复变函数——傅氏变换课后答案

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傅氏变换习题解答

习题一
1．试证：若f (t)满足傅氏积分定理的条件，则有

+∞ +∞
f (t) ∫ a(ω) cosωtdω+ b(ω) sin ωtdω∫
0 0

其中
1 +∞
ω τ ωτ τ
a( ) ∫?∞ f ( ) cos d ,
π
1 +∞
ω τ ωτ τ
b( ) ∫?∞ f ( ) sin d
π
1 +∞ +∞ 1 +∞ +∞
f t f τ e?jωτdτejωt dω f τ ωτ? ωτ ωtdτdω
证 () ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ( )(cos j sin ) cos
2π ?∞ ?∞ 2π ?∞ ?∞

1 +∞ +∞ +∞ 1 +∞
f τ ωτdτ ωtdω
+ ∫ ∫ f ( )τ (cosωτ?j sin ωτ)j sin ωt dτdω ∫ ∫ ( )cos cos
2π ?∞ ?∞ 0 π ?∞
+∞ 1 +∞ +∞ +∞
a ω ωtdω=+ b ω ωtdω
+ f τ ωτd τ dω ( ) cos ( ) sin
∫ ∫ ( )sin sin ωt ∫0 ∫0
?∞ π ?∞

+∞ +∞
因 f τ sinωτcosωt dτdω为ω的奇函数， f τ cosωτcosωt dτdω为ω的偶函数。
∫?∞ ( ) ∫?∞ ( )

2．试证：若f (t)满足傅氏积分定理的条件，当f (t)为奇函数时，则有
() +∞( ) ( )
f t ∫b ωsin ωt dω
0

其中

2 +∞
ω τ ωτ τ
b f sin d
( ) ∫0 ( ) ( )
π

当f ()t 为偶函数时，则有

+∞
f ()t ∫a(ω)cos(ωt)dω
0

其中


2 +∞
ω τ ωτ τ
a f cos d
( ) ∫0 ( ) ( )
π
证 设f ()t 是奇函数

1 +∞ +∞ 1 +∞ +∞
f t f τ e?jωτdτejωt dω f τ ωτ=? ωτ dτejωt dω
() ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ( )(cos j sin )
2π ?∞ ?∞ 2π ?∞ ?∞

1 +∞ +∞ 1 +∞
jωt jωt b(ω) ω
sin 。（ 是 的奇函数）
f τ ωτdτe dω b ωe dω
∫ ∫ ( ) ∫ ( )
πj ?∞ 0 2j ?∞

1 +∞ +∞
b cos t j sin t d b sin td
ω ω =+ ω ω ω ω ω
2j ∫?∞ ( )( ) ∫0 ( )

设f ()t 是偶函数

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------

1 +∞ +∞ 1 +∞ +∞
f t f τ e?jωτdτejωt dω f τ ωτ=? ωτ dτejωt dω
() ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ( )(cos j sin )
2π ?∞ ?∞ 2π ?∞ ?∞

1 +∞ +∞
a ωejωt dω a ω ωtdω
2 ∫?∞ ( ) ∫0 ( )cos

a(ω)是ω的偶函数。（注也可由1 题推证2 题）

?1, | t |≤1
3．在题2 中，设f t ，试算出a(ω)，并推证
() ?
0, |t |>1
?

?π
?2 , | t |<1
?
+∞sin cos
ω ωt ?π
∫0 ω dω ??4 , |t | 1

?0, |t |>1
?
?

证 f (t)是偶函数

2 +∞ 2 sinωt 1 2 si
nω
a ω f t cosωtdt
( ) π∫0 () π ω 0 π ω

+∞ +∞ ω ω
2 sin cos t
f ()t ∫0 a(ω)cosωtdω π∫0 ω dω

? π
? 2 |t |<1
?
+∞sin cos 0 1
ω ωt π ?π + π
所以 dω f t |t | 1。
∫0 ω 2 () ??2 2 4

? 0 | t |>1
?
?

习题二

A, 0 ≤t ≤τ
?
1．求矩形脉冲函数f (t ) ? 的傅氏变换。
?0, 其他

+∞ τ
解 F (ω) ? ? ? ?jωt ?jωt
f t f t e dt Ae dt
() ()
? ? ∫?∞ ∫0

τ
?jωt
e ?iωτ ?jωτ
e ?1 1?e
A 0 A A
?jω ?jω jω

2．求下列函数的傅氏积分：

?∞< <?
?0, t 1
2 2 ?
? ? <t <
? 1, 1 0
1?t , t <1 ? 0, t <0 ?
（1）f t （2 ） () （3）f t
() ? 2 f t ??t () ?
e sin 2t, t ≥0 t
? 0, t >1 ? ?1, 0 < <1

?0, 1 t
? < <+∞

? 2
1? , | |<1
t t
解 （1）函数 () 满足傅氏积分定理的条件，傅氏积分公式为
f t ?
? 0, | t |>1

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1 +∞ +∞ 1 +∞ 1
f t f t e?iωt dteiωt dω 1=?t2 e?iωt dteiωt dω
() ∫ ∫ ()

∫ ∫1( )
2π ?∞ ?∞ 2π ?∞ ?

1
2
1 +∞ 1 2 iωt 1 +∞?sinωt ?2t cosωt 2sinωt t sinωt ?? iωt
∫ ∫0 (1=?t )cosωtdte dω ∫ ? =?? 2 ? 3 + ??e dω]
π ?∞ π ?∞ ? ω ? ω ω ω ??0

1 +∞2 sin ω?ωcosω( ) iωt 4 +∞sin ω?ωcosω
ω ω
e dω cos td
∫?∞ 3 ∫0 3
π ω π ω

? 0, t <0
()
（2 ）f t ??t 满足傅氏积分定理的条件，其傅氏积分公式为
e sin 2t, t ≥0
?

1 +∞ +∞ 1 +∞ +∞
f t f t e?iωt dteiωt dω e?t sin 2te?iωt dteiωt dω
() ∫ ∫ () ∫ ∫0
2π ?∞ ?∞ 2π ?∞

i2t ?i2t
1 +∞ +∞ e ?e 1 +∞ +∞ ?+ ? ?? +
t i 2 ωt t i 2 ωt
∫ ∫ e?t e?iωt dteiωt dω ∫ ∫0 (e ( ) =?e ( ) )dteiωt dω
2π ?∞ 0 2i 4πi ?∞

+∞
1 i 2 ω t 1 i 2 ω t
1 +∞? e???+ ?( )?? e???? +( )?? ? iωt
π ∫?∞ ?? +
?ω =?? ? +ω ? e dω
4 i ?? 1 i(2 ) 1 i(2 )??0

1 +∞? ?1 ?1 ?iωt
∫?∞ ? =? ?e dω
π ? + ?ω ? ? +ω
4 i ? 1 i (2 ) 1 i (2 )?

2
+∞ 5?ω ?2ωi
1 ( )
cos t i sin t d
∫?∞ 25 6 2 4 ( ω=+ ω ω)
π ω ω
? +

2 2
+∞ 5?ω cosωt +2ωsinωt +∞ 5?ω sin ωt ?2ωcosωt
1 ( ) i ( )
dω=+ dω
∫?∞ 2 4 ∫?∞ 2 4
π ω ω π ω ω
25 ?6 + 25?6 +

2
+∞ 5?ω cosωt +2ωsin ωt
2 ( )
dω
∫0 2 4
π ω ω
25 ?6 +

?1, ?1<t <0
?
?
（3）函数 () ，满足傅氏积分定理的条件，其傅氏积分公式为
f t ?1, 0 <t <1 是奇函数
??0, 其他

1 +∞ +∞ 1 +∞ +∞
f t f t e?iωt dteiωt dω f t sinωtdteiωt dω
() ∫ ∫ () ∫ ∫0 ()
2π ?∞ ?∞ πi ?∞

1 +∞ 1 1 +∞1?cosω
1 sin iωt iωt
∫ ∫0 =? ωtdte dω ∫ e dω
πi ?∞ πi ?∞ ω

2 +∞1?cosω
∫ sinωtdω
π 0 ω

( 0) ( 0)
在f ()t 的间断点t0 ?1,0,1处以f t0 + +f t0 ? 代替。
2

3．求下列函数的傅氏变换，并推证下列积分结果
。

（1）f (t) e?β|t| β>0 +∞ cosωt π ?β|t|
（ ），证明 dω e
∫0 2 + 2
β ω 2β

2
?|t| +∞ω +2 π t
（2 ）f ()t e cost ，证明 ( ) ?| |
t d e t
cos ω ω cos
∫ 4
0 ω +4 2

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?π
+∞ sin , | |≤π
ωπ ω t t
sin , | | , sin sin t
? t t ≤π ?
（3） () 证明 dω
f t ??0, | t |>π, ∫0 1?ω2 ???2 0, |t |>π

iωt ?iωt
+∞ +∞ +∞ e +e
解 （1）F ()t ? ?f t ? e?β|t|e?iωt dt =2 e?βt cosωtdt 2 e?βt dt
? ()? ∫?∞ ∫0 ∫0 2

+∞ +∞
? ? ? ?
β iω t β iω t
( ) ( )
e e
+∞ β ω t β ωt
? ?i ? +i
∫0 ??e ( ) =+e ( ) ??dt ? ? 0 +? + 0
(β iω) (β iω)

1 1 2β
=+
2 2
β ω β ω β ω
?i +i +

f (t)的积分表达式为

1 +∞ iωt 1 +∞ 2β 2 +∞ β
() ( )
f t F ωe dω cos t
i sin t d cos td
2π∫?∞ 2 ∫?∞ 2 2 ( ω =+ ω ω) ∫0 2 2 ω ω
π β +ω π β +ω

+∞ cosωt π
即 dω e?β|t|
∫0 2 2
β ω 2β
+

i t ?i t
+∞ +∞ e +e
（2 ）F (ω) ? [ ()] ?|t| ?iωt ?|t| ?iωt
f t ∫?∞e coste dt ∫?∞e 2 e dt

1 0 1 i 1 0 1 i 1 +∞ 1 i 1 +∞ 1 i 1
+ ?ω t ? +ω t ?+ ?ω t ?? +ω t
{ e?? ( )??dt =+ e?? ( )??dt + e?? ( )?? dt + e?? ( )?? dt}
2

∫?∞ ∫?∞ ∫0 ∫0

0 0 +∞ +∞
1 i 1 ω t 1 i 1 ω t
?+ ? ? ?? + ? ??+ ? ? ??? + ?
? 1 i 1 ω t 1 i 1 ω t ( ) ( ) ?
? ( )? ? ( )? ? ? ? ?
1?e ?∞ e ?∞ e 0 e 0 ?
= ? + + + ?
+ ? ? + ? + ? ? ? +
2 1 i 1 ω 1 i 1 ω 1 i 1 ω 1 i 1 ω
? ( ) ( ) ( ) ( )?
? ?

? ? 2
1 1 1 1 1 2ω +4
? =+ + + ? 4
+ ?ω ? +ω ? ?ω + +ω +
2 ?1 i (1 ) 1 i (1 ) 1 i (1 ) 1 i (1 )? ω 4

f (t)的积分表达式为

2 2
1 +∞ 1 +∞2 +4
+∞ +
f ()t F ( )eiωt d ω eiωt dω 1 2ω 4 cosωtdω
ω ω
∫ ∫ 4 ∫ 4
2π ?∞ 2π ?∞ +4 π 0 +
ω ω 4

2
+∞ω +2 π π
?| |
因此有 cosω ω () t cos
∫ 4 td f t e t
0 ω +4 2 2

+∞ π π π
（3）F (ω) ? ?f t ? f t e?iωt dt sin te?iωt dt sin t(cosωt ?i sinωt)dt ?2i sin t sinωtdt
? ()? ∫ () ∫ ∫ ∫
?∞ ?π ?π 0

? ( )π ( )π ?
π sin 1+ωt sin 1?ωt
[ ( ) ( )] ? 0 ? 0 ?
= i ∫ cos 1+ωt ?cos 1?ωt dt i
0 ? 1+ω 1?ω ?
? ?

ωπ ω ωπ ωπ ω ωπ
( ) ( ) ( ) ( ) sinωπ
sin 1+ ? sin 1+ ?sin 1? ? sin 1?
i ?2 i
1?ω2 1?ω2

f (t)的积分表达式为

1 +∞ iωt 1 +∞? sinωπ? iωt
() ( )
f t F ωe dω ?2i e

dω
? ?
2π∫?∞ 2π∫?∞? 1?ω2 ?

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? +∞ 2 +∞sin sin t
i sinωπ ωπ ω
( + )
cos t i sin t d dω
ω ω ω
∫ 2 ∫ 2
π ?∞ 1?ω
π 0 1?ω

?π
因此有 +∞sinωπsinωt π () ? sin t, | t |≤π
∫ 2 dω f t ?2
0 1?ω 2 ?? 0, | t |>π

sin ω
4．已知某函数f (t)的傅氏变换为F (ω) ，求该函数f (t)。
ω
解 () 1 +∞ ( )iωt 1 +∞sinω( )
f t 2π∫?∞F ωe dω 2π∫?∞ ω cosωt +isinωt dω

+∞ +∞ t t
sin(1+ )ω+sin 1? ω
1 sin ω 1 ( )
td d
∫?∞ cosω ω ∫0 ω
2π ω 2π ω
+∞ ( ) +∞ ( )
1 sin 1+t ω 1 sin 1?t ω
∫ dω+ ∫ dω （*）
2π 0 ω 2π 0 ω

+∞sin x π
而由∫ dx 得
0 x 2

+∞sin uω +∞sin uω +∞sin x π
当u >0时， dω duω dx
∫ ∫ ∫
0 ω 0 uω 0 x 2

+∞ sin ω +∞ sin ( )ω π
u ?u
当u <0 时，∫0 ω dω ?∫0 ω dω ?2

+∞sinuω
当u 0 时，∫0 dω 0, 所以由(*)式有
ω

?1
? , | t |<1
?2
?1
f t t
() ? , | | 1
?4
?0, | t |>1
??

5 ．已知某函数的傅氏变换为F (ω) πδ[ (ω=+ω) +δ(ω?ω)] ，求该函数f (t)。

0 0

1 +∞ iωt 1 +∞ iωt
f t F ωe dω πδω+ω +δω?ω e dω
解 () ∫?∞ ( ) ∫?∞ [ ( 0 ) ( 0 )]
2π 2π

-iωt iωt
e 0 +e 0
cosωt
0
2

?1, t <0
t ?
6．求符号函数（又称正负号函数）sgn t ? 的傅氏变换。
|t | ?1, t >0

+∞
解 符号函数不满足傅氏积分定理的条件，显然∫?∞ | sgn t | dt →+∞不收敛。按照如下方式推广傅氏

??t / n >
e

, t 0
? df
变换的定义。首先注意到可取f n (t ) ? 0 t 0 ，且sgn t lim f n (t) ，F [sgnt] lim F [f n (t)] ，而
n→∞ n→∞
? t / n
??e t <0

f n (t) 满足傅氏积分定理的条件，且

+∞ +∞ 0
F [ω] ? ?f t ? f t e?iωt dt e?t / ne?iωt dt ? et / ne?iωt dt
n ? n ()? ∫?∞ () ∫0 ∫?∞

----------------------- Page 6-----------------------

1 1 ?2ωi
= ? =
1 1 1 2
+iω ?iω ? ? 2
n n ? ? +ω
n
? ?

?2
?2ωi ? , ω≠0
故F [ω] ? f t lim F [ω]
? ?
() n 2 ?iω
? ?
n→∞ 1
? ? +ω2 ??0, ω 0

? ?
n
? ?

注： 一般地，若 lim f (x) f (x) ，且f (x) 古典意义下的傅氏变换F [ω] ? ?f t ?，(n 1,2,) 都
n n n ? n ()?
n→+∞

存在，且当n →+∞，函数族{F [ω]}收敛，则称该极限为f (x) 在极限意义下的傅氏变换，即

F [ω] ? [f (x )] lim F [ω]
n
n→+∞

1 a a
δ + +δ ? +δ + +δ ? 的傅氏变换。
7．求函数 ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )]
f t t a t a t t
2 2 2
F (ω) [f ()t ]
解 ?

1? +∞δ t =+a e?iωt dt + +∞δ t ?a e?iωt dt +∞δ? a ? ?iωt +∞δ? a ? ?iωt ?
( ) ( ) + t + e dt + t ? e dt
2 ??∫?∞ ∫?∞ ∫?∞ ?? 2 ?? ∫?∞ ?? 2?? ??

a a
1? ?iω iω ? ωa
?iωa iωa 2 2
e e e e cosω =+cos
? =+ + + ? a
2 ? ? 2

8．求函数f (t) cost sin t 的傅氏变换。

+∞ ?iωt 1 +∞ ?iωt 1 +∞ei 2t ?e?i 2t ?iωt
解 F (ω) ? ?f t ? cost sin te dt sin 2te dt e dt
? ()? ∫?∞ 2 ∫?∞ 2∫?∞ 2i

1 ? +∞ ?i(ω?2)t +∞ ?i(ω+2)t ? 1
4i ??∫?∞e dt ?∫?∞e dt?? ? [2πδ(ω+2)?2πδ(ω?2)]
4i

πi
[δ(ω+2)?δ(ω?2)]
2

9．求函数f (t) sin3 t 的傅氏变换。

+∞ 3 ?iωt 1 +∞ ?iωt
(3sin sin 3 )
解 F (ω) ? ?f t ? sin te dt = t ? t e dt
? ()? ∫?∞ 4 ∫?∞

iπ
[3 ( 1) 3 ( 1) ( 3) (

3)]

δω=+ ? δω? ?δω+ +δω? 。
4
π
10．求函数f (t ) sin(5t + ) 的傅氏变换。
3
+∞ ?iωt +∞ π ?iωt 1 +∞ ?iωt
sin(5 ) (sin 5 3 cos5 )
解 F ω f t e dt t + e dt t + t e dt
( ) ∫?∞ () ∫?∞ 3 2 ∫?∞

1 3 π
=+ ? ? + + + ? + + + ? ?
iπ[δ(ω 5) δ(ω 5)] π[δω( 5) δω( 5)] [( 3 i)δω( 5) ( 3 i)δω( 5)]
2 2 2

11．证明δ?函数是偶函数，即δ(t) δ(?t) 。

----------------------- Page 7-----------------------

证 设f (x) 为任意一个在(?∞+, ∞) 无穷次可微的函数，则

+∞ +∞ +∞
∫?∞δ(?t) f (t)dt ∫?∞δ(u)f (?u)du f (0) ，又由δ?函数的筛选性质知∫?∞δ(t) f (t)dt f (0) ，知

+∞ +∞
∫?∞δ(?t) f (t)dt ∫?∞δ(t)f (t)dt ，故δ?函数是偶函数。

12．证明：若? [ej?( t) ] F (ω) ，其中?(t) 为一实函数，则

1 1
[cos ( )] [ ( ) ( )],
? ?t F ω =+F ?ω ? ?t F ω ?F ?ω
[sin ( )] [ ( ) ( )],
2 2j

其中F (?ω) 为F (?ω) 的共轭函数。

j? t ?j? t
() ()
证 因为 e cos? t =+j sin? t ，e cos? t =?j sin? t
() () () ()

() ()
i? t ?i? t
e +e
所以 cos?() （*）
t

2

() ()
i? t ?i? t
e ?e
?() （**）
sin t
2i

i?()t +∞ i?()t iωt +∞ i?()t i( ω)t
? ? ? ? ? ( )
但 ? [ ] F ?ω
e ∫?∞e e dt ∫?∞e e dt

由本题(*) (**)
、 式得

1 () () 1
i? t ?i? t
[ ] [ ]
? [cos?()t ] {? e +? e } [F (ω)+F (?ω)]
2 2

1 () () 1
i? t ?i? t
? [ ] [ ]
sin {? e ?? e } [ ]
[ ?()t ]

F (ω)?F (?ω)
2i 2i

+∞

13．证明周期为T 的非正弦函数f (t) 的频谱函数为F (ω) 2π c δ(ω?ω) ，其中c 为f (t) 的傅氏级
∑n 0 n
n=?∞

数展式中的系数。

+∞
2π inωt
证 设ω ,则周期为T 的非正弦函数f t 的傅氏级数的复指数形式为:f t c e 0
0 () () ∑n
T

?∞

+∞ +∞
+∞ +∞ +∞
? ?
i ω nω t
?iωt inωt ?iωt ( 0 )
F (ω) ? ?f t ? f t e dt c e 0 e dt c e dt
? ()? ∫?∞ () ∫?∞ ∑n ∑n ∫?∞

?∞ ?∞

+ω +∞

c 2πδ ω=?nω 2π c δ ω?nω( ) ( )
∑n 0 ∑n 0
?ω n ?∞

14．求如图所示的三角形脉冲的频谱函数。

f (t )

A

τ O τ t
?
2 2

----------------------- Page 8-----------------------

?
? 0, |t |>τ/ 2
?
? 2A
f t t A t
解 ( ) ?=? + , 0 ≤ ≤τ/ 2 ，则f (t) 的频谱函数为
? τ
?2A
t A, τ/ 2 t 0
? + ? ≤ ≤
? τ

0 2A ?iωt τ/ 2 2A ?iωt
( ) ( )
F (ω)=? f t t =+A e dt + ? t +A e dt
? ?
()
? ? ∫?τ/ 2 ∫0
τ τ
? iωτ iωτ ?
2A 2 2e 2 iωτ 2 2e 2 iωτ 4A ωτ
τ ?? ? 2ω2+ =?? + 2ω2 + ?? τω2 ???1?cos 2 ???

?? ??

15．求作如图所示的锯齿形波的频谱图。


()
f t

h

-3T

-3T -2T -T O T 2T 3T t

h
解 如图可知,在一个周期T 内的表达式为f ()t t(0 ≤t <T ),它的傅氏级数的复指数形式为:
T

+∞
() inωt
f t C e
∑n
n ?∞

可见f ()t 的傅氏系数为

T
2
1 T 1 T h h t h
C f t dt tdt
0 ∫ ()

∫ 2
T 0 T 0 T T 2 2
0

1 T 1 T h h T ? ω
n t n t in t
ω ? ω
i i te dt
()
Cn ∫f t e dt ∫ te dt 2 ∫0
T 0 T 0 T T

T
? ω
in t ?nωT ?nωT
h ? e 1 T ? h ?Te i e i ?1?
? ω
?t + e in t dt ?
2 ∫ 2 ? + 2 2 ?
T ??i nω i nω 0 ? T ??i nω n ω ?
? 0 ?

hi
( )
n ±1,±2,
nωT

它的频谱为

2h h

A0 2 | C0 | h ,A0 2 | Cn | ,
nωT nπ

其中

2nπ
ωn nω (n 1,2,…)
T

这样对应不同的频率得出各次谱波的振幅,因此频谱图如图所示.

----------------------- Page 9-----------------------

h A

O ω ω ω ω
2 3 4 ω

2
t
1 ? 2
( ) 2σ
16．求高斯 （Gauss）分布函数f t e 的频谱函数
2πσ

2 π 2 1
解 教科书中 P10，例 2 已解得钟形脉冲函数Ae?β t 的傅氏变换为A e?ω / 4β ，本题中A ，
β 2πσ

1
β 2 ，所以
2σ

2 2 2
t σ ω
F (ω) ?f t ? +∞ 1 e?2σ2 e?iωt dt e? 2
=? ()
? ? ∫?∞
2πσ

习题三

1．若F (ω) ? ?f t ?，F (ω) ? ?f t ?，α,β是常数，证明（线性性质）：
1 ? 1 ()? 2 ? 2 ()?

? ?αf t +βf t ? αF (ω) +βF (ω) ，
? 1 () 2 ()? 1 2

?1
? αF (ω) +βF (ω) αf t +βf t 。
[ 1 2 ] 1 () 2 ()

+∞ +∞ +∞
证 ? ?αf t +βf t ? ?αf t +βf t ?e?iωt dt α f t e?iωt dt +β f t e?iωt dt
? 1 () 2 ()? ∫?∞ ? 1 () 2 ()? ∫?∞ 1 () ∫?∞ 2 ()


αF (ω) =+βF (ω)
1 2

1 +∞
2．若F (ω) [f ()t ] ?jωt [F (?t)] 2πf (±ω)
? ，证明（对称性质）：f (±ω) 2π∫?∞ F (?t)e dt ，即? 。

1 +∞ iωt 1 +∞ -iωt
证 因 ( ) ( )

( ) ( )
f t 2π∫?∞ F ωe dω，令x ?t ，f ?t 2π∫?∞ F ωe dω （*）

1 +∞ -iωt 1
令 ( ) ( ) [F (t)] [F (t)] 2πf (－ω)
t ω，则f ?ω 2π∫?∞ F t e dt 2π? ，即? ；

1 +∞ -iωt 1 +∞ -iωt 1
（* ）式中令 ( ) ( ) ( ) [F (t)]
－t ω，则f ω 2π∫?∞F －t e d（－t） 2π∫?∞ F －t e dt＝2π? ，即

? [F (－t)] 2πf (ω) 。

1 ω
? ?
F (ω) [f ()t ]
3．若 ? ， 为非零常数，证明（相似性质）? ( ) 。
a [f a t ] F ? ?
| a | a
? ?

ω ω
+∞ -iωt +∞ -i at 1 1 +∞ -i u 1 ω
证 设a >0 ，有? f at f at e dt f at e a d at f u e a du F ；
[ ( )] ∫?∞ ( ) ∫?∞ ( ) ( ) ∫?∞ ( ) ( )
a a a a

----------------------- Page 10-----------------------

ω ω
+∞ +∞ -i at 1 1 +∞ -i u 1 ω
同理a >0 时，? [ ( )] ( ) -iωt ( ) a
( ) ( ) a ( ) ；
f at ∫?∞ f at e dt ∫?∞ f at e d at =? ∫?∞ f u e du =? F
a a a a

1 ω
? ?
综上，? f a t F 。
[ ( )] ? ?
| a | a
? ?

F (ω) [f ()t ]
4．若 ? ，证明（象函数的位移性质）：

?1 ±jωt ±jωt
? F (ω?ω) e 0 f t ，即F (ω?ω) ? [e 0 f t ] 。
[ 0 ] () 0 ()

+∞ +∞
±jωt ±jωt ?jωt ?j(ω?ω )t
证 ? [e 0 f t ] e 0 f t e dt f t e 0 dt F (ω?ω) 。
() ∫?∞ () ∫?∞ () 0

d
5．若F (ω) [f ()t ] F (ω)
? ，证明（象函数的微分性质）： ? [?jtf t ] 。
()
dω
d d +∞ +∞ d +∞
证 F (ω) f t e?jωt dt f t e?jωt dt

?jtf t e?jωt dt ＝? [?jtf t ] 。
dω dω∫?∞ () ∫?∞ ()dω ∫?∞ () ()

F (ω) [f ()t ]
6．若 ? ，证明（翻转性质）

F (?ω) ? [f ?t ]
( )

+∞ +∞ +∞
i ωt i ω t
? ? ? ? ?
证 F ?ω f t e ( )dt f ?t e ( )( )d ?t = f ?t e?iωt dt ? ?f ?t ?。
( ) ∫?∞ () ∫?∞ ( ) ( ) ∫?∞ ( ) ? ( )?

1
[ ( ) cos ] [ ( ) ( )]
7．若F (ω) ? [f ()t ]，证明：? f t ωt F ω=?ω +F ω+ω ，

0 0 0
2

1
? f t ωt F ω=?ω ?F ω+ω 。
[ ( ) sin 0 ] [ ( 0 ) ( 0 )]
2j

jωt ?jωt
0 0
+∞ e +e 1 +∞ +∞
? ? ? +
?jωt ? j( ω ω )t j (ω ω )t ?
证 ? f t ωt f t e dt f t e 0 dt + f t e 0 dt
[ ( ) cos 0 ] ∫?∞ () 2 2 ??∫?∞ () ∫?∞ () ??

1
[ ( ) ( )]
F ω=?ω +F ω+ω ；
0 0
2

jωt ?jωt
0 0
+∞ e ?e 1 +∞ +∞
? ? ? +
?jωt ? j(ω ω )t j (ω ω )t ?
? f t ωt f t e dt f t e 0 dt ? f t e 0 dt
[ ( ) sin 0 ] ∫?∞ () 2j 2j ??∫?∞ () ∫?∞ () ??

1
ω=?ω ? ω+ω 。
[F ( 0 ) F ( 0 )]
2j

+∞ 2 1 +∞ 2
[ ( )] | ( ) |
8．利用能量积分∫?∞ f t dt 2π∫?∞ F ω dω，求下列积分的值：

4 2
+∞1?cosx +∞sin x +∞ 1 +∞ x
（1） dx ； （2 ） dx ； （3） dx ； （4 ） dx
∫?∞ x2 ∫?∞ x2 ∫?∞ (1+x2 )2 ∫?∞ (1+x2 )2


2 x
sin 2 2
+∞1?cosx +∞ 2 +∞?sin x ? 1 +∞ ?sin x ?
解 （1）∫?∞ x2 dx =2 ∫?∞ x2 dx ∫?∞ ?? x ?? dx 2π∫?∞ ? ?? x ??dω （*）

?

sin x ? +∞sin x ?iωx +∞sin x cosωx +∞sin(1+ω)x +sin(1?ω)x
? ? ? ∫?∞ e dx 2∫ dx ∫ dx （**）
? x ? x 0 x 0 x

----------------------- Page 11-----------------------

+∞sin x π
再由 ∫ dx
0 x 2

? π ? π
? <? ? >
+∞ ( ) ? 2 , ω 1 +∞ ( ) ? 2 , ω 1
sin 1+ωx ? sin 1?ωx ?
得 ? ，
∫ dx ? 0, ω 1 ∫ dx ? 0, ω 1
0 x 0 x
?π ?π
>? <
? , ω 1 ? , ω 1
?2 ?2

所以由（**）式得

π, 1 ω 1
?sin x ? ? ? < <
? ?? x ?? ??0, 其他

因此由（*）式得

+∞1?cosx 1 +1 2
dx d
π ω π
∫?∞ 2 ∫?1
x 2π

2 1 2
4 sin x ? sin 2x 2 2
+∞sin x +∞ 4 +∞?sin x ? 1 +∞?sin x ?
（2 ）∫?∞ 2 dx ∫?∞ 2 dx ∫?∞ ? ? dx =? ∫?∞ ? ? dx
x x ? x ? 2 ? x ?

2 2
1 +∞?sin x ? 1
1 +∞ ?sin x ? 1 1 2 π
2 ∫?∞ ?? x ?? dx 2 ?2π∫?∞ ? ?? x ?? dω 4π∫?1π dω 2

（3）参见本题第4 小题。

2 2
+∞ x +∞x +1?1
（4 ） dx dx
∫?∞ 2 2 ∫?∞ 2 2
(1+x ) (1+x )

+∞ 1 +∞ 1
dx =? dx
∫?∞ 1+x2 ∫?∞ 2 2
(1+x )

+∞ 1 π π
+∞ ? ?
dt arctan x | =? ? π
∫?∞ + 2 ?∞ ? ?
1 x 2 2
? ?

2
+∞ 1 1 +∞ ? 1 ?
∫?∞ (1+x2 )2 dx 2π∫?∞ ? ??1+x2 ??dω

? 1 ? +∞ 1 ?iωx +∞cosωx
? ? 2 ? ∫?∞ 2 e dx ∫?∞ 2 dx （利用留数理论计算）
?1+x ? 1+x 1+x

ωt ωz
?+∞ei| | ? ?? ?ei| | ???
Re?∫?∞1+t2 dt ? Re?2πiRes?1+z 2 ,i ??
? ? ?? ? ???

? e?|ω| ?
?|ω| ?|ω|
{( ) }
Re?2πi ? Re πi+πe πe
? 1+i ?

2
? ω +∞
+∞

1 1 +∞ 2 2| | +∞ 2 e | π
故 dt π e? ωdω π e? ωdω π 0
∫ 2 2 ∫ ∫
?∞(1+t ) 2π ?∞ 0 ?2 2

2
+∞ t π π
于是 dt π? 。
∫?∞ 2
2 2 2
(1+t )

习题四

----------------------- Page 12-----------------------

1、证明下列各式：

（1）f t ?f t f t ?f t ；
() () () ()
1 2 2 1

（2 ）f t ?[f t ?f t ] [f t =?f t ]?f t ；
() () () () () ()
1 2 3 1 2 3

（3） （ 为常数）;
a[ f t ?f t ] [af t ]?f t f t ?[af t ] a
() () () () () ()
1 2 1 2 1 2

αt αt αt
[ () ()] [ ()] [ ()]
（4 ）e f t ?f t e f t ?e f t （ 为常数）;
a
1 2 1 2

（5）[f t +f t ]?[g t +g t ] f t ?g t +f t ?g t +f t ?g t +f t ?g t ；
() () () () () () () () () () () ()
1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2

?df t ? ?df t ?
d 1 () 2 ()
（6） ?f t ?f t ? ?f t f t ? .
() () ? ? () () ? ?
? 1 2 ? 2 1
dt ? dt ? ? dt ?

+∞ +∞
证 （1）f t ?f t f (τ)f (t ?τ)dτ f (t =?u)f (u)du f t ?f t ；
() () () ()
1 2 ∫?∞ 1 2 ∫?∞ 1 2 2 1

（2 ）记g (x) f 2 (t) *f 3 (t) ，

+∞ +∞
? ?
[f t f t ] f t f (ζ)f (τ ζ)dζ f (t τ)dτ
? ? ? ?
() () ()
1 2 3 ∫ ∫? 1 2 ? 3
?∞ ?∞
? ?
+∞ ? +
∞ ? +∞
f (ζ) f (τ ζ)f (t τ)dτ dζ f (ζ)g (t ζ)dζ
=? ? ?
∫?∞ 1 ??∫?∞ 2 3 ?? ∫?∞ 1

f (t) * g(t) f t ?[f t ?f t ] ；
() () ()
1 1 2 3

+∞

+∞ +∞
（3）a[ f t ?f t ] a f (τ)f (t ?τ)dτ [af (τ)]f (t ?τ)dτ f (τ)[af (t ?τ)]dτ
() ()
1 2 ∫?∞ 1 2 ∫?∞ 1 2 ∫?∞ 1 2

[af t ]=?f t f t ?[af t ] ；
() () () ()
1 2 1 2

+∞
（4 ）?eαt f t ? ?eαt f t ? eατf (τ)eα(t?τ)f (t τ)dτ
1 () ? 2 () ∫ 1 2 ?
? ? ? ? ?∞

+∞
αt αt
e f (τ)f (t =?τ)dτ e ?f t ?f t ?；
() ()
∫?∞ 1 2 ? 1 2 ?

+∞
（5）[f t +f t ]?[g t +g t ] [f τ +f τ ]?[g t ?τ +g t ?τ ]dτ
() () () () ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 ∫?∞ 1 2 1 2

+∞ +∞ +∞ +∞
f τ ?g t ?τ dτ+ f τ ?g t ?τ dτ+ f τ ?g t ?τ dτ+ f τ ?g t ?τ dτ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
∫?∞ 1 1 ∫?∞ 1 2 ∫?∞ 2 1 ∫?∞ 2 2

f t =?g t +f t ?g t +f t ?g t +f t ?g t ；
() () () () () () () ()
1 1 2 1 1 2 2 2

d d +∞ +∞ ?d ? ?d ?
（6） ?f t ?f t ? f τ f t ?τ dτ f τ f t =?τ dτ f
t =? f t
() () ( ) ( ) ( ) ( ) () ()
dt ? 1 2 ? dt ∫?∞ 1 2 ∫?∞ 1 ??dt 2 ?? 1 ??dt 2 ??

d d ?d ? ?d ?
?f t ?f t ? ?f t ?f t ? f t ? f t f t =?f t
() () () () () () () ()
dt ? 1 2 ? dt ? 2 1 ? 2 ??dt 1 ?? ??dt 1 ?? 2

?df t ? ?df t ?
d 1 () 2 ()
因此有 ?f t ?f t ? ?f t f t ? 。
() () ? ? () () ? ?
? 1 2 ? 2 1
dt ? dt ? ? dt ?

? π
0, t <0 ≤ ≤
? sin t, 0 t ,
?
3．若f t 与f t

求f t ?f t 。
() ? () ? 2 () ()
1 ?t 2 1 2
e , t ≥0
? ??0, 其他;

----------------------- Page 13-----------------------

+∞ +∞
解 f t ?f t f τf t ?τ dτ e?τ f t ?τ dτ （*）
() () ( ) ( ) ( )
1 2 ∫?∞ 1 2 ∫0 2

π
当0 <t ≤ 时，（*）式为
2

i t?τ ?i t?τ
( ) ( )
t t e ?e
f t ?f t e?τ sin t ?τ dτ e?τ dτ
() () ( )
1 2 ∫0 ∫0 2i

( ) t ( ) t
? + τ ? ?
τ
? 1 i 1 i ?
1 t ?1+i τ t ?1?i τ 1 e e
?it ( ) ?it ( ) ? ? it 0 ?it 0 ?
e e dτ e e dτ e ?e
? ∫0 =? ∫0 ? ? ? + ? ? ?
2i ? ? 2i ?? (1 i) (1 i)??

( ) ( )
1 ? i t e?1+i t ?1 i t e?1?i t ?1? 1 ?ei t ?e?t e?t ?e?i t ?
? ? ? ?
e ?e = +
? ( ) ( ) ? ? ?
2i 1 i 1 i 2i 1 i 1 i
? ? + ? ? ? ? + ? ?

1 i t ?t i i t i ?t ?t ?i t i ?t i ?i t ? i t ?i t i t ?i t ?t ?
e ?e ? e + e +e ?e + e ? e 1 ??e ?e ?i(e +e )+2i e ??
2i 2 2 ? 2i 2i 2i ?

1
= (sin t ?cost +e?t )
2

当t >π 时，（*）式为
2

t t
? + ? ?
( )τ ( )τ
? 1 i 1 i ?
e e
π π
t ?τ 1 ? t? t? ?
t ?t
f t ?f t e sin t ?τdτ ei 2 ?e i 2
() () π ( ) ? ?
1 2 ∫t? ? + ? ?
2 2i ? (1 i) (1 i) ?

?? ??

? ( )? π?

( )? π??
? + ? ? ? ?
1 i ?t ? 1 i t?t ?
? + ? ?
1 i t 1 i t
1 ? it e ? 2 ? ?e ( ) ?it e ( ) ?e ? 2 ? ?
?e +e ?
2i ? 1+i 1?i ?
? ?

? π π ? π π π π
? 2 2 ? e?t e 2 ? +e 2 ++ + e 2 +?e 2
1 i e ?1 1+i e i 1 i 1 i i
?t
e ? + ? ?
2i ? 1+i 1?i ? 2i 2
? ?

e?t ? π?
?1+e 2 ?
2 ?? ??

当t <0 时，（*）式为0.

故有

?
?
? 0, 当t ≤0时
??1 ?t π
f t f t sin t cost e , 0 t
? ? + 当 < ≤ 时
() () ? ( )
1 2
?2 2
? e?t ? π ? π
? ?1+e2 ?, 当t > 时
?? 2 ? ? 2

1
3．若F (ω) ? ?f t ?，F (ω) ? ?f t ?，证明? ? ω ? ω 。
() () [f (t ) f (t)] F ( ) F ( )
1 ? 1 ? 2 ? 2 ?
1 2 1 2
2π

1 +∞ +∞
证 ? ?1 F ω F ω F τF ω=?τ dτeiωt dω
[ 1 ( ) * 2 ( )] [ 1( ) 2 ( ) ]
∫ ∫
2π ?∞ ?∞

----------------------- Page 14-----------------------

1 +∞ +∞
i(ω τ)t iτt
F ω=?τe ? d ω?τe F τ dτ πf t ?f t
∫ ∫ 2 ( ) ( ) 1 ( ) 2 `( ) 2 ( )
2π ?∞ ?∞

4、求下列函数的傅氏变换.

（1） ； （2 ） ?βt ； （3） ?βt ；
f t sin ωt u t f t e sin ωt ?u t f t e cosωt =?u t
() ( ) () () () () ()
0 0 0

jωt jωt jωt
（4 ）f t e 0 u t ； （5）f t e 0 u t ?t ； （6）f t e 0 t ?u t
() () () ( ) () ()
0

iω t ?iω t
+∞ +∞ e 0 ?e 0
( ) ?iωt ?iωt
解 （1）F ω ? [f ()t ] u()t sin(ωt)e dt ()
u t e dt
∫?∞ 0 ∫?∞ 2i

1 +∞ ? ? +∞ ? + 1 ? 1 1 ?
? i(ω ω )t i(ω ω )t ?
() 0 () 0
u t e dt ? u t e dt πδω ω( ) πδω ω( )
? + ? ? ? + ?
2i ??∫?∞ ∫?∞ ?? 2i i(ω ω ) 0 i(ω ω ) 0

? +
? 0 0 ?

ω πi ω πi
? 0 ? [δ(ω?ω )?δ(ω+ω )] 0 + [δ(ω+ω )?δ(ω?ω )]
2 2 0 0 2 2 0 0
ω ?ω 2 ω ?ω 2
0 0

iωt ?iωt
0 0
+∞ +∞ e ?e
（2 ）F (ω) ? ?f t ? e?βtu t sinωte?iωt dt = e?βt e?iωt dt
? ()? ∫?∞ () 0 ∫0 2i

? + ?? ? +∞ ? + +? ? +∞
? β i ω ω t β i ω ω t ?
? ( 0 )? ? ( 0 )?
e e
1 +∞ ? + ?? ? ? + +? ? 1 ? ?
β i ω ω t β i ω ω t
? ( 0 )? ? ( 0 )? 0 0
2i ∫0 (e =?e )dt 2i ?? + ? =?? + + ?
β ω ω β ω ω
? i( 0 )? ? i( 0 )?
? ? ? ? ??
? ?

1 ? 1 1 ? 1 2iω ω
0 0
?? =? ?? 2i i 2 2 2
β ω ω
2i i i
+ +
β ω ω β ω ω
+ ?( ) + +( ) ( ) i
β ω ω
? 0 0 ? 0 ( + ) + 0

iωt ?iωt
0 0
+∞ +∞ e +e
（3）F (ω) ? ?f t ? e?βtu t cosωte?iωt dt e?βt e?iωt dt
? ()? ∫?∞ () 0 ∫0 2

1 +∞ ? ? ? ? 1? 1

1 ?
β i ω ω t β i ω ω t
∫0 (e? + ?? ( 0 )? =+e? + +? ( 0 )? )dt ?? =+ ??
β ω ω β ω ω
2 2 i i
? + ?( 0 ) + +( 0 )?

β+iω
=
2 2
+i +
(β ω ω) 0

1
（4 ）由像函数的位移性质及? [()] ( )得
u t +πδω
iω

iωt 1
? ? 0 ? =+ ?
e u t πδ ω ω
? ()? ( 0 )
i ω ω
( ? 0 )

（5）根据位移性质

-i ωt -i ωt ? 1 ?
? [u(t ?t )] e 0 ? [u()t ] e 0 +πδ(ω)
0 ??iω ??

再根据像函数的位移性质

-i ω?ω t ? 1 ?
iωt ( 0 )0
? ?e 0 u t ?t ? e πδ ω ω
? ( 0 )? ? + ( ? 0 )?

?
?i (ω ω0 ) ?

?i ω?ω t
( 0 )0
e
=+πδ ω?ω( 0 )
i (ω?ω0 )

----------------------- Page 15-----------------------

n ( )
( ) () n ( )
（6）由微分性质? [ ?it f t ] F ω 得

d ? 1 ? 1
[()] +πδ(ω)′
? [ ()] ? u t i ( )
tu t i ? ? ? +πiδ' ω
dω ?iω ? ω2

再由象函数的位移性质得

iωt ?1
[ 0 ()] ′( )
? e tu t 2 +πiδ ω?ω0
(ω?ω0 )

5．证明互相关函数和互能量谱密度的下列性质：R21 (τ) R12 (=?τ), S21 (ω) S12 (ω) 。

+∞ +∞
证 R (τ) f (t =+τ)f (t)dt f (u)f (u ?τ)du R (?τ) ；
21 ∫?∞ 1 2 ∫?∞ 1 2 12

+∞ +∞ +∞ +∞
S21 (ω) ∫?∞ R21 (τ)e?iωτdτ ∫?∞ R12 (?τ)e?iωτdτ ∫?∞ R12 (τ)eiωτdτ ∫?∞ R12 (τ)e-iωτdτ S12 (ω) 。

1
6．已知某信号的相关函数 ( ) ?2a|τ| S (ω)
R τ e ，求它的能量谱密度 。
4

+∞ 1 +∞ 1 +∞ 0
?i ?2 | | ?i ?i( ?2 i) ?i( +2 i)
ωτ aτ ωτ ? ω a τ ω a τ ?
证 ( ) ( )
S ω ∫ R τ e dτ ∫ e e dτ ∫ e dτ+∫ e dτ
?∞ 4 ?∞ 4 ??0 ?∞ ??

1? 1 1 ? a

。
? =? ? 2 2
4 ?i(ω?2ai) i(ω+2ai)? 4a +ω

7．已知某波形的相关函数R()τ 1 cos(ωτ)(ω为常数),求这个波形的能量谱密度.
0 0
2

解 波形的能量谱密度

+∞ ?iωτ +∞1 ?iωτ
( ) ()
S ω R τe dτ cosωτ?e dτ
∫?∞ ∫?∞2 0

1 π
? cos
[ ωt] [δ(ω+ω )+δ(ω?ω )]
0 0 0
2 2

?b
? t, 0 ≤t ≤a ?1, 0 ≤t ≤a
f t
8．若函数 1( ) ?a ，与f 2 (t ) ? ，求f 1(t) 和f 2 (t) 的互相关函数R12 (τ) 。
0, 其他
??0, 其他 ?

+∞
证 当|τ|>a 时，R (τ) f (t)f (t =+τ)dt 0 ;
12 ∫?∞ 1 2

+∞ a?τ b b 2
R f t f t dt tdt a
当0 <τ≤a 时， 12 (τ) ∫?∞ 1( ) 2 ( =+τ) ∫0 ( ?τ) ;
a 2a

+∞ a b b 2 2
R f t f t dt tdt a
当?a ≤τ≤0 时， 12 (τ) ∫?∞ 1( ) 2 ( =+τ) ∫?τ ( ?τ ) .
a 2a