模拟)已知命题“∀x∈R,ax2+4x+1>0”是假命题,则实数a的取值范围是()A.(4,+∞)B.(0,4]C.(-∞,4]D.[0,4)解析:选C当原命题为真命题时,a>0且Δ<0,所以a>4,故当原命题为假命题时,a≤4.8.下列命题为假命题的是()A.存在x>y>0,使得ln x+ln y<0B.“φ=π2”是“函数y=sin(2x+φ)为偶函数”的充分不必要条件C.∃x0∈(-∞,0),使3x0<4x0成立D.已知两个平面α,β,若两条异面直线m,n满足m⊂α,n⊂β且m∥β,n∥α,则α∥β解析:选C对于A选项,令x=1,y=1e,则ln x+ln y=-1<0成立,故排除A.对于B选项,“φ=π2”是“函数y=sin(2x+φ)为偶函数”的充分不必要条件,正确,故排除B.对于C选项,根据幂函数y=xα,当α<0时,函数单调递减,故不存在x0∈(-∞,0),使3x0<4x0成立,故C错误.对于D选项,已知两个平面α,β,若两条异面直线m,n满足m⊂α,n ⊂β且m∥β,n∥α,可过n作一个平面与平面α相交于直线n′.由线面平行的性质定理可得n′∥n,再由线面平行的判定定理可得n′∥β,接下来由面面平行的判定定理可得α∥β,故排除D,选C.9.若命题p的否定是“∀x∈(0,+∞),x>x+1”,则命题p可写为________________________.解析:因为p是非p的否定,所以只需将全称量词变为特称量词,再对结论否定即可.答案:∃x0∈(0,+∞),x0≤x0+110.已知命题p:x2+4x+3≥0,q:x∈Z,且“p∧q”与“非q”同时为假命题,则x =________.解析:若p为真,则x≥-1或x≤-3,因为“非q”为假,则q为真,即x∈Z,又因为“p∧q”为假,所以p为假,故-3<x<-1,由题意,得x=-2.答案:-211.已知p:a<0,q:a2>a,则非p是非q的________条件(填:充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要).解析:由题意得非p:a≥0,非q:a2≤a,即0≤a≤1.因为{a|0≤a≤1}{a|a≥0},所以非p是非q的必要不充分条件.答案:必要不充分12.已知命题p:a2≥0(a∈R),命题q:函数f(x)=x2-x在区间[0,+∞)上单调递增,则下列命题:①p∨q;②p∧q;③(非p)∧(非q);④(非p)∨q.其中为假命题的序号为________.解析:显然命题p为真命题,非p为假命题.∵f(x)=x2-x-1 4,∴函数f(x)在区间1 2,+∴命题q为假命题,非q为真命题.∴p∨q为真命题,p∧q为假命题,(非p)∧(非q)为假命题,(非p)∨q为假命题.答案:②③④13.设t∈R,已知命题p:函数f(x)=x2-2tx+1有零点;命题q:∀x∈[1,+∞),1x -x≤4t2-1.(1)当t=1时,判断命题q的真假;(2)若p∨q为假命题,求t的取值范围.解:(1)当t=1=0,1x-x≤3在[1,+∞)上恒成立,故命题q为真命题.(2)若p∨q为假命题,则p,q都是假命题.当p为假命题时,Δ=(-2t)2-4<0,解得-1<t<1;当q≤4t2-1,即4t2-1≥0,解得t≤-12或t≥12,∴当q为假命题时,-12<t<12,∴t -1 2,。
简单的逻辑联结词
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1.3简单的逻辑联结词情景引入:在数学中常常要使用逻辑联结词“或”、“且”、“非”,它们与日常生活中这些词语所表达的含义和用法是不尽相同的,下面我们就分别介绍数学中使用联结词“或”、“且”、“非”联结命题时的含义与用法。
一、简单的逻辑联结词---且定义:一般地,用联结词“且”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作:读作:思考:命题p∧q的真假如何确定?一般地,我们规定:当p,q都是真命题时,p∧q是真命题;当p,q 两个命题中有一个命题是假命题时,p∧q是假命题。
口诀:例1:将下列命题用“且”联结成新命题,并判断它们的真假:(1)p:平行四边形的对角线互相平分,q:平行四边形的对角线相等(2)p:菱形的对角线互相垂直,q:菱形的对角线互相平分(3)p:35是15的倍数,q:35是7的倍数练习:用逻辑联结词“且”改写下列命题,并判断它们的真假:(1)1既是奇数,又是素数;(2)2和3都是素数;二、简单的逻辑联结词---或定义:一般地,用联结词“或”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作:读作:思考:命题p ∨q的真假如何确定?一般地,我们规定:当p,q两个命题中有一个命题是真命题时,p∨q是真命题;当p,q两个命题都是假命题时,p∨q是假命题。
口诀:例2:判断下列命题的真假:(1)2≤2;(2)集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集;(3)周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.思考:1、如果p∧q为真命题,那么p∨q一定是真命题吗?2、如果p∨q为真命题,那么p∧q一定是真命题吗?三、简单的逻辑联结词---非一般地,对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作:读作:规定:例3:写出下列命题的否定,并判断它们的真假:(1)p:y=sin x是周期函数;(2)p:3< 2;(3)p:空集是集合A的子集.思考:否命题与命题的否定的区别是什么?真值表★例4:设p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负根,q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.若p或q为真,p且q 为假,求m的取值范围.★★小结:作业:《分层训练》2p6,q:,p"qx x x Z q x -≥∈∧⌝练习:已知命题:命题且“与同时为假命题,求的值。
简单的逻辑联结词的定义逻辑联结词的意义
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一、简单的逻辑联结词的定义
1、逻辑联结词:或、且、非;
2、且:一般地,用连接词“且”把命题p和命题q联结起来,得到一个新命题,记作p∧q,读作p且q;
3、或:一般地,用连接词“或”把命题p和命题q联结起来,得到一个新命题,记作p∨q,读作p或q;
4、非:一般地,对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作p,读作“非p”或“p的否定”;
5、简单命题:不含逻辑联结词的命题(常用小写字母p,q,r,s,…表示)
6、复合命题:由简单命题和逻辑联结词构成的命题;
7、复合命题的形式及真值表:(1)“非p”的复合命题的真假与命题“p”的真假相反。
(2)“p且q”形式的复合命题的真假,只有命题“p”与“q”都为真时才为真,否则为假;
(3)“p或q”形式的复合命题的真假,只有命题“p”与“q”都为假时才为假,否则为真。
简单逻辑联结词
![简单逻辑联结词](https://img.taocdn.com/s3/m/b1be22e7c8d376eeaeaa31a3.png)
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础梳理1.简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词.(2)简单复合命题的真值表:p q p∧q p∨q ¬p真真假真真假假假2.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有:“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.(2)常见的存在量词有:“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等.(3)全称量词用符号“∀”表示;存在量词用符号“∃”表示.3.全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题.(2)含有存在量词的命题叫特称命题.4.命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题.(2)p或q的否定为:¬p且¬q;p且q的否定为:¬p或¬q.一个关系逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词,对应着集合运算中的“并、交、补”,因此,常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题.两类否定1.含有一个量词的命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题全称命题p:∀x∈M,p(x),它的否定¬p:∃x0∈M,¬p(x0).(2)特称命题的否定是全称命题特称命题p:∃x0∈M,p(x0),它的否定¬p:∀x∈M,¬p(x).2.复合命题的否定(1) ¬ (p∧q)⇔(¬p)∨(¬q);(2) ¬ (p∨q)⇔(¬p)∧(¬q).三条规律(1)对于“p∧q”命题:一假则假;(2)对“p∨q”命题:一真则真;(3)对“¬p”命题:与“p”命题真假相反.二、双基自测一、选择题1.(2011·北京)若p是真命题,q是假命题,则( ).A.p∧q是真命题B.p∨q是假命题C.¬p是真命题D.¬q是真命题2.(2011·山东日照调研)“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的() A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.设p、q是两个命题,则复合命题“p∨q为真,p∧q为假”的充要条件是 ( ).A.p、q中至少有一个为真B.p、q中至少有一个为假C.p、q中有且只有一个为真D.p为真、q为假4.(2011·潍坊模拟)下列说法错误的是() A.命题“若x2-4x+3=0,则x=3”的逆否命题是:“若x≠3,则x2-4x+3≠0”B .“x >1”是“|x |>0”的充分不必要条件C .若p 且q 为假命题,则p 、q 均为假命题D .命题p :“存在x 0∈R 使得x 02+x 0+1<0”,则¬p :“任意x ∈R ,均有x 2+x +1≥0”5.由命题p :“函数y =1x是减函数”与q :“数列a ,a 2,a 3,…是等比数列”构成的复合命题,下列判断正确的是 ( ) A .p 或q 为真,p 且q 为假,非p 为真 B .p 或q 为假,p 且q 为假,非p 为真 C .p 或q 为真,p 且q 为假,非p 为假D .p 或q 为假,p 且q 为真,非p 为真6.若函数f (x )=x 2+ax (a ∈R ),则下列结论正确的是 ( )A .任意a ∈R ,f (x )在(0,+∞)上是增函数B .任意a ∈R ,f (x )在(0,+∞)上是减函数C .存在a ∈R ,f (x )是偶函数D .存在a ∈R ,f (x )是奇函数7.已知命题“任意a ,b ∈R ,如果ab >0,则a >0”则它的否命题是 ( ) A .任意a ,b ∈R ,如果ab <0,则a <0 B .任意a ,b ∈R ,如果ab ≤0,则a ≤0 C .存在a ,b ∈R ,如果ab <0,则a <0 D .存在a ,b ∈R ,如果ab ≤0,则a ≤08.(人教A 版教材习题改编)已知命题p :∀x ∈R ,sin x ≤1,则( ). A .¬p:∃x 0∈R ,sin x 0≥1 B .¬p:∀x ∈R ,sin x ≥1 C .¬p:∃x 0∈R ,sin x 0>1 D .¬p:∀x ∈R ,sin x >1二、填空题9.(2010·安徽)命题“对任何x ∈R ,|x -2|+|x -4|>3”的否定是___ ________________. 10.(2011·山东淄博调研)已知命题“存在x 0∈R ,使2 x 02+(a -1) x 0+12≤0”是假命题,则实数a 的取值范围是________.11.已知命题p :函数f (x )=log 0.5(3-x )的定义域为(-∞,3);命题q :若k <0,则函数h (x )=kx在(0,+∞)上是减函数.则下列结论中错误的是________.①命题“p 且q ”为真;②命题“p 或¬q ”为假;③命题“p 或q ”为假;④命题“¬p 且¬q ”为假.12.命题p :函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6+1满足f ⎝⎛⎭⎫π3+x =f ⎝⎛⎭⎫π3-x , 命题q :函数g (x )=sin(2x +φ)+1可能为奇函数(φ为常数),则复合命题①“p 或q ”,②“p 且q ”,③“ ¬p ”中,真命题是________. 三、解答题13.写出下列命题的否定,并判断真假.(1)q :任意x ∈R ,x 不是5x -12=0的根; (2)r :有些质数是奇数;(3)s:存在x0∈R,|x0|>0. (4)p:∀x∈R,x不是3x-5=0的根;(5)q:有些合数是偶数; (6)r:∃x0∈R,|x0-1|>0. 14.(2010·江苏盐城调研)命题p:关于x的不等式x2+2ax+4>0,对一切x∈R恒成立,q:函数f(x)=(3-2a)x是增函数,若p或q为真,p且q为假,求实数a的取值范围.。
常用的逻辑联结词
![常用的逻辑联结词](https://img.taocdn.com/s3/m/ad4429b0b04e852458fb770bf78a6529647d35ab.png)
常用的逻辑联结词逻辑联结词就像是语言里的小魔法棒,能把简单的话变得超有逻辑呢。
比如说“且”这个联结词吧。
就像你去超市买东西,你可能会说“我要买苹果且要买香蕉”,这就表示你既想要苹果,又想要香蕉,这两个事儿得同时发生才行。
它就像是把两个想法紧紧地绑在一起的小绳子。
再说说“或”这个联结词。
这就好比你出门玩耍,你可能说“我今天去公园或去商场”,这就是说你有两个选择,要么去公园,要么去商场,只要满足其中一个就可以啦。
这就像摆在你面前的两条路,走哪条都能达到你出去玩的目的。
还有“非”呢。
这个就更有趣啦。
假如说你有个朋友总是很开心,那“非开心”就是不开心啦。
它就像是给原来的状态来个大反转。
你本来觉得今天是个大晴天,那“非晴天”就是不是晴天,可能是阴天或者下雨天咯。
这几个逻辑联结词呀,在咱们日常生活里可太有用啦。
比如说你在和小伙伴商量聚会的事儿,你会说“我们可以在周六且在户外搞个烧烤,或者我们在室内且在周日吃火锅”。
你看,这么一说,各种选择和条件就很清晰啦。
而且在做一些决定的时候,这些逻辑联结词也能帮大忙。
像你在选工作,你可能会想“这个工作工资高且工作轻松,或者那个工作虽然工资低一点但是有很多晋升机会”。
这就把你心里的小九九都用这些联结词给表达出来啦。
在和别人争论的时候呢,逻辑联结词也能让你的观点更清晰。
你可以说“你说的这件事不是这样的,非你说的那样”,然后再用“且”“或”这些联结词来阐述你的理由。
要是没有这些逻辑联结词呀,咱们说话可能就会乱乱的。
就像一堆散在地上的珠子,没有线把它们串起来。
有了这些联结词,咱们的话就像是一串漂亮的项链,既整齐又好看,还能让别人一下子就明白你的意思呢。
它们在学习里也很重要哦。
做数学题的时候,逻辑联结词就经常出现。
比如判断一些集合之间的关系,或者是做逻辑推理题的时候。
就像你要判断一个数是大于5且小于10,还是大于10或小于5,这时候逻辑联结词就像是小向导,带着你在知识的海洋里找到正确的答案。
简单的逻辑联结词-且、或 课件
![简单的逻辑联结词-且、或 课件](https://img.taocdn.com/s3/m/09168c560a4e767f5acfa1c7aa00b52acfc79ccd.png)
应角相等;
(3)p:函数 y= cos x是周期函数,q:函数y=cos x是奇函数.
解析:(1)因为 p是真命题,q是真命题,所以 “ p∨q”和“ p∧q”都是真命题.
(2)因为p是假命题,q是真命题,所以“p∨q”是真 命题,“ p∧q”是假命题.
∴p或q是真命题,p且q是假命题.
点评:有些命题表面上不含逻辑联结词,可以通过
改写化为“p∨q”或“p∧q”形式的命题,然后通过p、 q
的真假判断命题的真假.
或命题“p∨q”的真假特点是“一真即真,要假全 假”,且命题“p∧q”的真假特点是“一假即假,要真全
真”.
变式 训练
3.指出下列“p∨q”,“p∧q”命题的真假. (1)p: 当x∈R时,x2+1≥2x,q:当 x∈R时, |x|≥0;
点评:(1)当一个复合命题不是用“且”或“或”连 接时,可以将其改为用“且”或“或”连接的复合命题, 改写时要注意不能改变原命题的意思,这就要仔细考虑到 底是用“且”还是用“或”.
(2)在用“且”、“或”联结两个命题 p、 q时, 在不引起歧义的情况下,可将 p、 q中的条件或结论合
并,使叙述更通顺.
变式 训练
2.用“且 ”、“或”改写下列命题: (1)等腰三角形的顶角平分线平分底边,也垂直底边; (2)45 既能被 5 整除又能被 9 整除;
(3) x2-2=0 的根是± 2;
(4)3≥3.
解析:(1)等腰三角形的顶角平分线平分底边且垂直底边; (2)45 能被 5 整除且能被 9 整除;
(3)x2-2=0 的根是 2或- 2;
个相等的实数根且两根的绝对值相等.
(3)“p∨q”:三角形的外角等于与它不相邻的两个内 角的和或大于与它不相邻的任何一个内角;“p∧q”:三 角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不 相邻的任何一个内角.
简单的逻辑联结词
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§1.3简单的逻辑联结词学考考查重点1.考查逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义,判断命题的真假或求参数的范围;2.考查全称量词和存在量词的意义,对含一个量词的命题进行否定.本节复习目标 1.充分理解逻辑联结词的含义,注意和日常用语的区别;2.对量词的练习要在“含一个量词”框架内进行,不要随意加深;3.注意逻辑与其他知识的交汇.教材链接·自主学习1.简单的逻辑联结词(1)命题中的“”、“”、“”叫做逻辑联结词.(2)简单复合命题的真值表:p q p∧q p∨q 綈p真真假真真假假假2. 命题的否定p或q的否定:非p且非q;p且q的否定:.基础知识·自我测试1.下列命题中,所有真命题的序号是________.①5>2且7>4;②3>4或4>3;③2不是无理数.2.若p是真命题,q是假命题,则() A.p∧q是真命题B.p∨q是假命题C.⌝p是真命题D.⌝q是真命题3.已知命题p:2+2=5,命题q:3>2,则下列判断正确的是() A.“p或q”为假,“非q”为假B.“p或q”为真,“非q”为假C.“p且q”为假,“非p”为假D.“p且q”为真,“p或q”为假4.如果命题⌝(p或q)是假命题,则下列说法正确的是() A.p,q均为真命题B.p,q中至少有一个为真命题C.p,q均为假命题D.p,q中至少有一个为假命题题型分类·深度剖析题型一含有逻辑联结词的命题的真假例1已知命题p1:函数y=2x-2-x在R上为增函数,p2:函数y=2x+2-x在R上为减函数,则在命题q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(⌝p1)∨p2和q4:p1∧(⌝p2)中,真命题是() A.q1,q3B.q2,q3C.q1,q4D.q2,q4变式训练1 写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“⌝p”形式的复合命题,并判断真假:(1)p:1是素数;q:1是方程x2+2x-3=0的根;(2)p:平行四边形的对角线相等;q:平行四边形的对角线互相垂直;(3)p:方程x2+x-1=0的两实根的符号相同;q:方程x2+x-1=0的两实根的绝对值相等.例2已知命题p:存在x∈R,使tan x=1,命题q:x2-3x+2<0的解集是{x|1<x<2},给出下列结论:①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧⌝q”是假命题;③命题“⌝p∨q”是真命题;④命题“⌝p∨⌝q”是假命题.其中正确的是() A.②③B.①②④C.①③④D.①②③④变式训练2 命题p:a2+b2<0 (a,b∈R);命题q:(a-2)2+|b-3|≥0 (a,b∈R),下列结论正确的是() A.“p∨q”为真B.“p∧q”为真C.“⌝p”为假D.“⌝q”为真题型二逻辑联结词与命题真假的应用例3已知p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根;q:不等式4x2+4(m-2)x+1>0的解集为R.若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数m的取值范围.变式训练3 已知a>0,设命题p:函数y=a x在R上单调递增;命题q:不等式ax2-ax+1>0对∀x∈R恒成立.若“p∧q”为假,“p∨q”为真,求a的取值范围.。
简单的逻辑联结词(且)说
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当使用逻辑非时,表示某个条件不满足;而当使用 逻辑且时,表示所有条件都满足。
03
逻辑非和逻辑且在逻辑运算中经常一起使用,以构 建复杂的逻辑表达式。
与其他复合联结词的关系
除了逻辑或、逻辑非之外,还有其他复合联结词,如逻辑异或、逻辑与非 等。
这些复合联结词在功能和使用上与逻辑且有所不同,但它们在逻辑运算中 都有各自的应用场景。
真值表
当p为真,q为真时,p∧q为真;当p为假,q为假时,p∧q为假。 当p为真,q为假时,p∧q为假;当p为假,q为真时,p∧q为假。
逻辑联结词(且)的运算性质
幂等性
p∧p为真,即一个命题与其自身"且"运算结果 为真。
吸收性
p∧(q∨r)等价于(p∧q)∨(p∧r),即"且"运算可以 吸收"或"运算。
在化学中,逻辑联结词(且)用于描 述化学反应的条件和产物。通过使用 “且”操作,可以连接多个反应条件 和产物,构建更为复杂的化学反应模 型。
在生物学中,逻辑联结词(且)用于 描述生物体的生理特征和行为模式。 通过使用“且”操作,可以连接多个 生理特征和行为模式,揭示生物体的 复杂行为和生态适应性。
THANKS
3
"且"是双条件性的,即A∧B与A和B都有关系。
02 逻辑联结词(且)的运算规则
运算规则
01
逻辑联结词"且"表示两个命题同时成立,记作 p∧q。
02 当p∧q为真时,p、q必须同时为真;当p∧q为假 时,p、q至少有一个为假。
03
"且"运算满足交换律和结合律,即p∧q等价于 q∧p,(p∧q)∧r等价于p∧(q∧r)。
在人工智能中的应用
简单的逻辑联结词
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[解] (1)∵p是真命题,q是真命题,
∴p∨q是真命题,p∧q是真命题,綈p是假命题.
(2)∵p是假命题,q是真命题, ∴p∨q是真命题,p∧q是假命题,綈p是真命题. (3)∵p是假命题,q是真命题, ∴p∨q是真命题,p∧q是假命题,綈p是真命题.
[点评与警示]
判断含有逻辑联结词 “或”“且”“非”
(1) 全( 特 ) 称命题的否定与命题的否定有
着一定的区别,全 (特 ) 称命题的否定是将其全称量词改为存 在量词( 或存在量词改为全称量词 ),并把结论否定;而命题 的否定,则直接否定结论即可. (2)要判断“綈p”的真假,可以直接判断,也可以判断p
的真假,利用p与綈p的真假相反判断.
写出下列命题的否定,并判断命题的否定的真假,指出 命题的否定属全称命题还是特称命题: (1)所有的有理数是实数; (2)有的三角形是直角三角形;
1.如命题“p∨q”为真命题则 ( A.p、q均为真命题 B.p、q均为假命题 )
C.p、q中至少有一个为真命题
D.p、q中至多有一个为真命题 [答案] C
2.(2010·湖南卷)下列命题中的假命题是
(
A.∃x∈R,lgx=0 B.∃x∈R,tanx=1 C.∀x∈R,x2>0 D.∀x∈R,2x>0
”在
逻辑中通常叫做全称量词,用“ ∀ ”表示,常用的全称量词 还有“ ”等. 的命题叫全称命题. (2)全称命题:含 全称量词
(3)存在量词:短语“ 存在一个 ”、“ 至少一个 ” 在
逻辑中通常叫存在量词,用“∃ ”表示,常见的存在量词还
有“ 有些、有一个、某个 ”等. (4)特称命题:含有 存在量词 的命题叫特称命题.
的命题的真假:①必须弄清构成它的命题的真假;②弄清结 构形式;③根据真值表判断其真假.
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简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 一、考点梳理
1
2⑴全称量词有:所有的,任意一个,任给,…,用符号“ ”表示; 存在量词有:存在一个,至少一个,有些,…,用符号“ ”表示;
⑵含有全称量词的命题,叫做 ;“对M 中任意一个x ,有()p x 成立”可用符号简记为: ;
⑶含有存在量词的命题,叫做特称命题;“存在M 中的元素0x ,使0()p x 成立”可用符号简记为: ; 3
1、已知命题p :“0x R ∃∈,使0sin 2
x =”;命题q :“x R ∀∈,都有2
10x x ++>”;下列结论中正确的是( )
A.命题“p q ∧”是真命题
B.命题“p q ∧⌝”是真命题
C.命题“p q ⌝∧”是真命题
D.命题“p q ⌝∨⌝”是假命题 2、下列说法不正确的是( )
A.命题“若2320x x -+=,则1x =”的逆否命题为:
“若1x ≠,则2
320x x -+≠”;B.“ 1x > ”是 “ ||1x > ”的充分不必要条件; C.若 p 且 q 为假命题,则 p q 、 均为假命题;
D.命题p :“0x R ∃∈,使得20010x x ++<”,则p ⌝:“x R ∀∈,均有2
10x x ++≥”;
3、下列命题中,真命题是( )
A.0x R ∃∈,00sin cos 1.5x x +=
B. (0,)x π∀∈,sin cos x x >
C. 0x R ∃∈,20023x x +=-
D. (0,)x ∀∈+∞,1x e x >+
4、如果命题“p ⌝或q ⌝”是假命题,则下列各结论中,正确的为( ) ①命题“p q ∧”是真命题; ②命题“p q ∧”是假命题; ③命题“p q ∨”是真命题; ④命题“p q ∨”是假命题;
A.①③
B.②④
C.②③
D.①④
5、命题“x R ∀∈,2
240x x -+≤”的否定为( )
A.不存在 x R ∈,2240x x -+≤
B.存在 x R ∈,2240x x -+≤
C.存在 x R ∈,2240x x -+>
D.对任意的x R ∈,2240x x -+>
6、命题“存在0x R ∈,0
2
0x ≤”的否定是( )
A.不存在 0x R ∈,020x >
B.存在 0x R ∈,020x ≥
C.对任意的 x R ∈,20x ≤
D.对任意的x R ∈, 20x >
7、“p q ∨”为真命题是“p q ∧”为真命题的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8、设结论p :||1x >,结论q :2x <-,则p ⌝是q ⌝的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
9、已知命题p :,10m R m ∃∈+≤,命题q :2
,10x R x mx ∀∈++>恒成立,若p q ∧为假命题,实数m 的取值范围是( )
A. 2m ≥
B. 2m ≤-
C.2m ≤-或2m ≥
D.22m -≤≤ 10、命题p :在ABC ∆中,C B ∠>∠是sin sin C B >的充分不必要条件;命题q :a b >是2
2
ac bc >的必要不充分条件,则下列命题为真命题的是( )
A. p q ∨
⌝() B. p q ∧⌝() C. p q ⌝∧() D.p q ⌝∧⌝()() 11、已知命题“x R ∀∈,2
15
502
x x a -+>”的否定为假命题,则则实数a 的取值范围是 ;
12、已知命题p :关于x 的不等式22
(1)0x a x a +-+≤的解集为φ;命题q :函数
2(2)x y a a =-为增函数,若“p q ∨”为真命题,则实数a 的取值范围是 ;
13、已知命题:“0[1,2]x ∃∈,使20020x x a ++≥”为真命题,则实数a 的取值范围
是 ;
14、已知命题p :“[1,2]x ∀∈,2
0x a -≥”;命题q :0x R ∃∈,使得200(1)10x a x +-+<”;
若p q ∨为真,p q ∧为假,求实数a 的取值范围
15、已知命题p :方程22
20x ax a +-=在[1,1]-上有解;命题q :只有一个实数0x 满足
不等式2
00220x ax a ++≤,若命题“p 或q ”是假命题,求实数a 的取值范围。