机械工程测试技术基础信号处理初步

线性相关，直线的斜率为负表明一变量随另一变量的增
加而减少； ? x，y ?表0明两个变量完全无关。
§5-3 相关分析 –自相关函数
设x(t)为某各态历经随机过程的一个样本记录，x(t+τ) 是在时间轴上移动τ后的样本，两个样本具有相同的均值 和标准差。
§5-3 相关分析 –自相关函数
x(t)与x(t+τ)的相关系数为：
第五章 信号处理初步
第三节 相关分析及应用 第四节 功率谱分析及应用
§5-3 相关分析 –相关
相关是指变 量之间的存 在着相互关 联，如人的 身高和体重 之间存在一 定的相关性。
§5-3 相关分析–相关系数
变量x和y之间的相关程度常用相关系数表示：
? ? ?xy
?
? xy ? x? y
?
E ???x ? ?x ? y ? ?y
??
t?
?
?sin
??
?t ? ? ?? ?
?dt
? A 2 cos ?? sinαsinβ=-1/2[cos(α+-βco)s(α-β)]
2
正弦信号的自相关函数保留了幅值和频率的信息，但 丢 失了初始相位信息。
§5-3 相关分析 –自相关
1、以上分析仅对各态历经随机信号和功率信号有效：
Rx ???
利用自相关函数 的这一性质可以 发现和提取混杂 在噪声信号中的 周期信号成份。
§5-3 相关分析 –自相关
例 求正弦信号的自相关函数：
x ?t ? ? A sin ?? t ? ? ?
? R x ?? ? ?
lim
T? ?
1 T
? x ?t ?x ?t ? ? ?dt
0
?
1 T
T
?0
A 2 sin
典型信号自相关函数
§5-3 相关分析 –自相关
工程应用实例：加工表面粗糙度分析，如图。对表面粗糙 度波形进行分析，发现其自相关函数中的周期成份，可以 进一步分析原因。
§5-3 相关分析 –互相关函数
互相关函数
两个信号x(t)和y(t)的互相关函数定义为：
? Rxy
???
?
lim
T? ?
1 T
? x?t? y?t ? ??dt
?
lim
T? ?
1 T
T
?0
x
?t?
x
?t
?
? ?d t
? Rxy
???
?
lim
T? ?
1 T
T x ?t? y ?t ? ??dt
0
2、而对于能量信号：
Rx
?? ??
??
?? ?
x ?t?
x ?t
?
? ?dt
R xy ?? ? ?
??
?? ?
x ?t?
y ?t
? ? ?dt
§5-3 相关分析 –自相关
0
互相关函数是两个不同时间函数之间相关性的度量。
§5-3 相关分析 –互相关性质
?? ?? ? ?? ?? ? ? ? ? 取值范围：
? ? x y ? x y ? Rxy
? x y? x y
非偶函数。
同频周 期 信号相 关 ， 不同 频 周期信 号 不相关 。 （ 书 P165 例）
互相关函数 Rxy ?? ?, Ryx ?? ?一般是不等的，书写是要注
体现了自功率谱密度函 数和信号之间的关系
Rx ???
?
lim
T? ?
1 T
T
?0
x ?t? x ?t
? ??dt
§5-4 功率谱分析 –双边谱与单边谱
自相关函数为实偶函数，则自功率谱密度函数也为 实偶 函数。
沿频率轴正负半轴对称分布，这种功率谱称为双边谱。
为了符合工程实际，考虑的频率范围一般都是正频率范 围部分，称为 单边谱 。为了保持信号能量不变，单边 谱和双边谱成二倍关系。
? ? 时?，
Rx ?? ??
?
2 x
?? ? ? ? ?? ? ? 当τ=0时，Rx(0)为最大值。
? ??
?? ?
? ? 取值范围：
2 x
?
2 x
? Rx
?
? 2
2
x
x
周期信号的自相关函数也是周期函数，其周期与信号的周期
相同，但波形不同，且丢失了原信号的相位信息（例）。
两个信号之和的自相关函数等于各信号自相关函数之和。
意。
§5-3 相关分析 –互相关函数的应用
互相关函数的应用： 工程应用：测速、定位、检漏、滤波。 互相关应用1：测速
v=d /τd
τd
§5-3 相关分析 –互相关函数的应用
互相关应用2：检漏
τm
s=τmv / 2
Байду номын сангаас
v：音响在管道中的传播速度; τm：时间差。
§5-4 功率谱分析 –自功率谱
自功率谱密度函数：S x ?f ?? ???? R x ???e ? ? j 2?f? d 逆变换： R x ??? ? ???? S x ?f ?e j 2?f? df
? x? y
??
? x, ? y：分别为随机变量x，y的均值； ? x ? E[ x]
? x,? y
：分别为随机变量
x，y的标准差。
?
2 x
?
E ???x ?
?
x
?2
? ?
? xy 是变量x，y的协方差。
可以证明，相关系数 ? xy 的取值在正负1之间。当 ? xy ?时1 ，
表明两个随机变量精确线性相关； ? xy ?时?，1 也是精确
§5-4 功率谱分析 –自功率谱
物理意义：
自功率谱密度函数表示信号的功率密度沿频率轴的分
布情况。而信号的平均功率等于自功率谱密度函数曲
线下包括的面积。
R x ??? ? ???? S x ?f ?e j 2?f? df
? Rx ?0??
? ??
Sx
?f
?df
?
Lim T ??
1 T
T
?0
x2
?t ?dt
? T ?? T
T x(t)x(t ? ?)dt ?
0
?
2 x
?
Rx ?? ??
?
2 x
?
2 x
?
2 x
? ? 定义自相关函数为： Rx ??
?
lim
T? ?
1 T
T x ?t? x ?t ? ??dt
0
§5-3 相关分析 –自相关函数性质
自相关函数为偶函数，即Rx(τ)= Rx(-τ)。
随机x(t信)与号x的(t+Rτx)(不τ)相随关着，τ的即增大而逐?渐x ?收? ，?敛?。当0
? lim 1
? x?t?x?t?? ? ? ? x (? ) ? T?? T
T
0 [x(t) ? ? x ][ x(t ? ?) ? ? x ]dt ? x? x
? lim 1
? T ?? T
T 0
??x(t ) x(t
?
?)
?
x(t)?
x
?
x(t
?
?)?
x
?
?
2 x
??dt
?
2 x
? lim 1
即自相关函数和自功率谱密度函数互为傅里叶变换对：
Rx ??? ? Sx ?f?
自功率谱密度函数简称自功率谱。
随机信号不是周期信号，因而不能用傅里叶级数展开其 频谱；而且随机信号在时间轴上无限延续，也不满足绝 对可积的条件，不能用傅里叶变换求其频谱。随机信号 的自相关函数是绝对可积的，通过求随机信号自相关函 数的傅里叶变换来得到频域信息。