4动力学复习(普遍定理)
动量定理和动量矩定理
应用质心运动定理解题步骤
1）取质点和质点系为研究对象； 2）分析质点系所受的全部外力，包括主动力和约束反力； 3）根据外力情况确定质心运动是否守恒； 4）如果外力主矢等于零，且在初始时质点系为静止，则质 心坐标保持不变。计算在两个时刻质心的坐标（用各质心 坐标表示），令其相等，即可求得所要求的质点的位移； 4）如果外力主矢不等于零，计算质心坐标，求质心的加速 度，然后应用质心运动定理求未知力。 5）在外力已知的条件下，欲求质心的运动规律，与求质点 的运动规律相同。
动力学普遍定理包括动量定理、 动量矩定理、动能定理。这些定理建 立了表现运动特征的量（动量、动量 矩、动能）和表现力作用效果的量 （冲量、冲量矩、功）之间的关系。
9.1 动量定理
1.动量 1）质点的动量
质点的质量与速度的乘积称为质点的动量， 记为mv。
动量是矢量，方向与速度方向相同。动量的单位为 N ·s。
4.质点系的动量定理
设由n个质点组成的质点系。其中第i个质点的
动 分别量为为Fmri(iiv)与i，Fr作i(e，) 用由在质该点质的点动上量的定外理力有与内力的合力
d dt
r (mivi
)
r F (e)
i
r F (i)
i
(i 1, 2,, n)
将n个方程相加，即得
d
r (mv
)
解得
y
v FOy
O
v FOx
x
C
pv
mgr A
FOx ml(a sin 2 cos) FOy mg ml(a cos 2 sin)
动力学普遍定理
由质心运动定理
maCx = ∑ Fx , maCy = ∑ Fy
得：
3mg − sin ϕ cos ϕ = FOx 4 − 3mg (1 − 3sin 2 ϕ ) = FOy − mg 4
FOy aCy FOx
O C mg
y x
解得：
aCx
3mg FOx = − sin 2ϕ 8 mg FOy = (1 + 9sin 2 ϕ ) 4
ωB ωA
Fk
P2
vA , s
m2 g
ωD
P1
m1 g
m3g ,vE,aE
vA = ω Ar = ωB r
v A = 3vD
J P2 3 = m1 r 2 2 JB
3 vE = ω D r 4 s = 3h
1 = m1 r 2 2
3 ⎞ ⎛3 vA = ωD ⎜ r + r ⎟ 4 ⎠ ⎝2
J P1
g a = OC ⋅ α = cos ϕ 4
t C n = OC ⋅ ω 2 = aC
y x O
g sin ϕ 2
aCy
ϕ
C
将其向直角坐标轴上投影得：
3g aCx = − a sin ϕ − aC cos ϕ = − sin ϕ cos ϕ 4
t C
an
C
aCx
ω α
t aC
n
3g aCy = − a cos ϕ + a sin ϕ = − (1 − 3sin 2 ϕ ) 4
2、基本定理 1) 质点动力学(二维)
⎧ma x = ∑ Fx ⎨ = ∑ ma F y ⎩ y
2、基本定理 2) ***刚体动力学 刚体平动
26第6章第二十六讲 动力学普遍定理-相对动点的动量矩定理
3.2 动量矩定理与动量矩守恒根据质点相对运动动力学基本方程注意：平动坐标系中矢量的绝对导数和相对导数相等(e )（4）相对于动点的动量矩定理iee ii i ir i m Q F F a ++=)()(Ai ie m a Q −=ni m tm A i e i i i ir i ,,2,1)(d )d()()( =−++=a F F v3.2 动量矩定理与动量矩守恒两边叉乘r i ′，并求和（对动点A 取矩）注意到：内力系的主矩等于零；质心计算公式；叉乘性质n i m tm A i e i i i ir i ,,2,1)(d )d()()( =−++=a F F v ()=×′=′=∑∑ir i ir Cii i ie im M m v v r r F[])(d d)(A Ce iiiri iM m ta r Fr v r −×′+×′=×′∑∑是质点系相对动点A是外力系对动点A 的主矩是牵连惯性力的合力对动点A 的力矩注意平动系惯性力合力作用点3.2 动量矩定理与动量矩守恒Ar ir i i m L v r =×′∑ )()(e Ae iiMFr =×′∑ )()(e A A CM Q M a r =−×′d t[∑r i′×m i v ir])(d )(A Ce iiM a r Fr −×′+×′=∑(e )质点系相对动点的动量矩定理＝质点系相对动点的动量矩对时间的导数外力系对该点的主矩加在质心上的牵连惯性力的合力对该点之矩＋3.2 动量矩定理与动量矩守恒3.2 动量矩定理与动量矩守恒①如果动点为质心C ，则动点的动量矩定理为相对质心的动量矩定理)(d d )(e A e A Ar tQ M M L +=3.2 动量矩定理与动量矩守恒②如果a A = 0，则③如果A 点的加速度方向通过质心，则)(d d )(e A e A Ar tQ M M L +=)(d d e A Ar tM L =)(d d e AAr tM L =3.2 动量矩定理与动量矩守恒④对质心的动量矩守恒定律则对质心的动量矩守恒)(d d e CCr tM L =0)(=e CM()=e Cz M cL =cr constL cz =3.2 动量矩定理与动量矩守恒【例】质量为m半径为r的均质圆盘从静止开始，沿倾角为θ的斜面无滑动的滚下。
北航理论力学复习
αe αr ωe ωr
ω ωe ωr
刚体的角加速度:
α dωe dωr dt dt
dωe d ' ωr ωe ωr dt dt αe αr
刚体的角加速度:
α αe αr ωe ωr
3
动系为一般运动时点的加速度合成
速度合成：
v a ve v r
vo ' ω ro ' M vr
锥的顶角为90，母线长为 L，已知圆锥底面中心点 D 作匀速圆周 运动，其速度为 v，方向垂直平面 ABC 向外。求圆锥的角速度 、 角加速度 和圆锥底面上最高点 B 的加速度 a B 的大小。
=__________ ， =__________， a B =__________。
22
ω：自转角速度
例：图示薄圆盘半径为 R，求M点的速度 v M 、转动加速度 a R
和向轴加速度 a N 的大小。
M
v M ωa BM a R α BM
α ωa vM
例：正棱长为 L 的正方体形绕 O 点作定点运动，已知在图示瞬
时该刚体的角速度 与角加速度 ，求该瞬时正方体上顶点 A
定点运动刚体的任意有限位移，可以绕通过固定点的某一 轴经过一次转动来实现。
定点运动刚体有限位移的顺序不可交换. 定点运动刚体无限小位移的顺序可交换.
定点运动刚体的角位移不能用矢量表示，但无穷小角位移 可以用矢量表示。 定点运动刚体的角速度\角加速度可以用矢量表示。 了解欧拉运动学方程. 了解欧拉动力学方程. 自转\进动\章动概念.
要求：画出受力图、加速度图；给出解题基本理论和基本步骤。 解: 1. 取陀螺研究; 3. 由动量矩定理:
第二章动量定理
例题 画椭圆的机构由匀质的曲柄OA ，规尺BD 以及滑块B和D组成，曲柄与规尺的中点A铰接。已 知规尺长2l，质量是2m1 ；两滑块的质量都是m2 ； 曲柄长l，质量是m1 ，并以角速度ω绕定轴O转动。 试求当曲柄OA与水平成角φ时整个机构的动量。
y
B A
w
O
D
x
已知:曲柄OA长l，质量m1，以角速度ω绕定轴O转动。
总质量与质心速度的乘积。
动量的计算: 一般质点系 单个刚体 vc不好求 vc好求
刚体系统
每个刚体的vc好求
p = ∑mivCi
计算下列刚体的动量
轮1,2皆为匀质圆盘,质量为m1、 m2，半径为r1 、 r2，胶带为匀质，质量为m。
例 一直径为D, 质量m1的匀质圆盘，在水平面内以 匀角速度w绕O轴转动。一质量为m2的小球M，在通 过O轴的直径槽内以L=kt(k为常量)的规律运动，则 瞬时t系统的动量的大小为 。
vE
E
D
vD
x
1 (5m1 4m2 )lw 2
px cos( p, x ) , p
cos( p, y )
py p
解法二:
p = pOA + pBD + pB + pD
y vB B
vA
A E D x
pOA = m1vE = m1lω/2
其方向与vE一致，即垂直
w
O y
vE
vD
于OA并顺着ω的转向
( F xe ) (e ) Fy Fz(e )
d 2 xC ( m Fixe ) dt 2 d 2 yC ( m Fiye ) dt 2 d 2 zC ( m Fiz e ) dt 2
动量守恒定理
动量守恒定理
动量守恒定理是动力学的普遍定理之一。
动量定理的内容为：物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量(用字母I表示)，即力与力作用时间的乘积，数学表达式为FΔt=mΔv。
公式中的冲量为所有外力的冲量的矢量和。
动量定理是一个由实
验观测总结的规律，也可由牛顿第二定律和运动学公式推导出来，其物理实质也与牛顿第二定律相同，这也意味着它仅能在经典力学范围内适用。
而与动量定理相关的定律——动量守恒定律，大到接近光速的高速，小到分子原子的尺度，它依然成立。
动量守恒定律的定义为：如果一个系统不受外力或所受外力的矢量和为零，那么这个系统的总动量保持不变。
由此可见，动量定理和动量守恒定律是两个不同的概念，不能混为一谈。
1.动量守恒定律是自然界中最重要最普遍的守恒定律之一，是一个实验规律，也可用牛顿第三定律结合动量定理推导出来。
2.相互间有作用力的物体系称为系统，系统内的物体可以是两个、三个或者更多，解决实际问题时要根据需要和求解问题的方便程度，合理地选择系统。
中国石油大学(华东)动力学普遍定理例题
由平面运动微分方程，得
J A εA F r
将
aA 3 g εA r 8r
解得
3 F mg 16
1 2 , J A m r 代入上式，得 方法二 2
13
[例7] 质量为m 的杆置于两个半径为r ，质量为 的实心圆柱上， 2 P 圆柱放在水平面上，求当杆上加水平力 时，杆的加速度。设 接触处都有摩擦，而无相对滑动。 解：(1)用动能定理求解。 取系统为研究对象，杆作平动，圆柱体作平面运动。设任一瞬时， 杆的速度为v，则圆柱体质心速度为v/2，角速度 v 系统的动能
由动能定理的微分形式：
两边除以 ，并求导数，得 dt
11 m 2v a P v 16
a 8P 11m
14
(2) 用动量矩定理求解 取系统为研究对象
m v 1 m 2 v 11 LO mv 2 r 2( r r ) mvr 2 2 2 2 2r 4
2r 1 1 m v 1 1 m 2 v 2 11 2 T mv 2 2[ ( ) 2 ( r )( ) ] mv 2 2 2 2 2 22 2r 16
m
主动力的元功之和： W ( F ) PdS
dT W ( F )
d( 11 2 mv ) PdS 16
W
F
2mg S sin f mgS cos mg S ( 2 sin f cos )
T1 0
T2
v r 运动学关系： 由动能定理： 5 mv 2 0 mgS ( 2sin f cos ) 4 a ( 4 sin 2 f cos ) g 对ｔ求导，得 5 5
功： W
(F)
P h 2 Ph 2
动量定理概述PPT课件
方向指向O1。
a 2 x e2 co t,s a 2 y e2 s itn
根据质心运动定理，有
m ia C ix F i( x e ) ,m 2 a 2 x m 2 e2 ct o N xs
m i a C iF y i( e y ) ,m 2 a 2 y m 2 e 2 st i N n y m 1 g m 2 g
(paB)2(paB)1
ppBbpAaQ tv2Q tv1
由质点系动量定理；得
d d tp lit m 0 tpQ (v 2 v 1 ) W P 1 P 2 R
d d tp lit m 0 tpQ (v 2 v 1 ) W P 1 P 2 R
即
R ( W P 1 P 2 )Q (v 2 v 1 )
解:如图所示
m 1 m 2a C xF x F
xC m 12 rco s m 2rco s b m 1 1m 2
如： 坦克的履带质量为m 。设坦克前进速度为v，则 履带的动量是多少？
答案： pmvC mv方向：水平向右
投影形式： p x M v C x M x C , p y M v C y M y C , p z M v C z M z C
3.刚体的动量
a.单个刚体： 例：
p=Mvc
b.刚体系统的动量：设第i个刚体 mi , vci 则整个系统：
动力学普遍定理以简明的数学形式，表明两种量 —— 一 种是同运动特征相关的量(动量、动量矩、动能等)，一种是同 力相关的量(冲量、力 矩、功等) —— 之间的关系，从不同侧 面对物体的机械运动进行深入的研究。
本章中研究质点和质点系的动量定理，建立了动量的改变 与力的冲量之间的关系，并研究质点系动量定理的另一重要形 式——质心运动定理。
理论力学课件 动力学普遍定理综合应用61页PPT
理论力学课件 动力学普遍定理综合应 用
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
Thank you
理论力学之动力学普遍定理
分方程得:
O
l
A
T sin=0.366
2clos=0.931
A´
BAB
P
N
P
T
P g
aCy
N
P
(T N )l cos 1 P (2l)2 12 g
联立解得: T = 0.846P N = 0.654P
25
阅读材料和作业
• 1.阅读材料 – (1)P164---P170
O
l
A
2l
A´
B´
B
P
21
解:取杆AB为研究对象进行运动分析.
O
l T
A
OB = 1.732l A´B = 0.732l
当绳索OA运动到铅垂位置时,
N
2l
杆AB作瞬时平动.
B´
vA = vB = v
A´
B
P
对杆AB进行受力分析.
约束力T和N不作功, P是有势力,系统机械能守恒.
0.866 Pl 0.366 Pl 1 P v2 v gl
(3)
联立(1)(2)(3)式解得:
O
m1 ( R
m1g(R r) r)2 m2 (R2
O2 )
aA
(R
r)O
m1(R
m1g(R r)2 r)2 m2 (R2
O2 )
D A
aA
28
O
13-31解.分别取木板和圆柱O为研究对 象画受力图.
aO
O
F Ff FO m1a
=1500.24(1- sin30o)
+600.12(1-sin30o)
动量定理
结论：质点系的动量等于质点系的总质量与其质心速度的乘积。
（3）若一个质点系由多个刚体组成，则该质点系动量可写为
p pi mi vci
式中 mi 、vci 分别为第 i个刚体的质量和它的质心的速度。 [例]求图示均质物体或物体系统的动量。
O
vC
O
vC
C
C
例题1画椭圆的机构由匀质的曲柄 OA，规尺 BD 以及滑块B 和 D 组成(图 a)，曲柄与规尺的中点 A 铰接。已知规尺长2l ，质 量是2m1 ；两滑块的质量都是m2 ；曲柄长l，质量是m1 ，并以 角速度ω绕定轴 O 转动。试求当曲柄 OA 与水平成角φ时整个 机构的动量。
动力学普遍定理概述
对质点动力学问题： 建立质点运动微分方程求解。
对质点系动力学问题： 理论上讲，n个质点列出3n个微分方程， 联立求解即可。 实际上的问题是： 1、联立求解微分方程(尤其是积分问题)非常困难； 2、大量的问题中，不需要了解每一个质点的运动,仅需 要研究质点系整体的运动情况。 从本章起, 讲述解答动力学问题的其它方法, 而首先要讨论的是动力学普遍 定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导出来的其它一些定理)。 表明两种量 —— 一种是同运动特征相关的量(动量、动量矩、动能等)， 一种是同力相关的量(冲量、力矩、功等) —— 之间的关系，从不同侧面对物 体的机械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理来解答动力学问题
在瞬时 t1至 t2 段时间内积分，有 n p2 t2 dp Fi( e )dt
p1 i 1 t1
质点系动量定理的积分形式
n p2 p1 I i( e ) i 1
在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内作 用于质点系外力冲量的矢量和。 动量定理的投影式：
理论力学 第8章 动力学普遍定理
xC
mi
M
xi
,
yC
mi
M
yi
,
zC
mi
M
zi
10
在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采 用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置。但是，质 心与重心是两个不同的概念，质心比重心具有更加广泛的力学 意义。 二、质点系的内力与外力 外力：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。 内力：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
6
1.第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题） 已知的作用力可能是常力, 也可能是变力。变力可能是时间、 位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。
7
例1 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度 转
只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系 的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。
20
[例3] 质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另 放一质量为m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角 形柱体的位移。
解：选两物体组成的系统为研究对象。
受力分析， Fx(e) 0, 水平方向 Px 常量。
l2 r2 l
得 F mr2 2 l 2 r 2
9
质点系的质心，内力与外力
一.质点系的质心 质点系的质量中心称为质心。是表征质点系质量分布情况的 一个重要概念。
质心 C 点的位置： (M mi )
rC
mi
M
ri
或 MrC mi ri
理论力学动力学普遍定理与普遍方程
2 质点的运动定理
用于描述单个质点的运 动和力学特征。
3 系统动力学定理
用于描述系统的整体运 动及其相互作用。
普遍方程
运动方程的一般形式
描述物体运动的数学方程。
欧拉-拉格朗日方程
描述质点和系统的力学行为。
哈密顿方程
用于描述力学系统中的能量 和动力学特征。
应用案例
理论力学动力学普遍定理 与普遍方程
在这个演示中，我们将介绍理论力学动力学的普遍定理与普遍方程，并探讨 它们在应用中的重要性和实际应用。欢迎加入我们的学习旅程！
基本概念介绍
力学动力学的定义和作用
解释为物体的运动提供了理论和数学工具。
理论力学的概念
研究力、运动和力学原理的科学分支。
普遍定理
1 动力学的基本定理
1
常见力学动力学问题
探索常见力学问题背后的原理。
2
基于普遍定理与普遍方程的分析
通过应用普遍定理和方程，解决复杂的力学问题。
3
实际应用与工程中的应用实例
展示力学动力学在实际工程中的应用案例。
总结
重点回顾普遍定理和普遍方程
强调普遍定理和方程在理论力学动力学中的重要性。
理论力学动力学普遍定理
1、积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）
[例]均质细直杆长为l ，质量为m。求杆对z轴的转动惯量Jz
及对z1 轴的转动惯量Jz1 。
z
O
解：
l
Jz 0
x2mdx1ml2 l3
x
x
dx
l
Jz1
l
2 l
2
x2 mdx1ml2 l 12
z1
x
C x dx
l
l
2
2
理论力学
中南大学土木工程学院
4
均质薄圆环对于中心轴的转动惯量
drvCdt0
r r rr d W F S d r F S v C d t 0
wR O
圆轮沿固定面作纯滚动时， 摩擦力是静摩擦力，不作功!
P
FS C FN
理论力学
中南大学土木工程学院
13
5、质d 点W 系 内F r r力d 的r r rA 功 F rrd r r rB F rdrA rF rdrB F rd(rrArB) FdrBA
理论力学
中南大学土木工程学院
21
[例]已知均质圆盘质量为m，半径为R，摩擦因数为 f ，斜面倾角为j 。求
纯滚动时盘心的加速度。
解：取系统为研究对象，假设圆盘中心向下
产生位移 s 时速度达到vC。
T1 0
T2
3 4
m
v
2 C
力的功： W 12mgssinj
由动能定理得：
w
s
vC
C
FS
mg
j
FN
34mvC 2 0mgssinj
理论力学
1
§10-1 质点系的质心 内力与外力
一、质点系的质心
工程力学(动力学、静力学、运动学)
r LO
=
r MO
(mivri
)
=
rri × mivri
LOz = J zω
二、动力学普遍定理
1、物理量
（4）转动惯量 ① 定义
∑ J zz = rii22mii
ii
Jz
=
mρ
2 z
回转半径
z
ri
vi
mi
ω
mO
y
x
二、动力学普遍定理
1、物理量
② 简单形体的转动惯量
● 均质细圆环 JCC = mr 22
[例 题]
两重物的质量均为m，分别系在两软绳上。此两绳又分别绕在半 径各为r与2r并固结一起的两圆轮上。两圆轮构成之鼓轮的的质量亦
为m，对轴O的回转半径为ρ0。两重物中一铅垂悬挂，一置于光滑平 面上。当系统在左重物重力作用下运动时，鼓轮的角加速度α为：
（A）
α
=
5r
2
2
g+rρ02（B）
α = 2gr 3r 2 + ρ02
置作用于物块的约束力FN大小的关系为：
y
（A）FN1 = FN0 = FN2 = W （B） FN1 > FN0 = W > FN2 （C） FN1 < FN0 = W < FN2
A
a1
0 a
2
（D） FN1 = FN2 < FN0 = W
答案：C
一、质点动力学
[例 题]
r F
已知：以上抛的小球质量为m，受空气阻力
牛顿第二定律（力与加速度之间的关系定律）
∑ m ar =
r Fii
ii
牛顿第三定律（作用与反作用定律）
动力学普遍定理(动能定理)
系的动力学问题，特别是含平面运动物体的物体系问题。
ma F
仅对质点
引入新概念，建立新理论——不仅适于质点，还适于质点系：
动能定理 从不同方面表
动量定理 示质点系“运 动量矩定理动”强度的量
动能 ——— 功
从不同方面表
动量 ——— 冲量（力）
示“力”作用 强度的量
动量矩 ——— 冲量矩（力矩）
vC
C
以上为求平面运动刚体动能的两种方法。
3
第三篇 动力学 第12章 动力学普遍定理（动能定理）
12.2 功
功：力（力偶）在位移上的累积效应。
一、功的一般表达式（提问）
元功：
W
F
dr＝F
vdt
F
cosds
F ds
功：
W
M2 F dr
M1
注： W 仅仅表示元功， 既非变分，也不一定为 全微分
本部分内容：
§12-1 动能 §12-2 功 §12-3 动能定理（质点→质点系） §12-4 功率 功率方程（简介） §12-5 势力场 势能 机械能守恒定律（自学）
12.1 动能
动能：描述物体（整体）机械运动强度的量。
以下一～四提问。
一、质点 二、质点系
T 1 mv2 2
T
1 2
mi vi 2
1 2
k (12
2 2
)
1、2 ——弹簧初、末时变形。
4. 万有引力： W cMm( 1 1 ) r2 r1
其中c为引力常数，r1、r2 为二星体质心间
初、末时距离。
注：对扭转 弹簧，亦如 此。
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第三篇 动力学复习在静力学中，我们分析了物体受力的描述方法。
并研究了物体在力系作用下平衡的关系问题。
但没有研究在不平衡力系作用下物体是如何运动的。
在运动学中，我们仅以几何方面分析了物体的运动。
而没用涉及所作用的力，也就是说，没有说明物体为什么会运动。
动力学则要对物体的机械运动进行全面的分析。
即要研究作用物体的力与物体运动之间的关系。
由此来建立物体机械运动的普遍规律。
因此：动力学是研究物体机械运动与作用力之间关系的科学。
§1 质点动力学的两类基本问题质点动力学基本问题有两类：第一类问题：已知质点的运动，求质点所受的力。
所谓已知运动，就是说质点在坐标系中的运动方程已知。
以直角坐标系为例：即 )(t x x = ； )(t y y = ； )(t z z = (1)由此可将运动方程对时间求两次导数，就可以得到质点加速度在直角坐标轴上的三个投影表达式。
这就不难求出有关力的三个未知量。
故第一类问题是较简单的，可以归结为微分问题第二类问题：已知质点所受的力，求质点的运动.所谓求质点或质点系的运动，就是解质点运动微分方程。
以直角坐标轴上的三个投影表达式为例：∑∑∑===),,,,,,(),,,,,,(),,,,,,(222222z y xz y x t X m z y x z y x t X mz y x z y x t X mi dt zd i dt y d i dt x d （2） 要求解(2)，本质上说就是要进行积分运算。
(如方程可积) 积分后就可得包含六个积分常数的微分方程通解。
六个积分常数可由质点的运动初始条件来确定。
所谓初始条件——就是初始位置(坐标)和初始速度。
因此第二类问题求解，除了要给定力函数外，还要知道运动的初始条件。
总之是求解第二类问题，可归结为积分问题。
对于有n 质点的质点系。
它包含着n 3个二阶微分方程。
求解这样的微分方程组在大多数情况下是非常困难的，有时甚至是不可能的。
动力学解决这类问题的方法是：由n 3个(2)式质点系运动微分方程推出−→−−动量定理动量矩定理动能定理动力学普遍定理来解决这类问题，这三个定理通称为⎫⎬⎪⎭⎪−→−−−−−−−−−−−−− 动力学第二类问题归结为求解一组运动微分方程；在实际问题中，即使在最简单的情况下，其数学运算(即积分运算)是很繁复的有时还可能得不到解。
现我们从运动微分方程出发推出了几个定理。
在解决问题时运用这些定理来求解，则比直接求解微分方程要简单的多。
此外，这对于我们更深的理解物体运动的本质，也很有帮助。
这些定理把与运动的物理量如动量、动量矩、动能。
与力的物理量如冲量、力矩、功联系起来。
并建立了它们之间的关系。
使得力学科学理论的广泛应用有了有效的手段。
这三个定理统称为动力学普遍定理。
动力学普遍定理（第十一、十二、十三章）(1)动量定理、它联系了物体运动时动量的变化与作用力的冲量之间的关系。
由此还可以推出动量守恒定律以及质心运动定理。
简言之是线运动量与力之间的关系。
动量的计算：质点 v m p =；刚体 c i v M v m p =∑= 质点动量定理：微分形式： ()d mv Fdt = ；积分形式 210t mv mv Fdt -=⎰ （碰撞时用）； 质点系动量定理：微分形式： ()e d p F dt =∑ （定义式） 积分形式 ()21e p p S -=∑ （碰撞时用）刚体质心运动定理：∑=F a M c （常用注意下标） 质心公式： i iC m r r M =∑ (矢量式)（注意这里∑推导公式时是n 个质点的加，但对k 个刚体来说，应用时也可以用）i i C m x x M =∑ ； i iC m y y M =∑ ； i i C m z z M =∑（投影式）(2)动量矩定理、它联系了物体动量矩的变化与作用力矩之间的关系。
由此还可以推出动量矩守恒定律，面积定律，以及相对于质心的动量矩定理。
总之是角运动量与力矩之间的关系。
质点动量矩的定义：()O M mv r mv =⨯ （对固定点O ）质点系动量矩定义：11()nn O O i i i i i i i L M m v r m v ====⨯∑∑ （对固定点O ） 计算式：若C 为质点系（刚体）的质心，对任意固定点O 动量矩为：O C C C L L r Mv =+⨯ 若刚体作定轴转动动量矩为：z z L J ω= 质点动量矩定理：dv r m r F dt⨯=⨯ 质点系动量矩定理：()1()n e O O i dL M F dt ==∑ 若刚体作定轴转动： ()()e z z J M F α=∑若刚体作平面运动： ()()e c c J M F α=∑ （C 为刚体的质心）若C z 与z 轴平行，则转动惯量为：2z zC J J Md =+上面是基本概念和定义式，下面我们把解题时，常用公式进行分类，从整体上把握普遍定理的应用方法。
先将动量定理中的质心运动定理和动量矩定理中的相对于质心的动量矩定理，归纳整理一下。
刚体平面运动微分方程（质心运动定理，相对于质心的动量矩定理）从静力学中，我们知道。
作用于刚体上的任何力系可简化为一个力及一个力偶；力的大小与方向等于力系的主矢(合力)；而力偶的大小与方向等于力系对简化中心的主矩(合力矩)；从运动学中，我们知道。
刚体的一般运动可分解为随基点的平动及相对于基点转动。
如果我们将力系的简化中心及平面运动刚体的基点取为刚体的质心。
那么刚体的运动变化与力(矩)之间的关系。
就可以通过质心运动定理以及相对于质心动量矩定理联系起来求解。
即：∑=F a M c ∑=)(F M H d c c 这两个矢量方程的物理意义很明确，即：刚体运动的平动部分规律，取决于作用刚体上作用力的主矢(即合力)。
而刚体相对于质心的转动部分规律，取决于刚体上作用力对质心的主矩(即合力矩)。
将上述两个矢量方程取投影式，则有：∑=x cx F Ma ；∑=y cy F Ma ；∑=z cz F Ma∑=ξξm dt dH c ；∑=ηηm dt dH c ；∑=ζζm dtdH c (注：坐标ξηζ原点为C)工程上大量问题可简化为平面问题。
如果刚体在平面内运动，则我们恒有： 0=∑z F ； 0=∑ξm ； 0=∑ηm故留下三个方程：∑=x cx F Ma ；∑=y cy F Ma ；∑=ζζm dtdH c ζ轴为通过C 点⊥于oxy 平面的轴。
那么上式又可表示为：∑=x cx F Ma ； ∑=y cy F Ma ； ∑=)(F m J c C ε这里：c J ——为刚体相对质心的转动惯量；∑)(F m c ——所有外力对C 点之矩。
其微分形式为：∑=x c F x M ；∑=y c F y M ；∑=)(F m J c C ϕ 对这三个方程要理解深一点。
这里要注意两点：1）、凡是某物体只要是平面运动就一定满足上述方程。
平面任意力系的平衡问题是他的一个特例。
2）、这三个方程是相互独立的。
所谓独立其物理意义是物体运动是其线动量与角动量相互独立。
实际上，在运动学中已经提到，平面运动物体角速度只有一个，以及平面运动的物体上的任意点的运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动。
只不过这里的基点是质心。
(3)、动能定理、它联系了物体动能的变化与作用力的功之间的关系。
由此还可以推出机械能守恒定律。
这个定律深刻地揭示了物体运动的本质。
动能的计算：质点： 221mv T = 刚体：（由运动来分类）平动刚体：221c mv T = ； 转动刚体：221ωz J T = ； 平面运动刚体：222121ωc c J mv T += 或平面运动刚体的速度瞬心C 及ω已知时则有：221ωC J T =（注意转动惯量的下标） 功：重力功：)(2121z z P W -=- ；弹性力功：)(2222121δδ-=-k W 动能定理： ∑=-W T T 0（动能定理）代数方程；以上三个定理统称为动力学普遍定理。
三、机械能守恒定律 =+=+2211V T V T 常量四、功率与功率方程、1、功率 在工程技术中，不仅要计算功，我们更关心的是力作功的快慢，故我们要引出功率的概念。
所谓功率，即 功率———单位时间内“力”所作的功(这里的力是广义的它包括扭矩)即WF dr N F v M dt dtδω⋅===⋅=⋅由元功的定义 2、功率方程、 由对时间求导数即可得功率方程：∑∑+=内外N N dtdT 注意：1、动力学普遍定理的所有运动量都是绝对量。
2、在用定义写出系统的动能和功后可应用动能定理，但这时要注意，应根据题意将变量归一化（主要是用运动关系来进行变量归一化）。
注意：0=ω，0≠ε；0=v ，0≠a 的状态瞬时平动时0=ω动力学普遍定理综合应用动量定理，动量矩定理及动能定理这三个定理，我们通常称它们为动力学普遍定理。
三个定理三种不同形式。
它们都表达了物体的受力与运动之间的关系。
但是每个定理或每个公式都仅反应了“力”和运动之间规律的一个方面。
前面在讲述每个定理时，我们提出的问题都是归类的。
即一个问题用一个定理就能解决，问题相对来说较简单。
然而实际上，动力学问题是很复杂的。
一般来说不可能仅用一个定理就能解决问题。
而需要综合三个定理，灵活应用，才能解决问题。
既然这样说(要综合应用)，那么现我们有两个问题：1、三个定理各自的特点是什么？紧接着，2、另一个问题是，对一个动力学问题，怎样判断用什么定理来求解？ 这一节我们就要来回答这两个问题(动力学普遍定理的一个小结)一、动力学普遍定理各自的特点：①动量定理和动量矩定理是以动量和动量矩作为度量系统运动的物理量。
它们的特征是：其数学形式为矢量方程，应用时取其投影式(代数式)；动量和动量矩的变化只受外力的影响，而与内力无关(外力包括主动力和约束反力)。
动量与质心运动有密切关系，通常反映系统移动的动力学性质；而动量矩通常是反映绕一固定点或固定轴，以及相对平动坐标系中绕质心转动的力学性质。
②动能定理是以动能作为度量系统运动，它的特征是：其数学形式为代数方程；在理想约束情况下，动能的变化只与主动力的功有关，而与约束反力无关。
了解了各定理的特点后，下面我们可以来讨论第二个问题了。
二、求解动力学问题的一般途径①如果已知运动求约束反力，一般可用动量定理或相对于质心的动量矩定理求解。
②如果仅求解系统的运动，一般可用动能定理。
有时也可用定轴转动形式的动量矩定理；③如果系统运动未知，而且又要求作用力(主要是指约束反力)则可以先用动能定理求出系统的运动。
然后再应用动量定理或动量矩定理求出未知的量。
注意：有时未知量会多于方程数目，这时可应用运动学知识写出补充方程。
如用纯滚动关系；用基点法或瞬心法求平面运动刚的角速度。
或角加速度等等。