组合数学讲义 5章 抽屉原理

第五章 抽屉原理和Ramsey 理论

抽屉原理又称鸽巢原理或重叠原理，是组合数学中两大基本原理之一，是一个极其初等而又应用较广的数学原理。其道理并无深奥之处，且正确性也很明显。但若能灵活运用，便可能得到一些意料不到的结果。

抽屉原理要解决的是存在性问题，即在具体的组合问题中，要计算某些特定问题求解的方案数，其前提就是要知道这些方案的存在性。

1930年英国逻辑学家F. P. Ramsey 将这个简单原理作了深刻推广，即Ramsey 定理，也被称为广义抽屉原理。它是一个重要的组合定理，有许多应用。

5.1 抽屉原理

（一）基本形式

定理5.1.1 （基本形式）将n ＋1个物品放入n 个抽屉，则至少有一个抽屉中的物品数不少于两个。

证 反证之。将抽屉编号为：1,2, …,n ，设第i 个抽屉放有i q 个物品，则 121+=+++n q q q n

但若定理结论不成立，即1≤i

q ，即有n q q q +++ 21≤n ，

从而有 n q q q n n ≤+++=+ 211

矛盾。

例 5.1.1 一年365天，今有366人，那么，其中至少有两人在同一天过生日。

注：与概率的区别：抽屉原理讲的是所给出的结论是必然成立的，即100%成立。而概率反映的是不确定性现象发

生的可能性问题，不讨论100%成立的确定性概率问题。

生日悖论：随机选出n 个人，则其中至少有二人同一天出生的概率为

()A P n =n n P 3651365-

特例：()A P 23=50.73%，()A P 100=99.99997%

例 5.1.2 箱子中放有10双手套，从中随意取出11只，则至少有两只是完整配对的。

（二）推广形式

定理5.1.2 （推广形式）将121+-+++n q q q n 个物品放入n 个抽屉，则下列事件至少有一个成立：即第i 个抽屉的物品数不少于i q 个。

（证）反证。不然，设第i 个抽屉的物品数小于i q （i ＝

1,2, …,n ）(即该抽屉最多有1-i q 个物品)，则有

11+-∑=n q n i i ＝物品总数≤()n q q n

i i n i i -=-∑∑==111

与假设矛盾。

121+-+++n q q q n =

()()()111121

+-++-+-n q q q

（三）特例 推论1 将n(r －1)＋1个物品放入n 个抽屉，则至少有一个抽屉中物品个数不少于r 个。

推论2 将m 个物品放入n 个抽屉，则至少有一个抽屉中物品个数不少于11+⎥⎦

⎥⎢⎣⎢-n m ＝⎥⎥

⎤⎢⎢⎡n m 个。其中⎣⎦x 表示取x

的整数部分，⎡⎤x 表示不小于x 的最小整数。

推论3 若n 个正整数()n i q i ,2,1=满足

121->+++r n q q q n

则至少存在一个i q ，满足r q i ≥。

（四）例

例 5.1.3 有 n 位代表参加会议，若每位代表至少认识另外一个代表，则会议上至少有两人认识的人数相同。

(证) 设某代表认识的人数为k 个，则{}1,,2,1-∈n k （视为n －1个抽屉）。而会议上有n 个代表，故每位代表认识的人数共为n 个数（视为n 个物品）。那么，由基本定理，结论成立。

例 5.1.4 任意一群人中，必有两人有相同数目的朋友。 (证) 设有n 个人()2≥n ，分三种情形讨论：

(1) 每人都有朋友，由例5.1.3即知结论成立；

(2) 只有一人无朋友，余下的n －1人都有朋友，由(1)知此n －1人中必有两人有相同数目的朋友；

(3) 有两人或两人以上的人无朋友，则朋友数为零的人已经有两个了，同样满足条件。

例 5.1.5 边长为2的正方形内有5个点，其中至少有两点，距离不超过2。

(证) 首先制造抽屉：将原正方形各对边中点相连，构成4个边长为1的小正方形（见图5.1.1(a)），视为抽屉。其次，

由基本原理，至少有一个小正方形里点数不少于2。最后，从几何角度可以看出，同一小正方形内的两点的距离不超过小正方形的对角线之长度2，证毕。

图5.1.1 抽屉的选择

注意，如果抽屉选择不当，可能于事无益。如图5.1.1(b)，将正方形分为4个直角边长为2的等腰直角三角形是达不到目的的。

习题1、2

5.2 应用

§5.2.1 抽屉原理的应用

例 5.2.1 任意三个整数，必有两个之和为偶数（其差也为偶数）。

(证) 制造两个抽屉：“奇数”和“偶数”，3

个数放入两个抽屉，必有一个抽屉中至少有两个数，由整数求和的奇、偶性质即知此二数之和必为偶数。

同理可知，二者之差也为偶数。

例 5.2.2 从1,2,…,2n 中任取n ＋1个数，其中至少有一对数，一个是另一个的倍数。

（证）设所取的n ＋1个数为a 1,a 2, …,a n+1，并

（1）表示 ()02≥=i i i r a i αα，i ＝1,2, …,n ＋1且r i 为奇数。

（2）设置抽屉与物品：1~2n 之间只有n 个奇数（抽屉），故由抽屉原理知此n ＋1个r i 中至少有两个是相同的。设为 r j ＝ r k ＝r ，即r r a j j j j αα22==，r r a k k k k αα22==，显然有：要么k j a a ，要么j k a a 。

（3）说明：这里已是最好的“可能结果”，即针对各种条件，稍加放松，则结论不一定成立。

● 改为取n 个数，只要取n ＋1,n ＋2, …,2n 这n 个数，

显然不满足结论。

● 改为在1,2,…,2n+1中选n ＋1个数，则结论也不一定

成立。例如n=5，选6，7，8，9，10，11