2011年华约试题解析

y z 2 x 1
x2 y2 z2 x2 y z2 y z2
2
x2 2 x 12 2
3
3x2 4x 8 3
3
x
2 3
2
4 3
，
答案 B
8． AB 为过抛物线 y2 4x 焦点 F 的弦，O 为坐标原点，且 OFA 135， C 为抛物线准线与 x 轴 的交点，则 ACB 的正切值为（ ）
中一条线段与另一条在一起．
解法一：如图，设底面边长为 2，则由侧面与底面所成二面角的正切为 2 得高为 2 ．如图
建 立 坐 标 系 ， 则 A1，1，0，B1，1，0，C 1，1，0，P 0，0， 2 ， 则
M
1 ， 2
1， 2
2 2
，
N
1 ，1 ， 22
2 2
，DM
3 ，1 ， 22
A． 2 2
B． 4 2 5
C． 4 2 3
D． 2 2 3
【解析】解法一：焦点 F 1，0，C 1，0，AB 方程 y x 1， 与抛物线方程 y2 4x 联立，解得
A 3 2 2 ，2 2 2 ，B 3 2 2 ，2 2 2 ， 于是
kCA
2 4
2 2
2 2
2 2
，kCB
2 4
2 2
，AN
1 2
，3 2
，
2 2
．设
所成的角为 ，则 cos DM AN 1 ． DM AN 6
z
P
MD
N
O A
B x
C y
解法二：如图，设底面边长为 2，则由侧面与底面所成二面角的正切为 2 得高为 2 ．平移 DM 与 AN 在 一 起 ． 即 M 移 到 N ，D 移 到 CD 的 中 点 Q ． 于 是 QN DM AN． 而 PA PB AB 2 ，所以 QN AN 3，而 AQ 5 ， 容易算出等腰 △AQN 的顶角 cos ANQ 1 ． 6
D． sin 2 sin 0
c
O2
O1
【解析】题目中的条件是通过三个圆来给出的，有点眼花缭乱．
O
我们来转化一下，就可以去掉三个圆，已知条件变为：
△OO1O2 边 O1O2 上一点 C ， OO1 、 OO2 延长线上分别一 点 A、B ，使得 O1A O1C ，O2B O2C ．
解法一：连接 O1O2 ， C 在 O1O2 上，
2 2
2 2
2 ，tan ACB kCA kCB 2
2
1 kCAkCB
2 ，答案 A
解 法 二 ： 如 图 ， 利 用 抛 物 线 的 定 义 ， 将 原 题 转 化 为 ： 在 直 角 梯 形 ABCD 中 ，
B A D4 5 ， E∥F D，A EF2， AF， A D B，F 求 BACEB ．
它的法线，并且假设 a，b 为相交直线也没关系．于是原题简化为：已知两条相交直线 a，b 成 60 角，求空间中过交点与 a，b 都成 45 角的直线．答案是 4 个．
7．
已
知
向量
a
0，1，b
3 2
，
1 2
，c
3 2
，
1 2
，xa
yb
zc
1，1
则
x2
y2
z2
的
最小值为（ ）
A．1
源自文库
B． 4 3
2 ．则异面直线 DM 与 AN 所成角的余弦为（ ）
【解析】本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其
余的要素．本题中可假设底面边长为已知（不妨设为 2），利用侧面与底面所成二面角可确定
其他要素，如正四棱锥的高等．然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其
则
OO1O2
OO2O1
π
，O1 AC
O1CA
1 2
OO1O2
，
O2 BC
O2CB
1 2
OO2O1
，
故
O1CA
O1CB
1 2
OO1O2
OO2O1
π
2
，
π O1CA O2CB
π
2
，sin
cos 2
．
解法二：对于选择填空题，可以用特例法，即可以添加条件或取一些特殊值，在本题中假设
两个小圆的半径相等，则 OO1O2
C．1 3 ，1 3
2
2
D． 1 ，1 2
2
2
【解析】首先尽可能化简结论中的表达式 cos2 A cos2 B，沿着两个方向：①降次：把三角函数的平方
去掉；②去角：原来含两个角，去掉一个．
解： cos2 A cos2 B 1 cos 2A 1 cos 2B 1 1 cos 2A cos 2B 1 cos A Bcos A B
2011 年华约试题解析
一、选择题
1． 设复数 z 满足 z 1且 z 1 5 则 z （ ） z2
A． 4 5
B． 3 4
C． 2 3
D． 1 2
【解析】由 z 1 5 得 z 2 1 5 z ，已经转化为一个实数的方程．解得 z 2 （舍去）， 1 ．
z2
2
2
2． 在正四棱锥 P ABCD 中，M、N 分别为 PA、PB 的中点，且侧面与底面所成二面角的正切为
C． 3 2
D． 2
【解析】由 xa yb zc 1，1 得
3 y 2
3 2
z
1，
3 y z 1
2
x
y 2
z 2
1
x
y
2
z
1
由于 x2 y2 z2 x2 y z2 y z2 ， 可以用换元法的思想，看成关于 x，y z，y z 三
2
个变量，变形
y
z
2 3
， 代入
OO2O1
π
2
，
O1CA
O2CB
1 2
OO1O2
π
4
，
π
O1CA
O2CB
π
2
，
sin
cos 2
．
6． 已知异面直线 a，b 成 60 角． A 为空间一点则过 A 与 a，b 都成 45 角的平面（ ）
A 有且只有一个
B 有且只有两个
C 有且只有三个
D 有且只有四个
【解析】已知平面过 A， 再知道它的方向，就可以确定该平面了．因为涉及到平面的方向，我们考虑
2
2
2
1 1 cos A B，可见答案是 B．
2
5． 如图，eO1 和 eO2 外切于点 C ，eO2 又都和 eO 内切，切点
B
分别为 A，B ．设 AOB ，ACB ， 则（ ） A
A． cos sin 0 2
C． sin 2 sin 0
B． sin cos 0 2
解法三：也可以平移 AN 与 DM 在一起．即 A 移到 M ， N 移到 PN 的中点 Q ．以下略．
2011 清华自招数学
P
M
Q
DN
C
A
B
3． 暂不知道。
4． 若 A B 2π ， 则 cos2 A cos2 B 的最小值和最大值分别为（ ） 3
A．1 3 ，3 22
B． 1 ，3 22