第五章 材料力学基本概念PPT课件
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材料力学第5章弯曲变形ppt课件
qL
4.22kNm
4.22kNm
M
max
32 M
max
76.4MPa
WZ
d 3
例题
20kN m
A
4m
FA
20kN m
A
MA
4m
试求图示梁的支反力
40kN
B
D
2m
2m
B
B1 FB
FB 40kN
B
D
B2
2m
2m
在小变形条件下,B点轴向力较小可忽略不
计,所以为一次超静定.
C
B1 B2
FBBBMF12AA2383qFEqELBqqLI84LI2LLZZ32F35BFF4FEFB83PBPLIEL7Z3L12IZ.218352.k75N5kFkN2PNmEL2IZ2
x
边界条件
A
L2
B
L2
C
y
连续条件
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
全梁仅一个挠曲线方程
C
q
EA
共有两个积分常数 边界条件
L1
A
x
B
EI Z
L
y
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁 的挠曲线近似微分方程时应分几段;将分别出现几个 积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
q
a
B C LBC
B
2a
FN
B
q2a4
8EIZ
FN 2a3
3EIZ
C
FN
a
D
材料力学课件PPT
力学性质：在外力作用下材料在变形和破坏方面所 表现出的力学性能
一
试
件
和
实
常
验
温
条
、
件
静
载
材料拉伸时的力学性质
材料拉伸时的力学性质
二 低 碳 钢 的 拉 伸
材料拉伸时的力学性质
二 低碳钢的拉伸（含碳量0.3%以下）
e
b
f 2、屈服阶段bc（失去抵抗变 形的能力）
b
e P
a c s
s — 屈服极限
（二）关于塑性流动的强度理论
1．第三强度理论（最大剪应力理论） 这一理论认为最大剪应力是引起材料塑性流动破坏的主要
因素，即不论材料处于简单还是复杂应力状态，只要构件危险 点处的最大剪应力达到材料在单向拉伸屈服时的极限剪应力就 会发生塑性流动破坏。
这一理论能较好的解释塑性材料出现的塑性流动现象。 在工程中被广泛使用。但此理论忽略了中间生应力 2的影响， 且对三向均匀受拉时，塑性材料也会发生脆性断裂破坏的事 实无法解释。
许吊起的最大荷载P。
CL2TU8
解： N AB
A [ ]
0.0242 4
40 106
18.086 103 N 18.086 kN
P = 30.024 kN
6.5圆轴扭转时的强度计算
圆轴扭转时的强度计算
▪ 最大剪应力：圆截面边缘各点处
max
Tr
Ip
max
Wp T
Wp
Ip r
—
抗扭截面模量
3、强化阶段ce（恢复抵抗变形
的能力）
o
b — 强度极限
4、局部径缩阶段ef
明显的四个阶段
1、弹性阶段ob
第5章 材料力学基本知识 课件
平面面平行行力力系（如均布荷载）可合成为一一个合力力，
平面面任意力力系向平面面内任一一点简化可以得到一一个力力和 一一个力力偶，最终简化为一一个合力力。
基本形式
平 面面 任 意 力力 二二矩式 系 平 衡 方方 程 三矩式
A、B、C不共线
第5章 材料力力学基本知识
5.1 材料力力学概述 5.2 外力力、内力力、截面面法和应力力的概念 5.3 变形和应变
5.2外力力、内力力、截面面法和应力力的概念
1.外力力和内力力
外力力
其他物体作用用在研究对象上的作用用力力统称为外力力， 如支支座反力力、荷载等
内力力
物体在外力力作用用下，内部各质点的相对位置将发生生 改变，其质点的相互作用用力力也会发生生改变。这种由于 物体受到外力力作用用而而引起的内力力的改变量，称为“附加 内力力”，简称为内力力。
荷载未作用用时
荷载作用用下
③ 具有足足够的稳定性——某些细⻓长杆 F
件（或薄壁构件）在轴向压力力达到 一一定的数值时，会失去原来的平衡 状态而而丧失工工作能力力，这种现象称 为失稳。
所谓稳定性，是指构件维持原有平衡状 态的能力力。
材料力力学的研究任务：在保证构件满
足足强度、刚度和稳定性要求的前提下，以 最经济的代价为构件选择适合的材料，确 定合量的截面面形状及尺寸寸，提供必要的理 论基础、计算方方法和实验方方法。
综上所述
材料力力学研究的是连续均匀的、各向同性 的理想弹性体，且限于小小变形范围内。
2.材料力力学的任务
各种工工程结构都是由若干个构件组成的，这些构件 工工作时都要承受力力的作用用。为确保构件在规定的工工作 条件和使用用寿命期间能正常工工作，须满足足以下要求：
① 具有足足够的强度——构件在外力力作用用下不发生生
平面面任意力力系向平面面内任一一点简化可以得到一一个力力和 一一个力力偶，最终简化为一一个合力力。
基本形式
平 面面 任 意 力力 二二矩式 系 平 衡 方方 程 三矩式
A、B、C不共线
第5章 材料力力学基本知识
5.1 材料力力学概述 5.2 外力力、内力力、截面面法和应力力的概念 5.3 变形和应变
5.2外力力、内力力、截面面法和应力力的概念
1.外力力和内力力
外力力
其他物体作用用在研究对象上的作用用力力统称为外力力， 如支支座反力力、荷载等
内力力
物体在外力力作用用下，内部各质点的相对位置将发生生 改变，其质点的相互作用用力力也会发生生改变。这种由于 物体受到外力力作用用而而引起的内力力的改变量，称为“附加 内力力”，简称为内力力。
荷载未作用用时
荷载作用用下
③ 具有足足够的稳定性——某些细⻓长杆 F
件（或薄壁构件）在轴向压力力达到 一一定的数值时，会失去原来的平衡 状态而而丧失工工作能力力，这种现象称 为失稳。
所谓稳定性，是指构件维持原有平衡状 态的能力力。
材料力力学的研究任务：在保证构件满
足足强度、刚度和稳定性要求的前提下，以 最经济的代价为构件选择适合的材料，确 定合量的截面面形状及尺寸寸，提供必要的理 论基础、计算方方法和实验方方法。
综上所述
材料力力学研究的是连续均匀的、各向同性 的理想弹性体，且限于小小变形范围内。
2.材料力力学的任务
各种工工程结构都是由若干个构件组成的，这些构件 工工作时都要承受力力的作用用。为确保构件在规定的工工作 条件和使用用寿命期间能正常工工作，须满足足以下要求：
① 具有足足够的强度——构件在外力力作用用下不发生生
材料力学 第五章ppt课件
A A
s
A
（对称面）
2 Ey E2 EI z M ( d A ) y d A y d A M z A A
s
A
EIz
A
2 Iz y A 轴 惯 性矩 d
1 Mz EI z
M y s x I z
… …(3)
杆的抗弯刚度。
. . . . . . ( 4 )
d4
64
d
Iz d3 W z ym a x 32
4 D 4 空心圆 I ( 1 a ) z
d D
ad
64
D
3 I D 4 z W ( 1 a ) z y max 32
11
三、常见截面的IZ和WZ：
3 bh 矩形 Iz 12
b b
2 Iz bh W z y 6 m ax
§5－3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 一、正应力近似公式：
M y s x I z . . . . . . ( 4 )
二、横截面上最大正应力：
M s max Wz
… …(5)
I z W z 抗 弯 截 面 模 量 。 y m a x
10
三、常见截面的IZ和WZ：
圆 Iz
M 60 4 1 s 10 92 . 6 MP 1 max
M 67 . 5 4 max s 10 104 . 2 MP max W 6 . 48 z
120 M
求曲率半径
qL 8
+
2
EI 5 . 832 z 200 10 194 . 4 m 1 M 60 1
力状态。
s
A
（对称面）
2 Ey E2 EI z M ( d A ) y d A y d A M z A A
s
A
EIz
A
2 Iz y A 轴 惯 性矩 d
1 Mz EI z
M y s x I z
… …(3)
杆的抗弯刚度。
. . . . . . ( 4 )
d4
64
d
Iz d3 W z ym a x 32
4 D 4 空心圆 I ( 1 a ) z
d D
ad
64
D
3 I D 4 z W ( 1 a ) z y max 32
11
三、常见截面的IZ和WZ：
3 bh 矩形 Iz 12
b b
2 Iz bh W z y 6 m ax
§5－3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 一、正应力近似公式：
M y s x I z . . . . . . ( 4 )
二、横截面上最大正应力：
M s max Wz
… …(5)
I z W z 抗 弯 截 面 模 量 。 y m a x
10
三、常见截面的IZ和WZ：
圆 Iz
M 60 4 1 s 10 92 . 6 MP 1 max
M 67 . 5 4 max s 10 104 . 2 MP max W 6 . 48 z
120 M
求曲率半径
qL 8
+
2
EI 5 . 832 z 200 10 194 . 4 m 1 M 60 1
力状态。
材料力学第五章
思考：
FSC
q0 x q ( x) l
是否可以将梁上的分布荷载全部用静力等效后的 合力代替来求截面C的内力？
§5-3 剪力和弯矩
例题 解： 1. 确定支反力 Fy 0 FAy FBy 2 F
M
FAy 2. 用截面法研究内力 FSE ME FAy FBy
A
0
FBy 3a Fa 2 F a F 5F FBy FAy 3 3 F 5F F 0 F 2 F F y SE SE 3 3 a 5F 3a M 0 2 F M O E 2 3 2 3Fa ME 2
a
F
b
A
FAY
x1
C x2
l
B
FBY
例题5-3 图示简支梁C点受集中力作用。 试写出剪力和弯矩方程，并画 出剪力图和弯矩图。 解：1．确定约束力 M A＝0， M B＝0
FS
Fb / l
FAy＝Fb/l
FBy＝Fa/l
Fa / l
Fab / l
M
2．写出剪力和弯矩方程 ＝Fb / l 0 x1 a x AC FS x1 M x1 ＝Fbx1 / l 0 x1 a FS x2 ＝ Fa / l a x2 l CB M x2 ＝Fal x2 / l a x2 l
FCy
D
FBy 29kN
§5-2
受弯杆件的简化
q =20kN/m F MA Me=5kN· m C A B FAx D E K FBy FAy 1m 3m 1m 1m
AB梁
F F
0.5m
x y
0 0 0
FAx 0
FSC
q0 x q ( x) l
是否可以将梁上的分布荷载全部用静力等效后的 合力代替来求截面C的内力？
§5-3 剪力和弯矩
例题 解： 1. 确定支反力 Fy 0 FAy FBy 2 F
M
FAy 2. 用截面法研究内力 FSE ME FAy FBy
A
0
FBy 3a Fa 2 F a F 5F FBy FAy 3 3 F 5F F 0 F 2 F F y SE SE 3 3 a 5F 3a M 0 2 F M O E 2 3 2 3Fa ME 2
a
F
b
A
FAY
x1
C x2
l
B
FBY
例题5-3 图示简支梁C点受集中力作用。 试写出剪力和弯矩方程，并画 出剪力图和弯矩图。 解：1．确定约束力 M A＝0， M B＝0
FS
Fb / l
FAy＝Fb/l
FBy＝Fa/l
Fa / l
Fab / l
M
2．写出剪力和弯矩方程 ＝Fb / l 0 x1 a x AC FS x1 M x1 ＝Fbx1 / l 0 x1 a FS x2 ＝ Fa / l a x2 l CB M x2 ＝Fal x2 / l a x2 l
FCy
D
FBy 29kN
§5-2
受弯杆件的简化
q =20kN/m F MA Me=5kN· m C A B FAx D E K FBy FAy 1m 3m 1m 1m
AB梁
F F
0.5m
x y
0 0 0
FAx 0
材料力学基础知识PPT课件
等）。使用性能决定了材料的应用范围，使用安全可靠性 和使用寿命。 材料力学的建立主要解决材料的力学性能，研究对象有 （1）强度 （2）刚度 （3）稳定性 研究的参数包括
3
材料力学的建立
强度。（屈服强度，抗拉强度，抗弯强度， 抗剪强度），如钢材Q235，屈服强度为 235MPa
塑性。一般用伸长率或断面收缩率表示。 如Q235伸长率为δ5=21-26
表示轴力沿杆轴变化情况的图线，称为轴力图。 例如上图中的坐标图即为杆的轴力图。
31
4.2轴力与轴力图
例1 图中所示为右端固定梯形杆，承受轴向载荷F1与F2作 用，已知F1=20KN（千牛顿），F2=50KN，试画杆的轴力 图，并求出最大轴力值。
解：（1）计算支反
力
A F1
B F2
设杆右端的支反力为
12
3.3外力与内力
内力与截面法
内力：物体内部的相互作用力。由于载荷作用引起的内力称为附加内 力。简称内力。内力特点：引起变形，传递外力，与外力平衡。 截面法：将杆件假想地切成两部分，以显示内力，称为截面法。
13
3.3外力与内力
应用力系简化理论，将上述分布内力向横截面的形心简化，得
轴力 ：Fx沿杆件轴线方向内力分量，产生轴向（伸长，缩短）
C FR
FR，则由整个杆的平 F1
FN1 FN2
FR
衡方程
FN
20kN
ΣFx=0，F2-FR=0 得
+ 0
30kN
FR=F2-F1=50KN-20KN
=30KN
32
4.2轴力与轴力图
(2)分段计算轴力
设AB与BC段的轴力
A
均为拉力，并分别用FN1 F1
与FN2表示,则可知
3
材料力学的建立
强度。（屈服强度，抗拉强度，抗弯强度， 抗剪强度），如钢材Q235，屈服强度为 235MPa
塑性。一般用伸长率或断面收缩率表示。 如Q235伸长率为δ5=21-26
表示轴力沿杆轴变化情况的图线，称为轴力图。 例如上图中的坐标图即为杆的轴力图。
31
4.2轴力与轴力图
例1 图中所示为右端固定梯形杆，承受轴向载荷F1与F2作 用，已知F1=20KN（千牛顿），F2=50KN，试画杆的轴力 图，并求出最大轴力值。
解：（1）计算支反
力
A F1
B F2
设杆右端的支反力为
12
3.3外力与内力
内力与截面法
内力：物体内部的相互作用力。由于载荷作用引起的内力称为附加内 力。简称内力。内力特点：引起变形，传递外力，与外力平衡。 截面法：将杆件假想地切成两部分，以显示内力，称为截面法。
13
3.3外力与内力
应用力系简化理论，将上述分布内力向横截面的形心简化，得
轴力 ：Fx沿杆件轴线方向内力分量，产生轴向（伸长，缩短）
C FR
FR，则由整个杆的平 F1
FN1 FN2
FR
衡方程
FN
20kN
ΣFx=0，F2-FR=0 得
+ 0
30kN
FR=F2-F1=50KN-20KN
=30KN
32
4.2轴力与轴力图
(2)分段计算轴力
设AB与BC段的轴力
A
均为拉力，并分别用FN1 F1
与FN2表示,则可知
材料力学基本概念
4.小变形与线弹性范围
A
认为构件的变形极其微小，
比构件本身尺寸要小得多。
如右图，δ远小于构件的最小尺
寸，所以通过节点平衡求各杆
内力时，把支架的变形略去不
C
计。计算得到很大的简化。
δ1
B δ2
F
5.3 外力、内力和截面法
一.外力：来自构件外部的力（载荷、约束反力） 按外力作用的方式分类
分布力： 体积力：连续分布于物体内部各点
强度、刚度、稳定性是衡量构件承载能力的三个方 面，材料力学就是研究构件承载能力的一门科学。
材料力学的任务
材料力学的任务就是在满足强度、刚度和稳定性的要求下，为 设计既经济又安全的构件，提供必要的理论基础和计算方法。
若：构件横截面尺寸不足或形状
不合理,或材料选用不当
___ 不满足上述要求,
不能保证安全工作.
应力的国际单位为Pa 1N/m2= 1Pa（帕斯卡） 1MPa = 106Pa 1GPa = 109Pa
二.应变
取一微正六面体
两种基本变形：
y
g
线性
—— 线段长度的变化 s
L
角度
——线段间夹角的变化 g o M
x
L'
x+s
M' N
N'x
正应变（线应变）
y
g
x方向的平均应变：
xm
s x
切应变（角应变） g
的力。如重力和惯性力 表面力：连续分布于物体表面上的力。 如油缸内壁的压力，水坝受到的水压力 等均为分布力 集中力： 若外力作用面积远小于物体表面的尺寸， 可作为作用于一点的集中力。如火车轮 对钢轨的压力等
二、内力：外力作用引起构件内部的附加相互作用力。
材料力学I第五章 ppt课件
材料力学(Ⅰ)电子教案
梁弯曲时的位移
14
例题 5-1
试求图示悬臂梁的挠曲线方程和转角方程，
并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。梁的EI
为常量。
材料力学(Ⅰ)电子教案
梁弯曲时的位移
15
例题 5-1
解: 1. 列挠曲线近似微分方程，并积分。该梁的弯矩方 程为
M x F l x ( 1 )
挠曲线近似微分方程为
(b)
E w M I x F l x ( 2 )
通过两次积分得 Ew IFlx x 22C 1 (3) EI F w l2 x 2x 6 3 C 1xC 2 (4)
材料力学(Ⅰ)电子教案
梁弯曲时的位移
16
例题 5-1
2. 确定积分常数，并求转角方程和挠曲线方程
相比可略去，于是得挠曲线近似微分方程
w Mx
EI
材料力学(Ⅰ)电子教案
梁弯曲时的位移
10
II. 挠曲线近似微分方程的积分及边界条件
w Mx
EI 求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为
E w I M x
后进行积分，再利用边界条件(boundary condition) 确定积分常数。
材料力学(Ⅰ)电子教案
该梁的边界条件为：在 x =0 处 w'=0 ，w =0
由(3)、(4)两式得 C 10 ， C 20
将C1和C2代入(3)、(4)两式，得
转角方程
qwFxF l 2x(5)
EI2EI
挠曲线方程
F2lx F3x w
(6)
2EI6EI
材料力学(Ⅰ)电子教案
梁弯曲时的位移
17
例题 5-1
转角方程
材料力学 第五章课件
M ym ax Iz
1)当 中性轴为对称轴时( 1)当 中性轴为对称轴时(The cross sections symmetrical about the neutral axis) :
σmax = M WZ
C
ymax
Z
W
=
I y
Z
max
ymax
y
WZ称为抗弯截面系数
( Stresses in Beams)
y
M
?
O
z x
σ =E
ρ
?
应力分布规律
y
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力， 直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离 成正比 待解决问题 中性轴的位置 中性层的曲率半径ρ 中性层的曲率半径ρ
?
( Stresses in Beams)
横截面的 对称轴
横截面
σ Eε E = = ρ
yc max
M
yt max 和 ycmax
直
接代入公式 z
yt max
y
My σ= Iz
求得相应的最大正应力
( Stresses in Beams)
( Stresses in Beams)
变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系 的分布规律 变形的分布规律 观察变形 提出假设
假设 假设
ε=
y
ρ
( Stresses in Beams)
3、物理关系(Physical relationship)
Hooke’s Law 所以
σ = Eε
Neutral surface Symmetrical axis of Cross Section Fig 5-3 5Neutral axis
材料力学第5章1-讲义
aF
Fa
A
C 纯弯曲 D
B
剪切弯曲或横力弯曲时，
弯 曲
梁的横截面上既有正应力又有
切应力。
讲 例如：
义
横力弯曲
F FS
Fa
M
横力弯曲
F
7
B 内力 dA 合成为剪力 FS 。
第 5
(3) 弯矩：
章
垂直于横截面的内力系的合
力偶矩，即横截面上的法向微元
FS M
弯 曲
内力 dA 的合力偶矩为弯矩 M 。
dA
(4) 梁弯曲时，横截面上的
讲 正应力和切应力分别称为弯曲正 义 应力和弯曲切应力。
dA dA 6
BRY 纯弯曲 (pure bending)
学
5.9 提高弯曲强度和刚度的主要措施
B 第
5.9.1 提高弯曲强度的主要措施
5
5.9.2 提高弯曲刚度的主要措施
章
5.10 弯曲问题的进一步讨论（不要求）
弯
5.10.1 梁的非弹性弯曲
曲
5.10.2 理想弹塑性梁的塑性分析
讲
作业5.1：0.53.1梁的5.极3 限5载.6荷 5.7 5.11 5.13
5.3.2 工字形截面的切应力
弯 曲
5.3.3 圆形截面和圆环形截面梁的切应力
5.4 弯曲强度条件及应用
讲 义
5.5 弯曲中心简介
1
BRY
5.6 弯曲变形的描述与挠曲线近似微分方程
5.6.1 弯曲变形的描述
5.6.2 挠曲线近似微分方程
材
5.7 计算弯曲位移的积分法
料 力
5力系（或其等效力系）仅为变
形前的轴线所在平面内的平面力系，且变形后的轴线也为该
05材料力学基本概念jianhua 共38页
4.75m
压杆
杆件变形的基本形式
§ 拉伸或压缩
当杆件两端承受沿轴线方向的拉力或压力 载荷时，杆件将产生轴向伸长或压缩变形
§ 剪切
在平行于杆横截面 的两个相距很近的平面 内，方向相对地作用着 两个横向力，当这两个 力相互错动并保持二者 之间的距离不变时，杆 件将产生剪切变形
§ 扭转
当作用在杆件上的力组成作用在垂直于杆轴平面 内的力偶Me时，杆件将产生扭转变形，即杆件的横 截面绕其轴相互转动 。
第一个学科是固体力构学件，的研概究物念体？在外力作用下
的应力、变形和能量。 但是，材料力学所研究的仅限于杆、轴、梁等纵
向尺寸（长度）远大于横向（横截面）尺寸的构件， 这类构件统称为杆或杆件。
第二个学科是材料科学中的材料的力学行为，研 究材料在外力和温度作用下所表现出的力学性能和失 效行为。但仅限于材料的宏观力学行为，不涉及材料 的微观机理。
y
dy dx
z
剪应力互等定理 在两个互相垂直
微元能不能平衡？
的平面上，剪应力 必然成对存在，且
哪些力互相平衡？
数值相等，两者都 垂直于两个平面的
怎样才能平衡？
交线，方向则共同 指向或共同背离这
一交线，这就是剪
应力互等定理
x 根据力偶平衡理论
dz
dydzdxdxdzdy
研究构件内部的变形状况，必须根据所观察到 的表面变形作出的一些合理的推测。对于杆状的 构件，可通过对微段的变形分析获得。
应力和应变
应力
应力定义的重
要性及其意义？
F1
F2
分布内力在一点
的集度，称为该点
处的应力（一点处
应力的概念）
材料力学I第五章ppt课件
而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积 分常数。要确定这些积分常数，除利用支座处的约束条件 (constraint condition)外，还需利用相邻两段梁在交界处的 连续条件(continuity condition)。这两类条件统称为边界条 件。
11
第五章 梁弯曲时的位移
例题5-1 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，
6
第五章 梁弯曲时的位移
从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作
1
x
1
w w2
3/ 2
1/为非负值的量，而w“是q = w' 沿
x方向的变化率，是有正负的。
w
1 w2
3/ 2
M x
EI
由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w2与1相比可略
去，于是得挠曲线近似微分方程 w M x
7
EI
第五章 梁弯曲时的位移
第五章 梁弯曲时的位移
§5-1 梁的位移——挠度和转角
梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直于x轴方向的 线位移w称为挠度(deflection)，横截面对其原来位置的角
位移q 称为横截面的转角(angle of rotation)。
1
第五章 梁弯曲时的位移
挠曲线(deflection curve)为一平坦而光滑的曲线，它 可以表达为: w=f(x)，此式称为挠曲线方程。
由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面 的转角θ也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角， 从而有转角方程：
q tanq w f x
2
第五章 梁弯曲时的位移
(a)
(b)
直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲
变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件
11
第五章 梁弯曲时的位移
例题5-1 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，
6
第五章 梁弯曲时的位移
从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作
1
x
1
w w2
3/ 2
1/为非负值的量，而w“是q = w' 沿
x方向的变化率，是有正负的。
w
1 w2
3/ 2
M x
EI
由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w2与1相比可略
去，于是得挠曲线近似微分方程 w M x
7
EI
第五章 梁弯曲时的位移
第五章 梁弯曲时的位移
§5-1 梁的位移——挠度和转角
梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直于x轴方向的 线位移w称为挠度(deflection)，横截面对其原来位置的角
位移q 称为横截面的转角(angle of rotation)。
1
第五章 梁弯曲时的位移
挠曲线(deflection curve)为一平坦而光滑的曲线，它 可以表达为: w=f(x)，此式称为挠曲线方程。
由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面 的转角θ也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角， 从而有转角方程：
q tanq w f x
2
第五章 梁弯曲时的位移
(a)
(b)
直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲
变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件
05第五章 材料力学(可修改).ppt
q Wz
q
优选
Wz
D3 (1 D3
4)
503 (1 0.64 ) 403
1.7
6
空心截面的许可载荷是实心截面的 1.7 倍。
例5-7 已知等截面简支梁，受均布载荷 q 作用如图( a ) 所示, 试比较下列各 截面的最大正应力和最大切应力。
解：1. 确定内力
Qm a x
1 2
ql
2. 计算应力
max M max l ht
max
Wz
4Wz
例5-1 钢制等截面简支梁受均布载荷 q 作用如图( a ) 所示，横截面为 h = 2b
的矩形。已知材料许用应力[σ] = 120 MPa，l = 2 m，q = 50 kN/m。求：梁分
别按图 ( b ) 和图 ( c ) 放置时的截面尺寸并比较其面积大小。
q (a) A
(b) B
l
解：1. 作弯矩图
Wz
bh2 6
2b3 3
b 3 3 7.5106 41.3mm 2 160
工字钢
Wz
M max [ ]
7.5 10 6 160
46.9cm3
选10号工字钢
A1 48cm2
A2 37.6cm2
A3 34 cm2 A4 14 cm2
Wz 49 cm3
A1 : A2 : A3 : A4 优3选.43: 2.69 : 2.43:1
杆的最大应力
N A
9q / 4
d2/4
[
]
q2
d 2[
9
]
152 160 9
12.56
kN/m
3. 综合分析
q min q优1,选q2 12.56 kN/m
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F1 F3
作用在弹性体上的外力相互平衡。
F2
Fn
假想截面
F1
F3
截开之后内力与外力平衡。
F2
分布内力
Fn
空间一般力系平衡方程
F1
My
Fy
Mx FX
F2
X 0
Y
0
Z
0
Mz Fz
M M
x y
0 0
M
z
0
所有力在X轴、Y轴、Z轴上的投影代数和等于零。 所有力对X轴、Y轴、Z轴之力矩代数和等于零。
物体受外力作用而变形，内部各部分之间因相对位置改变而 引起的相互作用，称为附加内力，简称内力。它随外力的变 化而变化。
求内力的方法：截面法
1）分二留一
假想地沿求内力的截面将构件分为两部分，取其中一部分为研究对象。
P2
P4
P1
m
I
II
m
P3
P5
P2 m
P1 I
P3
m
2）内力代替
在保留部分的截面上加上内力，以代替丢弃部分对保留部分的作用，连续分 布内力系可向截面形心简化。
限值称为Ｃ点的全应力。
lim PC
A0
FN A
dFN dA反映内力系在Fra bibliotek点的强弱程度。
3、一点的正应力、切应力 pC τ
σ
c
正应力：垂直于截面的分量。
切应力：切于截面的分量。
故：应力是指一点的应力，而某一点的应力有两个分量分 别是σ和τ。 σ与截面垂直，τ与截面相切。
4、应力单位
国际单位制：N m2 1Pa 工程单位制：kgf m2
外力
二、内力
在没有外力作用的情况下，其内部各质点之间均处于平衡状态， 如物体内部原子与原子之间或者分子与分子之间既有吸引力又 有排斥力，两种力是一种平衡力；这种平衡力能够使各质点之 间保持一定的相对位置，从而使物体维持一定的几何形状，由 此可见，一个完全不受外力作用的物体也是具有内力的。
当物体受外力作用发生变形时，内部质点间的相对距离发生了 改变，从而引起内力的改变，内力的改变量是一种“附加内 力”，“附加内力”和外力的大小相等但方向相反，用来抵抗 因外力作用引起的物体形状和尺寸的改变，并力图使物体回复 到变形前的状态和位置，这种附加内力就是我们常说的内力。
P2 m
P1 I
P3
P2
P1
FRy
FR
MF
C
M
FRx
P3
3）内外平衡 根据保留部分的平衡条件，求得截面上内力的合力。
内力可用通过截面形心上的合力表示。
My
Fy
F1
Mx
Fy’My’ Mx’
FX
Fx’
F2
Mz Fz
Fz’
Mz’
Fn 1
Fn
空间力系： Fx,Fy,Fz,Mx,My,Mz
内力必须满足平衡条件
1MPa106Pa 1GPa109Pa
kgf cm2
5、注意事项
受力物体内各截面上每点的应力，一般是不相同的。
它随着截面和截面上每点的位置而改变。
因此，在说明应力性质和数值时必须要说明它所在的位置 （哪个截面、哪个点）。
二、变形和应变
1、变形 构件受力以后，形状和尺寸产生的变化。 弹性变形：当外力撤销时，所有的变形均消失，构件恢 复到原来的状态。 塑性变形：当外力撤销后，变形不能恢复。 位移：变形后构件上的各个点、线、面产生的位置的改变。 线位移：构件内各点原来位置到新位置之间的距离。 角位移：原有截面（直线）在变形后所旋转的角度。
1）保证构件在正常的工作时不能发生破坏，具有足够的 抵抗破坏的能力。
——构件具有足够的强度（不发生破坏）
破坏——显著的塑性变形和断裂。 桥梁不应坍塌； 手机边框不会断裂；
2）构件在正常工作时变形不能过大，变形在允许范围内， 即构件具有足够的抵抗变形的能力。
——具有足够的刚度（变形在允许的范围内）。
载重卡车作用下桥梁的变形； 楼板的变形；床的变形等均在允许范围内。
2、线应变
F
构件原长L，在外力作用下发生变形，变形后的长度L’。 构件变形量 ∆L＝变形后长度L’－原长L。 那么，是否说∆L越大，构件的变形程度越大？或者说∆L越 小，构件的变形程度越小？ 故不能用构件的绝对变形量来衡量构件的变形程度，而衡 量构件变形程度的使命落在：单位长度的改变量——线应 变的身上。
普通钢材的显微组织 微观不均匀，宏观均匀。
3、各向同性假设
在物体内各个方向上的力学性能相同。
灰口铸铁的纤维组织 微观各向异性，宏观各向同性。
大多数工程材料虽然微观上不是各向同性的，例如金属材料，其单个 晶粒呈结晶各向异性，但当他们形成多晶聚集体的金属时，呈随机取 向，因而在宏观上表现为各向同性。
4、小变形与线弹性
工程力学
Engineering Mechanics
材料力学
整体概述
概况一
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概况二
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概况三
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基本概念
静力学研究对象： 刚体
材料力学的研究对象：变形体
材料力学的任务
1、连续性假设
认为整个物体体积内毫无空隙地充满物质。
球墨铸铁的显微组织 微观不连续，宏观连续。
实际上：组成固体的粒子之间存在间隙并不连续，但这种间隙与构件 的尺寸相比极其微小，故略去不计。
2、均匀性假设
认为物体内的任何部分，其力学性能相同。 力学性能： 固体在外力的作用下表现出变形与破坏方面的性质。
应力与应变
一、应力
分布内力在截面内一点的密集程度。
1、平均应力
m FN c
A
pm
FN A
m 微元A上的平均应力。 微元A范围内，单位面积上内力的平均集度。
2、一点的应力（全应力） m
FN
c
A
m
平均应力 P m 随 A 的逐渐缩小，大小和方向也都随之
逐渐变化，当 A →０时，P m 趋近于一极限值。此极
A
δ1
B
C
δ2
F
δ远小于构件的最小尺寸，所以通过静力平衡求各杆受力时，把变 形略去不计。
对构件进行受力分析时可忽略其变形。
外力、内力与截面法
一、外力和内力
1）外力及其分类 外力：某一物体受到的其它物体对它的作用力，包括载荷、 约束反力。 外力的分类：
（1）按作用方式分 体力：重力和惯性力 面力：表面力、体积力
材料力学的任务
3）受压力作用的细长杆，（千斤顶的螺杆、内燃机的挺杆、 液压活塞杆、自行车打气筒的活塞杆等）应始终维持原 有直线平衡形态；
即保证构件在正常工作时不被压弯，构件应具有足够的保持原有直 线形态平衡的能力。
——足够的稳定性（保持原有平衡状态的能力）。
材料力学的基本假设
变形的基本假设
• 1.连续性假设： • 2.均匀性假设： • 3.各向同性假设： • 4.小变形与线弹性
作用在弹性体上的外力相互平衡。
F2
Fn
假想截面
F1
F3
截开之后内力与外力平衡。
F2
分布内力
Fn
空间一般力系平衡方程
F1
My
Fy
Mx FX
F2
X 0
Y
0
Z
0
Mz Fz
M M
x y
0 0
M
z
0
所有力在X轴、Y轴、Z轴上的投影代数和等于零。 所有力对X轴、Y轴、Z轴之力矩代数和等于零。
物体受外力作用而变形，内部各部分之间因相对位置改变而 引起的相互作用，称为附加内力，简称内力。它随外力的变 化而变化。
求内力的方法：截面法
1）分二留一
假想地沿求内力的截面将构件分为两部分，取其中一部分为研究对象。
P2
P4
P1
m
I
II
m
P3
P5
P2 m
P1 I
P3
m
2）内力代替
在保留部分的截面上加上内力，以代替丢弃部分对保留部分的作用，连续分 布内力系可向截面形心简化。
限值称为Ｃ点的全应力。
lim PC
A0
FN A
dFN dA反映内力系在Fra bibliotek点的强弱程度。
3、一点的正应力、切应力 pC τ
σ
c
正应力：垂直于截面的分量。
切应力：切于截面的分量。
故：应力是指一点的应力，而某一点的应力有两个分量分 别是σ和τ。 σ与截面垂直，τ与截面相切。
4、应力单位
国际单位制：N m2 1Pa 工程单位制：kgf m2
外力
二、内力
在没有外力作用的情况下，其内部各质点之间均处于平衡状态， 如物体内部原子与原子之间或者分子与分子之间既有吸引力又 有排斥力，两种力是一种平衡力；这种平衡力能够使各质点之 间保持一定的相对位置，从而使物体维持一定的几何形状，由 此可见，一个完全不受外力作用的物体也是具有内力的。
当物体受外力作用发生变形时，内部质点间的相对距离发生了 改变，从而引起内力的改变，内力的改变量是一种“附加内 力”，“附加内力”和外力的大小相等但方向相反，用来抵抗 因外力作用引起的物体形状和尺寸的改变，并力图使物体回复 到变形前的状态和位置，这种附加内力就是我们常说的内力。
P2 m
P1 I
P3
P2
P1
FRy
FR
MF
C
M
FRx
P3
3）内外平衡 根据保留部分的平衡条件，求得截面上内力的合力。
内力可用通过截面形心上的合力表示。
My
Fy
F1
Mx
Fy’My’ Mx’
FX
Fx’
F2
Mz Fz
Fz’
Mz’
Fn 1
Fn
空间力系： Fx,Fy,Fz,Mx,My,Mz
内力必须满足平衡条件
1MPa106Pa 1GPa109Pa
kgf cm2
5、注意事项
受力物体内各截面上每点的应力，一般是不相同的。
它随着截面和截面上每点的位置而改变。
因此，在说明应力性质和数值时必须要说明它所在的位置 （哪个截面、哪个点）。
二、变形和应变
1、变形 构件受力以后，形状和尺寸产生的变化。 弹性变形：当外力撤销时，所有的变形均消失，构件恢 复到原来的状态。 塑性变形：当外力撤销后，变形不能恢复。 位移：变形后构件上的各个点、线、面产生的位置的改变。 线位移：构件内各点原来位置到新位置之间的距离。 角位移：原有截面（直线）在变形后所旋转的角度。
1）保证构件在正常的工作时不能发生破坏，具有足够的 抵抗破坏的能力。
——构件具有足够的强度（不发生破坏）
破坏——显著的塑性变形和断裂。 桥梁不应坍塌； 手机边框不会断裂；
2）构件在正常工作时变形不能过大，变形在允许范围内， 即构件具有足够的抵抗变形的能力。
——具有足够的刚度（变形在允许的范围内）。
载重卡车作用下桥梁的变形； 楼板的变形；床的变形等均在允许范围内。
2、线应变
F
构件原长L，在外力作用下发生变形，变形后的长度L’。 构件变形量 ∆L＝变形后长度L’－原长L。 那么，是否说∆L越大，构件的变形程度越大？或者说∆L越 小，构件的变形程度越小？ 故不能用构件的绝对变形量来衡量构件的变形程度，而衡 量构件变形程度的使命落在：单位长度的改变量——线应 变的身上。
普通钢材的显微组织 微观不均匀，宏观均匀。
3、各向同性假设
在物体内各个方向上的力学性能相同。
灰口铸铁的纤维组织 微观各向异性，宏观各向同性。
大多数工程材料虽然微观上不是各向同性的，例如金属材料，其单个 晶粒呈结晶各向异性，但当他们形成多晶聚集体的金属时，呈随机取 向，因而在宏观上表现为各向同性。
4、小变形与线弹性
工程力学
Engineering Mechanics
材料力学
整体概述
概况一
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概况二
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基本概念
静力学研究对象： 刚体
材料力学的研究对象：变形体
材料力学的任务
1、连续性假设
认为整个物体体积内毫无空隙地充满物质。
球墨铸铁的显微组织 微观不连续，宏观连续。
实际上：组成固体的粒子之间存在间隙并不连续，但这种间隙与构件 的尺寸相比极其微小，故略去不计。
2、均匀性假设
认为物体内的任何部分，其力学性能相同。 力学性能： 固体在外力的作用下表现出变形与破坏方面的性质。
应力与应变
一、应力
分布内力在截面内一点的密集程度。
1、平均应力
m FN c
A
pm
FN A
m 微元A上的平均应力。 微元A范围内，单位面积上内力的平均集度。
2、一点的应力（全应力） m
FN
c
A
m
平均应力 P m 随 A 的逐渐缩小，大小和方向也都随之
逐渐变化，当 A →０时，P m 趋近于一极限值。此极
A
δ1
B
C
δ2
F
δ远小于构件的最小尺寸，所以通过静力平衡求各杆受力时，把变 形略去不计。
对构件进行受力分析时可忽略其变形。
外力、内力与截面法
一、外力和内力
1）外力及其分类 外力：某一物体受到的其它物体对它的作用力，包括载荷、 约束反力。 外力的分类：
（1）按作用方式分 体力：重力和惯性力 面力：表面力、体积力
材料力学的任务
3）受压力作用的细长杆，（千斤顶的螺杆、内燃机的挺杆、 液压活塞杆、自行车打气筒的活塞杆等）应始终维持原 有直线平衡形态；
即保证构件在正常工作时不被压弯，构件应具有足够的保持原有直 线形态平衡的能力。
——足够的稳定性（保持原有平衡状态的能力）。
材料力学的基本假设
变形的基本假设
• 1.连续性假设： • 2.均匀性假设： • 3.各向同性假设： • 4.小变形与线弹性