(完整word版)圆锥曲线在高考数学中的地位
高考数学中的常见圆锥曲线
高考数学中的常见圆锥曲线圆锥曲线是高中数学中重要的一章内容，也是高考中经常出现的考点之一。
圆锥曲线是平面解析几何的基础，对于学习解析几何和进一步学习微积分等数学课程具有重要的意义。
在高考数学中，常见的圆锥曲线有椭圆、双曲线和抛物线。
接下来，我们将对每种圆锥曲线进行详细的介绍。
一、椭圆椭圆是圆锥曲线中的一种，其定义为到定点F1和F2的距离之和等于定长2a的点P的轨迹。
其中，F1和F2是称为焦点的点，2a称为椭圆的长轴。
椭圆的其他要素有：1. 焦距：定义为焦点之间的距离，记作2c。
2. 离心率：定义为焦距与长轴之比，记作e。
在椭圆中，离心率小于1。
3. 扁压比：定义为短轴与长轴之比，记作b/a。
在椭圆中，扁压比小于1。
椭圆的方程可以通过坐标系中点P(x,y)到焦点F1、F2的距离之和等于定长2a来表示。
椭圆的标准方程为：(x-x0)^2/a^2 + (y-y0)^2/b^2 = 1在高考中，关于椭圆的考点主要包括椭圆的性质和椭圆的方程与图像等方面的题目。
二、双曲线双曲线是圆锥曲线中的另一种，其定义为到定点F1和F2的距离之差等于定常2a的点P的轨迹。
其中，F1和F2是称为焦点的点，2a称为双曲线的距。
双曲线的其他要素有：1. 焦距：定义为焦点之间的距离，记作2c。
2. 离心率：定义为焦距与距之比，记作e。
在双曲线中，离心率大于1。
3. 长半轴：定义为从顶点到较远焦点的距离，记作a。
4. 短半轴：定义为从顶点到双曲线与x轴或y轴的交点的距离，记作b。
在双曲线中，短半轴小于距。
双曲线的标准方程为：(x-x0)^2/a^2 - (y-y0)^2/b^2 = 1在高考中，关于双曲线的考点主要包括双曲线的性质和双曲线的方程与图像等方面的题目。
三、抛物线抛物线是圆锥曲线中的最后一种，其定义为点P到定直线（直矩）的距离等于点P到定直线（焦准）的距离。
抛物线的定直线称为准线，定直线的焦点称为焦点，焦距的两倍称为抛物线的焦距。
高考数学中的圆锥曲线基本概念及相关性质
高考数学中的圆锥曲线基本概念及相关性质圆锥曲线是高中数学中非常重要的一个概念，与其相关的知识点在高考中也是经常出现的考点。
本文将介绍圆锥曲线的基本概念以及其相关性质，希望能对正在备考高考数学的同学有所帮助。
一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由圆锥面和一个平面相交而形成的曲线。
根据平面与圆锥面相交的位置和方向不同，可以分为四种圆锥曲线，分别是椭圆、抛物线、双曲线和圆。
1. 椭圆椭圆是圆锥曲线中比较常见的一种曲线。
它可以由一个平面沿着圆锥面的两个平行直母线截取而成。
椭圆有两个焦点和一条长轴和短轴，其特点是离焦点的距离之和等于常数，即椭圆的离心率小于1。
2. 抛物线抛物线是另一种常见的圆锥曲线。
它可以由一个平面沿着圆锥面的一条直母线截取而成。
抛物线有一个焦点和一条准轴，其特点是离焦点的距离等于离准轴的距离。
3. 双曲线双曲线和椭圆和抛物线不同，它可以由一个平面沿着圆锥面的两个非平行直母线截取而成。
双曲线有两个焦点和两条渐近线，其特点是离焦点的距离之差等于常数，即双曲线的离心率大于1。
4. 圆圆是圆锥曲线中最简单的一种曲线，它可以由一个平面与圆锥面的一个直母线相交而得到。
圆是只有一个焦点的特殊情况，它的离心率等于0。
二、圆锥曲线的相关性质除了基本概念之外，圆锥曲线还有一些重要的性质，在高考中也是需要掌握的知识点。
1. 椭圆的性质（1）椭圆的两个焦点与中心三点共线；（2）椭圆的长轴与短轴的长度之比等于焦距之和与焦距之差的比；（3）椭圆的离心率等于焦距之长除以长轴的长度。
2. 抛物线的性质（1）抛物线的对称轴垂直于准轴；（2）抛物线的焦点在准轴上的中点。
3. 双曲线的性质（1）双曲线的两条渐近线一定是不相交的；（2）双曲线的离心率等于距离两个焦点最远的点与焦点之间的距离之比。
4. 圆的性质（1）圆的任何直径经过圆心；（2）圆的内切和外切线垂直于半径并且相切于切点。
总结圆锥曲线作为高中数学中的一个重要概念，其基本概念和相关性质都需要仔细掌握。
圆锥曲线在高考数学中的应用
圆锥曲线在高考数学中的应用圆锥曲线在高考数学中的应用是一个广为人知的话题。
圆锥曲线是数学中非常重要的一个概念，它在几何、代数、物理等多个领域中都有着广泛的应用，同时也是高中数学中的重要知识点之一。
在高考中，圆锥曲线不仅是数学选择题中常出现的题型，而且在解析几何中也有重要的应用和指导意义。
一、圆锥曲线的定义和分类在空间直角坐标系中，对于任意给定的两个定点 F1 和 F2 ，以及一个正实数 e（离心率），设点 P(x, y，z) 在平面 F1PF2 上，且点 P 到 F1、F2 两点的距离之比为 e，则称 P(x, y，z) 所在的曲线为椭圆，当 e=1 时，称为双曲线。
以直角坐标系中的 x 轴为对称轴，离心率为 e 的曲线称为扁平椭圆，离心率为 1 的曲线称为各向同性圆；以直角坐标系中的 y 轴为对称轴，离心率为 e 的曲线称为长圆，离心率为 1 的曲线称为抛物线；直角坐标系中过 y 轴的某一条直线称为对称轴，离心率为 e 的曲线称为双曲线，当 e=1 时，曲线即为平行于对称轴的两条渐进线的双曲线。
二、圆锥曲线在高考中的应用1. 选择题中的圆锥曲线圆锥曲线作为数学中重要的知识点之一，也是高考数学试卷中出现频率较高的题型之一。
在选择题中，考生通常需要根据所给出的条件来确定所求函数方程的类型，根据曲线的性质推算出符合条件的答案。
例如：已知点 A(2,0)、B(0,1) 和抛物线 C:y=mx^2+mx-1 的顶点在直线AB 上，且交点为 D。
则一个满足 D(-2,-3) 的曲线方程式为(A)双曲线(B)椭圆(C)抛物线(D)圆这道问题主要考察考生对于曲线类型的判断能力和对于直线方程、抛物线特征等知识点的掌握能力。
2. 解析几何中的圆锥曲线在解析几何中，圆锥曲线是几何学中不可或缺的内容之一。
其中，椭圆、双曲线和抛物线最为常见，它们的数学模型、特征方程以及轨迹方程等知识点在高考中都有一定的出现概率。
例如：已知椭圆的中心在坐标原点，长轴为 10，短轴为 6，曲线经过点（8，0）和（-8，0），则该椭圆的方程是：(A)x^2/25+y^2/9=1(B)x^2/100+y^2/36=1(C)x^2/36+y^2/100=1(D)x^2 /9+y^2/25=1这个问题主要考察考生通过已知条件推导出椭圆的方程的能力，需要对于椭圆的中心、坐标轴长度等特征有较为准确的掌握。
专题10 圆锥曲线-2014年高考数学考纲解读及热点难点试题演练 Word版含解析
(1)中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质，B 级要求； (2)中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质，A 级要求；(3)顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质，A 级要求；曲线与方程，A 级要求. （4）有关直线与椭圆相交下的定点、定值、最值、范围等问题.1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)． 2．圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)(焦点在y 轴上)；(2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)(焦点在y 轴上)．3．圆锥曲线的几何性质(1)椭圆：e ＝ca ＝1－b 2a2；(2)双曲线：①e ＝c a ＝1＋b 2a 2.②渐近线方程：y ＝±b a x 或y ＝±abx .4．求圆锥曲线标准方程常用的方法 (1)定义法 (2)待定系数法①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a 不具有p 的几何意义；②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0)；双曲线方程可设为x 2m －y 2n＝1(mn ＞0)．这样可以避免讨论和繁琐的计算． 5．求轨迹方程的常用方法(1)直接法：将几何关系直接转化成代数方程；(2)定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程； (3)代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；注意：①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式；③化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.6．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2|＝ 1＋k 2|x 2－x 1|或|P 1P 2|＝1＋1k2|y 2－y 1|.(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”来简化运算． 7．圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，B 为短轴的一个端点，O 为坐标原点，则有①|OP |∈[b ，a ]； ②|PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]； ③|PF 1|²|PF 2|∈[b 2，a 2]； ④∠F 1PF 2≤∠F 1BF 2. (2)双曲线中的最值F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，O 为坐标原点，则有①|OP |≥a ； ②|PF 1|≥c －a . 8．定点、定值问题定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．9．解决最值、范围问题的方法解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数或建立不等关系，根据目标函数或不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.考点1、圆锥曲线的定义与标准方程【例1】 设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________________．【解析】 法一 x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，根据定义2a ＝|152＋12－152＋72|＝4，故a ＝2.又b 2＝32－22＝5，故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1.法二 x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则a2＋b 2＝9，16a 2－15b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝5，故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1.【方法技巧】本例可有三种解法：一是根据双曲线的定义直接求解，二是待定系数法；三是共焦点曲线系方程，其要点是根据题目的条件用含有一个参数的方程表示共焦点的二次曲线系，再根据另外的条件求出参数．【变式探究】 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为____________．考点2、圆锥曲线的几何性质【例2】 (2013²浙江卷改编)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是________．【规律方法】求解圆锥曲线的离心率，基本思路有两种：一是根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出a ，c ，然后根据离心率的定义式求解；二是根据已知条件构造关于a ，c 的方程，多为二次齐次式，然后通过方程的变形转化为离心率e 的方程求解，要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参数．【变式探究】(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝________.(2)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，若直线y ＝2x 与椭圆的一个交点的横坐标为c ，则椭圆的离心率为________．考点3、求动点的轨迹方程【例3】 在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )(a >b >0)为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形． (1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足A M →²B M →＝－2，求点M 的轨迹方程．【规律方法】(1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线，则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解．(2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应，要注意字母的取值范围．【变式探究】(2013²新课标全国Ⅰ卷)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB |.当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝23或187.难点一、圆锥曲线的弦长问题【例1】 如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是椭圆C的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为40 3，求a ，b 的值．法二 设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，可知|BF 1|＝3a －t . 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°，可得t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ²85a ²32＝235a 2＝403，知a ＝10，b ＝5 3.【规律方法】在【解析】几何问题中，转化题目条件或者设参数解决问题时，根据题目条件，选择适当的变量是解题的一个关键，能够起到简化运算的作用(本例中可设|AB |＝t )．【变式探究】 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，A F →＝2F B →.(1) 求椭圆C 的离心率；(2)如果|AB |＝154，求椭圆C 的方程．难点二、定点、定值问题【例2】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P(0,1)，Q(0,2)，设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T.求证：点T在椭圆C上．【规律方法】(1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．(2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究．【变式探究】 (2013²安徽卷)设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a 2＝1的焦点在x 轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．难点三、最值、范围问题【例3】 (2013²新课标全国Ⅱ卷)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ： x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ABCD 面积的最大值．所以四边形ACBD 面积的最大值为12|AB |²|CD |＝863.[规律方法] 求最值或求范围问题常见的解法有两种：【变式探究】 已知椭圆C ：x 2m2＋y 2＝1(常数m ＞1)，P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 的右顶点，定点A 的坐标为(2,0)．(1)若M 与A 重合，求曲线C 的焦点坐标； (2)若m ＝3，求PA 的最大值与最小值； (3)若PA 的最小值为MA ，求实数m 的取值范围．1．(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为________．2．(2013·福建卷)椭圆T：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝3(x＋c)与椭圆T的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．3．已知双曲线C与椭圆x216＋y212＝1有共同的焦点F1，F2，且离心率互为倒数．若双曲线右支上一点P到右焦点F2的距离为4，则PF2的中点M到坐标原点O的距离等于________．4．在平面直角坐标系xOy中，已知对于任意实数k，直线(3k＋1)x＋(k－3)y－(3k＋3)＝0恒过定点F.设椭圆C的中心在原点，一个焦点为F，且椭圆C上的点到F的最大距离为2＋ 3.(1)求椭圆C的方程；(2)设(m，n)是椭圆C上的任意一点，圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)与椭圆C有4个相异公共点，试分别判断圆O与直线l1：mx＋ny＝1和l2：mx＋ny＝4的位置关系．5．已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C的方程；(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的一点，OPOM＝λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．6．在平面直角坐标系xOy 中，过点A (－2，－1)椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，短轴端点为B 1、B 2，FB 1→·FB 2→＝2b 2.(1)求a 、b 的值；(2)过点A 的直线l 与椭圆C 的另一交点为Q ，与y 轴的交点为R .过原点O 且平行于l 的直线与椭圆的一个交点为P .若AQ ·AR ＝3OP 2，求直线l 的方程．所以a ＝22，b ＝ 2.7．已知点F是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．8．已知A 、B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的公共顶点．P 是双曲线上的动点，M 是椭圆上的动点(P 、M 都异于A 、B )，且满足AP →＋BP →＝λ(AM →＋BM →)，其中λ∈R ，设直线AP 、BP 、AM 、BM 的斜率分别记为k 1、k 2、k 3、k 4，k 1＋k 2＝5，则k 3＋k 4＝________.9．在直角坐标系xOy 中，中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点(22，1)到两焦点的距离之和为4 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴下方，且AF →＝3FB →.求过O ，A ，B 三点的圆的方程．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1＜0，y 2＞0)．点F 的坐标为F (3，0)．则AF →＝3FB →，得⎩⎪⎨⎪⎧3－x 1＝x 2－，－y 1＝3y 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－3x 2＋12，y 1＝－3y 2.① 又点A ，B 在椭圆C 上，10．(2013·浙江卷)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程；(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．11．已知椭圆的焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P，Q 两点，且|PQ|＝3.(1)求椭圆的方程；(2)过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．有f (t )≥f (1)＝4，S △F 1MN ≤124＝3，当t ＝1，m ＝0时，S △F 1MN ＝3，又S △F 1MN ＝4R ，。
高考数学中的圆锥曲线知识
高考数学中的圆锥曲线知识高考数学中的圆锥曲线是一道重要的考题，也是很多学生容易失分的一道难题。
圆锥曲线是指平面上坐标系中的一种特殊的曲线，也是数学的重要分支之一。
本文将介绍圆锥曲线的基本概念，分类和应用，希望能对广大考生有所帮助。
一、圆锥曲线的基本概念1.圆锥圆锥是一个由一个圆绕着它的直径周而复始地旋转而成的立体物体，其中：该直径是铅锤线，圆锥的底面是这个圆，圆锥的顶点是铅锤线的另一端。
2.圆锥曲线的概念在平面直角坐标系中，将一个固定的点F（称为焦点）与一个固定的直线L（称为直角准线）连接。
在平面上，连结点P到直线L的距离为PF和P到点F的距离的比等于定值e（e>0）。
这样得到的曲线称为圆锥曲线。
圆锥曲线分为三种情况：椭圆、双曲线和抛物线。
二、圆锥曲线的分类1.椭圆椭圆是平面上与两个焦点F1，F2的距离之和等于定值2a（a>0）的点P的轨迹。
椭圆是圆锥曲线中最简单的一种形式。
椭圆可以通过平移、伸缩、旋转对平面上的圆形进行简单的变换。
2. 双曲线双曲线是平面上与两个焦点F1，F2的距离之差等于定值2a （a>0）的点P的轨迹。
双曲线有两条渐进线，即切射线和渐进线。
3. 抛物线抛物线是平面上焦点F到直线L的距离等于点P到焦点F的距离的平方与定值a（a>0）成正比例的点P的轨迹。
抛物线的形状像一个平翻的碗，有上凸抛物和下凸抛物两种。
三、圆锥曲线的应用1. 物理学圆锥曲线在物理学中得到广泛的应用。
例如，在宇宙空间中，行星的轨迹可以用椭圆来描述。
在天体力学中，利用双曲线描绘有关天体的相对运动情况。
抛物线则可用于描述抛体的轨迹。
2. 工程学圆锥曲线在工程学中也有重要的应用，特别是在光学的设计中。
例如，望远镜的光学系统用到的镜面都是椭圆形的；飞机的机翼、车轮和机器的轮子都是利用圆锥的形状进行设计的。
3. 数学研究圆锥曲线在数学研究中的应用也是相当广泛的，例如，利用双曲线求解微积分中的积分问题；还可以用抛物线中的特殊几何性质证明三次方程有一个实根。
高考数学中的圆锥曲线
高考数学中的圆锥曲线圆锥曲线是代数几何中的重要概念，也是高中数学中比较难的一部分。
它包含了直线、双曲线、抛物线和椭圆四种曲线类型。
在高考数学中，圆锥曲线是一个难点，但是掌握了这个知识点，不仅有助于理解高数中其他知识点，也有助于应对高考成绩。
一、圆锥曲线的定义和概念圆锥曲线是在平面直角坐标系中的解析几何概念，它是二次方程x²+y²+Dx+Ey+F=0（D，E，F均为常数，且D²+E²≠0）的图形。
其中的四种曲线类型如下：1. 直线：当圆锥曲线的系数D=E=0时，圆锥曲线变成直线。
直线可以看成是一个不确定的椭圆，它有两个焦点（即两个充电电荷）、两个半轴（即极值）。
2. 双曲线：当圆锥曲线的系数D²-E²>0时，圆锥曲线变成双曲线。
双曲线有两个焦点和两个渐近线。
3. 抛物线：当圆锥曲线的系数D=0，E≠0时，圆锥曲线变成抛物线。
抛物线有一个焦点和一个顶点。
4. 椭圆：当圆锥曲线的系数D²-E²<0时，圆锥曲线变成椭圆。
椭圆有两个焦点和两个半轴。
二、实例探究：直线与圆锥曲线我们以直线为例，来看一下圆锥曲线与直线的关系。
首先，我们知道当圆锥曲线系数D=E=0时，可以变成一个直线。
而对于直线y=kx+b（k和b均为常数），可以加入一个令y=mx，那么k和b就是D和E，即圆锥曲线的系数。
例如，圆锥曲线x²-6x+y²+4y+9=0，我们可以将它转换为(x-3)²+(y+2)²=4。
这是一个半径为2，圆心在(3,-2)处的圆。
我们可以绘制它的图像，然后再绘制直线y=x-1的图像。
从图像来看，直线y=x-1穿过了圆心，因此它一定与这个圆有交点。
我们可以通过解方程，求出直线y=x-1与圆的交点：(x-3)²+(y+2)²=4；y=x-1.解得：x²-5x+9=0，因此x=（5±√5）/2，代入y=x-1，得到y=（3±√5）/2。
(精品讲义)第2部分复习课(二)圆锥曲线与方程word版含答案2
复习课(二) 圆锥曲线与方程圆锥曲线的定义及标准方程会涉及，是高考解析几何的必考内容．椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹标准 方程x 2a 2＋y 2b 2＝1或 y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)x 2a 2－y 2b 2＝1或 y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2＝2px 或 y 2＝－2px 或 x 2＝2py 或 x 2＝－2py (p >0)关系 式a 2－b 2＝c 2a 2＋b 2＝c 2[典例] (1)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A ．x 23＋y 24＝1B ．x 24＋y 23＝1C ．x 24＋y 22＝1D ．x 24＋y 23＝1(2)已知抛物线y 2＝8x的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________________．[解析] (1)右焦点为F (1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1．又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，故选D ． (2)由题意可知抛物线的准线方程为x ＝－2，∴双曲线的半焦距c ＝2．又双曲线的离心率为2，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1． [答案] (1)D (2)x 2－y 23＝1 [类题通法]求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤． (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)．(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小． 1．(天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A ．x 221－y 228＝1B ．x 228－y 221＝1C ．x 23－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1解析：选D 由双曲线的渐近线y ＝ba x 过点(2，3)，可得3＝ba×2．①由双曲线的焦点(－a 2＋b 2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上，可得 a 2＋b 2＝7．②由①②解得a ＝2，b ＝3， 所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1．2．(全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0<m <4，r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，?4－m ?2＝r 2，解得⎩⎨⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254． 答案：⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝2543．方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示曲线C ，给出以下命题：①曲线C 不可能为圆； ②若1<t <4，则曲线C 为椭圆； ③若曲线C 为双曲线，则t <1或t >4；④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52．其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．解析：显然当t ＝52时，曲线为x 2＋y 2＝32，方程表示一个圆；而当1<t <4，且t ≠52时，方程表示椭圆；当t <1或t >4时，方程表示双曲线；而当1<t <52时，4－t >t －1>0，方程表示焦点在x 轴上的椭圆，故③④为真命题．答案：③④圆锥曲线的几何性质试卷中一般以选择题或者填空题的形式考查圆锥曲线的几何性质(主要是椭圆和双曲线的离心率)，在解答题中与圆锥曲线方程的其他知识一起进行综合考查．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质椭圆 双曲线 抛物线 标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0) x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2＝2px (p >0)关系式 a 2－b 2＝c 2 a 2＋b 2＝c 2图形 封闭图形无限延展，有渐近线无限延展，没有渐近线对称性 对称中心为原点 无对称中心 两条对称轴一条对称轴顶点 四个 两个 一个 离心率 0<e <1 e >1 e ＝1 准线方程x ＝－p 2决定形状的因素e 决定扁平程度e 决定开口大小2p 决定开口大小[典例] (1)(山东高考)已知双曲线E ：x a 2－y b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．(2)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为________． [解析] (1)如图，由题意知|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c ． 又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a ＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．(2)设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2a ．因为e 1·e 2＝32，所以a 4－b 4a 2＝32，即⎝⎛⎭⎫b a 4＝14，∴b a ＝22．故双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ，即x ±2y ＝0．[答案] (1)2 (2)x ±2y ＝0 [类题通法]求解离心率三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝ca ，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．1．如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．其四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A ． 2B ． 3C ．32D ．62解析：选D 焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|＋|AF 2|＝4， |AF 1|2＋|AF 2|2＝12，所以可解得|AF 2|－|AF 1|＝22， 故a ＝2，所以双曲线的离心率e ＝32＝62，选D ． 2．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．解析：不妨设A 在x 轴上方，由于AB 过F 2且垂直于x 轴，因此可得A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a ，由OD ∥F 2B ，O 为F 1F 2的中点可得D ⎝⎛⎭⎫0，－b 22a ，所以AD ＝⎝⎛⎭⎫－c ，－3b 22a ，F B 1＝⎝⎛⎭⎫2c ，－b2a ，又AD ⊥F 1B ，所以AD ·F B 1＝－2c 2＋3b 42a 2＝0，即3b 4＝4a 2c 2，又b 2＝a 2－c 2，所以可得3(a 2－c 2)＝2ac ，两边同时除以a 2，得3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33或－3，又e ∈(0,1)，故椭圆C 的离心率为33．答案：333．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ．若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|FA |＝c ，则双曲线的渐近线方程为________．解析：c 2＝a 2＋b 2，①由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c 知， 双曲线过点⎝⎛⎭⎫c ，－p 2，即c 2a 2－p24b2＝1．② 由|FA |＝c ，得c 2＝a 2＋p 24，③ 由①③得p 2＝4b 2．④ 将④代入②，得c 2a 2＝2．∴a 2＋b 2a2＝2，即ba ＝1，故双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0． 答案：x ±y ＝0直线与圆锥曲线的位置关系这使得解析几何试题具有广泛的命题背景，当直线与圆锥曲线问题综合时就产生了如：直线与圆锥曲线的位置关系(相交、相切、相离)，直线与曲线交汇产生的一些几何量的范围和最值，动直线(或曲线)过定点等一系列热点问题，这些热点问题都是高考所重视的．直线与圆锥曲线有关的问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0?直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0?直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0?直线与圆锥曲线无交点．(2)直线l 截圆锥曲线所得的弦长|AB |＝?1＋k 2??x 1－x 2?2或⎝⎛⎭⎫1＋1k 2?y 1－y 2?2，其中k 是直线l 的斜率，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线与圆锥曲线的两个交点A ，B 的坐标，且(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，x 1＋x 2，x 1x 2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．[典例] 已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M ，N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围． [解] (1)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2＝1(a >1)，则右焦点F (a 2－1，0)，由题设，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3，故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1．(2)设点P 为弦MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0， 由于直线与椭圆有两个交点， 所以Δ>0，即m 2<3k 2＋1， ① 所以x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk3k 2＋1， 从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1， 所以k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk ，又|AM |＝|AN |，所以AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ，即2m ＝3k 2＋1， ②把②代入①得2m >m 2， 解得0<m <2， 由②得k 2＝2m －13>0， 解得m >12，故所求m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，2． [类题通法]有关直线与圆锥曲线综合问题的求解方法(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x (或y )的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：①相交：Δ>0?直线与椭圆相交；Δ>0?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ>0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；Δ>0?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．②相切：Δ＝0?直线与椭圆相切；Δ＝0?直线与双曲线相切；Δ＝0?直线与抛物线相切． ③相离：Δ<0?直线与椭圆相离；Δ<0?直线与双曲线相离；Δ<0?直线与抛物线相离．(2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．1．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．解析：设机器人所在位置为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1,0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x ．过点P (－1,0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k 得ky 2－4y ＋4k ＝0． 当k ＝0时，显然不符合题意；当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)2．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12．(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． 解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1， 由此可得b 2?x 2＋x 1?a 2?y 2＋y 1?＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1．因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2．又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3． 因此a 2＝6，b 2＝3． 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1解得⎩⎨⎧x ＝433，y ＝－33或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463． 由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝⎛⎭⎫－533<n <3，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0． 于是x 3,4＝－2n ±2?9－n 2?3．因为直线CD 的斜率为1， 所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2．由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2．当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863．所以四边形ACBD 面积的最大值为863．1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是( )A ．2B ． 3C ． 2D ．32解析：选C 由题可知y ＝b a x 与y ＝－b a x 互相垂直，可得－b a ·ba ＝－1，则a ＝b ．由离心率的计算公式，可得e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝2，e ＝2． 2．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选B 由题可知抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，令x ＝0，可得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－a 2，所以S △OAF ＝12×|a |4×|a |2＝4，得a ＝±8，故抛物线的方程为y 2＝±8x ．3．已知一动圆P 与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，而与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0内切，则动圆的圆心P 的轨迹是( )A ．双曲线的一支B ．椭圆C ．抛物线D ．圆解析：选A 由题意，知圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1，则圆C 与圆O 相离，设动圆P 的半径为R ．∵圆P 与圆O 外切而与圆C 内切，∴R >1，且|PO |＝R ＋1，|PC |＝R －1．又|OC |＝3，∴|PO |－|PC |＝2<|OC |，即点P 在以O ，C 为焦点的双曲线的右支上．4．我们把由半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)与半椭圆y 2b 2＋x 2c 2＝1(x <0)合成的曲线称作“果圆”(其中a 2＝b 2＋c 2，a >b >c >0)，如图所示，其中点F 0，F 1，F 2是相应椭圆的焦点．若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，则a ，b 的值分别为( )A ．72，1 B ．3，1 C ．5,3D ．5,4解析：选A ∵|OF 2|＝b 2－c 2＝12，|OF 0|＝c ＝3|OF 2|＝32，∴b ＝1，∴a 2＝b 2＋c 2＝1＋34＝74，得a＝72． 5．已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A ．522＋2 B ．522＋1C ．522－2 D ．522－1 解析：选D 因为抛物线的方程为y 2＝4x ，所以焦点坐标为F (1,0)，准线方程为x ＝－1．因为点P 到y 轴的距离为d 1，所以到准线的距离为d 1＋1．又d 1＋1＝|PF |，所以d 1＋d 2＝d 1＋1＋d 2－1＝|PF |＋d 2－1．焦点F 到直线l 的距离记为d ，则d ＝|1－0＋4|2＝52＝522，而|PF |＋d 2≥d ＝522，所以d 1＋d 2＝|PF |＋d 2－1≥522－1，即d 1＋d 2的最小值为522－1．6．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为( ) A ．y 2－3x 2＝36 B ．x 2－3y 2＝36 C ．3y 2－x 2＝36 D ．3x 2－y 2＝36解析：选A 由4x 2＋y 2＝64得x 216＋y 264＝1， c 2＝64－16＝48， ∴c ＝43，e ＝438＝32． ∴双曲线中，c ′＝43，e ′＝23＝c ′a ′． ∴a ′＝32c ′＝6，b ′2＝48－36＝12． ∴双曲线方程为y 236－x 212＝1，即y 2－3x 2＝36．7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其上一点P (3，y )到两焦点的距离分别是6．5和3．5，则该椭圆的标准方程为________．解析：由椭圆的定义，知2a ＝6．5＋3．5＝10，a ＝5．又⎩⎪⎨⎪⎧?3＋c ?2＋y 2＝6.52，?3－c ?2＋y 2＝3.52，解得c ＝52， 从而b 2＝a 2－c 2＝754， 所以椭圆的标准方程为x 225＋4y 275＝1．答案：x 225＋4y 275＝18．已知直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若OA ·OB ＝－4，则直线l 恒过的定点M 的坐标是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＋y 1y 2＝－4．当直线l 的斜率不存在时，设其方程为x ＝x 0(x 0>0)，则x 20－4x 0＝－4，解得x 0＝2；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x ，得ky 2－4y ＋4b ＝0，得y 1y 2＝4b k ，则x 1x 2＝y 21y 2216＝b 2k 2，得b 2k2＋4b k ＝－4，∴b k ＝－2，有b ＝－2k ，直线y ＝kx －2k ＝k (x －2)恒过定点(2,0)．又直线x ＝2也恒过定点(2,0)，得点M 的坐标为(2,0)．答案：(2,0)9．已知A (0，－4)，B (3,2)，抛物线y 2＝x 上的点到直线AB 的最短距离为________． 解析：直线AB 为2x －y －4＝0，设抛物线y 2＝x上的点P (t ，t 2)，d ＝|2t －t 2－4|5＝t 2－2t ＋45＝?t －1?2＋35≥35＝355．答案：35510．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长、短轴端点分别为A ，B ，F 1，F 2分别是点F 1，且AB其左、右焦点．从椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦与OM 是共线向量．(1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，求∠F 1QF 2的取值范围． 解：(1)∵F 1(－c,0)，则x M ＝－c ，y M ＝b 2a ， ∴k OM ＝－b 2ac ．由题意，知k AB ＝－b a， ∵OM 与AB 是共线向量，∴－b 2ac ＝－b a ，∴b ＝c ，得e ＝22． (2)设|F 1Q |＝r 1，|F 2Q |＝r 2，∠F 1QF 2＝θ，∴r 1＋r 2＝2a ．又|F 1F 2|＝2c ，由余弦定理，得cos θ＝r 21＋r 22－4c 22r 1r 2＝?r 1＋r 2?2－2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝a 2r 1r 2－1≥a 2⎝⎛⎭⎫r 1＋r 222－1＝0， 当且仅当r 1＝r 2时等号成立，∴cos θ≥0，∴θ∈⎝⎛⎦⎤0，π2． 11．如图，焦距为2的椭圆E 的两个顶点分别为A ，B ，且AB 与n＝(2，－1)共线．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线y ＝kx ＋m 与椭圆E 有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．解：(1)因为2c ＝2，所以c ＝1，又AB ＝(－a ，b )，且AB ∥n ，所以2b ＝a ，所以2b 2＝b 2＋1，所以b 2＝1，a 2＝2，所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1． (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，把直线方程y ＝kx ＋m 代入椭圆方程x 22＋y 2＝1， 消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1， Δ＝16k 2－8m 2＋8>0，即m 2<2k 2＋1，(*)因为原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部， 所以OP ·OQ <0， 即x 1x 2＋y 1y 2<0，又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 22k 2＋1，由2m 2－22k 2＋1＋m 2－2k 22k 2＋1<0得m 2<23k 2＋23， 依题意且满足(*)得m 2<23， 故实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－63，63． 12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4． (1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ．已知点A 的坐标为(－a,0)，点Q (0，y 0)在线段AB 的垂4，求y 0的值． 解：(1)由e ＝c a ＝32，得3a 2＝4c 2． 再由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b ．由题意可知12×2a ×2b ＝4，即ab ＝2． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，ab ＝2，得a ＝2，b ＝1． 所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1． (2)由(1)可知A (－2,0)．设B 点的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ?x ＋2?，x 24＋y 2＝1消去y 并整理，得 (1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0．由－2x 1＝16k 2－41＋4k 2，得x 1＝2－8k 21＋4k 2． 从而y 1＝4k 1＋4k 2． 设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－8k 21＋4k 2，2k 1＋4k 2． 以下分两种情况：①当k ＝0时，点B 的坐标为(2,0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴，(－2，－y 0)(2，－y 0)．4，得y 0＝±22．②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程为y －2k 1＋4k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x ＋8k 21＋4k 2． 令x ＝0，解得y 0＝－6k 1＋4k 2． 由＝(－2，－y 0)，＝(x 1，y 1－y 0)． ·＝－2x 1－y 0(y 1－y 0)＝－2×?2－8k 2?1＋4k 2＋6k 1＋4k 2⎝⎛⎭⎫4k 1＋4k 2＋6k 1＋4k 2 ＝4×?16k 4＋15k 2－1??1＋4k 2?2＝4， 整理得7k 2＝2，故k ＝±147．所以y 0＝±2145． 综上，y 0＝±22或y 0＝±2145．。
浅谈解析几何部分在高考中的重要地位
浅谈解析几何部分在高考中的重要地位发布时间：2021-06-17T16:16:44.610Z 来源：《文化研究》2021年7月下作者：李庆亮[导读] 解析几何在高中数学中占有重要地位，是高考考察的重点内容，有一定的综合性。
提高解析几何复习的有效性，是一轮复习重点思考的内容。
黑龙江省实验中学黑龙江省哈尔滨市李庆亮 150001解析几何在高中数学中占有重要地位，是高考考察的重点内容，有一定的综合性。
提高解析几何复习的有效性，是一轮复习重点思考的内容。
首先教师要通过研究教材、课程标准、高考评价体系等提高自身的学科素养，从本质上把握该部分的重点和主次，有效的指导学生进行有效训练。
一、解析几何的本质和研究的重点问题（一）解析几何的本质平面解析几何是中学数学中独具特色的一门学科。
它的学科思想是用代数方法解决几何问题。
解析几何课教学的根本任务就是要引导学生能深刻领会“平面解析几何”的学科思想，把握“平面解析几何”这门学科的思维逻辑。
（二）解析几何中的研究的重点问题1.曲线与方程（1）如何求曲线方程。
对于形状已知的曲线，主要用定义法或待定系数法求解方程，用待定系数法求解方程，主要分三个步骤，先定位，再定型，最后再进行定量计算。
而对于形状未知的曲线，主要分直接法和间接法，直接法包括直译法、定义法；间接法，包括转移代入法、参数法、交轨法等。
（2）利用方程研究曲线的性质。
利用方程研究曲线的性质、用方程研究直线和曲线的位置关系。
2.点与坐标交点坐标相关问题，包括可求出的交点坐标问题（两条直线的交点、方程中没有参数、有一个坐标已知、直线过原点）；设而不求的交点坐标问题，韦达定理判别式、坐标代入方程。
（三）解析几何的逻辑结构图（代数和几何的结合）解析几何具有代数和几何双重特征，解析几何的主要研究对象有直线与方程、圆与方程、圆锥曲线，其中圆锥曲线还包括椭圆、双曲线、抛物线。
解析几何研究方法，主要是对几何对象的研究，几何对象主要有几何图形、曲线方程和数值，通过几何特征对几何性质和位置关系进行研究，以及将几何问题代数化的重要方法。
高考数学圆锥曲线详解与实例
高考数学圆锥曲线详解与实例现代数学是应用数学和纯粹数学两大分支的结合，其中纯粹数学又包含了数学的许多分支，例如代数学、几何学、拓扑学等等，而几何学更是涉及到了各种图形的研究。
圆锥曲线作为几何学中的一种非常基础的图形，在高中数学中就已经开始进行系统的学习，而在高考中也是经常出现的考点。
本文将详细讲解圆锥曲线的基本概念及其应用实例，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
一、圆锥曲线的概念圆锥曲线指的是通过按一定规律割圆锥而得到的曲线，其中包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
以割圆锥的方式命名的原因是因为，圆锥曲线最初是通过圆锥割切而得到的。
圆锥曲线的基本定义为平面上满足二次方程的点集，其中二次方程的形式为Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C不全为0。
二、圆的特点圆是一类非常基础的圆锥曲线，通常用来描述一些圆形问题。
圆的特点是，它是由平面上所有到某一点距离相等的所有点组成的。
这一点通常被称作圆心，而到圆心距离的长度则被称作半径。
圆的一些基本性质包括面积公式πr²以及周长公式2πr，其中r为半径长度。
三、椭圆的特点椭圆是圆锥曲线中比圆复杂的一种曲线，它的定义为平面上满足二次方程x²/a² + y²/b² = 1的点的集合，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
椭圆的一些基本性质包括离心率e=sqrt(1-b²/a²)以及面积公式πab。
椭圆还可以被视为一个圆沿着其周长不断拉伸而成的。
四、双曲线的特点双曲线是圆锥曲线中比椭圆更为复杂的一种曲线，它的定义为平面上满足二次方程x²/a² - y²/b² = 1的点的集合（或者换为y²/b² -x²/a² = 1）。
双曲线和椭圆的一个重要区别在于它们的离心率。
(完整word版)高考数学九大核心考点与知识点总结
高考数学思想方法、九大考点与知识点总结高考数学九大核心考点回顾不管是什么考试，无非都是对各知识点的一个练习、总结，只要我们能够对各个知识点深刻了解，考试中拿高分并不难，你知道高考数学常考的知识点有哪些吗？我们不妨一起来了解一下。
九大核心的知识点：函数、三角函数，平面向量，不等式，数列，立体几何，解析几何，概率与统计，导数。
这些内容非常重要。
当然每章当中还有侧重，比如说拿函数来讲，函数概念必须清楚，函数图象变换是非常重要的一个核心内容。
此外就是函数的一种性质问题，单调性、周期性，包括后面我们还谈到连续性问题，像这些性质问题是非常重要的。
连同最值也是在函数当中重点考察的一些知识点，我想这些内容特别值得我们在后面要关注的。
再比如说像解析几何这个内容，不管理科还是文科，像直线和圆肯定是非常重要的一个内容。
理科和文科有一点差别了，比如说圆锥曲线方面，椭圆和抛物线理科必须达到的水平，双曲线理科只是了解状态就可以了。
而文科呢?椭圆是要求达到理解水平，抛物线和双曲线只是一般的了解状态就可以了。
这里需要有侧重点。
拿具体知识来讲，比如说直线当中，两条直线的位置关系，平行、垂直的关系怎么判断应该清楚。
直线和圆的位置关系应该清楚，椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，参数之间的关系，再比如直线和椭圆的位置关系，这是值得我们特别关注的一个重要的知识内容。
这是从我的一个角度来说。
我们后面有六个大题，一般是侧重于六个重要的板块，因为现阶段不可能一个章节从头至尾，你没有时间了，必须把最重要的知识板块拿出来，比如说数列与函数以及不等式，这肯定是重要板块。
再比如说三角函数和平面向量应该是一个，解析几何和平面几何和平面向量肯定又是一个。
再比如像立体几何当中的空间图形和平面图形，这肯定是重要板块。
再后面是概率统计，在解决概率统计问题当中一般和计数原理综合在一起，最后还有一个板块是导数、函数、方程和不等式，四部分内容综合在一起。
应当说我们后面六个大题基本上是围绕着这样六个板块来进行。
高考数学中的圆锥曲线性质总结
高考数学中的圆锥曲线性质总结圆锥曲线是欧几里得几何中的重要概念之一，广泛应用于各种学科领域。
在高考数学中，也是不可忽略的一部分。
掌握圆锥曲线的性质，对于高考数学考试的顺利通过起着重要的作用。
本文将对高考数学中的圆锥曲线性质进行总结，供广大考生备考参考。
一、椭圆椭圆是一个非常重要的圆锥曲线，它的性质如下：1. 椭圆的两个焦点分别在主轴上，且其距离等于$2a$。
2. 椭圆的两个半轴分别为$a$和$b$，其中$a>b$。
3. 椭圆的离心率为$e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$，且$0<e<1$。
4. 椭圆的焦半径公式为$r_1=\sqrt{x^2+y^2+a^2-b^2}$和$r_2=\sqrt{x^2+y^2-a^2+b^2}$。
5. 椭圆的面积公式为$S=\pi ab$，其中$a$和$b$为半轴长。
6. 椭圆的切线方程为$\frac{x}{a}\cos\alpha+\frac{y}{b}\sin\alpha=1$。
7. 椭圆的法线方程为$\frac{x\cos\alpha}{a^2}+\frac{y\sin\alpha}{b^2}=1$。
二、双曲线双曲线是另一种常见的圆锥曲线，它的性质如下：1. 双曲线的两个焦点分别在主轴上，且其距离等于$2a$。
2. 双曲线的两个半轴分别为$a$和$b$，其中$a>b$。
3. 双曲线的离心率为$e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$，且$e>1$。
4. 双曲线的相关公式有：$r_1=\sqrt{x^2+y^2+a^2+b^2}$和$r_2=\sqrt{x^2+y^2-a^2-b^2}$。
5. 双曲线的面积公式为$S=2\pi ab$，其中$a$和$b$为半轴长。
6. 双曲线的切线方程为$\frac{x}{a}\sec\alpha+\frac{y}{b}\tan\alpha=1$。
7. 双曲线的法线方程为$\frac{x\sec\alpha}{a^2}-\frac{y\tan\alpha}{b^2}=1$。
(完整word版)圆锥曲线专题
圆锥曲线的综合问题直线和圆锥曲线问题解法的一般规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．【一】．直线与圆锥曲线的位置关系(1）从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点．（2）从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断． 1。
设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0,圆锥曲线方程f (x ，y )＝0.由Ax+0(,)0{By c f x y +==,消元。
如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0. ①若a ＝0,当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时,直线l 与抛物线的对称轴平行或重合． ②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac 。
a ．Δ ＞ 0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点;b ．Δ ＝ 0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c ．Δ ＜ 0时，直线和圆锥曲线没有公共点．2。
“点差法”的常见题型求中点弦方程、求（过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性,即要考虑判别式Δ〉0是否成立．3．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题（1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1（x 1，y 1），P 2(x 2，y 2)，则所得弦长｜P 1P 2｜ ＝ 或|P 1P 2｜＝ .(2）当斜率k 不存在时,可求出交点坐标，直接运算（利用轴上两点间距离公式)．1＋k 2|x 1－x 2|1＋1k 2|y 1－y 2|4．圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆错误!＋错误!＝1中，以P(x0，y0）为中点的弦所在直线的斜率k＝－错误!;在双曲线错误!－错误!＝1中，以P（x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝错误!；在抛物线y2＝2px (p〉0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝错误!.题型一圆锥曲线中的范围、最值问题【例1】已知抛物线C：y2＝4x，过点A(－1,0)的直线交抛物线C于P、Q两点，设错误!＝λ错误!.（1）若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F；（2)若λ∈错误!，求｜PQ|的最大值．[思维启迪］（1)可利用向量共线证明直线MQ过F；(2)建立|PQ|和λ的关系,然后求最值．解析：（1)证明设P(x1，y1),Q（x2,y2），M（x1,－y1）．∵错误!＝λ错误!，∴x1＋1＝λ(x2＋1)，y1＝λy2，∴y错误!＝λ2y错误!，y错误!＝4x1,y错误!＝4x2，x1＝λ2x2，∴λ2x2＋1＝λ(x2＋1），λx2（λ－1)＝λ－1，∵λ≠1，∴x2＝错误!，x1＝λ,又F(1，0），∴错误!＝（1－x1，y1）＝(1－λ，λy2）＝λ错误!＝λ错误!，∴直线MQ经过抛物线C的焦点F。
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧圆锥曲线作为高等数学中的重要内容，经常出现在高中数学的教学中，也是高考数学中的一个热点考点。
掌握圆锥曲线的相关知识和解题技巧对于学生来说非常重要。
本文将介绍圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧，希望能够帮助广大学生更好地应对高考数学考试。
一、圆锥曲线问题的常见题型1. 椭圆的方程与特征：椭圆的标准方程为\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1，其中a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长。
在高考中，通常会出现给定椭圆的焦点、顶点等信息求椭圆的方程，或者反过来给定椭圆的方程求椭圆的相关信息的题目。
2. 抛物线的方程与性质：抛物线的标准方程为y=ax^2+bx+c，其中a不等于0。
高考中常见的题型包括给定抛物线的焦点、直径和顶点求抛物线的方程，或者求解抛物线与直线的交点等。
圆的标准方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中(a，b)为圆心坐标，r为半径。
高考中常见的题型包括求解圆与直线、圆与圆的交点、圆心坐标等。
1. 熟练掌握圆锥曲线的标准方程在解题时，首先要掌握圆锥曲线的标准方程，根据题目中给出的相关信息将其代入方程中，从而求出所需的未知数。
熟练掌握标准方程对于解题是非常重要的。
2. 注意利用圆锥曲线的性质在解题时，要善于利用圆锥曲线的性质，例如椭圆和双曲线的焦点、顶点等特征，抛物线的焦点、直径等特征，以及圆的半径、圆心坐标等特征。
通过这些性质，可以更快速地解题。
3. 结合几何思维进行分析在解题过程中，可以结合几何思维进行分析，画出相应的图形来辅助解题。
通过直观的几何图形，有时可以更好地理解题目要求，并且更容易找到解题的思路。
4. 熟练掌握相关公式和定理在解题过程中，要熟练掌握相关的公式和定理，例如椭圆和双曲线的离心率公式，抛物线的焦点、准线和方程性质，以及圆的切线和法线方程等。
熟练掌握这些公式和定理可以为解题提供更多的思路和方法。
2025年高考数学总复习课件71第八章第八节第3课时圆锥曲线中的范围、最值问题
第3课时
圆锥曲线中的范围、最值问题
核心考点
提升“四能”
课时质量评价
x2 y2
(2024·临沂模拟)已知椭圆C： 2 + 2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离
a b
6
2 3
，直线x＝ 2被C截得的线段长为
.
3
3
(1)求C的方程；
心率为
c
6
c2 2
2
2
1
利用基本不等式求最值
x2 y2
【例4】如图，椭圆 2 + 2 ＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别
a b
为A，B，过左焦点F(－1，0)的直线与椭圆交于C，D两点
(其中C点位于x轴上方)，当CD垂直于x轴时，|CD|＝3.
(1)求椭圆的方程；
x2 y2
解：因为椭圆 2 + 2 ＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－1，0)，所以a2－b2＝1.
解：因为e＝ ＝ ，所以 2 ＝ ，所以c2＝ a2.又b2＝a2－c2＝a2－ a2 ＝ a2，
a
3
a
3
3
3
3
2
2
2
2 －2
x
+3
y
＝
a
，
a
所以椭圆的标准方程为x2＋3y2＝a2.由൝
解得y＝±
，
3
x＝ 2，
由题可知2
a2－2
3
2 3
x2 2
2
＝
，解得a ＝3，所以椭圆C的方程为 ＋y ＝1.
3
3
第3课时
圆锥曲线中的范围、最值问题
核心考点
2018年高考数学(浙江专用)总复习教师用书：第9章 第9讲 圆锥曲线的综合问题 Word版含解析
第9讲 圆锥曲线的综合问题最新考纲 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.知 识 梳 理1.直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程，即⎩⎨⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F （x ，y ）＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C 相离.(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合. 2.圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2²|y 1－y 2|诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“³”)(1)直线l 与椭圆C 相切的充要条件是：直线l 与椭圆C 只有一个公共点.( ) (2)直线l 与双曲线C 相切的充要条件是：直线l 与双曲线C 只有一个公共点.( ) (3)直线l 与抛物线C 相切的充要条件是：直线l 与抛物线C 只有一个公共点.( )(4)如果直线x ＝ty ＋a 与圆锥曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则弦长|AB |＝1＋t 2|y 1－y 2|.( )(5)若抛物线C 上存在关于直线l 对称的两点，则需满足直线l 与抛物线C 的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式Δ＞0.( )解析 (2)因为直线l 与双曲线C 的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切.(3)因为直线l 与抛物线C 的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，但不相切.(5)应是以l 为垂直平分线的线段AB 所在的直线l ′与抛物线方程联立，消元后所得一元二次方程的判别式Δ＞0. 答案 (1)√ (2)³ (3)³ (4)√ (5)³2.直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( ) A.相交B.相切C.相离D.不确定解析 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交. 答案 A3.若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 解析 双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，若直线与双曲线相交，数形结合，得k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23.答案 C4.过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A.1条B.2条C.3条D.4条解析 过(0，1)与抛物线y 2＝4x 相切的直线有2条，过(0，1)与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点.答案 C5.已知F 1，F 2是椭圆16x 2＋25y 2＝1 600的两个焦点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为________. 解析 由题意可得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝20，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝144＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|＝202－2|PF 1|·|PF 2|，解得|PF 1|·|PF 2|＝128，所以△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12³128＝64. 答案 646.(2017·嘉兴七校联考)椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，当m ＝________时，△F AB 的周长最大，此时△F AB 的面积是________. 解析 设椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点为F ′，则F (－1，0)，F ′(1，0).由椭圆的定义和性质易知，当直线x ＝m 过F ′(1，0)时△F AB 的周长最大，此时m ＝1，把x ＝1代入x 24＋y 23＝1得y 2＝94，y ＝±32，S △F AB ＝12|F 1F 2||AB |＝12³2³3＝3. 答案 1 3第1课时 直线与圆锥曲线考点一 直线与圆锥曲线的位置关系【例1】 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1，0)，且点P (0，1)在C 1上. (1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程. 解 (1)椭圆C 1的左焦点为F 1(－1，0)，∴c ＝1， 又点P (0，1)在曲线C 1上，∴0a 2＋1b 2＝1，得b ＝1，则a 2＝b 2＋c 2＝2， 所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0. 整理得2k 2－m 2＋1＝0.①由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m消去y ，得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0. 因为直线l 与抛物线C 2相切，所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0，整理得km ＝1.②综合①②，解得⎩⎨⎧k ＝22，m ＝2或⎩⎨⎧k ＝－22，m ＝－ 2.所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.规律方法 研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含x 2项的系数是否为零的情况，以及判别式的应用.但对于选择、填空题要充分利用几何条件，用数形结合的方法求解.【训练1】 在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1，0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C . (1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2，1)，若直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，求实数k 的取值范围.解 (1)设点M (x ，y )，依题意|MF |＝|x |＋1， ∴（x －1）2＋y 2＝|x |＋1，化简得y 2＝2(|x |＋x )， 故轨迹C 的方程为y 2＝⎩⎨⎧4x （x ≥0），0（x ＜0）.(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x (x ≥0)；C 2：y ＝0(x ＜0). 依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2).由方程组⎩⎨⎧y －1＝k （x ＋2），y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①①当k ＝0时，此时y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1.②当k ≠0时，方程①的Δ＝－16(2k 2＋k －1)＝－16(2k －1)(k ＋1)，② 设直线l 与x 轴的交点为(x 0，0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k .③ (ⅰ)若⎩⎨⎧Δ＜0，x 0＜0，由②③解得k ＜－1，或k ＞12.所以当k ＜－1或k ＞12时，直线l 与曲线C 1没有公共点，与曲线C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.(ⅱ)若⎩⎨⎧Δ＝0，x 0≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k 2＋k －1＝0，2k ＋1k＜0，解集为∅.综上可知，当k ＜－1或k ＞12或k ＝0时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点. 考点二 弦长问题【例2】 (2016·四川卷)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T .(1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |，并求λ的值. (1)解 由已知，a ＝2b ，则椭圆E 的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2b 2＝1，y ＝－x ＋3，得3x 2－12x ＋(18－2b 2)＝0.①方程①的判别式为Δ＝24(b 2－3)，由Δ＝0，得b 2＝3，此时方程①的解为x ＝2，所以椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1.点T 的坐标为(2，1). (2)证明 由已知可设直线l ′的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，y ＝－x ＋3，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－2m3，y ＝1＋2m 3.所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3，1＋2m 3.|PT |2＝89m 2. 设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 23＝1，y ＝12x ＋m ，可得3x 2＋4mx ＋(4m 2－12)＝0.②方程②的判别式为Δ＝16(9－2m 2)， 由Δ>0，解得－322<m <322. 由②得x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝4m 2－123.所以|P A |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2m 3－y 12＝52⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 1，同理|PB |＝52⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 2.所以|P A |·|PB |＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 2＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m3（x 1＋x 2）＋x 1x 2 ＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 3＋4m 2－123 ＝109m 2.故存在常数λ＝45，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |.规律方法 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法：涉及弦长的问题中，应熟练的利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.【训练2】 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0). (1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程.解 (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5，由d ＜1，得|m |＜52.(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1，得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－4（m 2－3）] ＝1524－m 2. 由|AB ||CD |＝534，得4－m 25－4m2＝1，解得m ＝±33，满足(*).∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.考点三 中点弦问题【例3】 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点.若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1(2)已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________.解析 (1)因为直线AB 过点F (3，0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x－3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a ＝32，选D.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 213＝1，①x 22－y223＝1， ②x 1＋x 2＝2x 0， ③y 1＋y 2＝2y 0， ④由②－①得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＝13(y 2－y 1)(y 2＋y 1)， 显然x 1≠x 2.∴y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝3，即k MN ·y 0x 0＝3，∵M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，∴k MN ＝－1，∴y 0＝－3x 0.又∵y 0＝x 0＋m ，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4，3m 4，代入抛物线方程得916m 2＝18·⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4， 解得m ＝0或－8，经检验都符合. 答案 (1)D (2)0或－8规律方法 处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解.【训练3】 设抛物线过定点A (－1，0)，且以直线x ＝1为准线. (1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围. 解 (1)设抛物线顶点为P (x ，y )，则焦点F (2x －1，y ). 再根据抛物线的定义得|AF |＝2，即(2x )2＋y 2＝4， 所以轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)设弦MN 的中点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则由点M ，N 为椭圆C 上的点，可知⎩⎨⎧4x 2M ＋y 2M ＝4，4x 2N ＋y 2N ＝4.两式相减，得4(x M －x N )(x M ＋x N )＋(y M －y N )(y M ＋y N )＝0， 将x M ＋x N ＝2³⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，y M ＋y N ＝2y 0，y M －y N x M －x N＝－1k 代入上式得k ＝－y 02.又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0在弦MN 的垂直平分线上，所以y 0＝－12k ＋m .所以m ＝y 0＋12k ＝34y 0.由点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0在线段BB ′上(B ′，B 为直线x ＝－12与椭圆的交点，如图所示)，所以y B ′＜y 0＜y B ，也即－3＜y 0＜ 3. 所以－334＜m ＜334，且m ≠0.[思想方法]1.有关弦的三个问题(1)涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；(2)涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算；(3)涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解. 2.求解与弦有关问题的两种方法(1)方程组法：联立直线方程和圆锥曲线方程，消元(x 或y )成为二次方程之后，结合根与系数的关系，建立等式关系或不等式关系.(2)点差法：在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程.“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题.必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数. [易错防范]判断直线与圆锥曲线位置关系时的注意点(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点.(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合时也相交于一点.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( ) A.有且只有一条 B.有且只有两条 C.有且只有三条D.有且只有四条解析 ∵通径2p ＝2，又|AB |＝x 1＋x 2＋p ，∴|AB |＝3＞2p ，故这样的直线有且只有两条. 答案 B2.直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的交点个数是( ) A.1B.2C.1或2D.0解析 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝ba x 平行，所以它与双曲线只有1个交点. 答案 A3.经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，设O 为坐标原点，则OA →²OB →等于( ) A.－3B.－13C.－13或－3D.±13解析 依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，∴OA →·OB →＝－13，同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13. 答案 B4.抛物线y ＝x 2到直线x －y －2＝0的最短距离为( ) A. 2B.728C.2 2D.526解析 设抛物线上一点的坐标为(x ，y )，则d ＝|x －y －2|2＝|－x 2＋x －2|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－742，∴x ＝12时， d min ＝728. 答案 B5.已知A ，B ，P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上不同的三点，且A ，B 连线经过坐标原点，若直线P A ，PB 的斜率乘积k P A ²k PB ＝23，则该双曲线的离心率为( ) A.52B.62C. 2D.153解析 设A (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)根据对称性，得B 点坐标为 (－x 1，－y 1)，因为A ，P 在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式相减，得k P A k PB ＝b 2a 2＝23，所以e 2＝a 2＋b 2a 2＝53，故e ＝153.答案 D 二、填空题6.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F (2，0)为其右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C 的方程为________.解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，b 2a ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.答案 x 24＋y 22＝17.已知抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的焦点到准线的距离为2，则直线y ＝x ＋1截抛物线所得的弦长等于________.解析 由题设知p ＝12a ＝2，∴a ＝14.抛物线方程为y ＝14x 2，焦点为F (0，1)，准线为y ＝－1. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝x ＋1，消去x ，整理得y 2－6y ＋1＝0，∴y 1＋y 2＝6，∵直线过焦点F ， ∴所得弦|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋1＋y 2＋1＝8. 答案 88.(2017·金华月考)过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________；此弦的长为________.解析 设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由于A ，B 两点均在椭圆上，故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1， 两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）16＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）4＝0.又∵P 是A ，B 的中点，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2， ∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－34.∴直线AB 的方程为y －1＝－34(x －3).即3x ＋4y －13＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －13＝0，x 216＋y 24＝1，消去y 整理得13x 2－78x ＋105＝0，x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝10513，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－342·62－4³10513＝53913.答案 3x ＋4y －13＝0 53913三、解答题9.设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列. (1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|P A |＝|PB |，求E 的方程. 解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a ， l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y ，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2（c 2－b 2）a 2＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]，即43a＝4ab 2a 2＋b2，故a 2＝2b 2， 所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22. (2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知 x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－2c 3，y 0＝x 0＋c ＝c 3. 由|P A |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1，得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3.故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1. 10.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2，0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值.解(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2 ＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝2（1＋k 2）（4＋6k 2）1＋2k 2又因为点A (2，0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2，所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |²d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2，由|k |4＋6k 21＋2k2＝103，解得k ＝±1. 能力提升题组 (建议用时：30分钟)11.已知椭圆x 24＋y2b 2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( ) A.1B. 2C.32D. 3解析 由椭圆的方程，可知长半轴长为a ＝2，由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2a ＝3，可求得b 2＝3，即b ＝ 3. 答案 D12.抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( ) A.316B.38C.233D.433解析 ∵双曲线C 2：x 23－y 2＝1，∴右焦点为F (2，0)，渐近线方程为y ＝±33x .抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)，焦点为F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2.设M (x 0，y 0)，则y 0＝12p x 20. ∵k MF ′＝k FF ′，∴12p x 20－p 2x 0＝p2－2.①又∵y ′＝1p x ，∴y ′|x ＝x 0＝1p x 0＝33.② 由①②得p ＝433. 答案 D13.设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足.如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________.解析 直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，联立⎩⎨⎧y ＝－3x ＋23，x ＝－2，得y ＝43，所以P(6，43).由抛物线的性质可知|PF |＝6＋2＝8. 答案 814.(2015·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由. 解 (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )， 或M (－2a ，a )，N (2a ，a ).又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a )， 即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2.将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－bx 2＝2kx 1x 2＋（a －b ）（x 1＋x 2）x 1x 2＝k （a ＋b ）a.当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意.15.已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |. (1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程. 解 (1)设Q (x 0，4)，代入y 2＝2px 得x 0＝8p . 所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p .由题设得p 2＋8p ＝54³8p ，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2. 所以C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0).代入y 2＝4x 得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故AB 的中点为D (2m 2＋1，2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1).又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1m y ＋2m 2＋3. 将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4m y －4(2m 2＋3)＝0. 设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m ， y 3y 4＝－4(2m 2＋3).故MN 的中点为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋2m 2＋3，－2m ，|MN |＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1m 2.由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |， 从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2， 即4(m 2＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋2m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋22＝4（m 2＋1）2（2m 2＋1）m 4.化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1. 所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.第2课时 定点、定值、范围、最值问题考点一 定点问题【例1】 (2017·枣庄模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(0，1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于Q ，P ，与椭圆分别交于点M ，N ，各点均不重合且满足PM →＝λ1MQ →，PN →＝λ2NQ →. (1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点并求此定点.解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由题意知b ＝1，且(2a )2＋(2b )2＝2(2c )2，又a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝3.所以椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由题意设P (0，m )，Q (x 0，0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 设l 方程为x ＝t (y －m )，由PM →＝λ1MQ →知(x 1，y 1－m )＝λ1(x 0－x 1，－y 1)， ∴y 1－m ＝－y 1λ1，由题意y 1≠0，∴λ1＝my 1－1.同理由PN →＝λ2NQ →知λ2＝m y2－1.∵λ1＋λ2＝－3，∴y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0，①联立⎩⎨⎧x 2＋3y 2＝3，x ＝t （y －m ）得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0，∴由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)＞0，② 且有y 1＋y 2＝2mt 2t 2＋3，y 1y 2＝t 2m 2－3t 2＋3，③将③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0， ∴(mt )2＝1.由题意mt ＜0，∴mt ＝－1，满足②，得l 方程为x ＝ty ＋1，过定点(1，0)，即Q 为定点. 规律方法 圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【训练1】 (2017·杭州七校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点在x 轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形. (1)求椭圆的方程；(2)过点S ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－13的动直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q ，使得以线段AB 为直径的圆恒过点Q ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)∵椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴b ＝c .又斜边长为2，即2c ＝2，故c ＝b ＝1，a ＝2，椭圆方程为x 22＋y 2＝1. (2)当l 与x 轴平行时，以线段AB 为直径的圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＝169；当l 与y 轴平行时，以线段AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1. 由⎩⎨⎧x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＝169，x 2＋y 2＝1，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，故若存在定点Q ，则Q 的坐标只可能为Q (0，1). 下面证明Q (0，1)为所求：若直线l 的斜率不存在，上述已经证明. 若直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝kx －13， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －13，x 2＋2y 2－2＝0，得(9＋18k 2)x 2－12kx －16＝0，Δ＝144k 2＋64(9＋18k 2)＞0， x 1＋x 2＝12k 18k 2＋9，x 1x 2＝－1618k 2＋9，QA →＝(x 1，y 1－1)，QB →＝(x 2，y 2－1)， QA →²QB →＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1) ＝(1＋k 2)x 1x 2－4k 3(x 1＋x 2)＋169＝(1＋k 2)·－169＋18k2－4k 3²12k 9＋18k 2＋169＝0， ∴QA →⊥QB →，即以线段AB 为直径的圆恒过点Q (0，1).考点二 定值问题【例2】 (2016·山东卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，焦距为2 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)过动点M (0，m )(m ＞0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .①设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，k ′，证明k ′k 为定值. ②求直线AB 的斜率的最小值. (1)解 设椭圆的半焦距为c .由题意知2a ＝4，2c ＝2 2.所以a ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 2. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)①证明 设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0). 由M (0，m )，可得P (x 0，2m )，Q (x 0，－2m ). 所以直线PM 的斜率k ＝2m －m x 0＝m x 0.直线QM 的斜率k ′＝－2m －m x 0＝－3mx 0.此时k ′k ＝－3.所以k ′k 为定值－3. ②解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由①知直线P A 的方程为y ＝kx ＋m .则直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4mkx ＋2m 2－4＝0， 由x 0x 1＝2m 2－42k 2＋1，可得x 1＝2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0，所以y 1＝kx 1＋m ＝2k （m 2－2）（2k 2＋1）x 0＋m .同理x 2＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0，y 2＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m .所以x 2－x 1＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0－2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0＝－32k 2（m 2－2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0， y 2－y 1＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m －2k （m 2－2）（2k 2＋1）x 0－m＝－8k （6k 2＋1）（m 2－2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0， 所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫6k ＋1k ， 由m ＞0，x 0＞0，可知k ＞0，所以6k ＋1k ≥26，当且仅当k ＝66时取“＝”. 故此时2m －m 4－8m 2－0＝66，即m ＝147，符合题意. 所以直线AB 的斜率的最小值为62. 规律方法 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.【训练2】 (2016·北京卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，A (a ，0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值. (1)解 由已知c a ＝32，12ab ＝1.又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3. 所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 由(1)知，A (2，0)，B (0，1). 设椭圆上一点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1. 当x 0≠0时，直线P A 方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)， 令x ＝0得y M ＝－2y 0x 0－2.从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2.直线PB 方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1.令y ＝0得x N ＝－x 0y 0－1.∴|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1. ∴|AN |²|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1²⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2x 0－2²⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2y 0－1 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4. 当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2，所以|AN |·|BM |＝4.故|AN |·|BM |为定值. 考点三 范围问题【例3】 (2016·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a ＞3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF |＋1|OA |＝3e|F A |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围.解 (1)设F (c ，0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e |F A |， 即1c ＋1a ＝3c a （a －c ），可得a 2－c 2＝3c 2.又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2).设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0.解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3.由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知F (1，0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H)，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k 24k 2＋3，12k 4k 2＋3. 由BF ⊥HF ，得BF→²FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k .因为直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k212k .设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝－1k x ＋9－4k 212k 消去y ，解得x M ＝20k 2＋912（k 2＋1）.在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ⇔|MA |≤|MO |，即(x M －2)2＋y 2M ≤x 2M ＋y 2M ，化简得x M ≥1，即20k 2＋912（k 2＋1）≥1，解得k ≤－64或k ≥64.所以直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－64或⎣⎢⎡⎭⎪⎫64，＋∞.规律方法 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.【训练3】 (2017·威海模拟)已知圆x 2＋y 2＝1过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1相交于A ，B 两点.记λ＝OA→²OB →，且23≤λ≤34. (1)求椭圆的方程； (2)求k 的取值范围；(3)求△OAB 的面积S 的取值范围. 解 (1)由题意知2c ＝2，所以c ＝1. 因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而b ＝1，故a ＝2，所以所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1. (2)因为直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，所以原点O 到直线l 的距离为|m |12＋k 2＝1， 即m 2＝k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2.λ＝OA →²OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2＋11＋2k 2，由23≤λ≤34，得12≤k 2≤1，即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－22∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1.(3)|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2－2（2k 2＋1）2，由12≤k 2≤1，得62≤|AB |≤43. 设△OAB 的AB 边上的高为d ， 则S ＝12|AB |d ＝12|AB |，所以64≤S ≤23. 即△OAB 的面积S 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤64，23.考点四 最值问题【例4】 (2015·浙江卷)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称. (1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点). 解 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为 y ＝－1m x ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0.因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2＞0，①将AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12解得b ＝－m 2＋22m 2②由①②得m ＜－63或m ＞63. (2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1²－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12.且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )， 所以S (t )＝12|AB |²d ＝12－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22. 当且仅当t 2＝12时，等号成立. 故△AOB 面积的最大值为22.规律方法 处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解. 【训练4】 已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点.若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值.解 (1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1. 所以a 2＝4，b 2＝2， 从而c 2＝a 2－b 2＝2.因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22. (2)设点A ，B 的坐标分别为(t ，2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，所以OA →²OB →＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝(x 0＋2y 0x 0)2＋(y 0－2)2＝x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4 ＝x 20＋4－x 202＋2（4－x 20）x 20＋4＝x 202＋8x 20＋4(0＜x 20≤4). 因为x 202＋8x 20≥4(0＜x 20≤4)，当且仅当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2≥8.故线段AB 长度的最小值为2 2.[思想方法]1.求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 2.定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b 、k 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点.(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关. 3.求解范围问题的方法求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围. 4.圆锥曲线中常见最值的解题方法(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解. [易错防范]1.求范围问题要注意变量自身的范围.2.利用几何意义求最值时，要注意“相切”与“公共点唯一”的不等价关系.注意特殊关系，特殊位置的应用.3.在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.4.解决定值、定点问题，不要忘记特值法.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B.[－2，2] C.[－1，1]D.[－4，4]解析 Q (－2，0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ≤1. 答案 C2.(2017·石家庄模拟)已知P 为双曲线C ：x 29－y 216＝1上的点，点M 满足|OM→|＝1，且OM →²PM →＝0，则当|PM →|取得最小值时点P 到双曲线C 的渐近线的距离为( ) A.95B.125C.4D.5解析 由OM→·PM →＝0，得OM ⊥PM ，根据勾股定理，求|MP |的最小值可以转化为求|OP |的最小值，当|OP |取得最小值时，点P 的位置为双曲线的顶点(±3，0)，而双曲线的渐近线为4x ±3y ＝0，∴所求的距离d ＝125，故选B. 答案 B3.已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m ＞0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( ) A.2B.2 2C.8D.2 3解析 根据已知条件得c ＝16－m 2，则点(16－m 2，2216－m 2)在椭圆x 216＋y2m 2＝1(m ＞0)上，∴16－m 216＋16－m 22m 2＝1，可得m ＝2 2. 答案 B4.若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是( ) A.[3，＋∞) B.(3，＋∞) C.(1，3]D.(1，3)解析 依题意可知双曲线渐近线方程为y ＝±b a x ，与抛物线方程联立消去y 得x2±bax ＋2＝0. ∵渐近线与抛物线有交点， ∴Δ＝b 2a 2－8≥0，求得b 2≥8a 2， ∴c ＝a 2＋b 2≥3a ，∴e ＝ca ≥3. 答案 A5.(2017·丽水调研)斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( ) A.2B.455C.4105D.8105解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4（t 2－1）5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4³4（t 2－1）5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 答案 C 二、填空题6.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为________. 解析 由条件知双曲线的焦点为(4，0)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝16，b a ＝3，解得a ＝2，b ＝23，故双曲线方程为x 24－y 212＝1. 答案 x 24－y 212＝17.已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3，0)，|AM →|＝1，且PM →²AM→＝0，则|PM →|的最小值是________. 解析 ∵PM→·AM →＝0，∴AM →⊥PM →.∴|PM→|2＝|AP →|2－|AM →|2＝|AP →|2－1， ∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小， 故|AP →|min ＝2，∴|PM →|min ＝ 3. 答案38.(2017·杭州调研)若双曲线x 2－y2b 2＝1(b ＞0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________；与圆相切时渐近线的方程为________.解析 双曲线的渐近线方程为y ＝±bx ，则有|0－2|1＋b2≥1，解得b 2≤3，则e 2＝1＋b 2≤4，∵e ＞1，∴1＜e ≤2.当渐近线与圆相切时，b 2＝3，a 2＝1，∴渐近线方程为y ＝±3x .答案 (1，2] y ＝±3x 三、解答题9.如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，点P (0，1)在短轴CD 上，且PC →²PD →＝－1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点.是否存在常数λ，使得OA →²OB →＋λP A →²PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b ). 又点P 的坐标为(0，1)，且PC→²PD →＝－1， 于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2.解得a ＝2，b ＝ 2.所以椭圆E 方程为x 24＋y 22＝1.。
(完整word版)圆锥曲线高考真题汇编(2013--2019新课标卷)(2019)
解析几何高考真题1、【2019年新2文理】若抛物线22y px =(p>0)的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p=( ) A.2 B.3 C.4 D.82、【2019年新2文理】设F 为双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ,Q 两点，若PQ OF =,则C 的离心率为（ ）B.C. 23、【2019新1文理】已知双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>D 的左、右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线与C的两条渐近线分别交于A,B 两点，若112,0F A AB FB F B =⋅=u u u r u u u r u u u r u u u u r，则C 的离心率为________4、【2019新1文理】已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -,过2F 的直线与C 交于A,B 两点2212,AF F B AB BF ==,则C 的方程为（ ）A.2212x y += B.22132x y += C.22143x y += D.22154x y += 5、【2019新3文理】10．双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐进线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为（ ）ABC．D．6、【2019新3文理】15．设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.7、【2018新2文理】5．双曲线，则其渐近线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．22221(0,0)x y a ba b-=>>y =y =2y x =y =8、【2018新2理】12．已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．9、【2018新2文】11．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（） A ． B ．CD10、【2018新1理】8．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则=（）A ．5B ．6C ．7D ．811、【2018新1理】11．已知双曲线C：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M、N .若为直角三角形，则|MN |=（ ） A ．B ．3C ．D ．412、【2018新1文】4．已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为A ．13B．12C D 13、【2018新1文】15．直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________ 14、【2018新3文理】6．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．15、【2018新3理】11．设是双曲线（）的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ）A B ．2 C D16、【2018新3理】16．已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，1F 2F 22221(0)x y C a b a b+=>>：A C PA 12PF F △12120F F P ∠=︒C 231213141F 2F C P C 12PF PF ⊥2160PF F ∠=︒C 12-123FM FN ⋅u u u u r u u u r2213x y -=OMN △3220x y ++=x y A B P ()2222x y -+=ABP △[]26，[]48，⎡⎣12F F ，22221x y C a b-=：00a b >>，O 2F C P 1PF =C ()11M -，24C y x =：C k C A两点．若，则________．17、【2018新3文】10．已知双曲线，则点到的渐近线的距离为（） AB ．CD ．18、【2017新2理】9. 若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2BCD 19、【2017新2理】16. 已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则FN = ．20、【2017新1理】10．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与C交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16B ．14C ．12D ．1021、【2017新1理】15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点。
2022届高考数学(文)大一轮复习检测：第八章第8讲直线与圆锥曲线的位置关系 Word版含答案
第8讲直线与圆锥曲线的位置关系, [同学用书P165])1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C1与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.方程ax2＋bx＋c＝0的解l 与C1的交点a＝0b＝0无解(含l是双曲线的渐近线)无公共点b≠0有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行)一个交点a≠0Δ＞0两个不相等的解两个交点Δ＝0两个相等的解一个交点Δ＜0无实数解无交点(2)几何法：在同始终角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2（y1＋y2）2－4y1y2.1．辨明两个易误点(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不肯定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合时也相交于一点．2．“点差法”求解弦中点问题的步骤设点—设出弦的两端点坐标↓代入—代入圆锥曲线方程↓作差—两式相减，再用平方差公式把上式开放↓整理—转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解1．直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．不确定A[解析] 直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．2．直线y＝ba x＋3与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的交点个数是()A．1 B．2C．1或2 D．0A[解析] 由于直线y＝ba x＋3与双曲线的渐近线y＝ba x平行，所以它与双曲线只有1个交点．3．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a等于()A．12B．13C．14D．4C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x－y－1＝0，y＝ax2，消去y得ax2－x＋1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a≠0，1－4a＝0，解得a＝14.4．过点⎝⎛⎭⎫0，－12的直线l与抛物线y＝－x2交于A、B两点，O为坐标原点，则OA→·OB→的值为()A．－12B．－14C．－4 D．无法确定B[解析] 设A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线l的方程为y＝kx－12，代入抛物线方程得2x2＋2kx－1＝0，由此得⎩⎪⎨⎪⎧x1＋x2＝－k，x1x2＝－12，所以OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋⎝⎛⎭⎫kx1－12⎝⎛⎭⎫kx2－12＝(k2＋1)·x1x2－12k(x1＋x2)＋14＝－12(k2＋1)－12k·(－k)＋14＝－14.故选B.5．过点A(1，0)作倾斜角为π4的直线，与抛物线y2＝2x交于M、N两点，则|MN|＝________．[解析] 过A (1，0)且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －1，代入y 2＝2x 得x 2－4x ＋1＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，有x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2·16－4＝2 6.[答案] 2 6直线与圆锥曲线的位置关系[同学用书P166][典例引领]在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1，0)，且点P (0，1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．【解】 (1)由于椭圆C 1的左焦点为F 1(－1，0)， 所以c ＝1.将点P (0，1)代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得1b 2＝1，即b ＝1， 所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率明显存在且不等于0， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 由于直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0. 整理得2k 2－m 2＋1＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0. 由于直线l 与抛物线C 2相切， 所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0， 整理得km ＝1.②综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，m ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－ 2.所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.直线与圆锥曲线位置关系的推断方法及留意事项(1)直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数，可以争辩直线与圆锥曲线的位置关系，即用代数法争辩几何问题，这是解析几何的重要思想方法．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点问题，实际上是争辩方程组解的个数问题．(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时留意观看方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．若直线l ：y ＝(a ＋1)x －1与曲线C ：y 2＝ax 恰好有一个公共点，试求实数a 的取值集合．[解] 由于直线l 与曲线C 恰好有一个公共点，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝（a ＋1）x －1，y 2＝ax 有唯一一组实数解，消去y ，得[(a ＋1)x －1]2＝ax ，整理得(a ＋1)2x 2－(3a ＋2)x ＋1＝0.①(1)当a ＋1＝0，即a ＝－1时，方程①是关于x 的一元一次方程，解得x ＝－1，这时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1. (2)当a ＋1≠0，即a ≠－1时，方程①是关于x 的一元二次方程，判别式Δ＝(3a ＋2)2－4(a ＋1)2＝a (5a ＋4)，令Δ＝0，解得a ＝0或a ＝－45.当a ＝0时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝0；当a ＝－45时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5y ＝－2.综上，实数a 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45，0.弦长问题[同学用书P166][典例引领](2021·贵阳摸底)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条相互垂直的弦AB 与CD .当直线AB 的斜率为0时，|AB |＝4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．【解】 (1)由题意知e ＝c a ＝12，2a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝3， 所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB |＋|CD |＝4＋3＝7，不满足条件．②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则直线CD 的方程为y ＝－1k(x －1)．将直线AB 方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝12（k 2＋1）3＋4k 2.同理，|CD |＝12⎝⎛⎭⎫1k 2＋13＋4k 2＝12（k 2＋1）3k 2＋4.所以|AB |＋|CD |＝12（k 2＋1）3＋4k 2＋12（k 2＋1）3k 2＋4＝84（k 2＋1）2（3＋4k 2）（3k 2＋4）＝487，解得k ＝±1，所以直线AB 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.弦长的计算方法求弦长时可利用弦长公式，依据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解．[留意] 两种特殊状况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行(重合)或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦点．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．[解] (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2.A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1.化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0.则x 1＋x 2＝－2c1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b2.由于直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|， 即43＝2|x 2－x 1|. 则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4（1－b 2）（1＋b 2）2－4（1－2b 2）1＋b 2＝8b 4（1＋b 2）2，由于0＜b ＜1.所以b ＝22. 中点弦问题[同学用书P167][典例引领]已知点A 、B 的坐标分别是(－1，0)、(1，0)，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－2.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若过点N ⎝⎛⎭⎫12，1的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点，且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程． 【解】 (1)设M (x ，y )，由于k AM ·k BM ＝－2，所以y x ＋1·y x －1＝－2(x ≠±1)，化简得2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)，即为动点M 的轨迹方程． (2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．法一：当直线l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝12，则C ⎝⎛⎭⎫12，62，D ⎝⎛⎭⎫12，－62，此时CD 的中点不是N ，不合题意．故设直线l 的方程为y －1＝k ⎝⎛⎭⎫x －12， 将C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)代入2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)得2x 21＋y 21＝2，①2x 22＋y 22＝2，②①－②整理得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－2（x 1＋x 2）y 1＋y 2＝－2×2×122×1＝－1，所以直线l 的方程为y －1＝(－1)×⎝⎛⎭⎫x －12， 即所求直线l 的方程为2x ＋2y －3＝0.法二：当直线l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝12，则C ⎝⎛⎭⎫12，62，D ⎝⎛⎭⎫12，－62，此时CD 的中点不是N ，不合题意．故设直线l 的方程为y －1＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，将其代入2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)，化简得(2＋k 2)x 2＋2k ⎝⎛⎭⎫1－k 2x ＋⎝⎛⎭⎫1－k 22－2＝0(x ≠±1)，所以4k 2⎝⎛⎭⎫1－k 22－4(2＋k 2)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－k22－2>0，① 由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k ⎝⎛⎭⎫1－k22＋k 2，x 1·x 2＝⎝⎛⎭⎫1－k 22－22＋k 2，又由N 为线段CD 的中点得x 1＋x 22＝－k ⎝⎛⎭⎫1－k 22＋k2＝12， 解得k ＝－1，将k ＝－1代入①中可知满足条件． 此时直线l 的方程为y －1＝(－1)×⎝⎛⎭⎫x －12， 即所求直线l 的方程为2x ＋2y －3＝0.(2021·高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．[解] (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b2＝1， 解得a 2＝8，b 2＝4. 所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b 1(k ≠0，b 1≠0)，A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 1代入x 28＋y 24＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kb 1x ＋2b 21－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 12k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b 1＝b 12k 2＋1.于是直线OM 的斜率k O M ＝y M x M ＝－12k ，即k O M ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．,[同学用书P168])——巧解圆锥曲线中的对称问题(1)已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2(2) 如图，已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点，设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．【解】 (1)选C.由题意可设l AB 为y ＝x ＋b ，代入y ＝－x 2＋3得x 2＋x ＋b －3＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 2＝x 1＋b ＋x 2＋b ＝(x 1＋x 2)＋2b . 所以AB 中点坐标为⎝⎛⎭⎫－12，－12＋b ，该点在x ＋y ＝0上，即－12＋⎝⎛⎭⎫－12＋b ＝0，得b ＝1， 所以|AB |＝1＋12·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝3 2.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.由于直线AB 过椭圆的左焦点F ，所以方程有两个不等实根，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1，所以AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k (x －x 0)．令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k 22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2. 由于k ≠0，所以－12<x G <0，所以点G 横坐标的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，0. 求圆锥曲线上存在两点关于某一条直线l 对称问题主要有两种解法：(1)设出圆锥曲线上两点所在的直线方程，代入圆锥曲线方程中，消元后其判别式Δ>0.利用根与系数关系及圆锥曲线上两点的中点在已知直线l上建立方程，结合Δ>0求解．(2)利用圆锥曲线上两点的中点在已知对称的直线上及圆锥曲线上两点连线的斜率为已知直线l的斜率的负倒数的特点，将圆锥曲线上两点的坐标代入圆锥曲线方程，利用中点在圆锥曲线内部建立不等式求参数的范围．如图，已知椭圆E经过点A(2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝12.(1)求椭圆E的方程；(2)求∠F1AF2的平分线所在直线l的方程；(3)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．[解] (1)设椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，由e＝12，即ca＝12，得a＝2c，所以b2＝a2－c2＝3c2.所以椭圆的方程可化为x24c2＋y23c2＝1.将A(2，3)代入上式，得1c2＋3c2＝1，解得c＝2(负值舍去)，所以椭圆E的方程为x216＋y212＝1.(2)由于A(2，3)，F1(－2，0)，F2(2，0)，所以AF1→＝(－4，－3)，AF2→＝(0，－3)．所以AF1→|AF1→|＋AF2→|AF2→|＝15(－4，－3)＋13(0，－3)＝－45(1，2)．所以k l＝2，所以l：y－3＝2(x－2)，即2x－y－1＝0.(3)法一：假设存在这样的两个不同的点B(x1，y1)和C(x2，y2)，由于BC⊥l，所以k BC＝y2－y1x2－x1＝－12.设BC的中点为M(x0，y0)，则x0＝x1＋x22，y0＝y1＋y22，由于M在l上，故2x0－y0－1＝0.①又B，C在椭圆上，所以有x2116＋y2112＝1与x2216＋y2212＝1.两式相减，得x22－x2116＋y22－y2112＝0，即（x1＋x2）（x2－x1）16＋（y1＋y2）（y2－y1）12＝0.将该式整理为18·x1＋x22＋y2－y1x2－x1·16·y1＋y22＝0，并将直线BC的斜率k BC和线段BC的中点表示代入该表达式中，得18x0－112y0＝0，即3x0－2y0＝0.②①×2－②得x0＝2，y0＝3，即BC的中点为点A，而这是不行能的．所以不存在满足题设条件的相异两点．法二：假设存在B(x1，y1)，C(x2，y2)两点关于直线l对称，则l⊥BC，所以k BC＝－12.设直线BC的方程为y＝－12x＋m，将其代入椭圆方程x216＋y212＝1，得一元二次方程3x2＋4⎝⎛⎭⎫－12x＋m2＝48，即x2－mx＋m2－12＝0，且x1与x2是该方程的两个根，由根与系数的关系得x1＋x2＝m，于是y1＋y2＝－12(x1＋x2)＋2m＝3m2，所以线段BC的中点坐标为⎝⎛⎭⎫m2，3m4.又线段BC的中点在直线y＝2x－1上，所以3m4＝m－1，得m＝4.即线段BC的中点坐标为(2，3)，与点A重合，冲突．所以不存在满足题设条件的相异两点．,[同学用书P345(独立成册)])1．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条C [解析] 结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0，1)且平行于x 轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)C [解析] 由于双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则由题意得ba ＞2，所以e ＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＞1＋4＝ 5.3．(2021·福州质检)抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (1，1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )A ．y ＝2x 2B ．y 2＝2xC ．x 2＝2yD ．y 2＝－2xB [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2两式相减可得2p ＝y 1－y 2x 1－x 2×(y 1＋y 2)＝k AB ×2＝2，即可得p ＝1，所以抛物线C 的方程为y 2＝2x .4．双曲线C 1的中心在原点，焦点在x 轴上，若C 1的一个焦点与抛物线C 2：y 2＝12x 的焦点重合，且抛物线C 2的准线交双曲线C 1所得的弦长为43，则双曲线C 1的实轴长为( )A ．6B ．2 6C ． 3D ．2 3D [解析] 设双曲线C 1的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意可知抛物线C 2的焦点为(3，0)，准线方程为x ＝－3，即双曲线中c ＝3，a 2＋b 2＝9，将x ＝－3代入双曲线方程，解得y ＝±ba9－a 2，又抛物线C 2的准线交双曲线C 1所得的弦长为43，所以2×ba9－a 2＝43，与a 2＋b 2＝9联立得，a 2＋23a －9＝0，解得a ＝3，故双曲线C 1的实轴长为23，故选D.5．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13B [解析] 依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫43，13， 所以OA →·OB →＝－13，同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13.6．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8C [解析] 由于y 2＝4x ，所以F (1，0)，准线l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得A (3，23)，所以|AK |＝4，所以S △AKF ＝12×4×23＝4 3.7．已知椭圆：y 29＋x 2＝1，过点P ⎝⎛⎭⎫12，12的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为________．[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于A ，B 在椭圆y 29＋x 2＝1上，所以⎩⎨⎧y 219＋x 21＝1，y 229＋x 22＝1，两式相减得y 21－y 229＋x 21－x 22＝0， 即（y 1－y 2）（y 1＋y 2）9＋(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0，又弦AB 被点P ⎝⎛⎭⎫12，12平分， 所以x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1，将其代入上式得y 1－y 29＋x 1－x 2＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－9，即直线AB 的斜率为－9，所以直线AB 的方程为y －12＝－9⎝⎛⎭⎫x －12， 即9x ＋y －5＝0. [答案] 9x ＋y －5＝08．(2021·浙江省名校联考)已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________．[解析] 由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －1），x 25＋y 24＝1，消去y ，整理得3x 2－5x ＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得 x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0.则|AB |＝ （x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝ （1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝（1＋22）⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫532－4×0＝553.[答案] 5539．已知双曲线C ：x 24－y 25＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，若|AB |＝5，则满足条件的l 的条数为________．[解析] 由于a 2＝4，b 2＝5，c 2＝9，所以F (3，0)，若A ，B 都在右支上，当AB 垂直于x 轴时，将x ＝3代入x 24－y 25＝1得y ＝±52，所以|AB |＝5，满足题意；若A ，B 分别在两支上，由于a ＝2，所以两顶点的距离为2＋2＝4<5，所以满足|AB |＝5的直线有2条，且关于x 轴对称．综上，一共有3条．[答案] 310．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2，2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝________．[解析] 如图所示，设F 为焦点，取AB 的中点P ，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为G ，H ，连接MF ，MP ，由MA →·MB →＝0，知MA ⊥MB ，则|MP |＝12|AB |＝12(|AG |＋|BH |)，所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线，所以MP ∥AG ∥BH ，所以∠GAM ＝∠AMP ＝∠MAP ，又|AG |＝|AF |，AM 为公共边，所以△AMG ≌△AMF ，所以∠AFM ＝∠AGM ＝90°，则MF ⊥AB ，所以k ＝－1k MF＝2.[答案] 211．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y 22－x 2＝1的焦点重合，过点P (4，0)且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)求OA →·OB →的取值范围． [解] (1)由题意知e ＝c a ＝12，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，所以a 2＝43b 2.由于双曲线y 22－x 2＝1的焦点坐标为(0，±3)，所以b ＝3，所以a 2＝4， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 的倾斜角为0°时，不妨令A (－2，0)，B (2，0)，则OA →·OB →＝－4， 当直线l 的倾斜角不为0°时，设其方程为x ＝my ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋4，3x 2＋4y 2＝12⇒(3m 2＋4)y 2＋24my ＋36＝0，由Δ>0⇒(24m )2－4×(3m 2＋4)×36>0⇒m 2>4， 设A (my 1＋4，y 1)，B (my 2＋4，y 2)． 由于y 1＋y 2＝－24m3m 2＋4，y 1y 2＝363m 2＋4，所以OA →·OB →＝(my 1＋4)(my 2＋4)＋y 1y 2 ＝m 2y 1y 2＋4m (y 1＋y 2)＋16＋y 1y 2 ＝1163m 2＋4－4，由于m 2>4，所以OA →·OB →∈⎝⎛⎭⎫－4，134. 综上所述，OA →·OB →的取值范围为⎣⎡⎭⎫－4，134.12．(2021·高考全国卷Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→＜0，则y 0的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－33，33B ．⎝⎛⎭⎫－36，36C ．⎝⎛⎭⎫－223，223D ．⎝⎛⎭⎫－233，233A [解析] 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， 所以 F 1(－3，0)，F 2(3，0)，所以 MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． 由于 MF 1→·MF 2→＜0， 所以 (－3－x 0)(3－x 0)＋y 20＜0，即x 20－3＋y 20＜0.由于点M (x 0，y 0)在双曲线上， 所以x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，所以2＋2y 20－3＋y 20＜0，所以－33＜y 0＜33.故选A. 13．已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．求实数m 的取值范围．[解] 由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b .由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2b mx ＋b 2－1＝0. 由于直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2>0.①将线段AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2.② 由①②得m <－63或m >63. 14．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点⎝⎛⎭⎫1，32，离心率为12，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)当△F 2AB 的面积为1227时，求直线的方程．[解] (1)由于椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点⎝⎛⎭⎫1，32， 所以1a 2＋94b2＝1.①又由于离心率为12，所以c a ＝12，所以b 2a 2＝34.②解①②得a 2＝4，b 2＝3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线的倾斜角为π2时，A ⎝⎛⎭⎫－1，32，B ⎝⎛⎭⎫－1，－32， S △ABF 2＝12|AB |·|F 1F 2|＝12×3×2＝3≠1227.当直线的倾斜角不为π2时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)，代入x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以S △ABF 2＝12|y 1－y 2|×|F 1F 2|＝|k |（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝|k | ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 24k 2＋32－4·4k 2－124k 2＋3 ＝12|k |k 2＋14k 2＋3＝1227，所以17k 4＋k 2－18＝0， 解得k 2＝1⎝⎛⎭⎫k 2＝－1817舍去， 所以k ＝±1，所以所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
我花了很多时间修改格式和内容，请你在这篇文章的基础上做改动。
文章结构基本合理，第二部分的内容显得十分单薄，看能否再加上一些内容，使其更加丰富；我已经修改了中文摘要和关键词，请你将其翻译成英文的；参考文献的格式不对，一一对照修改。
参考文献在文中的引用没有体现出来：参考文献在文中出现的地方用上标予以标明，序号用加方括号的阿拉伯数字表示（如[1][2][3]），列于正文文末。
如，定理1……完毕[3].参考文献的每个标号在文中至少（只需）出现1次，出现顺序必须是[1][2][3]…，如需帮助请呼组长我对格式做了很大的调整，还有一些需要你自己完成：文中的以字母表示的点，数据等等数学表达式，全部在数学公式编辑器中完成，但是文字不能在数学公式编辑器中编辑；在公式编辑器中的字母的格式F是错的，应该改为F，将其选中后在样式中再点击一次“数字”，格式就对了！小括号不用公式编辑器中的模版()，直接在键盘上输()；中括号即闭区间符号也不用公式编辑器中模版[]，也直接在键盘上输[]；否则打印出来的效果很怪异，一眼就被检查人员看出来了；区间括号中的逗号,,改为，改不来就把这个，复制过去；我已经修改了一部分，实在是太多，没有时间帮你了，你自己再一一对照修改。
图片也不对头，3.1当中的坐标轴不规范，还有那些字母的格式应该为TIMES NEW ROMAN 的斜体；后面的图片的字母格式也一样要改！圆锥曲线在高考数学中的地位数学学院数学与应用数学（师范）专业2010级田晓虹指导教师童殷摘要：圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，是高考重点考查的内容之一，在重庆每年的高考试卷中一般有低、中、高档的主观题和客观题，占总分数的13%左右。
本文首先简单的概述了圆锥曲线的基本知识内容，然后对近年的圆锥曲线高考题作了统计与解答，总结了其考查形式，考查的知识点，以及常用的方法，为教师教学和学生复习提供一定的参考。
关键词：圆锥曲线；高考题；Abstract：Conic curve is the heart of the space analytic geometry ，it is one of the important contents for the College Entrance Examination，there are some subjective items and objective items in the annual College Entrance Examination papers of Chongqing，it is about 13% of the total scores .Firstly, I provides an overview of the basic knowledge of the contents of conic curve,then,I make statistics and answer the college entrance examination on conic curve of this years, summarize the examination form and some common methods, provide a reference for the teachers and students.Key words：conic curve ;College Entrance Examination;平面解析几何作为中学数学几何代数化的典型代表，圆锥曲线更是高中数学平面解析几何的核心内容，是高考重点考查的内容之一，与函数、方程、不等式、几何、三角、数列、向量等有机地联系在一起，又以综合性较高的解答题为主，重点考查圆锥曲线的概念和性质、方程和轨迹、直线与圆锥曲线的位置关系等。
是用“活题”考“死知识”的典范，具有涉及面广、综合性强、运算量大、题目新颖、灵活多样、能力要求高等特点[8]，以定义法、配方法、待定系数法、参数法、判别式法等数学解题通法。
1 圆锥曲线具体内容高考数学所涉及的圆锥曲线主要有：椭圆、双曲线、抛物线，其定义及性质如下：1.1 椭圆的定义及性质1.1.1 椭圆的定义椭圆的定义第一定义应注意其中的常数大于两定点间的距离，当该常数等于两定点间的距离时，动点的轨迹为线段。
椭圆也可以按照第二定义形成， 若由 第一定义得椭圆的标准方程为12222=+by a x (0)a b >>，则在定点为(0)F c ，， 定直线为ca x 2=，或定点为(0)F c -， ，定直线为c a x 2-=的前提下，两种定义里椭圆的轨迹方程是统一的。
1.1.2 椭圆的几何性质 以方程12222=+by a x (0)a b >>表示的椭圆为例，其几何性质应注意以下几点：①范围：a x a <<- 且b y b <<-；②对称性：关于x 轴、y 轴和原点都对称；③顶点：曲线与对称轴的交点叫顶点，顶点为(0)a ±，、(0)b ±，；④离心率：焦距与长轴长之比，即ac e =222()c a b =-；⑤准线：c a x 2±=；⑤焦半径：01ex a MF +=，02ex a MF -=，（00()M x y ，在椭圆上，1F 、2F 分别为左、右焦点)。
1.2 双曲线的定义及性质1.2.1 双曲线的定义第一定义应注意其中的常数小于两定点间的距离，当该常数等于两定点间的距离时，其轨迹是：在这两点的连线， 分别以这两定点为端点的外侧的射线。
与椭圆类似，双曲线也可以按照第二定义形成，并在与椭圆类似的条件下，两种定义下的轨迹方程是统一的。
1.2.2 双曲线几何性质 以方程12222=-by a x (00a b >>，)为例，双曲线的几何性质为：①渐近线：x ab y ±=，标准方程中的1变为0时，双曲线退化为两条渐近线。
由此看来， 对于双曲线方程k b y a x =-2222(0)k ≠，不论k 为何值，其渐近线方程总是x ab y ±=。
从而可知，当已知双曲线的渐近线方程为x ab y ±=时，双曲线的方程可设为k b y a x =-2222(0)k ≠；②焦半径：双曲线的焦半径公式较复杂( 与点M 在左、右 支或上、下支上有关) ，这里不予讨论。
当涉及焦半径或过焦点的弦的问题时，应充分利用双曲线的两个定义解题。
③共轭双曲线:以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。
注意与有共同渐近线的双曲线分 开。
若已知双曲线方程为12222=-b y a x ，则其共轭双曲线方程为12222=-ay b x 。
其他 性质与椭圆类似，不再赘述。
1.3 抛物线的定义及性质1.3.1 抛物线定义抛物线定义中的定点应在定直线之外，否则，其轨迹为一条直线，利用定义，实现抛物线上任一点到焦点的距离和这一点到准线的距离之间的相互转化。
1.3.2 抛物线的通径抛物线的通径过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫抛物线的通径。
对于)02>=p px y （2，显然通径长为p 2[1]。
2 圆锥曲线在高考中的主要题型分析圆锥曲线的考题一般以一个选择或填空题、一个解答题，客观题的难度为中等，解答题相对较难，同时平面向量的介入，增加了本专题高考命题的广度与深度，成为近几年高考命题的一大亮点，备受命题者的青睐，还经常结合函数、方程、不等式、数列、三角等知识进行综合见附录[3]：3 圆锥曲线在高考中的主要考查点及难易程度分析历年高考对圆锥曲线考查的难易程度以及考查重点都有一定的差异，以下是对重庆市近四年高考数学圆锥曲线考查。
笔者收集并分析了近四年重庆数学高考题，具体考核形式的主要考查点及难易程度的分析[2]：3.1 高考对抛物线的主要考查点及难易程度分析（2012年重庆理14）过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于A B ，两 点，若2512AB AF BF =<，，则AF = 。
分析 焦点弦被焦点分为AF m =，BF n =，则p n m 111=+，又2512AB =，所以，1225=+n m ，2425=mn ，则5564m n ==，。
所以，56AF =。
本题主要考查了抛物线的简单性质及抛物线与直线的位置关系，当遇到抛物线焦点弦问题时，常根据焦点设出直线方程与抛物线方程联立，把韦达定理和抛物线定义相结合解决问题，本题涉及面较广，难以发现，属于难题。
（2011年重庆理15）设圆C 位于抛物线22y x =与直线3x =所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆C 的半径能取到的最大值为 。
分析 为使圆C 的半径取到最大值，显然圆心应该在x 轴上且与直线3x =相切，设圆C 的半径为r ，则圆C 的方程为222(3)x r y r +-+=，将其与22y x =联立得：22(2)960x r x r +-+-=，令2[2(2)]4(96)0r r ∆=---=，并由0r >，得：61r =。
本题主要考查了抛物线与圆和直线的位置关系。
要求最大半径，圆心必在x 轴上且与直线相切，可设圆的方程，再将圆与抛物线的方程联立得到一元二次方 程，根据判别式等于0求得半径r 。
属于中档题。
（2010年重庆文13）已知过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，2AF =，则BF = 。
分析 由抛物线的定义可知21===F K A A AF ，所以AB x ⊥轴，故2AF BF ==。
本题主要考察了抛物线的定义和简单性质，属于低档题。
（2010年重庆理14) 已知以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点A B 、满足3AF FB =u u u r u u u r ，则弦AB 的中点到准线的距离为 。
分析 设BF m =，由抛物线的定义知 113AA m BB m ==，，所以ABC ∆中，24AC m AB m ==，，3=AB k ，直线AB 方程为3(1)y x =-。
与抛物线方程联立消y 得031032=+-x x ，所以，AB 中点到准线距离为381351221=+=++x x . 本题主要考查了抛物线的简单性质及抛物线与直线的位置关系，属于中档题。
3.2 高考对双曲线的主要考查点及难易程度分析（2012年重庆文14）设P 为直线3b y x a=与双曲线22221(00)x y a b a b -=>>， 左支的交点，1F 是左焦点，1PF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率e = 。
分析 由222231b y x a x y a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得44x a y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，．又1PF 垂直于x 轴，所以c a =423，则 423=e 。