4动力学复习(普遍定理)

第三篇 动力学复习

在静力学中，我们分析了物体受力的描述方法。并研究了物体在力系作用下平衡的关系问题。但没有研究在不平衡力系作用下物体是如何运动的。

在运动学中，我们仅以几何方面分析了物体的运动。而没用涉及所作用的力，也就是说，没有说明物体为什么会运动。

动力学则要对物体的机械运动进行全面的分析。即要研究作用物体的力与物体运动之间的关系。由此来建立物体机械运动的普遍规律。因此：动力学是研究物体机械运动与作用力之间关系的科学。 §1 质点动力学的两类基本问题

质点动力学基本问题有两类：

第一类问题：已知质点的运动，求质点所受的力。

所谓已知运动，就是说质点在坐标系中的运动方程已知。以直角坐标系为例：即 )(t x x = ； )(t y y = ； )(t z z = (1)

由此可将运动方程对时间求两次导数，就可以得到质点加速度在直角坐标轴上的三个投影表达式。这就不难求出有关力的三个未知量。故第一类问题是较简单的，可以归结为微分问题

第二类问题：已知质点所受的力，求质点的运动.

所谓求质点或质点系的运动，就是解质点运动微分方程。以直角坐标轴上的三个投影表达式为例：

∑∑∑===),,,,,,(),,,,,,(),,,,,,(222

222z y x

z y x t X m z y x z y x t X m

z y x z y x t X m

i dt z

d i dt y d i dt x d （2） 要求解(2)，本质上说就是要进行积分运算。(如方程可积) 积分后就可得包含六个积分常数的微分方程通解。六个积分常数可由质点的运动初始条件来确定。所谓初始条件——就是初始位置(坐标)和初始速度。因此第二类问题求解，除了要给定力函数外，还要知道运动的初始条件。总之是求解第二类问题，可归结为积分问题。 对于有n 质点的质点系。它包含着n 3个二阶微分方程。求解这样的微分方程组在大多数情况下是非常困难的，有时甚至是不可能的。 动力学解决这类问题的方法是：由n 3个(2)式质点系运动微分方程

推出−→−−动量定理动量矩定理动能定理动力学普遍定理来解决这类问题，这三个定理通称为⎫⎬⎪⎭

⎪−→−−−−−−−−−−−−

− 动力学第二类问题归结为求解一组运动微分方程；在实际问题中，即使在最简单的情况下，其数学运算(即积分运算)是很繁复的有时还可能得不到解。现我们从运动微分方程出发推出了几个定理。在解决问题时运用这些定理来求解，则比直接求解微分方程要简单的多。此外，这对于我们更深的理解物体运动的本质，也很有帮助。 这些定理把与运动的物理量如动量、动量矩、动能。与力的物理量如冲量、力矩、功联系起来。并建立了它们之间的关系。使得力学科学理论的广泛应用有了有效的手段。这三个定理统称为动力学普遍定理。

动力学普遍定理

（第十一、十二、十三章）

(1)动量定理、它联系了物体运动时动量的变化与作用力的冲量之间的关系。由此还可以推出动量守恒定律以及质心运动定理。简言之是线运动量与力之间的关系。

动量的计算：质点 v m p =；刚体 c i v M v m p =∑= 质点动量定理：

微分形式： ()d mv Fdt = ；

积分形式 210

t mv mv Fdt -=⎰ （碰撞时用）； 质点系动量定理：

微分形式： ()e d p F dt =∑ （定义式） 积分形式 ()21e p p S -=∑ （碰撞时用）

刚体质心运动定理：∑=

F a M c （常用注意下标） 质心公式： i i

C m r r M =∑ (矢量式)（注意这里∑推导公式时是n 个质

点的加，但对k 个刚体来说，应用时也可以用）

i i C m x x M =∑ ； i i

C m y y M =∑ ； i i C m z z M =∑（投影式）

(2)动量矩定理、它联系了物体动量矩的变化与作用力矩之间的关系。 由此还可以推出动量矩守恒定律，面积定律，以及相对于质心的动量矩定理。总之是角运动量与力矩之间的关系。

质点动量矩的定义：()O M mv r mv =⨯ （对固定点O ）

质点系动量矩定义：11

()n

n O O i i i i i i i L M m v r m v ====⨯∑∑ （对固定点O ） 计算式：若C 为质点系（刚体）的质心，对任意固定点O 动量矩为：

O C C C L L r Mv =+⨯ 若刚体作定轴转动动量矩为：z z L J ω= 质点动量矩定理：dv r m r F dt

⨯=⨯ 质点系动量矩定理：()1()n e O O i dL M F dt ==∑ 若刚体作定轴转动： ()()e z z J M F α=∑

若刚体作平面运动： ()()e c c J M F α=∑ （C 为刚体的质心）

若C z 与z 轴平行，则转动惯量为：2

z zC J J Md =+

上面是基本概念和定义式，下面我们把解题时，常用公式进行分类，从整体上把握普遍定理的应用方法。先将动量定理中的质心运动定理和动量矩定理中的相对于质心的动量矩定理，归纳整理一下。

刚体平面运动微分方程

（质心运动定理，相对于质心的动量矩定理）

从静力学中，我们知道。作用于刚体上的任何力系可简化为一个力及一个力偶；力的大小与方向等于力系的主矢(合力)；而力偶的大小与方向等于力系对简化中心的主矩(合力矩)；

从运动学中，我们知道。刚体的一般运动可分解为随基点的平动及相对于基点转动。

如果我们将力系的简化中心及平面运动刚体的基点取为刚体的质心。那么刚体的运动变化与力(矩)之间的关系。就可以通过质心运