2.3直线、平面垂直的判定及其性质题型归纳

2.3直线、平面垂直的判定及其性质题型全归纳与垂直相关的几个重要结论1．直线与平面垂直的定义常常逆用，即a ⊥α，b ⊂α⇒a ⊥b ． 2．若两平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面． 3．垂直于同一条直线的两个平面平行． 4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．垂直关系的转化1．线面垂直证明的核心证明线面垂直的核心是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．2．线线垂直的隐含条件证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)直角梯形等等．3．利用面面垂直的判定定理，其关键是寻找平面的垂线． (1)若这样的直线在图中存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直．(2)若这样的直线不存在，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并有利于证明，不能随意添加．注意：证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的．4．三种垂直关系的证明方法 (1)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α； ②判定定理1：⎭⎪⎬⎪⎫m ，n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α； ③判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α； ④面面平行的性质：α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；⑤面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β． (2)证明线线垂直的方法①定义：两条直线所成的角为90°； ②平面几何中证明线线垂直的方法； ③线面垂直的性质：a ⊥α，b ⊂α⇒a ⊥b ； ④线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b ． (3)证明面面垂直的方法①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； ②判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β．题型一、直线与平面垂直的判定与性质1．(2012·湖南高考)如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD . 证明：BD ⊥PC ；2．(2014·福建高考)如图所示，三棱锥 A -BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD . (1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A -MBC 的体积．3．如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝12AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．(1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)证明：EF ⊥平面P AB ．题型二、平面与平面垂直的判定与性质4．如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点. 求证：(1)平面BDM⊥平面ECA；(2)平面DEA⊥平面ECA.5．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．(1)若P A＝PD，求证：平面PQB⊥平面P AD；(2)点M在线段PC上，PM＝tPC，试确定实数t的值，使P A∥平面MQB.6．已知三棱柱ABC-A′B′C′中，平面BCC′B′⊥底面ABC，BB′⊥AC，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA′＝3，E，F分别在棱AA′，CC′上，且AE＝C′F＝2.(1)求证：BB′⊥底面ABC；(2)在棱A′B′上找一点M，使得C′M∥平面BEF，并给出证明．如图所示，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB＝2，AD ＝AF＝1，∠BAF＝60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心．(1)求证：平面ADF⊥平面CBF；(2)求证：PM∥平面AFC；(3)求多面体CD－AFEB的体积V.1．如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD＝2AB，SA＝SD，SA⊥AB，N是棱AD的中点．(1)求证：AB∥平面SCD；(2)求证：SN⊥平面ABCD；2．如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，E 和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.3．如图所示，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知P A⊥AC，P A＝6，BC＝8，DF＝5. 求证：(1)直线P A∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.4．如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为CD的中点，F为AE的中点．现在沿AE将三角形ADE向上折起，在折起的图形中解答下列问题：(1)在线段AB上是否存在一点K，使BC∥平面DFK？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由；(2)若平面ADE⊥平面ABCE，求证：平面BDE⊥平面ADE.1．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF ＝3，G 和H 分别是CE 和CF 的中点．(1)求证：AC ⊥平面BDEF ； (2)求证：平面BDGH ∥平面AEF .2．在如图的多面体中，AE ⊥底面BEFC ，AD ∥EF ∥BC ，BE ＝AD ＝EF ＝12BC ，G 是BC 的中点．求证：(1)AB ∥平面DEG ；(2)EG ⊥平面BDF .3．如图，已知P A ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点． (1)求证：MN ⊥CD ；(2)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD .4．如图，在正三棱锥ABC -A 1B 1C 1中，E ，F 分别为BB 1，AC 的中点．(1)求证：BF ∥平面A 1EC ； (2)求证：平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1.5．(2012·新课标全国卷)如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝12AA 1，D是棱AA 1的中点．(1)证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；(2)平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．直线、平面垂直的判定及其性质题型全归纳答案题型一、直线与平面垂直的判定与性质1．(2012·湖南高考) 【证明】(1)因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BD .又AC ⊥BD ，P A ∩AC ＝A ， 所以BD ⊥平面P AC .而PC ⊂平面P AC ，所以BD ⊥PC .2．(2014·福建高考)【证明】(1)证明：∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD .又∵CD ⊥BD ，AB ∩BD ＝B ，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ， ∴CD ⊥平面ABD .(2)由AB ⊥平面BCD ，得AB ⊥BD ，∵AB ＝BD ＝1，∴S △ABD ＝12.∵M 是AD 的中点，∴S △ABM ＝12S △ABD ＝14.由(1)知，CD ⊥平面ABD ， ∴三棱锥C -ABM 的高h ＝CD ＝1，因此三棱锥A -MBC 的体积V A -MBC ＝V C -ABM＝13S △ABM ·h ＝112. 3．(1)由线面垂直的判定及性质证明PH ⊥平面ABCD ；(2)作出P A 的中点G ，证明DG ⊥平面P AB ，进而由EF 与DG 的关系证明EF ⊥平面P AB ． 【证明】(1)由于AB ⊥平面P AD ，PH ⊂平面P AD ，故AB ⊥PH ．又PH 为△P AD 中AD 边上的高，故AD ⊥PH ． ∵AB ∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴PH ⊥平面ABCD ．(2)过E 作EG ∥AB 交P A 于点G ，连接DG ． ∵E 为PB 的中点，∴G 为P A 的中点．∵AD ＝PD ，故△DP A 为等腰三角形，∴DG ⊥AP ． ∵AB ⊥平面P AD ，DG ⊂平面P AD ，∴AB ⊥DG ． 又∵AB ∩P A ＝A ，AB ⊂平面P AB ，P A ⊂平面P AB ， ∴DG ⊥平面P AB ．又∵GE ∥AB ，DF ∥AB ，且GE ＝12AB ，DF ＝12AB∴GE ∥DF ，且GE ＝DF ．∴四边形DFEG 为平行四边形，故DG ∥EF ． ∴EF ⊥平面P AB ．题型二、平面与平面垂直的判定与性质4．【证明】(1)取CA 的中点N ，连结MN ，BN ，则MN ∥EC ，且MN ＝12EC.∴MN ∥BD ，∴点N 在平面BDM 内． ∵EC ⊥平面ABC ，∴EC ⊥BN . 又CA ⊥BN ，∴BN ⊥平面ECA . ∵BN ⊂平面BDM ， ∴平面BDM ⊥平面ECA . (2)∵DM ∥BN ，BN ⊥平面ECA . ∴DM ⊥平面ECA . 又DM ⊂平面DEA ， ∴平面DEA ⊥平面ECA .5．【证明】(1)连接BD ，因为四边形ABCD 为菱形，且∠BAD ＝60°，所以△ABD 为正三角形，又Q 为AD 的中点，所以AD ⊥BQ . 又因为P A ＝PD ，所以AD ⊥PQ . 又BQ ∩PQ ＝Q ，所以AD ⊥平面PQB ， 又AD ⊂平面P AD ，所以平面PQB ⊥平面P AD .【解析】(2)若P A ∥平面MQB ，连接AC 交BQ 于N ，连接MN .由AQ ∥BC 可得，△ANQ ∽△CNB ， 所以AQ BC ＝AN NC ＝12，因为P A ∥平面MQB ，P A ⊂平面P AC ， 平面P AC ∩平面MQB ＝MN ，所以P A ∥MN ， 因此，PM PC ＝AN AC ＝13，即t 的值为13.6． 【证明】(1)如图，取BC 中点O ，连接AO ，因为三角形ABC 是等边三角形，所以AO ⊥BC ，又平面BCC ′B ′⊥底面ABC ，AO ⊂平面ABC ，平面BCC ′B ′∩平面ABC ＝BC ， 所以AO ⊥平面BCC ′B ′， 又BB ′⊂平面BCC ′B ′， 所以AO ⊥BB ′.又BB ′⊥AC ，AO ∩AC ＝A ，AO ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以BB ′⊥底面ABC .(2)如图，显然M不是A′，B′；棱A′B′上若存在一点M，使得C′M∥平面BEF，过M作MN∥AA′交BE于N，连接FN，MC′，所以MN∥C′F，即C′M和FN共面，所以C′M∥FN，所以四边形C′MNF为平行四边形，所以MN＝2，所以MN是梯形A′B′BE的中位线，M为A′B′的中点．【解】(1)∵矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，且CB⊥AB，∴CB⊥平面ABEF，又AF⊂平面ABEF，所以CB⊥AF，又AB＝2，AF＝1，∠BAF＝60°，由余弦定理知BF＝3，∴AF2＋BF2＝AB2，得AF⊥BF，又BF∩CB＝B，∴AF⊥平面CFB，又∵AF⊂平面ADF；∴平面ADF⊥平面CBF.(2)连接OM延长交BF于H，则H为BF的中点，又P为CB的中点，∴PH∥CF，又∵CF⊂平面AFC，PH⊄平面AFC，∴PH∥平面AFC，连接PO，则PO∥AC，又∵AC⊂平面AFC，PO⊄平面AFC，PO∥平面AFC，PO∩PH＝P，∴平面POH∥平面AFC，又∵PM⊂平面POH，∴PM∥平面AFC.(3)【解】多面体CD－AFEB的体积可分成三棱锥C－BEF与四棱锥F－ABCD的体积之和.在等腰梯形ABEF中，计算得EF＝1，两底间的距离EE1＝3 2.所以V C－BEF＝13S△BEF×CB＝13×12×1×32×1＝312，V F－ABCD＝13S矩形ABCD×EE1＝13×2×1×32＝33，所以V＝V C－BEF＋V F－ABCD＝53 12.1．【证明】(1)因为底面ABCD是矩形，所以AB∥CD，又因为AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB ∥平面SCD .(2)因为AB ⊥SA ，AB ⊥AD ，SA ∩AD ＝A ， 所以AB ⊥平面SAD ，又因为SN ⊂平面SAD ， 所以AB ⊥SN .因为SA ＝SD ，且N 为AD 中点， 所以SN ⊥AD . 又因为AB ∩AD ＝A ，所以SN ⊥平面ABCD .2．【证明】(1)因为平面P AD ⊥底面ABCD ，且P A 垂直于这两个平面的交线AD ，所以P A ⊥底面ABCD .(2)因为AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点， 所以AB ∥DE ，且AB ＝DE . 所以四边形ABED 为平行四边形． 所以BE ∥AD .又因为BE ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， 所以BE ∥平面P AD .(3)因为AB ⊥AD ，而且ABED 为平行四边形， 所以BE ⊥CD ，AD ⊥CD . 由(1)知P A ⊥底面ABCD . 所以P A ⊥CD . 所以CD ⊥平面P AD . 从而CD ⊥PD .又E ，F 分别是CD 和PC 的中点， 所以PD ∥EF .故CD ⊥EF ，CD ⊂平面PCD ，由EF ，BE ⊂平面BEF ，且EF ∩BE ＝E . 所以CD ⊥平面BEF . 所以平面BEF ⊥平面PCD .3．【证明】(1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥P A .又因为P A ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， 所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8， 所以DE ∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2， 所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF . 又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ， 所以DE ⊥平面ABC . 又DE ⊂平面BDE ， 所以平面BDE ⊥平面ABC .4．【解析】(1)线段AB 上存在一点K, 且当AK ＝14AB 时，BC ∥平面DFK ，证明如下：设H 为AB 的中点，连接EH ，DK ，KF ，则BC ∥EH ， 又∵AK ＝14AB ，F 为AE 的中点，∴KF ∥EH ，∴KF ∥BC ，∵KF ⊂平面DFK ，BC ⊄平面DFK ， ∴BC ∥平面DFK .【证明】(2)∵在折起前的图形中E 为CD 的中点，AB ＝2，BC ＝1，∴在折起后的图形中，AE ＝BE ＝2， 从而AE 2＋BE 2＝4＝AB 2， ∴AE ⊥BE .∵平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE ∩平面ABCE ＝AE ， ∴BE ⊥平面ADE ，∵BE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ADE .1．【证明】(1)因为四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD .又因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ∩平面ABCD ＝BD ，且AC ⊂平面ABCD ， 所以AC ⊥平面BDEF .(2)在△CEF 中，因为G ，H 分别是CE ，CF 的中点，所以GH ∥EF ， 又因为GH ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以GH ∥平面AEF . 设AC ∩BD ＝O ，连接OH ，在△ACF 中，因为OA ＝OC ，CH ＝HF ， 所以OH ∥AF ，又因为OH ⊄平面AEF ，AF ⊂平面AEF ， 所以OH ∥平面AEF .又因为OH ∩GH ＝H ，OH ，GH ⊂平面BDGH ， 所以平面BDGH ∥平面AEF .2．【证明】(1)∵AD ∥EF ，EF ∥BC ，∴AD ∥BC .又∵BC ＝2AD ，G 是BC 的中点，∴AD ∥BG ，且AD ＝BG ，∴四边形ADGB 是平行四边形，∴AB ∥DG .∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，∴AB ∥平面DEG .(2)连接GF ，四边形ADFE 是矩形，∵DF ∥AE ，AE ⊥底面BEFC ，∴DF ⊥平面BCFE ，EG ⊂平面BCFE ，∴DF ⊥EG .∵EF ∥BG ，且EF ∥BG ，EF ＝BE ，∴四边形BGFE 为菱形，∴BF ⊥EG ，又BF ∩DF ＝F ，BF ⊂平面BFD ，DF ⊂平面BFD ，∴EG ⊥平面BDF .3．【证明】(1)如图所示，取PD 的中点E ，连接AE ，NE ，∵N 是PC 的中点，E 为PD 的中点，∴NE ∥CD ，且NE ＝12CD ，而AM ∥CD ，且AM ＝12AB ＝12CD ，∴NE ∥AM ，且NE ＝AM ，∴四边形AMNE 为平行四边形，∴MN ∥AE .又P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥CD ，又∵ABCD 为矩形，∴AD ⊥CD .而AD ∩P A ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥AE .又AE ∥MN ，∴MN ⊥CD .(2)∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AD ，又∠PDA ＝45°，∴△P AD 为等腰直角三角形．又E 为PD 的中点，∴AE ⊥PD ，又由(1)知CD ⊥AE ，PD ∩CD ＝D ，∴AE ⊥平面PCD .又AE ∥MN ，∴MN ⊥平面PCD .4．【证明】(1)连接AC 1交A 1C 于点O ，连接OE ，OF ，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为平行四边形，所以OA ＝OC 1.又因为F 为AC 中点，所以OF ∥CC 1且OF ＝12CC 1. 因为E 为BB 1中点，所以BE ∥CC 1且BE ＝12CC 1. 所以BE ∥OF 且BE ＝OF ，所以四边形BEOF 是平行四边形，所以BF ∥OE . 又BF ⊄平面A1EC ，OE ⊂平面A 1EC ，所以BF ∥平面A 1EC .(2)由(1)知BF ∥OE ，因为AB ＝CB ，F 为AC 中点，所以BF ⊥AC ，所以OE ⊥AC .又因为AA 1⊥底面ABC ，而BF ⊂底面ABC ，所以AA 1⊥BF .由BF ∥OE ，得OE ⊥AA 1，而AA 1，AC ⊂平面ACC 1A 1，且AA 1∩AC ＝A ， 所以OE ⊥平面ACC 1A 1.因为OE ⊂平面A 1EC ，所以平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1.5．(2012·新课标全国卷)【证明】(1)由题设知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1.又DC 1⊂平面ACC 1A 1，所以DC 1⊥BC .由题设知∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45°，所以∠CDC 1＝90°，即DC 1⊥DC . 又DC ∩BC ＝C ，所以DC 1⊥平面BDC .又DC 1⊂平面BDC 1，故平面BDC 1⊥平面BDC .(2)设棱锥B -DACC 1的体积为V 1，AC ＝1.由题意得V 1＝13×1＋22×1×1＝12. 又三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积V ＝1，所以(V －V 1)∶V 1＝1∶1.故平面BDC 1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.。