第3讲线性变换及其矩阵

第三讲 线性变换及其矩阵

一、线性变换及其运算

定义：设V 是数域K 上的线性空间，T 是V 到自身的一个映射，使得

对于V 中的任意元素x 均存在唯一的V y ∈与之对应，则称T 为

V 的一个变换或算子，记为

=Tx y

称y 为x 在变换T 下的象，x 为y 的原象。 若变化T 还满足

()()()+=+T kx ly k Tx l Ty ,,,∀∈∈x y V k l K

称T 为线性变换。

[例1] 二维实向量空间12

i 2R R ξξξ⎧⎫⎡⎤⎪⎪

=∈⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭

，将其绕原点旋转θ角的

操作就是一个线性变换。

[证明] 12x ξξ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 12y Tx ηη⎡⎤

==⎢⎥⎣⎦

112212cos sin sin cos ηξθξθ

ηξθξθ

=-⎧⎨

=+⎩ 1122cos sin sin cos ηξθ

θηξθ

θ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

2

R ∈

θ

1

η2

η1

ξ2ξx

y

o

可见该操作为变换，下面证明其为线性变换

12x x x ⎡⎤∀=⎢⎥⎣⎦ 12z z z ⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦2R ∈，,R k l ∈

11112222=kx lz kx lz kx lz kx lz kx lz +⎡⎤⎡⎤⎡⎤

++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥

+⎣⎦⎣⎦⎣⎦

11221122cos sin ()sin cos cos sin cos sin sin cos sin cos ()()

kx lz T kx lz kx lz x z k l x z k Tx l Tz θθθθθθθ

θθθθθ+-⎡⎤

⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦

--⎡⎤⎡⎤

⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

=+ ∴ T 是线性变换。

[例2] 次数不超过n 的全体实多项式n P 构成实数域上的一个1n +维的线性空间，其基可选为{}n x x x ,,,,12 ，微分算子d

D dx

=是n P 上的一个线性变换。

[证明] 显然D 对n P 而言是变换，

要证明D 满足线性变换的条件

n ,P f g ∀∈，,R k l ∈

()()()D kf lg k Df l Dg +=+

∴ D 是n P 上的线性变换。

2. 性质

（1） 线性变换把零元素仍变为零元素 （2） 负元素的象为原来元素的象的负元素

（3） 线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组 [证明] 线性变换()()()+=+T kx ly k Tx l Ty

（1）()()()===00T O T x Tx O

（2）()()()()-=-=-1T x Tx Tx

（3）元素组m x x x ,,,21 线性相关，即存在一组不全为零的数

m k k k ,,,21 使

10m

i i

i k x

==∑

则 1

1

()()(0)0m m

i i i i i i T k x k Tx T =====∑∑

∴

{}i Tx 线性相关。

[得证]

应该注意，线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的，变换后的情况与元素组和线性变换有关。若线性变换T 将所有的元素组仍变换为线性无关的元素组，则称之为满秩的线性变换，其变换矩阵为满秩矩阵。 3. 线性变换的运算

（1） 恒等变换e T ：,e x V T x x ∀∈= （2） 零变换0T ：0,0x V T x ∀∈=

（3） 变换的相等：1T 、2T 是V 的两个线性变换，x V ∀∈，均有

12T x T x =，则称12T T =

（4） 线性变换的和12T T +：x V ∀∈，1212()T T x T x Tx +=+ （5） 线性变换的数乘kT ：x V ∀∈，()()kT x k Tx =

负变换：()()T x Tx -=-

（6） 线性变换的乘积12T T ：x V ∀∈，1212()()T T x T T x =

（7） 逆变换1T -：x V ∀∈，若存在线性变换S 使得()ST x x ≡，则

称S 为T 的逆变换1S T -= （8） 线性变换的多项式：

个

n n T TT T =，并规定0

e T T = 0

()N

n

n n f T a T ==∑ →

()N

n n n f T x a T x ==∑

需要说明的是：

1）e T 也称为单位变换，它的矩阵表示为单位矩阵I ； 2）0T 对应的矩阵表示为零矩阵；

3）和矩阵的乘积一样，线性变换的乘积不满足交换律；

4）不是所有的变换都具有逆变换，只有满秩变换才有逆变换，

e ST T =；

5）恒等变换、零变换、线性变换的和、乘积多项式及逆变换（若存在）均为线性变换。

二、线性变换的矩阵表示

线性变换用矩阵表示，将抽象的线性变换转化为具体的矩阵形式。

设T 是线性空间n V 的一个线性变换，且{}n x x x ,,,21 是n V 的一个基，n V x ∀∈，存在唯一的坐标表示

[]n x x x x x x x n n n ξξξξξξ+++=⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 22112

121,,,