竖向集中荷载作用下土中应力计算

3
2
po z3 (x2 y2 z2 )5/2
dxdy
进行积分：
z
A d z

3z3
2
po
l 0
b
1
0 (x2 y2 z2 )5/2
dxdy z po
其中,角点应力系数为：
z

1
2
(m2
mn(1 2n2 n2 )(1 n2 )
情况1：投影A点在矩形面积范围之内
z=z(aeAh)+ z(ebfA)+z(hAgd)+ z(Afcg) 图4-20 角点法示意图
情况2：投影A点在矩形面积范围之外 求 M 点应力：
z=z(aeAh) z(beAg) z(dfAh)+ z(cfAg) 图4-20 角点法示意图
4.4.1 竖向集中荷载作用下土中应力计算
1、布辛奈斯克解（半空间表面集中力作用下） Boussinesq课题：
半无限弹性体表面作用竖向集中荷载P，计算任一点M的应力。
图 4-14 直角坐标表示
❖ 讨论6个应力分量和3个位移分量：
法向应力：
z

3Fz3
2 R5
x

3F
2
zx2

R5
1 2
3

R2 Rz z2 R3(R z)

x2 (2R z)
R3
(
R

z
)2



y

3F
2

zy2 R5
1 2
3
R2 Rz z2

R3(R z)

y2 (2R z)
R3
(
R

z
)
2


[解] 列表计算见表4-2和4-3。
表4-2 z=3m处水平面上竖应力计算
r(m)
0
1
2
3
4
5
r/z
0
0.33
0.67
1
1.33
1.67

0.478 0.369
0.189
0.084
0.038
0.017
z(kPa)
10.6
8.2
4.2
1.9
0.8
0.4
表4-3 r=1m处竖直面上竖应力z的计算
z(m)
表4-9圆形均布荷载作用下的应力系 数
4.4.4 平面问题的附加应力
一、线荷载作用下
Flamant课题
▪ 取微分长度dy ▪ 荷载pdy看成是集中力，则：
d z

3 pz3
2R5
dy
z
3z3
2
p

dy

5
(x2 y2 z2)2


(
2 x2
pz
3
z
2
)
2

x


▪ 将基底面基底净压力的 分布划分为若干小块面 积并将其上的分布荷载 合成为小的集中力，即 可应用等代荷载法进行 计算。
▪ 这种方法适用于基底面 不规则的情况，每块面 积划分得越小，计算精 度就越高。
4.4.2 分布荷载作用下土中应力计算
（1）空间问题 应力与计算点处的坐标(x, y, z)有关。 （如l/b 10的基础，独立基础）
情况3: O点在荷载面的边缘： Ⅱ
O
z o o ( z z ) p0
Ⅰ
其中azI 、azII 为相应于面积Ⅰ和Ⅱ的角点附加 应力系数。
情况4:O点在荷载面的边缘外侧：
ed
c
荷载面（abcd）＝ 面积Ⅰ（ofbg）－ 面积Ⅱ（ofah） o h g
+ 面积Ⅲ（oecg）－ 面积Ⅳ（oedh） f
▪ 在荷载宽度范围内积分，得：
z
b
0 d z
b
0
[(x
2z3 p
)2
z
2
]2
d

p

arctan
n m
arctan n 1 m

mn m2 n2

m(n 1) m2 (n 1)2

sz
p
sz为应力系数,是n=x/b和m=z/b的函数,从表4-10查得。
m2) 1 m2
n2
arctan
m


(1 n2 )(m2 n2 )
▪可由表4-5查得 ▪这里m=l/b，n=z/b 注意：l为长边，b为短边。
表4-5 矩形均布荷载角点下竖向附加 应力系数
表4-5 矩形均布荷载角点下竖向附加 应力系数（续）
b) 土中任意点的计算（角点法）
z

3F
2 z2
cos5
r

F
2 z2
3
sin
2


cos3

(1 2) cos2 1 cos

t


F (1 2) 2 z2
cos3

cos2 1 cos

rz

3F
2 z2
(sin
cos4 )
tr tz 0
2、等代荷载法－基本解答的初步应用
▪ 由于集中力作用下地基中的附加应力σz是 荷载的一次函数，因此当若干竖向集中力
Fi作用于地表时，应用叠加原理，地基中z
深度任一点M的附加应力σz应为各集中力 单独作用时在该点所引起的附加应力总和。
n
z
i
i
Fi zi 2
等代荷载法－基本解答的初步应用
（2）平面问题 应力与计算点处的坐标(x, z)有关。 （如l/b 10的条形基础、路堤、土坝）
4.4.3 空间问题的附加应力
一、 矩形面积均布荷载
a) 矩形面积角点下
▪在基底范围内取单元面积dA=dxdy
▪单元面积上分布荷载看作是集中力dF=podxdy
▪集中力在M点处的竖向附加应力为：
d z
表4-10 条形均布荷载作用地基中附加应力系数
▪ 计算公式：
z

3z3
2
p
l 0
x dxdy bb
0
5
(x2 y2 z2)2

mn
2


1 n2 m2
(1 m2 )
n2 1
m2

n2


p

t1
p
其 中 ， t1

mn
2


1 m2 n2 (1 n2 )
n2


1 m2 n2
称为应力系数，为n=l/b和m=z/b的函数，可由表4-8查得。
表4-8 三角形分布的矩形荷载角点下
的竖向附加应力系数at1和at2
表4-8 三角形分布的矩形荷载角点下
的竖向附加应力系数at1和at2 （续1）
表4-8 三角形分布的矩形荷载角点下
的竖向附加应力系数at1和at2 （续2）
荷载的组合：
剪应力：
xy
yx

3F
2

xyz R5
1 2
3

xy(2R z)
R3
(R

z)2

yz
zy


3Fyz 2
2 R5
zx
xz


3Fxz 2
2 R5
式中：x、y、zM点的坐标；E、弹性模量及泊松比。
X、Y、Z 轴方向的位移：
2 px3z (x2 z2)2
xz
zx

2 pxz2
(x2 z2)2
当采用极坐标时，得

z

2p
R1
c os3


x

p
R1
sin

sin
2
xz

p
R1
cos
sin
2
二、 条形荷载作用下土中应力 a) 任一点竖向应力
分析步骤：
▪ 荷载宽度方向取微分宽度；
▪ 荷载dp=pd视为线荷载，在M点处附加应力为dz。
u

F (1 ) 2 E

xz R3

(1
2)
x R(R

z)

v

F (1 ) 2 E
yz

R3
(1
2)
y R(R

z)

w

F (1 ) 2 E
z2

R3

2(1
)
1
R

当采用极坐标表示M点的应力时： R r 2 z2
三、 圆形面积上作用均布荷载
分析步骤： 采用极坐标表示，
竖向附加应力z值为
z

3 pz3
2
2 0
R 0
(r 2

a2

r
2ra cos

z2 )5/2
drd

c

p
取a=0，则
c
1
1

1
R Z
2 3/2


式中：c—应力系数，它是a/R和z/R的函数，见表4-9。
a
Leabharlann Baidu
b
则：
z (c c c cV ) p0
二、 矩形面积上作用三角形分布荷载
求角点下M的竖
向应力？
▪将坐标原点取在荷载为 零的角点上，注意b是 三角形的荷载分布方向；
▪取 单 元 面 积 dA=dxdy ，
其上作用集中力
dF=(x/b)p dx dy；
0
1
2
3
4
5
6
r/z

1
0.5
0.33
0.25
0.20
0.17
z(kPa)
0
0.084
0.273
0.369
0.410
0.433
0.444
3.5
0
16.8
13.7
8.2
5.1
2.5
图4-14 土中应力分布
规律分析：
（1）集中力作用线上随深度减小，
（2）水平方向随着r的增加而逐渐减
小。 （3）集中力作用点处为奇异点。 （4）作用有多个集中力时，可叠加。
▪ 对工程应用意义最大的是竖向法向应力，可改写成
式中：
z

3Fz3
2 R5

3F
2 z2
1
5
[1 r / z2 ]2

F z2


3
2

1
[1 r /
5
z2 ]2
称为应力分布系数，是r/z的函数。
例题4-2 土体表面作用一集中力F=200kN，计算地面深度
z=3m处水平面上的竖向法向应力z分布，以及距F作用点 r=1m处竖直面上的竖向法向应力z分布。