微专题24 双星与多星问题

[方法点拨] (1)核心问题是“谁”提供向心力的问题．(2)“双星问题”的隐含条件是两者的向心力相同、周期相同、角速度相同；双星中轨道半径与质量成反比；(3)多星问题中，每颗行星做圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力的合力提供，即F 合＝m v 2

r ，以此列向

心力方程进行求解．

1．(双星问题)“双星体系”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的半径远小于两个星球之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如图1所示，相距为L 的A 、B 两恒星绕共同的圆心O 做圆周运动，A 、B 的质量分别为m 1、m 2，周期均为T .若有间距也为L 的双星C 、D ，C 、D 的质量分别为A 、B 的两倍，则( )

图1

A ．A 、

B 运动的轨道半径之比为m 1

m 2

B ．A 、B 运动的速率之比为

m 1

m 2

C ．C 运动的速率为A 的2倍

D ．C 、D 运动的周期均为

22

T 2．(多星问题)(多选)太空中存在一些离其他恒星很远的、由三颗星体组成的三星系统，可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是直线三星系统——三颗星体始终在一条直线上；另一种是三角形三星系统——三颗星体位于等边三角形的三个顶点上．已知某直线三星系统A 每颗星体的质量均为m ，相邻两颗星中心间的距离都为R ；某三角形三星系统B 的每颗星体的质量恰好也均为m ，且三星系统A 外侧的两颗星体做匀速圆周运动的周期和三星系统B 每颗星体做匀速圆周运动的周期相等．引力常量为G ，则( )

A．三星系统A外侧两颗星体运动的线速度大小为v＝Gm R

B．三星系统A外侧两颗星体运动的角速度大小为ω＝

1

2R

5Gm

R

C．三星系统B的运动周期为T＝4πR

R 5Gm

D．三星系统B任意两颗星体中心间的距离为L＝312

5R

3．引力波的发现证实了爱因斯坦100年前所做的预测.1974年发现了脉冲双星间的距离在减小就已间接地证明了引力波的存在．如果将该双星系统简化为理想的圆周运动模型，如图2所示，两星在相互的万有引力作用下，绕O点做匀速圆周运动．由于双星间的距离减小，则()

图2

A．两星的运动周期均逐渐减小

B．两星的运动角速度均逐渐减小

C．两星的向心加速度均逐渐减小

D．两星的运动速度均逐渐减小

4．(多选)宇宙中有这样一种三星系统，系统由两个质量为m的小星体和一个质量为M的大星体组成，两个小星体围绕大星体在同一圆形轨道上运行，轨道半径为r.关于该三星系统的说法中正确的是()

A．在稳定运行的情况下，大星体提供两小星体做圆周运动的向心力

B．在稳定运行的情况下，大星体应在小星体轨道中心，两小星体在大星体相对的两侧

C．小星体运行的周期为T＝

4πr

3

2

G(4M＋m)

D．大星体运行的周期为T＝

4πr

3

2

G(4M＋m)

5．(多选)神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX －3双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成．两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A 、B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图3所示．引力常量为G ，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期T ，可见星A 所受暗星B 的引力可等效为位于O 点质量为m ′的星体(视为质点)对它的引力，设A 和B 的质量分别为m 1、m 2，则( )

图3

A ．m ′与m 1、m 2的关系为m ′＝m 32

(m 1＋m 2)2

B ．m ′与m 1、m 2的关系为m ′＝m 1m 22

(m 1＋m 2)2

C ．暗星B 的质量m 2与可见星A 的速率v 、周期T 和质量m 1之间的关系为m 32

(m 1＋m 2)2＝v 3T 2πG

D ．暗星B 的质量m 2与可见星A 的速率v 、周期T 和质量m 1之间的关系为m 31

(m 1＋m 2)2＝v 3T 2πG

6．(多选)宇宙间存在一个离其他星体遥远的系统，其中有一种系统如图4所示，四颗质量均为m 的星体位于正方形的顶点，正方形的边长为a ，忽略其他星体对它们的引力作用，每颗星都在同一平面内绕正方形对角线的交点O 做匀速圆周运动，引力常量为G ，则( )

图4

A ．每颗星做圆周运动的线速度大小为 (1＋

24)Gm a

B ．每颗星做圆周运动的角速度大小为 Gm

2a 3 C ．每颗星做圆周运动的周期为2π

2a 3

Gm

D ．每颗星做圆周运动的加速度与质量m 有关

7．(多选)宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个系统，它们以相互间的万有引力彼此提供

向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为T ，两星到某一共同圆心的距离分别为R 1和R 2，那么，系统中两颗恒星的质量关系是( ) A ．这两颗恒星的质量必定相等

B ．这两颗恒星的质量之和为4π2(R 1＋R 2)3

GT 2

C ．这两颗恒星的质量之比为m 1∶m 2＝R 2∶R 1

D ．其中必有一颗恒星的质量为4π2(R 1＋R 2)3

GT 2

答案精析

1．D [对于双星A 、B ，有G m 1m 2L 2＝m 1(2πT )2r 1＝m 2(2πT )2r 2，r 1＋r 2＝L ，得r 1＝m 2

m 1＋m 2L ，r 2＝

m 1

m 1＋m 2

L ，T ＝2πL

L G (m 1＋m 2)

，A 、B 运动的轨道半径之比为r 1r 2＝m 2m 1，A 错误；由v ＝2πr

T 得，

A 、

B 运动的速率之比为v 1v 2＝r 1r 2＝m 2

m 1

，B 错误；C 、D 运动的周期T ′＝2πL

L

G (2m 1＋2m 2)

＝

22T ，D 正确；C 的轨道半径r 1′＝2m 2

2m 1＋2m 2L ＝r 1，C 运动的速率为v 1′＝2πr 1′T ′＝2v 1，C 错误．]

2．BCD [三星系统A 中，三颗星体位于同一直线上，两颗星体围绕中央星体在同一半径为R 的圆轨道上运行．其中外侧的一颗星体由中央星体和另一颗外侧星体的合万有引力提供向心力，有：G m 2R 2＋G m 2(2R )2＝m v 2R ，

解得v ＝

5Gm 4R

，A 错误；三星系统A 中，周期T ＝2πR

v ＝4πR R 5Gm

，则其角速度为ω＝2πT ＝1

2R

5Gm

R

，B 正确；由于两种系统周期相等，即T ＝4πR R

5Gm

，C 正确；三星系统B 中，三颗星体位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图所示，对某颗星体，由万有引力定律和牛顿第二定律得：2Gm 2

L 2cos 30°＝

m L 2cos 30°·4π2

T 2，L ＝3125

R ，D 正确．] 3．A [设双星之间的距离为L ，质量较大的星球与O 点的距离为r ，质量为M ，另一星球质量为m ，由万有引力定律和匀速圆周运动知识得，G Mm L 2＝Mrω2，G Mm

L 2＝m (L －r )ω2，联立解

得ω＝

G (M ＋m )

L 3

，由于双星之间的距离L 减小，故两星运动的角速度增大，选项B 错误；由周期T ＝2πω，可知两星的运动周期减小，选项A 正确；由G Mm

L 2＝Ma 可知，由于双星之间

的距离L 减小，两星运动的向心加速度增大，选项C 错误；由G Mm

L 2＝M v 2r

可知，v ＝

Gmr

L 2

，